AP1-MetDet1-2016-2-gabarito

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2016-2
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras;
Polo e Data; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 e 2 a` seguir.)
Em uma cidade, sa˜o vendidas duas marcas de sabonetes, A e B. Sabe-se que 12% da populac¸a˜o
compra ambas as marcas; que o percentual da populac¸a˜o que compra a marca A e´ o triplo do
percentual que compra a marca B; e que apenas 16% da populac¸a˜o na˜o compra A e nem B.
Questa˜o 1 (1.5 pt) Determine o percentual da populac¸a˜o que compra apenas a marca A.
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de U o conjunto de todos os habitantes da cidade, de A o conjunto dos
compradores da marca A e de B o conjunto dos compradores da marca B. Representando em uma
diagrama de Venn, temos o seguinte:
Vamos chamar de t o nu´mero de habitantes da cidade, isto e´, faremos n(U) = t. A informac¸a˜o de
que “12% da populac¸a˜o compra ambas as marcas”, nos da´ enta˜o que n(A ∩ B) = 12
100
· t. Ale´m
disso, como “apenas 16% da populac¸a˜o na˜o A e nem B”, temos n(U − (A ∪ B)) = 16
100
· t. Temos
enta˜o o seguinte diagrama:
Se chamarmos de x o percentual de pessoas que compram exclusivamente a marca B, como no
Me´todos Determin´ısticos I AP1 2
diagrama abaixo,
teremos n(B) = x+n(A∩B) = x+ 12
100
· t. Como o nu´mero de compradores da marca A e´ o triplo
de compradores de B, temos
n(A) = 3n(B) = 3
(
x+
12
100
· t
)
= 3x+
36
100
· t.
Ale´m disso, o nu´mero de compradores exclusivos da marca A sera´ dado por
n(A)− n(A ∩B) =
(
3x+
36
100
· t
)
− 12
100
· t = 3x+ 24
100
· t.
Reunindo todas as informac¸o˜es no diagrama, temos:
Com isso, podemos ver que (
3x+
24
100
· t
)
+
12
100
·t+ x+ 16
100
· t = t,
logo
4x = t− 52
100
· t ∴ 4x = 48
100
· t ∴ x = 12
100
· t.
O percentual de compradores exclusivos de A sera´ enta˜o
n(A)− n(A ∩B) = 3 · 12
100
· t+ 24
100
· t = 60
100
· t.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
Com isso, 60% da populac¸a˜o compra apenas a marca A.
Observac¸a˜o: Uma forma mais simples (embora mais descuidada) de resolver seria supor que a
cidade possui 100 habitantes e resolver de forma similar a` feita acima, pore´m sem o t. Resolver desta
forma, pore´m, poderia levar (na˜o e´ o caso neste problema, mas poderia ocorrer) a` conjuntos com
cardinalidade na˜o inteira, que deveriam ser interpretados como percentuais da forma 12,41%, por
exemplo, que faz sentido para populac¸o˜es grandes.
Questa˜o 2 (1.0 pt) Se a marca B lanc¸ar uma ofensiva publicita´ria e conseguir fazer com que um
quinto das pessoas que compram apenas a marca A passem a comprar a marca B, qual Sera´ o
aumento percentual de clientela da marca B?
Soluc¸a˜o: No item anterior, encontramos os seguintes percentuais:
Com isso, a marca B tem, hoje, 12
100
· t+ 12
100
· t = 24
100
· t compradores. Se a campanha publicita´ria da
marca B conseguir captar um quinto dos 60
100
· t compradores exclusivos da marca A, ela representara´
um aumento de
1
5
· 60
100
· t = 12
100
· t
novos clientes.
O aumento percentual sera´ o nu´mero de novos clientes dividido pelo nu´mero de clientes antigos, isto
e´,
12
100
· t
24
100
· t =
1
2
=
50
100
= 50%.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 3, 4 e 5 a` seguir.)
Diga se cada propriedade abaixo e´ va´lida para todos os nu´meros reais a e b, justificando.
Questa˜o 3 (0.5 pt) Se a < b enta˜o a2 < b2.
Soluc¸a˜o: A afirmac¸a˜o e´ FALSA!
Ela na˜o vale, por exemplo, para a = −1 e b = 0. Temos, neste caso, a < b, pore´m a2 > b2, pois
a2 = (−1)2 = 1 e b2 = 0.
Questa˜o 4 (0.5 pt) Se a2 < b2 enta˜o a < b.
Soluc¸a˜o: A afirmac¸a˜o e´ FALSA!
Ela na˜o vale, por exemplo, para a = 0 e b = −1. Temos, neste caso, a2 < b2, mas a > b.
Questa˜o 5 (0.5 pt) a2 > a.
Soluc¸a˜o: A afirmac¸a˜o e´ FALSA!
