Lista 3 - cálculo II

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Cálculo II - Lista 3 
 
1) A função produção de certa mercadoria tem valores 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑦 + 𝑥², onde x e y 
representam, respectivamente, o número de máquinas que foram usadas na produção e o número de 
homens-hora disponíveis. Encontre e trace no plano 𝑥0𝑦 as isoquantas correspondentes aos níveis 
de produção constante 4, 2 e 1. 
 
2) O potencial elétrico num ponto (x; y) é dado por 𝑉 (𝑥; 𝑦) = 
4
9−𝑥²−𝑦²
 , sendo (x; y) dado em 
volts. Determine as curvas equipotenciais de V em 12 volts, 4 volts e 2 volts. 
 
3) Classifique a superfície quádrica e esboce seu gráfico: 
(a) 2𝑥² + 3𝑦² + 𝑧² = 6. (d) 𝑧 = 4 − 2𝑥² − 3𝑦² 
 
(b) 
𝑥2
9
−
𝑦2
4
+
𝑧2
25
= 1 (e) 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 1 
 
(c) 𝑧² −
𝑦2
9
−
𝑥2
16
= 0 (f) 3𝑥² + 4𝑦² = 𝑧 
 
 
4) Seja f a função definida por 
22
2
33
2
),(
yx
yx
yxf


. Calcule o limite de f(x,y) quando (x,y) 
tende a (0,0) ao longo de cada um dos seguintes caminhos: 
 (a) eixo dos x; (c) a reta y = x; 
 (b) eixo dos y; (d) a parábola 
2xy 
. 
 
5) Seja 𝑅 = 2𝑥 + 3𝑦 a receita de vendas de dois produtos de quantidades x e y. Esboce o 
gráfico dos pontos (𝑥,𝑦) para os quais a receita vale R$120,00. 
 
 
6) Uma loja vende apenas dois produtos. O primeiro a R$500,00 a unidade e o segundo a 
R$600,00 a unidade. Sejam x e y as quantidades vendidas dos dois produtos 
 (a) Qual a expressão da receita de vendas? 
 
 (b) Qual o valor da receita de forem vendidas 10 unidades do primeiro produto e 15 do 
segundo? 
 
 (c) Represente graficamente os pontos (𝑥, 𝑦) para os quais a receita é R$300.000,00. 
 
 
7) Usando as propriedades de limite, calcule: 
 (a) lim(𝑥 ,𝑦)→(0,0)
sen ²(𝑥𝑦 )
(𝑥𝑦 )²
 (d) lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑥𝑦
𝑥²+𝑦²+2
 
 (b) lim(𝑥 ,𝑦)→(1,1) 𝑥³𝑦 + 𝑦³ + 3 (e) lim 𝑥 ,𝑦 ,𝑧 →(1,2,3)
1
𝑥
+
1
𝑦
+
1
𝑧
 
 (c) lim(𝑥 ,𝑦)→(1,1) ln(1 + 𝑥²𝑦³) 
8) Determine o valor dos seguintes limites, caso existam: 
 (a) lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0) 𝑥
2 + 𝑦2 sen
1
𝑥𝑦
 (c) lim(𝑥 ,𝑦)→(0,0)
𝑥²𝑦²
𝑥²𝑦²+(𝑥−𝑦)²
 
 
 (b) lim(𝑥 ,𝑦)→(6,3) 𝑥𝑦 ∙ cos(𝑥 − 2𝑦) (d) lim(𝑥 ,𝑦)→(0,0)
5𝑥𝑦
 𝑥²+𝑦²
 
 
 
9) Seja f a função definida por 
22
22
),(
yx
yx
yxf



. Calcule o limite de f(x,y) quando (x,y) tende 
a (0,0) ao longo de cada um dos seguintes caminhos: 
 (a) eixo dos x; (c) a reta y = x; 
 (b) eixo dos y; (d) a parábola 
2xy 
. 
 
10) Seja f a função definida por 













00
0
1
),(
2
xse
xsey
x
x
yxf
 . 
(a) Calcule 
),(lim
)0,0(),(
yxf
yx 
 ao longo da reta 
mxy 
; 
(b) Calcule 
),(lim
)0,0(),(
yxf
yx 
 ao longo da parábola 
2yx 
. 
(c) Existe 
),(lim
)0,0(),(
yxf
yx 
? 
 
11) Teste a continuidade de 𝑓(𝑥, 𝑦) em (0,0) se 
 (a) 𝑓(𝑥,𝑦) = 
𝑥²−4𝑦²
𝑥²+𝑦²
, (𝑥,𝑦) ≠ (0,0)
0 , (𝑥,𝑦) = (0,0)
 (d) 𝑓(𝑥,𝑦) = 
𝑥𝑦
 𝑥²+𝑦²
 , (𝑥,𝑦) ≠ (0,0)
0 , (𝑥,𝑦) = (0,0)
 
 (b) 𝑓(𝑥,𝑦) = 
𝑥9𝑦
(𝑥6+𝑦²)²
 , (𝑥,𝑦) ≠ (0,0)
0 , (𝑥,𝑦) = (0,0)
 (e) 𝑓(𝑥,𝑦) = 
𝑥+𝑦
𝑥²+𝑦²
 , (𝑥,𝑦) ≠ (0,0)
0 , (𝑥, 𝑦) = (0,0)
 
 (c) 𝑓(𝑥,𝑦) = 
2𝑥²𝑦
3𝑥²+3𝑦²
 , (𝑥,𝑦) ≠ (0,0)
0 , (𝑥,𝑦) = (0,0)
 (f) 𝑓(𝑥,𝑦) = 
sen (𝑥+𝑦)
𝑥+𝑦
, (𝑥,𝑦) ≠ (0,0)
2 , (𝑥,𝑦) = (0,0)
 
 
12) É possível determinar k de modo que a função 𝑓(𝑥,𝑦) = 
𝑥²𝑦4
𝑥²+𝑦²
 , (𝑥,𝑦) ≠ (0,0)
3𝑘 + 1 , (𝑥,𝑦) = (0,0)
 
seja contínua em (0,0)? Justifique e determine k? 
 
13) Verifique que a função 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = 
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) sen
1
𝑥
sen
1
𝑦
, 𝑥,𝑦 ≠ 0
0 , 𝑥 = 𝑦 = 0
 é contínua em 
(0,0,0).