Apostila Cálculo I 2018

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Pertence a: 
 
 
_____________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES, LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Referencial didático para o desenvolvimento da 
disciplina de Cálculo l 
 
 
Elaboração e Organização: 
Profa. Msc. Maricélia Soares 
mssoares@anhembi.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO PAULO 
2018 
 
 
 
-2- 
 
SUMÁRIO 
 
UNIDADE 1: Funções – Ferramental Matemático para todas as Áreas 
1. Introdução ....................................................................................................................................... 
2. Função polinomial do 1° grau ............................................................................................................ 
3. Função polinomial do 2° grau ............................................................................................................ 
4. Função Exponencial ......................................................................................................................... 
4.1. Definição ................................................................................................................................. 
4.2. Gráfico da Função Exponencial ......................................................................................... 
4.3. Função exponencial de base e ........................................................................................... 
4.3.1. Comparação entre bases de uma função exponencial ........................................................... 
5. Função Logarítmica ............................................................................................................... 
5.1. Definição ...................................................................................................................... 
5.2. Gráfico da Função Logarítmica ......................................................................................... 
5.3. Função logarítmica de base e ............................................................................................ 
 
UNIDADE 2: Limites e Continuidade de Funções 
1. Introdução ............................................................................................................................ 
2. Sucessões ou Sequências ........................................................................................................ 
3. Convergência de Sucessões ..................................................................................................... 
4. Limite de Funções ................................................................................................................. 
4.1. Limites Laterais ............................................................................................................. 
4.2. Definição de Limites ....................................................................................................... 
4.3. Formas Indeterminadas .................................................................................................... 
4.4. Limites Infinitos ............................................................................................................. 
4.5. Limites nos Extremos do Domínio ..................................................................................... 
4.6. Propriedades Operatórias dos Limites ................................................................................. 
4.7. Notações Simbólicas Operacionais ..................................................................................... 
5. Continuidade de uma Função ................................................................................................... 
 
UNIDADE 3: Teoria das Derivadas 
1. Introdução ............................................................................................................................ 
2. O que não varia hoje em dia ................................................................................................... 
2.1. Taxa de Variação Média .................................................................................................. 
2.2. Taxa de Variação Instantânea e Derivada ............................................................................ 
3. O Conceito de Derivada .......................................................................................................... 
3.1. Derivada de uma Função num Ponto .................................................................................. 
3.2. Função Derivada ............................................................................................................ 
 
 
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43 
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55 
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3.3. Interpretação Geométrica da Derivada ................................................................................ 
4. Derivada das Principais Funções Elementares ............................................................................. 
4.1. Derivada da Função Constante .......................................................................................... 
4.2. Derivada da Função Potência ............................................................................................ 
4.3. Derivada da Função Logarítmica ....................................................................................... 
4.4. Derivada da Função Seno e Função Cosseno ........................................................................ 
4.5. Derivada da Função Exponencial ....................................................................................... 
5. Propriedades Operatórias ........................................................................................................ 
6. Derivada da Função Composta - Regra da Cadeia ........................................................................ 
 
 
UNIDADE 4: Aplicações das Derivadas 
1. Introdução ............................................................................................................................ 
2. Análise de Funções: Crescimento, Decrescimento e Concavidade ................................................... 
2.1. Funções Crescentes e Decrescentes .................................................................................... 
2.2. Concavidade .................................................................................................................. 
2.3. Pontos de Inflexão .......................................................................................................... 
2.3.1. Pontos de Inflexão em Aplicações ................................................................................... 
3. Taxa de Variação .................................................................................................................. 
4. Problemas de Otimização ........................................................................................................ 
4.1. Uma Aplicação à Economia .............................................................................................. 
 
UNIDADE 5: Integrais Indefinidas e Técnicas de Integração 
1. Introdução ....................................................................................................................................... 
2. Integral Indefinida ............................................................................................................................2.1. Definição 1 ............................................................................................................................... 
2.2. Teoremas ................................................................................................................................. 
2.3. Definição 2 ............................................................................................................................... 
2.4. Propriedades da Integral Indefinida ............................................................................................ 
2.5. Tabela de Integrais Imediatas ..................................................................................................... 
2.6. Aplicações Práticas ................................................................................................................... 
2.6.1. Movimento em Linha Reta ..................................................................................................... 
3. Métodos ou Técnicas de Integração ................................................................................................... 
3.1. Método de Integração por Substituição ou Mudança de Variável .............................................. 
3.2. Método de Integração por Partes ........................................................................................ 
3.2.1. Cálculo da Integral de ln(x) ............................................................................................ 
3.2.2. Curiosidade ................................................................................................................. 
 
56 
59 
59 
59 
60 
61 
61 
62 
64 
 
 
 
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66 
66 
69 
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73 
75 
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83 
 
 
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93 
93 
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94 
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97 
98 
104 
104 
111 
114 
115 
 
 
-4- 
 
UNIDADE 6: Integrais Definidas e Aplicações 
1. O Problema da Área ............................................................................................................... 
2. O Método dos Retângulos para Encontrar Áreas .......................................................................... 
3. A Integral Definida ................................................................................................................ 
3.1. Definição ...................................................................................................................... 
3.2. Propriedades da Integral Definida ...................................................................................... 
4. Teorema Fundamental do Cálculo ............................................................................................. 
5. Cálculo de Áreas ................................................................................................................... 
5.1. Diretrizes para achar a área de uma região Rx ...................................................................... 
5.2. O caso em que a função é da forma x = f(y) ......................................................................... 
5.3. Diretrizes para achar a área de uma região Ry ...................................................................... 
5.4. Área da região limitada por mais de duas curvas ................................................................... 
 
Referências Bibliográficas .......................................................................................................... 
 
118 
119 
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120 
121 
121 
123 
124 
124 
125 
125 
 
133 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-5- 
 
UNIDADE 1 – FUNÇÕES: 
Ferramental Matemático para todas as Áreas 
 
 
1. Introdução 
 
Na disciplina de Fundamentos de Ciências Exatas você já estudou as funções polinomiais de 1º e 2º grau, 
importantes elementos para o Cálculo e, portanto, neste tópico, faremos apenas uma revisão de seus aspectos 
algébricos e geométricos. 
 
 
2. Função polinomial do 1° grau 
 
 
 
 
Definição: Uma função chama-se função afim ou função 
polinomial do 1º grau quando existem dois números reais a e 
b tais que f(x) = ax + b, para todo x  R. 
 
Casos particulares da função afim 
• Função linear: f: R  R definida por f(x) = ax para todo x 
 R. Nesse caso, a  0 e b = 0. 
Exemplos: 
a) f(x) = 3x b) f(x) = -2x 
 
 
• Função constante: f: R  R definida por f(x) = k para todo 
x  R, onde k é uma constante real. 
 Exemplo: a) f(x) = 2 
 
 
 
 
• Função afim: f: R  R definida por f(x) = ax + b, 
para todo x  R. Nesse caso, a  0 e b  0. 
Exemplos: 
a) f(x) = 2x + 1 
 
 
 
b) f(x) = -3x + 2 
 
 
 
-6- 
 
3. Função polinomial do 2° grau 
 
 
 
 
Definição: Uma função chama-se função quadrática ou 
função polinomial do 2º grau quando existem três números 
reais a, b e c, com a  0, tais que f(x) = ax2 + bx + c, para todo 
x  R. 
 
