Autovalores e autovetores

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Autovalores e Autovetores
T(x)=A xTransformação linear
• Seja a matriz A e os seguintes vetores u e v apresentados
como se segue.
• E sejam as seguintes transformações operadas em A que
resultam em:
Definições
• Seja A uma matriz de ordem nxn
• O número λ é o autovalor (eigenvalue) de A se existe um vetor
não-zero v tal que
A v = λ v
• Neste caso, o vetor v é chamado de autovetor (eigenvector) 
de A correspondente a λ.
quando A=I
= -
2x-4y=0
x=2y



























































0
1
2
3
0
3
6
)0(3)1(4)2(2
)0(3)1(5)2(1
)0(3)1(2)2(4
0
1
2
342
351
324



























































1
0
3
3
3
0
9
)1(3)0(4)3(2
)1(3)0(5)3(1
)1(3)0(2)3(4
1
0
3
342
351
324




































0
1
2
1
0
3
3
342
351
324
xxA 
Calculando Autovalores e Autovetores
Diagonalização de Matrizes
Matriz dos autovetores: P= 



1
1



1
2
Calculemos D=P-1 A P







32
45
A
Os autovalores são 





7
1


1
1
1





 aassociadoautovetor 7
1
2





 aassociadoautovetor
Calculemos D=P-1 A P
















11
21
3
1
11
21
3
11P 













 
ac
bd
P
P
dc
ba
P
)det(
11




1
1
P


1
2
3)det( P





















)3)(1()4)(1()2)(1()5)(1(
)3)(2()4)(1()2)(2()5)(1(
3
1
32
45
11
21
3
11AP





77
21
3
1





















)1)(7()2)(7()1)(7()1)(7(
)1)(2()2)(1()1)(2()1)(1(
3
1
11
21
77
21
3
11 PAP 





 
70
01
1 PAPD
A matriz é diagonal e contem aos autovalores