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Lista 7 - Derivadas (3)

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UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Instituto de Matemática e Estatística - Departamento de Análise Matemática 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
 
 
1 – Expresse 
)),(( yxfg
 em termos de x e y e ache o domínio da função composta 
resultante. 
(a) 
13)(,),( 2  tttgxeyxf y
 
(b) 
ttgxyyxf sen)(,4),( 2 
 
 
2 – Uma chapa de metal plana jaz em um plano XY, de modo que a temperatura T em (x,y) 
seja dada por 
 
 22210),( yxyxT 
, 
 
em que T é expresso em graus e x e y em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação 
de T em relação à distância em (1,2) na direção do (a) eixo x, (b) eixo y. 
 
3 – Suponhamos que o potencial elétrico V no ponto (x,y,z) seja dado por 
 
222
100
zyx
V


, 
 
onde V é dado em volts e x, y e z em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação de V 
em relação à distância em (2,-1,1) na direção do (a) eixo x, (b) eixo y, (c) eixo z. 
 
4 – Quando um poluente tal como óxido nítrico é emitido por uma chaminé de h metros de 
altura, a concenrtração C(x,y), em 
3/ m
, do poluente em um a x quilômetros da chaminé e 
à altura de y metros pode ser representada por 
 











 





 

2
2
2
2
2
)(
exp
)(
exp),(
x
hyb
x
hyb
x
a
yxC
 
 
em que a e b são constantes positivas que dependem das condições atmosféricas e da taxa 
de emissão do poluente. Suponha que 
 











 





 

2
2
2
2
2
)10(02,0
exp
)10(02,0
exp
200
),(
x
y
x
y
x
yxC
. 
 
 
Calcule e interprete 
x
C


 e 
y
C


 no ponto (2,5). 
 
5 – No estudo da penetração da geada em uma rodovia, a temperatura T no instante t horas 
e à profundidade x pode ser dada aproximadamente por 
 
)sen(0 xteTT
x   
 
 
em que T0, 

 e 

 são constantes. O período de 
)sen( xt  
é de 24 horas. 
(a) Calcule e interprete 
t
T


 e 
x
T


. 
(b) Mostre que T verifica a equação unidimensional do calor 
 
2
2
x
T
k
t
T





 
 
em que é uma constante. 
 
6 – A capacidade V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser exalado após uma 
inalação de ar. Para um indivíduo do sexo masculino com x anos de idade e y centímetros 
de altura, V pode ser aproximada pela fórmula 
 
xyyV 112,063,27 
. 
 
Calcule e interprete (a) 
x
V


 (b) 
y
V


. 
 
7 – Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força eletromotriz V. Em 
certo instante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5 volts /min, enquanto R é 40 ohms e 
decresce à razão de 2 ohms/min. Use a lei de Ohm, I = V/R, para achar a taxa à qual a 
corrente I (em ampères) varia. 
 
8 – Ache a equação do plano tangente e da reta normal ao elipsóide 
123
4
3 222  zyx
 
no ponto 
)6,1,2(0P
. 
 
9 – Seja 
)2,4,3(0 P
 o ponto do hiperbolóide 
14436916 222  zyx
. Determine as 
equações do plano tangente e da reta normal ao hiperbolóide em 
0P
. 
 
10 – Determine a derivada direcional 
),( yxfDu
se 
23 43),( yxyxyxf 
 e u é o vetor 
unitário dado pelo ângulo 
6/ 
. Qual será 
)2,1(fDu
? 
 
 
11 – Determine a derivada direcional da função 
yyxyxf 4),( 32 
 no ponto (2,-1) na 
direção do vetor v = 2i +5j. 
 
12 – Suponha que a temperatura num ponto (x,y,z) do espaço seja dada por 
 
222 321
80
),,(
zyx
zyxT


, 
 
onde T é medida em graus Celsius e x, y, z em metros. Em que direção no ponto (1,1,-2) a 
temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento? 
 
13 – Suponha que numa certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por 
 
xyzxyxzyxV  35),,( 2
. 
 
(a) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor v = i + j – k . 
(b) Em que direção V varia mais rapidamente em P? 
(c) Qual é a taxa máxima de variação em P? 
 