Parâmetros a, b e c: 
Vamos estudar os efeitos dos parâmetros a, b e c na parábola, 
que é o gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c. 
• Parâmetro a: responsável pela abertura e concavidade da 
parábola. 
Se a > 0, a concavidade é para cima. 
 
Se a < 0, a concavidade é para baixo. 
 
Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a 
abertura da parábola (mais “fechada”), independente da 
concavidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Parâmetro b: indica se a parábola intersecta o eixo 
y no ramo crescente ou decrescente da parábola. 
Se b > 0, a parábola intersecta o eixo y no ramo 
crescente. 
 
 
Se b < 0, a parábola intersecta o eixo y no ramo 
decrescente. 
 
Se b = 0, a parábola intersecta o eixo y no vértice. 
 
 
• Parâmetro c: indica o ponto onde a parábola 
intersecta o eixo y. 
 
A parábola intersecta o eixo y no ponto de coordenadas 
(0, c), ou seja f(0) = c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-7- 
 
 
 
 
Pontos Notáveis da Parábola: 
• Raiz(es) ou Zero(s) da Função: é(são) o(s) ponto(s) de 
intersecção da parábola com o eixo x (se existirem). 
A partir das raízes resultantes da equação ax2 + bx + c = 0, 
temos alguns casos a considerar: 
 > 0 (duas raízes reais e distintas) 
a > 0 
(concavidade para cima) 
 
 
 
 
 
 
 
a < 0 
(concavidade para baixo) 
 
 = 0 (duas raízes reais e iguais) 
a > 0 
(concavidade para cima) 
 
 
 
 
 
 
 
a < 0 
(concavidade para baixo) 
 
 < 0 (não há raízes reais) 
a > 0 
(concavidade para cima) 
 
 
 
 
 
 
 
a < 0 
(concavidade para baixo) 
 
 
Fórmula resolutiva para determinar as raízes de uma equação 
do 2º grau (Fórmula de Bháskara): 
 
a2
b
x


, sendo 
ac4b2 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Vértice da Parábola: determina valores de máximo, 
ou de mínimo, de uma determinada situação problema 
que seja descrita por uma função quadrática. 
a4
y 
a2
b
x vv


 
 
• Intersecção da parábola com os eixos 
coordenados: 
Exemplos: 
a) f(x) = x2 – 2x + 1 
 
 
b) f(x) = -4x2 + 1 
 
 
c) f(x) = x2 + 2x + 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-8- 
 
Teste seus Conhecimentos (10,0 pontos – 1,0 cada) 
 
T1. (UFPE) Planeja-se construir duas estradas em uma 
região plana. Colocando coordenadas cartesianas na 
região, as estradas ficam representadas pelas partes dos 
gráficos da parábola y = -x2 + 10x e da reta y = 4x + 5,com 2  x  8. Qual a soma das coordenadas do ponto 
representando a interseção das estradas? 
a)  20 
b)  25 
c)  30 
d)  35 
e)  40 
 
T2. Um camponês adquire um moinho ao preço de R$ 
860,00. Com o passar do tempo, ocorre uma depreciação 
linear no preço desse equipamento. Considere que, em 6 
anos, o preço do moinho será de R$ 500,00. Com base 
nessas informações, é correto afirmar que: 
a)  
Em nove anos, o preço do moinho será 
múltiplo de 9. 
b)  
Em três anos, o moinho valerá 50% do 
preço de compra. 
c)  
É necessário um investimento maior que 
R$ 450,00 para comprar esse equipamento 
após sete anos. 
d)  
Serão necessários dez anos para que o valor 
desse equipamento seja inferior a R$ 
200,00. 
e)  
O moinho terá o valor de venda ainda que 
tenha decorrido treze anos. 
 
T3. (UFMG) A função f(x) do segundo grau tem raízes -3 
e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x), é 
igual a 8. A única afirmativa verdadeira sobre f(x) é: 
a)  
)3x)(1x(2y 
 
b)  
)3x)(1x(y  
 
c)  
)3x)(1x(2y 
 
d)  
)3x)(1x(y 
 
e)  
)3x)(1x(2y 
 
 
T4. A temperatura T de um forno (em graus centígrados) 
é reduzida por um sistema a partir do instante de seu 
desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão 
T(t) = 
400
4
t 2

, com t em minutos. Por motivos de 
segurança, a trava do forno só é liberada para abertura 
quando o forno atinge a temperatura de 39ºC. Qual o 
tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o 
forno, para que a porta possa ser aberta 
a)  19,0 
b)  19,8 
c)  20,0 
d)  38,0 
e)  39,0 
 
T5. O lucro diário L é a receita gerada R menos o custo 
de produção C. Suponha que, em certa fábrica, a receita 
gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pelas 
funções R(x) = 60x – x2 e C(x) = 10(x + 40), sendo x o 
número de itens produzidos no dia. Sabendo que a fábrica 
tem capacidade de produzir até 50 itens por dia, considere 
as seguintes sentenças: 
 
I. O número mínimo de itens x que devem ser 
produzidos por dia, para que a fábrica não tenha 
prejuízo, é 10. 
II. A função lucro L(x) é crescente no intervalo [0, 25]. 
III. Para que a fábrica tenha o maior lucro possível, deve 
produzir 30 itens por dia. 
IV. Se a fábrica produzir 50 itens num único dia, terá 
prejuízo. 
 
Assinale a alternativa correta: 
 
 
 
-9- 
 
a)  As sentenças II e IV são verdadeiras. 
b)  As sentenças I, III e IV são verdadeiras. 
c)  As sentenças I, II e IV são verdadeiras. 
d)  As sentenças I e II são verdadeiras. 
e)  As sentenças II e III são verdadeiras. 
 
T6. (UFPR) Um grupo de estudantes decidiu viajar de 
ônibus para participar de um encontro nacional. Ao 
fazerem uma pesquisa de preços, os estudantes receberam 
de uma empresa a seguinte proposta, na qual o preço de 
cada passagem depende do total de passageiros: cada 
passageiro pagará R$ 90,00 mais o valor de R$ 5,00 por 
lugar que eventualmente ficar vago no ônibus. Sabendo 
que o ônibus tem 52 lugares, é incorreto afirmar que: 
a)  
Se viajarem 30 passageiros, cada um deles 
pagará R$ 200,00. 
b)  
Se o total de passageiros for x, o preço (em 
reais) de cada passagem será calculado pela 
expressão y = 90 + 5·(52 – x). 
c)  
Se viajarem 40 pessoas, a empresa deverá 
receber um total de R$ 6.000,00, referente 
ao pagamento das passagens. 
d)  
Se viajarem x pessoas, o valor total (em 
reais) que a empresa deverá receber, 
referente ao pagamento das passagens, é 
calculado pela expressão y = 300x – x2. 
e)  
O valor total máximo que a empresa poderá 
receber pelo pagamento das passagens 
ocorrerá quando o total de passageiros for 
igual a 35. 
 
