Inversão de Matrizes

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Inversão de Matrizes
Definição.
A B = I → B=A-1
Exemplo: 
Determinar , caso exista, uma matriz 
inversa de A
A = 2 51 3
A = 2 51 3 �	
 = B =
� 
� �
A B = I
2 51 3
� 
� � = 1 00 1
2� + 5� 2
 + 5�� + 3� 
 + 3� = 1 00 1
2� + 5� = 12
 + 5� = 0� + 3� = 0
 + 3� = 1
�2� + 5� = 1� + 3� = 0 �
2
 + 5� = 0
 + 3� = 1
� = 3				
 = −5 � = −1				� = 2
�	
 = B = 3 −5−1 2
Exemplo: 
Determinar , caso exista, uma matriz inversa 
de A
A = 6 38 4
A = 6 38 4 �	
 = B =
� 
� �
A B = I 6 38 4
� 
� � = 1 00 16� + 3� 6
 + 3�8� + 4� 8
 + 4� = 1 00 1
�6� + 3� = 18� + 4� = 0 �
6
 + 3� = 08
 + 4� = 1
�2� + � = 1/32� + � = 0 �
2
 + � = 02
 + � = 1/4
Sistema de equações não tem solução
A não tem inversa
Calcule a inversa da matriz A, 
definida como:
Resposta.
Operações ElementaresOperações ElementaresOperações ElementaresOperações Elementares
Dada a matriz A de ordem mxn, chaman-se operações 
elementares as seguintes ações:
Operações ElementaresOperações ElementaresOperações ElementaresOperações Elementares
Operações ElementaresOperações ElementaresOperações ElementaresOperações Elementares
• Ex.
A= 
−3 2 50 1 68 4 −2 	
1. �
 ↔ ��
8 4 −20 1 6−3 2 5 	
• Ex.
A= 
−3 2 50 1 68 4 −2 	
2. 	�� ← −3��
−3 2 50 −3 −188 4 −2 	
• Ex.
A= 
−3 2 50 1 68 4 −2 	
3. 	�� ← �� + 2��
−3 2 516 9 28 4 −2 	
Se ao aplicar uma sequencia de operações 
elementares a uma matriz �, obtemos uma matriz �, 
dizemos que � é equivalente de � (� ∼ �).
• A matriz � é inversível se e somente se, � ∼ !.
• Se � é inversível, a mesma sucessão de operações 
elementares que transforman � em !, transforman! na inversa de �
�� ← −2�
 + ���� ← −�
 + ��
�� ← 2�� + ��
�� ← "−1#��
�
 ← �
 − 3���� ← �� + 3��
�
 ← �
 − 2��
• Ex. Aplicando operações elementares determinar 
�	
de �= 
3 1 2
−1 0 3
4 2 −5
• Ex. 
Como a terceira linha é nula concluímos 
quer A não tem inversa
Propriedades da Inversão de Matrizes
1. Se A é inversível , então (A-1)-1 = A.
(dado que A A-1= A-1 A=I)
2. Se A e B são inversíveis, então A B é inversível
e
(A B)-1 =A-1 B-1
3. Se A é inversível, então (AT)-1 =(A-1)T
Ex. Sabendo que A e B são matrizes inversíveis
determinar a matriz X
1. A X = B
2. (A X)T = B
1. A X = B
2. (A X)T = B