14 – Ache 
),( yxf xx
e 
),( yxf yy
. Mostre que 
),(),( yxfyxf yxxy 
. 
(a) 
2
2
),(
x
y
y
x
yxf 
 (c) 
 
x
y
arctgyxyxf  22),(
 
(b) 
yeyxf x sen),( 2
 (d) 
xyyxyxf cosh3senh4),( 
 
 
15 – Mostre que 
),( yxu
 satisfaz a equação 
0
2
2
2
2






y
u
x
u
, conhecida como equação de 
Laplace em 2R . 
(a) 
)ln(),( 22 yxyxu 
 (c) 
22
),(
yx
x
x
y
arctgyxu


 
(b) 
xeyeyxu yx cossen),( 
 (d) 
22
2
),(
yx
xy
arctgyxu


 
 
16 – A equação de Laplace em 3R é 
 
0
2
2
2
2
2
2









z
u
y
u
x
u
. 
 
Mostre que 
222
1
),,(
zyx
zyxu


 satisfaz essa equação para 
)0,0,0(),,( zyx
. 
 
 
17 – Trace a curva de nível C de F que contém P e esboce 
)(PF
. 
(a) 
22),( xyyxf 
 P(2,1) 
(b) 
yxyxf  2),(
 P(-3,5) 
 
18 - Trace a superfície de nível C de F que contém P e esboce 
)(PF
. 
(a) 
222),,( zyxzyxF 
 P(1,5,2) 
(b) 
zyxzyxF 32),,( 
 P(3,4,1) 
(c) 
22),,( yxzyxF 
 P(2,0,3) 
 
 
Respostas 
 
1 – (a) 
13)()),(( 22  yyy xeexxegyxfg
; o domínio é 2R 
 (b) 
22 4sen)4()),(( xyxygyxfg 
; o domínio consiste em todos os pares 
 ordenados (x,y) tais que 
24xy 
 
 
2 – (a) 
cmo /200
 (b) 
cmo /400
 
 
3 – (a) 
cmV /
9
100

 (b) 
cmV /
9
50
 (c) 
cmV /
9
50
 
 
4 - 
mmg
x
C
/)/(58,36 3


 é a taxa à qual a concentração varia na direção horizontal 
 (2,5) 
 
mmg
y
C
/)/(229,0 3


 é a taxa à qual a concentração varia na direção vertical 
 (2,5) 
 
5 – (a) 
)cos(0 xteT
t
T x   

 
 é a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo 
 à profundidade x 
 (b) 
 )sen()cos(.0 xtxteT
x
T x   

 
 é a taxa de variação da temperatura em 
 relação à profundidade no instante t 
 
6 – (a) 
y
x
V
112,0

 anoml /
 é a taxa à qual a capacidade pulmonar decresce com a idade 
 para um adulto homem 
 
 
 
 (b) 
x
y
V
112,063,27 

 anoml /
 é difícil de interpretar porque, em geral, encaramos a 
 altura y de um adulto como fixa 
 
7 - 
225,0
dt
dI min/amp
 
 
8 – Equação do plano: 
246263  zyx
 
 Equações paramétricas da reta: 
tx 32
, 
ty 61
, 
yef xxx sen4
2
; 
Rt 
 
 
9 – Equação do plano: 
12634  zyx
 
 Equações paramétricas da reta: 
tx 43
, 
ty 34 
, 
tz 62
; 
Rt 
 
 
10 - 
  yxxyxfDu 338333
2
1
),( 2 
, 
2
3313
)2,1(

fDu
 
 
11 - 
29
32
)1,2( uD
 
 
12 – A temperatura aumenta mais rapidamente na direção de 







41
6
,
41
2
,
41
1
 
 A taxa máxima de aumento da temperatura é 
m
C0
8
415
 
 
13 – (a) 
3
32
 (b) 
)12,6,38(
 (c) 
4062
 
 
14 – (a) 
4
62
x
y
y
f xx 
, 
3
22
y
x
f yy 
 
 (b) 
yef xxx sen4
2
,yef xyy sen
2
 
 (c) 
22
2
2
yx
xy
x
y
arctgf xx


, 
22
2
2
yx
xy
x
y
arctgf yy


 
 (d) 
xyf xx cosh3
, 
yxf yy senh4

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