Tome, por exemplo, a = 1
2
. Teremos a2 =
(
1
2
)2
= 1
2
22
= 1
4
< 1
2
= a.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
Questa˜o 6 (2.0 pt) Racionalize a e b e ordene, do menor para o maior, os treˆs nu´meros reais
a =
4
1−√5 , b =
4
1 +
√
5
e c = 1.
Soluc¸a˜o: Racionalizando a, temos
a =
4
1−√5 =
4
1−√5 ·
1 +
√
5
1 +
√
5
=
4(1 +
√
5)
1− 5 =
4(1 +
√
5)
−4 = −(1 +
√
5) = −
√
5− 1.
Racionalizando b, temos
b =
4
1 +
√
5
=
4
1 +
√
5
· 1−
√
5
1−√5 =
4(1−√5)
1− 5 =
4(1−√5)
−4 = −(1−
√
5) =
√
5− 1.
Observe que a < 0, logo a < c. Por outro lado, como
√
5 >
√
4 = 2, temos
b =
√
5− 1 > 2− 1 = 1 ∴ b > c.
Com isso, temos
a < c < b.
Questa˜o 7 (1.5 pts) : Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, os
nu´meros reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2(x− 1)2 − (x− 2)
(
2x− 1
2
)
> (2x− 1)(2x+ 1)
Soluc¸a˜o:
2(x− 1)2−(x− 2)
(
2x− 1
2
)
> (2x− 1)(2x+ 1) ⇔ 2(x2 − 2x+ 1)−
(
2x2 − x
2
− 4x+ 1
)
> (2x)2 − 1
⇔ 2x2 − 4x+ 2−2x2+x
2
+4x−1 > 4x2 − 1
⇔ 2x2 − 4x+ 2−2x2+x
2
+4x−1− 4x2 + 1 > 0
⇔ −4x2 + x
2
+ 2 > 0
⇔ −8x2 + x+ 4 > 0
Por um erro de sinal no enunciado, a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o na forma de intervalo ou unia˜o finita de
intervalos na˜o e´ poss´ıvel com os conteu´dos selecionados para a AP1. O crite´rio de correc¸a˜o a ser
adotado levara´ em conta este fato.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 8, 9 a` seguir.)
Considere o conjunto P de todas as palavras da l´ıngua portuguesa e o conjunto N dos nu´meros
naturais. Denote por C o conjunto definido por
C = {(n, p) ∈ N× P | n e´ menor ou igual ao nu´mero de letras ’a’ na palavra p}.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 5
Como exemplos, os pares (1, bala) e (2, bala) pertencem a C, mas (3, aurora) na˜o pertence a C.
Suponha ainda que a folclo´rica palavra inconstitucionalissimamente, com 27 letras, seja a maior da
l´ıngua portuguesa.
Questa˜o 8 (2.0 pts) Classifique em verdadeira ou falsa, cada uma das proposic¸o˜es abaixo:
p: “∀(n, p) ∈ C, n < 28”
q: “∀(n, p) ∈ C, n < 100”
r: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 28”.
s: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 3”.
Soluc¸a˜o:
p: “∀(n, p) ∈ C, n < 28”
A afirmativa e´ VERDADEIRA!
Seja (n, p) ∈ C. Como p pode ter, no ma´ximo, 27 letras, tera´ no ma´ximo 27 letras ’a’.
Assim, se a e´ o nu´mero de letras ’a’ de p, teremos a 6 27.
Mas, como (n, p) ∈ C, temos n 6 a 6 27 < 28.
q: “∀(n, p) ∈ C, n < 100”
A afirmativa e´ VERDADEIRA!
Seja (n, p) ∈ C. Pelo item anterior, n < 28, logo n < 100.
r: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 28”.
A afirmativa e´ FALSA!
Como p e´ verdadeira, se (n, p) ∈ C, temos n < 28. Logo, na˜o existe (n, p) ∈ C com n = 28.
s: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 3”.
A afirmativa e´ VERDADEIRA!
Veja que (3, arara) ∈ C, pois 3 e´ menor ou igual ao nu´mero de letras ’a’ de ’arara’.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 6
Questa˜o 9 (0.5 pts) Se A = {(32, p) | p ∈ P}, determine A ∩ C.
Soluc¸a˜o: Seja A = {(32, p) | p ∈ P}.
Se (n, p) ∈ A, temos n = 32.
Se, por outro lado, (n, p) ∈ C, temos n < 28 (afirmac¸a˜o p acima).
Como estas duas condic¸o˜es na˜o podem acontecer simultaneamente (na˜o se pode ter n = 32∧n < 28),
nenhum par (n, p) pode pertencer a A e C simultaneamente. Assim, A ∩ C = ∅.
Fundac¸a˜oCECIERJ Conso´rcio CEDERJ