T7. Carlos trabalha como DJ e cobra uma taxa fixa de R$ 
100,00, mais R$ 20,00 por hora, para animar uma festa. 
Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$ 
55,00, mais R$ 35,00 por hora. Calcule o tempo máximo 
de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel 
não fique mais cara que a de Carlos. 
 
a)  9 h 
b)  8 h 
c)  7,5 h 
d)  3 h 
e)  2,5 h 
 
T8. (PUC-SP) Às 8 horas de certo dia, um tanque, cuja 
capacidade é de 2.000 litros, estava cheio de água; 
entretanto, um furo na base desse tanque fez com que a 
água por ele escoasse a uma vazão constante. Sabendo 
que às 14 horas desse mesmo dia o tanque estava com 
apenas 1.760 litros. O tanque atingiu a metade da sua 
capacidade total após: 
a)  25 h 
b)  15 h 
c)  12 h 
d)  10 h 
e)  6 h 
 
T9. A função L(x) = -100x2 + 1200x – 2700 representa o 
lucro de uma empresa, em milhões de reais, onde x é a 
quantidade de unidades vendidas. Nesse contexto, 
considere as seguintes afirmações: 
I. Se vender apenas 2 unidades, a empresa terá lucro. 
II. Se vender exatamente 6 unidades, a empresa terá lucro 
máximo. 
III. Se vender 15 unidades, a empresa terá prejuízo. 
Está(ão) correta(s) apenas: 
a)  I 
b)  II 
c)  III 
d)  I e II 
e)  II e III 
 
T10. (Vunesp -SP) Duas pequenas fábricas de calçados, A e 
B, têm fabricado, respectivamente, 3.000 e 1.100 pares de 
sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A 
aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por 
 
-10- 
 
mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção 
em 290 pares por mês, a produção da fábrica B superará 
a produção de A a partir de: 
a)  Março 
b)  Maio 
c)  Julho 
d)  Setembro 
e)  Novembro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Confira as respostas com a professora e atribua sua nota. 
 
 A B C D E Pontuação 
01 1,0 
02 1,0 
03 1,0 
04 1,0 
05 1,0 
06 1,0 
07 1,0 
08 1,0 
09 1,0 
10 1,0 
Nota: 
 
 
 
-11- 
 
4. Função Exponencial 
 
 
4.1. Definição: Dado um número a (a > 0 e a  1), denomina-se função exponencial de base a toda função f: R  
R
∗
+
 definida por f(x) = ax ou y = ax. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico da função corta o eixo dos y = b, pois para x = 0, tem-se y = b. Não corta o eixo x, pois não se pode 
ter y = 0 para nenhum valor de x. 
Exemplos: a) 
x2)x(f 
 b) x
2
1
)x(f 






 c) 
x4)x(f 
 
 
4.2. Gráfico da Função Exponencial 
 
A construção de gráficos de funções exponenciais segue dois modelos: quando o valor da base é maior que 1 
(a > 1) e quando o valor da base está entre 0 e 1 (0 < a < 1). 
Observe os exemplos: 
a) f(x) = 2x b) x
2
1
)x(f 






 
x -2 -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 2 
f(x) 
4
1
 
2
1
 1 2 4 f(x) 4 2 1 
2
1
 
4
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As restrições a > 0 e a  1 dadas na definição são necessárias, pois: 
• Para a = 0 e x negativo, não existiria ax (não teríamos uma função definida em R). 
• Para a < 0 e x = 
1
2
, por exemplo, não haveria ax (não teríamos uma função em R). 
• Para a = 1 e x qualquer número real, ax = 1 (função constate). 
 
 
 
 
 
 
-12- 
 
Os dois tipos de gráficos possuem características semelhantes, essas são características para qualquer gráfico 
de função exponencial. 
No entanto, algumas particularidades devem ser observadas, quando à base da função. 
Observe que no exemplo (a) a função y = 2x, é crescente. Isso ocorre sempre que a base for maior que 1. 
Observe tambémque quanto menor for o valor de x mais o gráfico da função se aproxima da reta suporte do eixo x, 
sem, no entanto, atingi-la. 
No exemplo (b), a função x
2
1
y 






, é decrescente. Isso ocorre sempre que a base estiver entre 0 e 1. Neste 
caso, quanto maior for o valor de x mais o gráfico da função se aproxima do eixo x, sem, no entanto, atingi-lo. 
Assim, pela observação das tabelas e dos gráficos dos exemplos acima, podemos concluir que, para uma função 
exponencial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As ideias desenvolvidas no estudo da função exponencial f(x) = ax podem ser aplicadas em outras funções em 
que a variável aparece no expoente, como por exemplo: 
• f(x) = 2·3x 
• f(x) = 5x–2 
• f(x) = 5x – 2 
 
4.3. Função exponencial de base
e
 
 
É uma função dada por y = ex, com 
Rx
. 
A função Exponencial de Base e (e  2,718281828... – número de Euler – constante matemática) é chamada 
função Exponencial Natural. 
Na Matemática, o número de Euler, denominado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a 
base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Neper, constante de 
Neper, número neperiano, número exponencial etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na 
tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. 
 
 
 
• D(f) = R, CD(f) = R
∗
+
, Im(f) = R
∗
+
, f(1) = a. 
• O gráfico é uma figura chamada curva exponencial, que passa por (0, 1). 
• O gráfico não toca o eixo x e não tem pontos nos quadrantes III e IV. 
• Para a > 1 a função é crescente. 
• Para 0 < a < 1, a função é decrescente. 
• A função exponencial é ilimitada superiormente. 
 
 
 
 
 
-13- 
 
4.3.1. Comparação entre bases de uma função exponencial 
 
As fórmulas de cálculo ficam simplificadas quando escolhemos para base aquela para a qual resulta uma reta 
tangente y = ax + b no ponto (0,1) com uma inclinação exatamente igual a 1. 
Esse número existe realmente e é denotado pela letra e: o número de Euler. O número e é o valor de n
n
1
1 






para n com valores muito grandes e aparece em fórmulas de Matemática Financeira ou em problemas envolvendo 
crescimentos exponenciais. As calculadoras científicas possuem uma tecla que facilita o cálculo. 
Observando as figuras seguintes, não nos surpreende que o número e esteja entre 2 e 3 e o gráfico de y = ex, 
entre o de y = 2x e o de y = 3x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-14- 
 
Exercícios de Aprendizagem 
 
 
01. Identifique as seguintes funções como crescentes (C) ou decrescentes (D): 
a) 
x4)x(f 
 e) x
5
1
)x(f 






 
b) 
 x01,0)x(f 
 f) 
 x3)x(f 
 
c) x
2
2
)x(f









 g) x
3
4
)x(f 






 
d) 
x2)x(f 
 h) x
3
2
)x(f








 
 
02. Construa o gráfico das seguintes funções, apresentando domínio e imagem: 
a) 
x3)x(f 
 b) x
4
1
)x(f 






 
 
03. O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 7.000 e cresce a uma taxa de 3% ao ano. 
a) Qual o número de habitantes daqui a 8 anos? 
b) Qual o número de habitantes daqui a 30 anos? 
 
