Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Matemática e Estatística - Departamento de Análise Matemática Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 1 – Expresse )),(( yxfg em termos de x e y e ache o domínio da função composta resultante. (a) 13)(,),( 2 tttgxeyxf y (b) ttgxyyxf sen)(,4),( 2 2 – Uma chapa de metal plana jaz em um plano XY, de modo que a temperatura T em (x,y) seja dada por 22210),( yxyxT , em que T é expresso em graus e x e y em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação de T em relação à distância em (1,2) na direção do (a) eixo x, (b) eixo y. 3 – Suponhamos que o potencial elétrico V no ponto (x,y,z) seja dado por 222 100 zyx V , onde V é dado em volts e x, y e z em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação de V em relação à distância em (2,-1,1) na direção do (a) eixo x, (b) eixo y, (c) eixo z. 4 – Quando um poluente tal como óxido nítrico é emitido por uma chaminé de h metros de altura, a concenrtração C(x,y), em 3/ m , do poluente em um a x quilômetros da chaminé e à altura de y metros pode ser representada por 2 2 2 2 2 )( exp )( exp),( x hyb x hyb x a yxC em que a e b são constantes positivas que dependem das condições atmosféricas e da taxa de emissão do poluente. Suponha que 2 2 2 2 2 )10(02,0 exp )10(02,0 exp 200 ),( x y x y x yxC . Calcule e interprete x C e y C no ponto (2,5). 5 – No estudo da penetração da geada em uma rodovia, a temperatura T no instante t horas e à profundidade x pode ser dada aproximadamente por )sen(0 xteTT x em que T0, e são constantes. O período de )sen( xt é de 24 horas. (a) Calcule e interprete t T e x T . (b) Mostre que T verifica a equação unidimensional do calor 2 2 x T k t T em que é uma constante. 6 – A capacidade V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser exalado após uma inalação de ar. Para um indivíduo do sexo masculino com x anos de idade e y centímetros de altura, V pode ser aproximada pela fórmula xyyV 112,063,27 . Calcule e interprete (a) x V (b) y V . 7 – Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força eletromotriz V. Em certo instante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5 volts /min, enquanto R é 40 ohms e decresce à razão de 2 ohms/min. Use a lei de Ohm, I = V/R, para achar a taxa à qual a corrente I (em ampères) varia. 8 – Ache a equação do plano tangente e da reta normal ao elipsóide 123 4 3 222 zyx no ponto )6,1,2(0P . 9 – Seja )2,4,3(0 P o ponto do hiperbolóide 14436916 222 zyx . Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao hiperbolóide em 0P . 10 – Determine a derivada direcional ),( yxfDu se 23 43),( yxyxyxf e u é o vetor unitário dado pelo ângulo 6/ . Qual será )2,1(fDu ? 11 – Determine a derivada direcional da função yyxyxf 4),( 32 no ponto (2,-1) na direção do vetor v = 2i +5j. 12 – Suponha que a temperatura num ponto (x,y,z) do espaço seja dada por 222 321 80 ),,( zyx zyxT , onde T é medida em graus Celsius e x, y, z em metros. Em que direção no ponto (1,1,-2) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento? 13 – Suponha que numa certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por xyzxyxzyxV 35),,( 2 . (a) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor v = i + j – k . (b) Em que direção V varia mais rapidamente em P? (c) Qual é a taxa máxima de variação em P? 14 – Ache ),( yxf xx e ),( yxf yy . Mostre que ),(),( yxfyxf yxxy . (a) 2 2 ),( x y y x yxf (c) x y arctgyxyxf 22),( (b) yeyxf x sen),( 2 (d) xyyxyxf cosh3senh4),( 15 – Mostre que ),( yxu satisfaz a equação 0 2 2 2 2 y u x u , conhecida como equação de Laplace em 2R . (a) )ln(),( 22 yxyxu (c) 22 ),( yx x x y arctgyxu (b) xeyeyxu yx cossen),( (d) 22 2 ),( yx xy arctgyxu 16 – A equação de Laplace em 3R é 0 2 2 2 2 2 2 z u y u x u . Mostre que 222 1 ),,( zyx zyxu satisfaz essa equação para )0,0,0(),,( zyx . 17 – Trace a curva de nível C de F que contém P e esboce )(PF . (a) 22),( xyyxf P(2,1) (b) yxyxf 2),( P(-3,5) 18 - Trace a superfície de nível C de F que contém P e esboce )(PF . (a) 222),,( zyxzyxF P(1,5,2) (b) zyxzyxF 32),,( P(3,4,1) (c) 22),,( yxzyxF P(2,0,3) Respostas 1 – (a) 13)()),(( 22 yyy xeexxegyxfg ; o domínio é 2R (b) 22 4sen)4()),(( xyxygyxfg ; o domínio consiste em todos os pares ordenados (x,y) tais que 24xy 2 – (a) cmo /200 (b) cmo /400 3 – (a) cmV / 9 100 (b) cmV / 9 50 (c) cmV / 9 50 4 - mmg x C /)/(58,36 3 é a taxa à qual a concentração varia na direção horizontal (2,5) mmg y C /)/(229,0 3 é a taxa à qual a concentração varia na direção vertical (2,5) 5 – (a) )cos(0 xteT t T x é a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo à profundidade x (b) )sen()cos(.0 xtxteT x T x é a taxa de variação da temperatura em relação à profundidade no instante t 6 – (a) y x V 112,0 anoml / é a taxa à qual a capacidade pulmonar decresce com a idade para um adulto homem (b) x y V 112,063,27 anoml / é difícil de interpretar porque, em geral, encaramos a altura y de um adulto como fixa 7 - 225,0 dt dI min/amp 8 – Equação do plano: 246263 zyx Equações paramétricas da reta: tx 32 , ty 61 , yef xxx sen4 2 ; Rt 9 – Equação do plano: 12634 zyx Equações paramétricas da reta: tx 43 , ty 34 , tz 62 ; Rt 10 - yxxyxfDu 338333 2 1 ),( 2 , 2 3313 )2,1( fDu 11 - 29 32 )1,2( uD 12 – A temperatura aumenta mais rapidamente na direção de 41 6 , 41 2 , 41 1 A taxa máxima de aumento da temperatura é m C0 8 415 13 – (a) 3 32 (b) )12,6,38( (c) 4062 14 – (a) 4 62 x y y f xx , 3 22 y x f yy (b) yef xxx sen4 2 ,yef xyy sen 2 (c) 22 2 2 yx xy x y arctgf xx , 22 2 2 yx xy x y arctgf yy (d) xyf xx cosh3 , yxf yy senh4
Compartilhar