Lista 4 - cálculo II

Prévia do material em texto

1) Aplique a definição para encontrar as derivadas parciais indicadas: 
(a) yxyxf 36),(  ; ),( yxfDx 
(b) 263),( yxxyyxf  ; ),( yxfDy 
(c) 22),( yxyxf  ; ),( yxfDx 
(d) yzxyyxzyxf 23),,( 22  ; ),,( zyxfDy
 
2) Encontre a derivada parcial indicada: 
(a) 
2234),( yxyyxf 
; 
),(1 yxfD
 
(b) 
 2cos.3sen),( f
; 
),( f
 
(c) 
y
x
ez x
y 2
ln
; 
y
z


 
(d) 
222
1
zyx
u


; 
z
u


 
(e) 
)2ln(4),,( xyzxyzzyxf 
; 
),,(3 zyxf
 
(f) 
2
3
),,(
z
xy
arctgezyxf xyz 
; 
),,( zyxf y
 
3) Se 
 sen),( 2rrtgrf 
, ache: 
(a) 






4
,21

f
 (b) 
 ,32f
 
 
4) Dada 
r
t
t
r
u lnsen 
. Verifique 
0





r
u
r
t
u
t
. 
 
5) Ache a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície 
22 yxz 
 com o plano 
y = 1, no ponto (2,1,5). 
 
6) A temperatura em qualquer ponto de uma placa plana é T graus 
22 4
3
2
54 yxT  .
 Se a 
distância for medida em centímetros, ache a taxa de variação da temperatura em relação à distância 
movida ao longo da placa nas direções dos eixos positivos x e y, respectivamente no ponto (3,1). 
 
7) Se S for a área da superfície em metros quadrados do corpo de uma pessoa, então a fórmula 
que dá um valor aproximado para S será 
7,04,02 HWS 
, 
onde W kg e H m são o peso e a altura da pessoa. Se W = 70 kg e H = 1,8 m, ache 
W
S


 e 
H
S


. 
 
8) A temperatura T de uma localidade do hemisfério norte depende da longitude x, da latitude y 
e do tempo t, de modo que podemos escrever 
),,( tyxfT 
. Vamos medir o tempo em horas do 
princípio de janeiro. Qual é o significado das derivadas parciais 
x
T


, 
y
T


 e 
t
T


? 
 
9) Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções. 
(a) 
yxez 3
 (b) 
yx
yx
yxf


),(
 (c) 
 cos.senw
 (d) 
v
u
arctgvuf ),(
 
(e) 
 22ln yxxz 
 
10) A resistência total R produzida por três condutores com resistências 
1R
, 
2R
 e 
3R
 
conectados em paralelo em um circuito elétrico é dada pela fórmula 
321
1111
RRRR

. Determine 
1R
R


. 
 
11) A lei dos gases para uma massa m de um gás ideal à temperatura T, pressão P e volume V é 
 , onde R = 8,31 J/mol.K é a constante universal dos gases, n = m/M é o número de 
moles e M é a massa molecular do gás. Mostre que 
1








P
T
T
V
V
P
. 
 
12) A área da superfície circular de um cone circular reto de abertura h e raio da base r é dada por 
22 rhrrA  . 
(a) Se r é mantido fixo em 3 cm, enquanto h varia, encontre a taxa de variação de A em relação a h 
no instante em que h = 7 cm. 
 
(b) Se h é mantido fixo em 7 cm, enquanto r varia, encontre a taxa de variação de A em relação a r 
no instante em que r = 3 cm. 
 
13) A fórmula de Clairaut para o peso W em dinas de uma massa de 1 grama em uma latitude 
de L graus e uma altura de h centímetros acima do nível do mar é 
300000090
cos.5028,26056,9890
hL
W 






. 
(a) Se L é mantido constante em 
o40
N enquanto h sofre variação, encontre a taxa de variação de W 
em relação a h no instante em que a massa está a 6 quilômetros acima do nível do mar. 
(b) Se a massa permanece a uma altura constante de 6 quilômetros acima do nível do mar, enquanto 
sua latitude L varia, encontre a taxa de variação de W por grau de latitude no instante em que 
NL o40
. 
 
14) A resistência R (ohms) de um circuito elétrico é dada pela fórmula R = E/I, onde I é a 
corrente em ampères e E é a força eletromotriz em volts. Calcule 
IR  /
e 
ER  /
quando I = 15 
ampères e E = 110 volts . 
 