04. O PIB (Produto Interno Bruto) de um país este ano é de 600 bilhões de dólares, e cresce exponencialmente a 
uma taxa de 5% ao ano. Qual o PIB daqui a 5 anos? 
 
05. Um automóvel novo vale R$ 20.000,00. Sabendo-se que ele sofre uma desvalorização de 15% ao ano: 
a) qual seu valor daqui a 5 anos? 
b) Seja y o valor do carro a x anos. Faça o gráfico de y em função de x. 
 
06. Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado a juros compostos durante 1 ano e meio à taxa de 2% ao mês. Qual será 
o montante? Lembre-se de que M = C(1 + i)t. 
 
07. Daqui a t anos o valor de uma máquina (em milhares de dólares) será 
t)8,0(50V 
 
a) Qual seu valor hoje? 
b) Faça o gráfico de 
V
em função de 
t
. 
 
08. Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não 
desintegrada da substância é S = S02-0,25t, em que S0 representa a quantidade de substância que havia no início. Qual 
é o valor de t para que a metade da quantidade inicial se desintegre? 
 
 
-15- 
 
 
09. Complete a tabela abaixo e observe o gráfico: 
x y = ex
 
-2 
-1 
0 
1 
2 
 
 
 
10. Suponha que após t meses de experiência um operário consiga montar p peças por hora. Suponha ainda que 
t4,0e2040p 
. 
a) Quantas peças ele montava por hora quando não tinha experiência? 
b) Quantas peças montará por hora após 2,5 meses de experiência? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-16- 
 
Respostas dos Exercícios 
 
Questão 01 
a) Crescente 
b) Decrescente 
c) Decrescente 
d) Decrescente 
e) Decrescente 
f) Crescente 
g) Crescente 
h) Crescente 
 
Questão 02 
a)
 x3)x(f 
 b) x
4
1
)x(f 






 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 03 
a) 8.867 habitantes 
b) 16.991 habitantes 
 
Questão 04 
765,77 bilhões 
 
Questão 05 
a) R$ 8.874,11 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 06 
R$ 14.282,46 
 
Questão 07 
a) 50 mil dólares. 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 08 
4 segundos 
 
Questão 09 
x 
y = 
ex
 
-2 0,14 
-1 0,37 
0 1 
1 2,72 
2 7,39 
 
Questão 10 
a) 20 peças por hora. 
b) Aproximadamente 33 peças por hora. 
 
 
 
 
 
 
 
-17- 
 
5. Função Logarítmica 
 
5.1. Definição 
Chama-se função logarítmica toda função f: R
∗
+
  R, tal que f(x) = loga x, com a  R
∗
+
 e a  1. 
Observe, na definição, que o domínio de uma função logarítmica é R
∗
+
, ou seja, somente os números positivos 
possuem logaritmo. 
Quanto ao conjunto imagem da função logarítmica temos que qualquer número real é logaritmo de algum 
número real positivo, em uma certa base, portanto o conjunto imagem é R. 
Exemplos: 
• f(x) = log2 x • f(x) = 
xlog
2
1
 • y = log x 
• f(x) = 
xlog
3
2
 • f(x) = log0,2 • f(x) = 
xlog
2
 
 
5.2. Gráfico da Função Logarítmica 
 
Assim como na função exponencial, também a construção de gráficos de funções logarítmicas segue dois 
modelos: quando o valor da base é maior que 1 (a > 1) e quando o valor da base está entre 0 e 1 (0 < a < 1). 
Observe os exemplos: 
a) f(x) = log2 x b) f(x) = 
xlog
2
1
 
x 
8
1
 
4
1
 
2
1
 1 2 4 8 x 
8
1
 
4
1
 
2
1
 1 2 4 8 
f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 -1 -2 -3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que no exemplo (a) a função y = log2 x, é crescente. Isso ocorre sempre que a base for maior que 1. 
No exemplo (b), a função y =
xlog
2
1
, é decrescente. Isso ocorre sempre que a base estiver entre 0 e 1. 
 
 
 
-18- 
 
Assim, pela observação das tabelas e dos gráficos dos exemplos anteriores, podemos concluir que, para uma 
função logarítmica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3. Função logarítmica de basee
 
 
 É a função dada por 
xlny 
, com 
x
 > 0. 
 
x y = ln(x)
 
0,14 -2 
0,37 -1 
1,00 0 
2,72 1 
7,39 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• D(f) = R
∗
+
, CD(f) = R, Im(f) = R, f(1) = 0. 
• O gráfico é uma figura chamada curva logarítmica, que passa por (1, 0). 
• O gráfico não toca o eixo y e não tem pontos nos quadrantes II e III. 
• Para a > 1 a função é crescente. 
• Para 0 < a < 1, a função é decrescente. 
 
 
 
 
 
 
-19- 
 
Exercícios de Aprendizagem 
 
 
01. Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos: 
a) 
0,2log25
 
b) 
0,25log2
 
 
c) 
0,01log
 
d) 
5log625
 
 
e) 
128log2
 
f) 
2log128
 
 
g) 
1000log
 
h) 
15log15
 
 
 
02. Resolva as seguintes equações logarítmicas: 
a) logx (3x
2 – x) = 2 b) log(x + 2) (20 – 2x) = 2 
c) 
45)4x(xlog 2
2
1 
 d) 
1x)(xlog 212 
 
 
03. Um explorador descobriu na selva amazônica uma espécie nova de planta e, pesquisando-a durante anos, 
comprovou que o seu crescimento médio variava de acordo com a fórmula 𝐴 = 40 ∙ (1,1)𝑡, em que a altura média 𝐴 
é medida em centímetros e o tempo 𝑡 em anos. Verificou também que seu crescimento estaciona após 20 anos, abaixo 
de 3 metros. Determine: 
a) a altura média, em centímetros, de uma planta dessa espécie aos 3 anos de vida; 
b) a idade, em anos, na qual a planta tem uma altura média de 1,6 m. 
 
04. A expressão N(t) = 150020,2t permite o cálculo do número de bactérias existentes em uma cultura, ao completar 
t horas do início de sua observação (t = 0). Após quantas horas da primeira observação haverá 250.000 bactérias 
nessa cultura 
a)  37 b)  35 c)  30 d)  27 e)  25 
05. A intensidade de um terremoto na escala Richter é definida por 









0E
E
log
3
2
I
, em que E é a energia liberada 
pelo terremoto, em quilo-watt-hora (kWh), e E0 = 10
-3 kWh. A cada aumento de uma unidade no valor de I, o valor 
de E fica multiplicado por: 
a)  10 b)  7 c)  
3
20
 
d)  2310 e)  2110 
06. A desintegração nuclear é regida pela equação exponencial 
t
0eNN

, em que  é uma constante, N0 é a 
quantidade inicial e N é a quantidade após um tempo t. A equação que fornece o tempo, em qualquer instante, é: 
a)  
eln)NN(-λt 0 
 b)  









eN
N
t
0
 c)  
eN
N
t
0

 d)  











0N
N
ln
1
t
 e)  


eN
N
t
0
 
 
 
 
-20- 
 
Questão Desafio! O corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 22 horas. Às 22h30min o médico da 
polícia chegou e imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de 32,5 oC. Uma hora mais tarde, tomou a 
temperatura outra vez e encontrou 31,5 oC. A temperatura ambiente foi mantida constante a 16,5 oC. Admita que a 
temperatura normal de uma pessoa viva seja 36,5 oC e suponha que a lei matemática que descreve o resfriamento do 
corpo é dada por 
)t2(
0 2D)t(D
 
em que t e o tempo em horas, D0 é a diferença de temperatura do cadáver com 
o meio ambiente no instante t = 0, D(t) é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente no instante t 
qualquer e  é uma constante positiva. Os dados obtidos pelo médico foram colocados na tabela seguinte: 
 Hora 
Temperatura do 
corpo (oC) 
Temperatura do 
quarto (oC) 
Diferença de 
temperatura (oC) 
t =  morte 36,5 16,5 D(t) = 20 
t = 0 22h30min 32,5 16,5 D(0) = D0 = 16 
t = 1 23h30min 31,5 16,5 D(1) = 15 
 
Analisando os dados apresentados, determine: 
a) a constante ; 
b) a hora em que a pessoa morreu. 
 
 
Respostas dos Exercícios 
 
Questão 01 
a) 







2
1
S 
c) 
 2S  
e) 
 7S 
 
g) 







2
3
S
 
b) 
 2S 
 
d) 







8
1
S
 
f) 







7
1
S
 
h) 
  1 S
 
 
Questão 02 
a) 







2
1
S 
c) 
 3 ,7S 
 
b) 
 2S 
 
d) 
 4 ,3S 
 
 
Questão 03 
a) A = 53,24 cm 
b) t = 14,7 anos 
Questão 04: A 
 
Questão 05: D 
 
Questão 06: D 
 
Questão Desafio: 
a) 
20
1

 
b) 19h17min 
 
 
 
 
-21- 
 
UNIDADE 2: 
Limites e Continuidade de Funções 
 
Infinitos e indivisíveis transcendem nosso entendimento finito: 
 o primeiro por conta de sua magnitude, o segundo pela sua pequenez; 
imagine o que eles são quando combinados! 
Galileu Galilei (1564-1642) 
 
1. Introdução 
 
O objetivo desta unidade é discutir a definição de limite de diferentes formas. Inicialmente apresenta-se a 
noção intuitiva usando exemplos de sucessões numéricas. Em seguida apresentamos tabelas e gráficos que auxiliam 
na visualização do limite da função. A definição formal é apresentada propiciando a demonstração de propriedades 
que serão usadas no cálculo de limites e, finalmente, é apresentado o conceito de continuidade das funções. 
 
2. Sucessões ou Sequências 
 
Em alguns conjuntos a ordem em que os elementos aparecem é importante, nos remetendo ao conceito de par 
ordenado. Do mesmo modo, podemos estender esse conceito para triplas, quádruplas etc. ordenadas. Quando 
afirmamos que um conjunto está ordenado, queremos dizer que existe um primeiro elemento, um segundo elemento 
e assim por diante. Na realidade, o que fazemos é colocar esse conjunto em correspondência com o conjunto dos 
números naturais, ou parte deste. 
Assim, chamamos de sucessão (ou sequência) a toda função real cujo domínio é o conjunto dos números 
naturais ou parte deste. 
 
Exemplos: 
 
Exemplo 01: Seja a sucessão dada por 
n
1
)n(f 
 com n  N*. As imagens são dadas por: 
1
1
1
)1(f 
; 
2
1
)2(f 
; 
3
1
)3(f 
; 
4
1
)4(f 
, etc. 
Tal função é dada por: 
























... ,
4
1
,4 ,
3
1
,3 ,
2
1
,2 ),1,1(
. 
Habitualmente costuma-se representar uma sucessão escrevendo-se ordenadamente suas imagens. Assim, a 
sucessão dada nesse exemplo pode ser representada por: 






... ,
4
1
 ,
3
1
 ,
2
1
 ,1
. 
 
Exemplo 02: Consideremos a sucessão dada por 
1n
n
)n(f


. Ela pode ser representada por: 






... ,
5
4
 ,
4
3
 ,
3
2
 ,
2
1
. 
 
 
Exemplo 03: A sucessão (1, 2, 3, 4, 5, ...) é definida por 
n)n(f 
 em que n  N*. 
 
 
Exemplo 04: A sucessão (-1, -3, -5, -7, ...) é definida por 
)1n2()n(f 
 em que n  N*. 
 
Exemplo 05: A sucessão (-1, 2, -3, 4, -5, ...) é definida por 
n)1()n(f n 
 em que n  N*. 
 
 
-22- 
 
3. Convergência de Sucessões 
 
Dizemos que uma sucessão converge para um número fixo se, à medida que n aumenta, o valor de f(n) se 
aproxima desse valor fixo. Formalmente, podemos dizer que uma sucessão (f(1), f(2), f(3), ...) converge para um 
número fixo a se para todo intervalo I centrado em a existir um número natural k tal que as imagens f(k + 1), f(k + 
2), f(k + 3), ... pertencem todas a I. 
Tomemos novamente a sequência do Exemplo 1: 






... ,
4
1
 ,
3
1
 ,
2
1
 ,1
. É fácil perceber que à medida que n cresce, 
a sucessão se aproxima de 0. De fato, se tomarmos o intervalo I1 = ]-0,5; 0,5[ veremos que f(3), f(4), f(5), ... são todos 
elementos quecaem em I1. 
Se tomarmos outro intervalo centrado em 0, por exemplo, I2 = ]-0,1; 0,1[ veremos que f11 = 0,0909, f12 = 
0,0833, f13 = 0,0769 etc. são todos elementos que caem em I2. 
Qualquer intervalo centrado em 0, por menor amplitude que tenha, permite encontrar um termo a partir do qual 
os elementos da sucessão caem dentro do intervalo. 
Se observarmos a sucessão do Exemplo 3, veremos que à medida que n aumenta, os valores de f(n) não 
convergem para nenhum valor fixo. Diremos que tal sucessão diverge. 
Entre as sucessões divergentes, existem aquelas em que à medida que n aumenta, os valores de f(n) conseguem 
superar qualquer valor fixado; dizemos que essas sucessões divergem para mais infinito; é o caso do Exemplo 3. 
Pode ocorrer que à medida que n aumenta, os valores de f(n) conseguem ficar abaixo de qualquer valor fixo, 
por menor que ele seja; dizemos que essas sucessões divergem para menos infinito; esse é o caso do Exemplo 4. 
Existem ainda as sucessões divergentes que não divergem nem para mais nem para menos infinito: é o caso 
do Exemplo 5. 
 