 
15) Ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia. 
(a) 
xyxu  2
; 
22 srx 
; 
sry 23 
; 
r
u


; 
s
u


 
(b) 
)3arcsen( yxu 
; 
serx 2
; 
rsy sen
; 
r
u


; 
s
u


 
(c) 
x
y
u cosh
; 
srx 23
; 
rsey 6
; 
r
u


; 
s
u


 
(d) 
222 zyxu 
; 
 cos.senrx 
; 
 sen.senry 
; 
cosrz 
; 
 




 uu
r
u
,,
 
 
 
16) Num dado instante, o comprimento de uma cateto de triângulo retângulo é 10 cm e ele está 
crescendo a uma taxa de 1 cm/min e o comprimento do outro cateto é 12 cm o qual está decrescendo 
a uma taxa de 2 cm/min. Ache a taxa de variaçã4o na medida do ângulo agudo oposto ao lado de 12 
cm de comprimento, num dado instante. 
 
17) A altura de um cilindro circular reto está decrescendo a uma taxa de 10 cm/min e o raio 
crescendo a uma taxa de 4 cm/min. Ache a taxa de variação do volume no instante em que a altura é 
50 cm e o raio é 16 cm. 
 
18) A resistência R, em ohms, de um circuito é dada por R = E/I, onde I é a corrente em ampères 
e E é a força eletromotriz em volts. Num certo instante, quando E = 120 volts e I = 15 ampères, E 
aumenta numa velocidade d 0,1 volt por segundo e I diminui à velocidade de 0,05 ampère por 
segundo. Encontre a taxa instantânea de variação de R. 
 
19) Certo gás obedece à lei dos gases ideais PV=8T. Suponha que o gás esteja sendo aquecido à 
taxa de 
min/2o
e a pressão esteja aumentando à taxa de 0,5 kg/cm
2
. Se, em certo instante, a 
temperatura é de 200
o
 e a pressão é de 10 kg/cm
2
 , ache à taxa à qual o volume está variando. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1) (a) 
6xf
 (b) 
yxf y 23 
 (c) 
22 yx
x
f x


 (d) 
zxyxf y 26
2 
 
 
2) (a) 
22
1 ),(
yx
x
yxfD


 (b) 
 2sen.3sen2),( f
 
 (c) 









x
y
x
y
xy
x
y
e
y
z 2
ln
 (d) 
  2
3
222 zyx
z
z
u




 
 (e) 
z
xyzyxf
1
4),,(3 
 (e) 
224
2
9
3
),,(
yxz
xz
xzezyxf xyzy


 
 
3) (a) -1 (b) 12 
 
5) R: 4 
 
6) R: 
cmo /4
; 
cmo /8
 
 
7) R: 
kgm /0943,0 2
; 
mm /42,6 2
 
 
8) A taxa de variação da temperatura quando varia a longitude, com latitude e tempo fixados; a 
taxa de variação quando varia apenas a latitude; a taxa de mudança quando varia apenas o 
tempo. 
 
9) (a) 
ye
x
z 3


, 
yxe
y
z 33


 (b) 
2)(
2
),(
yx
y
yxf x


, 
2)(
2
),(
yx
x
yxf y


 
 (c) 


cos.cos

w
, 


sen.sen

w
 (d) 
22 vu
v
fu


, 
22 vu
u
fv


 
 (e) 
22
1
yxx
z




, 
 2222 yxxyx
y
y
z




 
10) 
2
1
2
R
R
 
 
12) 
58
21
, 
58
67
 
 
13) (a)
3000000
1

 (b) 
9
4
sen
90
5028,2 

 
14) 
45
22

, 
15
1
 
 
15) (a) 
xyxr
r
u
3)22(2 


, 
xyxs
s
u
2)2(2 


 
 (b) 
2)3(1
cos6
yx
rssre
r
u s





, 
2
2
)3(1
cos3
yx
rsrer
s
u s





 
 (c) 
 ryxe
x
y
x
s
r
u r 


senh
6
2
; 
 2
2
2senh
3
yrxe
x
y
xs
u r 

(d) 
 cos2sen.sen2cos.sen2 zyx
r
u



 
 
 sen2sen.cos2cos.cos2 zryrxr
u



 
 
 cos.sen2sen.sen2 yrxr
u



 
 
16) decrescente `a taxa de 
min/
61
8
rad
 
 
17) crescente à taxa de 
3840 min/3cm
 
 
18) 
sohm /
30
1
 
 
19) 
min/4,6 3cm