Observações: 
1) Quando uma sucessão convergir para certo valor a, mas sempre por valores menores do que a, dizemos que a 
sucessão converge para a pela esquerda. Assim, por exemplo, a sucessão 







,...
1n
n
 ..., ,
5
4
 ,
4
3
 ,
3
2
 ,
2
1
 converge 
para 1 pela esquerda. Analogamente, temos sucessões que convergem para a pela direita e ainda aquelas que 
convergem para a oscilando, isto é, tanto pela esquerda como pela direita. 
 
2) Dado um número a qualquer, é geralmente possível construir sucessões que convirjam para esse valor. Assim, 
por exemplo, dado o número 3, a sucessão 






 ... ;
10
1
 3 ..; ;.001,3 ;01,3 ;1,3
n
converge para 3 pela direita, ao passo 
que a sucessão 






 ... ;
10
1
 3 ..; ;.999,2 ;99,2 ;9,2
n
converge para 3 pela esquerda. 
 
 
 
 
 
-23- 
 
Exercícios de Aprendizagem 
 
 
01. Nas sucessões abaixo, escreva a função definidora de cada uma: 
a) (1, 4, 9, 16, 25, ...) d) (0, 5, 10, 15, 20, ...) 
b) (-1, 2, -3, 4, -5, 6, ...) e) 






... ,
27
1
 ,
9
1
 ,
3
1
 ,1
 
c) (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...) f) (0,1; 0,01; 0,001; ...) 
 
02. Das sucessões abaixo, quais são convergentes (e para quais números convergem) e quais são divergentes? 
a) 
n
2
)n(f 
 
b) 
2
1n
)n(f


 
c) 
1n
1n
)n(f
2 


 
d) 
1n
1n2
)n(f
2
2



 
e) 
n
2
3
n
)n(f 
 
f) 
n
1n
)n(f
2 

 
g) 4
n
1
1)n(f 






 
h) 
1n
1n
)n(f
2 


 
i) 
n1n)n(f 
 
j) 





 

n
1n
)1()n(f n
 
 
k) 







n
1
)1()n(f n
 
l) 








ímparn para ,
n
1n5
parn para ,
n
1n5
)n(f
 
 
 
Respostas dos Exercícios 
 
Questão 01 
a) 
2n)n(f 
 (divergente) 
b) 
n)1()n(f n 
 (divergente) 
c) 
1n2)n(f 
 (divergente) 
d) 
)1n(5)n(f 
 (divergente) 
e) 1n
3
1
)n(f








(converge para 0) 
f) 
n)1,0()n(f 
 (converge para 0) 
Questão 02 
a) Converge para 0. 
b) Divergente. 
c) Converge para 0. 
d) Converge para 2. 
e) Converge para 0. 
f) Divergente. 
g) Converge para 1. 
h) Converge para 0. 
i) Converge para 0. 
j) Divergente. 
k) Divergente. 
l) Converge para 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
-24- 
 
4. Limite de Funções 
 
4.1. Limites Laterais 
 
Exemplo 01: Seja a função 
2x)x(f 
 e uma sucessão qualquer que convirja para 2 pela direita ou pela esquerda. 
Calculando f(x) para cada um dos infinitos valores à direita de 2 dados pela sucessão (2,1; 2,01; 2,001; ...), teremos 
por exemplo: 
f(2,1) = (2,1)2 = 4,41 f(2,01) = (2,01)2 = 4,0401 f(2,001) = (2,001)2 = 4,004001 
Observa-se desta forma, que a medida que x aproxima-se de 2 pela direita a imagem f(x) aproxima-se de 4, e 
escreve-se: 
4)xlim( )x(flim
2x
2
2x

 
 
 
De outro modo, se x for assumindo os infinitos valores à esquerda de 2 dados pela sucessão (1,9; 1,99; 1,999; 
...), teremos para f(x): 
f(1,9) = (1,9)2 = 3,61 f(1,99) = (1,99)2 = 3,9601 f(1,999) = (1,999)2 = 3,9960010 
Onde os valores de x ao aproximar-se de 2 pela esquerda produz imagens f(x) cada vez mais próximas de 4. 
 
4)xlim( )x(flim
2x
2
2x

 
 
 
Quando os limites laterais (pela direita e pela esquerda) são iguais, diz-se que o limite da função no ponto é dado 
por esse valor comum e indica-se por: 
 
4)xlim( 
2x
2 

 
 
Exemplo 02: Considere a função definida por 






3x se 2x2
3x se 2x 
)x(f
 . 
Fazendo x aproximar-se de 3 pela direita e pela esquerda, observa-se que os limites laterais apresentam valores 
diferentes. Isto permite concluir sobre a inexistência do limite da função no ponto x considerado. 
Vejamos: Se x assumir pela esquerda os valores da sucessão (2; 2,5; 2,9; 2,99; ...), teremos: 
f(2) = 2 + 2 = 4 f(2,5) = 2,5 + 2 = 4,5 f(2,9) = 2,9 +2 = 4 f(2,99) = 2,99 +2 = 4,99 
Repetindo o procedimento para a sucessão de valores à direita de 3 dada por (4; 3,5; 3,01; 3,001; ...), teremos: 
f(4) = 24 + 2 = 10 f(3,5) = 2(3,5) + 2 = 9 f(3,1) = 2(3,1) +2 = 8,2 
f (3,01) = 2(3,01) + 2 = 8,02 f(3,001) = 2(3,001) + 2 = 8,002 
 
8)x(flim de diferente é 5)x(flim
3x3x

 
 
 
-25- 
 
 O esboço gráfico ajuda a concluir sobre a 
inexistência do limite da função no ponto x = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 03: Dada a função 
3x
5
)x(f


 cujo domínio é R – {3}, faça x percorrer pela direita o conjunto (3,1; 
3,01; 3,001; 3,0001; ...) e pela esquerda o conjunto (2,9; 2,99; 2,999; 2,9999; ...) e represente a conclusão por meio 
da forma própria dos limites. 
Solução: 
x assume valores à direita de 3 x assume valores à esquerda de 3 
50
1,0
5
)1,3(f 
 
500
01,0
5
)01,3(f 
 
5000
001,0
5
)001,3(f 
 
50000
0001,0
5
)0001,3(f 
 
50
1,0
5
)9,2(f 
 
500
01,0
5
)99,2(f 
 
5000
001,0
5
)999,2(f 
 
50000
0001,0
5
)9999,2(f 
 
 
Das duas sucessões obtidas, vê-se que x converge para 3, pela direita ou pela esquerda, f(x) tende para mais 
infinito ( +  ). Tal fato pode ser representado por: 
 
 



 
 
3x
5
lim )x(flim )x(flim
3x3x3x
 +  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-26- 
 
4.2. Definição de Limites 
 
 
Seja 
 xf
 uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número 
""a
, exceto possivelmente no 
próprio
""a
. Então, diz-se que o limite de 
 xf
 quando 
x
 tende a 
""a
 
 ax 
 é 
L
, e representa-se por 
  Lxf
ax


lim
 se 
 ax0
 para todo 
0
 há um número correspondente 
0
 tal que 
   Lxf
 sempre 
que 
 ax0
, isto é, se 
   Lxfax0
. 
 
 
Exemplo: Provar que 
  75x4lim
3x


 
Solução: 
 
(a) Encontrar um valor para 

: 
 
Uma análise preliminar do problema indica que se 
0
, deve encontrar-se um 

 tal que 
   75x4
 sempreque 
 3x0
, mas 
   3x43x412x475x4
 sempre que 
 30 x
, 
isto é, 
4
3x


 sempre que 
 3x0
, logo 
4


. 
 
(b) Prova: 
Portanto, dado 
0
, escolhe-se 
4


, e se 
 30 x
, então, 
  




 

4
443x43x412x475x4
 
Assim 
   75x4
 sempre que 
 30 x
, 
portanto 
  75x4lim
3x


 
Na prática é suficiente substituir a variável pelo valor ao qual ela tende, isto é, 
3x
, donde 
 
  75125345x4lim
3x


 
 
Outros exemplos: 
a) 
93xlim 22
3x


 b) 
  277457x5lim
4x


 
Em alguns casos o limite não é tão evidente. Seja a função
 
2x
4x4x3
xf
2



, com 
2x 
, isto é, 
 
0
0
2x
4x4x3
limxf
2
2x





 Indeterminação. 
Neste caso, estudaremos artifícios matemáticos necessários para determinação do limite. 
 
-27- 
 
Exercícios de Aprendizagem 
 
 
01. Para cada função abaixo f(x) e para cada a, calcule (quando existir) 
)x(flim e )x(flim ),x(flim
axaxax  
: 
 
a) 
2 ,)( 3  axxf
 
b) 
3 ,12)(  axxf
 
c) 
0 ,
3
5
)( 


 a
x
x
xf
 
d) 
2 ,
3
5
)( 


 a
x
x
xf
 
e) 
3 , 
3 se ,8
3 se ,12
)( 





 a
x
xx
xf
 
f) 
0 , 
0 se ,
0 se ,
)(
2






 a
xx
xx
xf
 
g) 
2 , 
2 se ,7
2 se ,2
)( 





 a
x
xx
xf
 
h) 
7 ,43)(  axxf
 
i) 
2 ,
2
)( 

 a
x
x
xf
 
j) 
4
 ),()(

 axsenxf
 
k) 
0 ),1log()(  axxf
 
 
02. Calcule os limites: 
a) 
)5x7x4( lim 2
1 x


 
b) 
x35
3x2x
 lim
2
3 x 


 
c) 3
2
2
2 x 4x3x
5x2x3
 lim 










 
d) 
4x5
3x3x2
 lim
2
1 x 


 
e) 
3
23
2 x 3x4
3xx5x3
 lim



 
f) 
x46
2x3x2
 lim
2
2 x 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas dos Exercícios 
 
 
Questão 01 
a) 8; 8; 8 
b) 7; 7; 7 
c) 
3
5
;
3
5
;
3
5

 
d) -7; -7; -7 
e) 7; 7; 7 
f) 0; 0; 0 
g) 7; 4; não existe 
h) 5; 5; 5 
i) 0; 0; 0 
j) 
2
2
;
2
2
;
2
2
 
k) 0; 0; 0 
 
Questão 02 
a) 2 
b) 0 
c) 
8
1
 
d) 
3
2
 
e) 
3
5
39
 
f) -2 
 
 
 
-28- 
 
4.3. Formas Indeterminadas 
 
Consideremos a função 
4x
2x
)x(f
2 


e vejamos qual o limite quando x tende a 2; se x tender a 2 pela esquerda 
ou pela direita, notamos que o numerador tende a 0, bem como o denominador. Teríamos então uma fração impossível 
de ser calculada 






0
0
 e que é chamada de forma indeterminada. 
Todavia, observamos que a expressão de f(x) pode ser simplificada ao fatorarmos o denominador, ou seja: 
 
2x
1
)2x()2x(
2x
4x
2x
)x(f
2 







 
Assim sendo, as funções
4x
2x
)x(f
2 


 e 
2x
1
)x(h


 têm um comportamento idêntico (exceto para x = 2, 
em que a 1ª não é definida). 
Ora, no cálculo do limite de f(x), quando x tende a 2, não interessa o que acontece quando x = 2 (pois quando 
x tende a 2 ele é diferente de 2). Assim, no cálculo do limite f(x) e h(x) têm o mesmo comportamento. 
Portanto: 
4
1
2x
1
lim
4x
2x
lim
2x22x






. 
Convém, antes de darmos novos exemplos, lembrarmos algumas fórmulas que auxiliarão no cálculo de limites 
quando na forma indeterminada: 
 
Produtos Notáveis: 
1º) Quadrado da soma entre dois termos: 
222 2)( bababa 
 
2º) Quadrado da diferença entre dois termos: 
222 2)( bababa 
 
3º) Produto da soma pela diferença entre dois termos: 
22)()( bababa 
 
4º) Cubo da soma entre dois termos: 
32233 33)( babbaaba 
 
5º) Cubo da diferença entre dois termos: 
32233 33)( babbaaba 
 
 
Fatorações: 
6º) Fator comum: 
)( yxaayax 
 
7º) Diferença de quadrados: 
)()(22 bababa 
 
8º) Trinômio do 2º grau: 
´ )´(´)(2 xxxxacbxax 
, onde x´ e x´´ são as raízes obtidas pela fórmula de 
Báskara. 
9º) Soma de cubos: 
)()( 2233 babababa 
 
10º) Diferença de cubos: 
)()( 2233 babababa 
 
 
-29- 
 
Conjugado de Radicais 
11º) Conjugado de 
ba 
 é 
ba 
, pois 
    bababa 
. 
12º) Conjugado de 
33 ba 
 é 
3 233 2 baba 
, pois 
babababa  3 233 233 ()(
. 
 
Outros Exemplos: 
 
a) 
0)5x(lim
5x
)5x(
lim
5x
25x10x
lim
5x
2
5x
2
5x







 
b) 
4)5x(lim
)1x(
)5x()1x(
lim
1x
5x6x
lim
1x1x
2
1x







 
c) 
8)8x(lim
x
)8x(x
lim
x
x8x
lim
0x0x
2
0x





 
d) 
4
3
2x
5x
lim
)2x()2x(
)5x()2x(
lim
4x
10x7x
lim
2x2x2
2
2x










 
e) 
6
9x
)3x()x9(
lim
3x
3x
3x
x9
lim
3x
x9
lim
9x9x9x













 
f) 
27)27x9x(lim
x
x27x9x
lim
x
27)27x27x9x(
lim
x
27)3x(
lim 2
0x
23
0x
23
0x
3
0x







 
g) 
1221212xlim
1212x
1212x
1212x
x
lim
1212x
x
lim 2
0x2
2
2
2
0x2
2
0x






 
 
h) 
25
6
x25
6
lim
x25
x2
x
3
lim
)x5()x5(
x2
x
3
lim
x5
1
x5
1
x
3
lim
20x20x0x0x






























 
i) 
0
1
1x
2x
lim
)1x()1x(
)1x()2x(
lim
1x
2xx
lim
1x1x2
2
1x










 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o exemplo (i), acima, diremos, por ora, que o limite não existe, 
porém, vamos abortar situações como esta com maior propriedade no 
próximo tópico, denominado Limites Infinitos. 
 
 
 
 
 
-30- 
 
Exercícios de Aprendizagem 
 
 
01. Obtenha os limites: 
a) 
3x
9x
lim
2
3x 


 
b) 
x7
x49
lim
2
7x 


 
c) 
25x x25
x5
lim



 
d) 
x3x
xx
lim
2
2
0x 


 
e) 
xx2
x
lim
2
3
0x 
 
f) 
1x
3x4x
lim
2
1x 


 
g) 
4x
12x7x
lim
2
4x 


 
h) 
2x3x
1x
lim
21x 


 
i) 
1x
1x2x
lim
2
1x 


 
j) 
4x
2x
lim
22x 


 
k) 
2x
8x
lim
3
2x 


 
l) 
6x5x
27x
lim
2
3
3x 


 
m) 
1x
3x4x
lim
3
2
1x 


 
n) 
2x3x
1x
lim
21x 


 
o) 
1x
1x
 lim
2
1 x 


 
p) 
x2
x4
 lim
2
2 x 


 
q) 
25x2x
35x2x
 lim
2
2
2
1 x 


 
r) 
1x
1x
 lim
2
3
1 x 


 
s) 
2
3
2 x x4
x8
 lim



 
t) 
58x4xx
46x3xx
 lim
23
23
1 x 


 (Questão Desafio!) 
 
 
Respostas dos Exercícios 
 
a) 6 
b) 14 
c) 
10
1
 
d) 
31

 
e) 0 
f) -2 
g) 1 
h) -1 
i) 0 
j) 
4
1
 
k) 12 
l) 27 
m) 
3
2

 
n) 1 
o) 2 
p) 4 
q) 
3
7

 
r) 
2
3
 
s) 3 
t) 1 
 
 
 
 
 
 
-31- 
 
4.4. Limites Infinitos 
 
Consideremos a função 
3x
5
)x(f


definida para todos os reais diferentes de 3. Vejamos o que acontece com 
f(x) nas vizinhanças de 3. Calculemos o limite de f(x) quando x tende a 3 pela direita: vamos atribuir a x os valores 
de uma sucessão que convirja para 3 pela direita, por exemplo: 
...) 3,0001; 3,001; 3,01; ;1,3(
. 
As correspondentes imagens são: 
50
1,0
5
)1,3(f 
, 
500
01,0
5
)01,3(f 
, 
000.5
001,0
5
)001,3(f 
, 
000.50
0001,0
5
)0001,3(f 
. 
Observamos que as imagens vão ficando cada vez maiores, superando qualquer valor fixado. Dizemos, neste 
caso, que o limite de f(x), quando x tende a 3 pela direita, é infinito, e escrevemos: 
 



  3x
5
lim)x(flim
3x3x
. 
 
Analogamente, para calcularmos o limite de f(x) pela esquerda, vamos atribuir a x, por exemplo, os valores: 
...) 2,9999; 2,999; 2,99; ;9,2(
 
As correspondentes imagens são: 
50
1,0
5
)9,2(f 


, 
500
01,0
5
)99,2(f 


, 
000.5
001,0
5
)999,2(f 


, 
000.50
0001,0
5
)9999,2(f 


. 
Observamos que as imagens vão ficando cada vez menores, ficando abaixo de qualquer valor fixado. Dizemos 
que o limite de f(x) é menos infinito, quando x tende a 3 pela esquerda, e escrevemos: 
 



  3x
5
lim)x(flim
3x3x
. 
 
 
 
De um modo geral, o limite de uma função é infinito quando os valores de f(x) vão ficando cada vez maiores, 
superando qualquer valor fixado; da mesma forma, dizemos que o limite de uma função é menos infinito quando os 
valores de f(x) vão ficando cada vez menores, de modo a se situarem abaixo de qualquer valor fixado. 
 
-32- 
 
Exercícios de Aprendizagem 
 
 
 
01. Para cada função f(x) abaixo, calcule 
)(lim xf
ax 
 e 
)(lim xf
ax 
, quando existirem: 
a) 
6 ,
6
4
)( 

 a
x
xf
 
b) 
1 ,
1
3
)( 

 a
x
xf
 
c) 
5 ,
5
2
)( 

 a
x
xf
 
d) 
0 ,
5
)( 

 a
x
x
xf
 
e) 
2 ,
2
)( 

 a
x
x
xf
 
f) 
1 ,
1
)(
2


 a
x
x
xf
 
g) 
0 ,
1
)(  a
x
xf
 
h) 
0 ,
1
)(
2
 a
x
xf
 
 
Respostas dos Exercícios 
 
i) 
0 ,
1
)(
2
 a
x
xf
 
j) 
0 ,
1
)(
3
 a
x
xf
 
k) 
0 ,
1
2)(
2
 a
x
xxf
 
l) 
2 ,
2
3
5)( 

 a
x
xxf
 
m) 
1 ,
)1(
5
)(
2


 a
x
x
xf
 
n) 
1 ,
)1(5
1
)(
2


 a
xx
xf
 
o) 
3 ,
)3(
4
)(
2


 a
x
x
xf
 
p) 
3 ,
)3(4
1
)(
2


 a
xx
xf
 
 
a)  e - 
b) - e  
c)  e  
d)  e - 
e) - e  
f)  e - 
 
 
 
 
 
 
 
 
g)  e - 
h)  e  
i) - e - 
j)  e - 
k)  e  
 
l)  e - 
m)  e  
n)  e  
o)  e  
p)  e  
 
 
-33- 
 
4.5. Limites nos Extremos do Domínio 
 
São os limites em que a variável independente x tende a assumir, em módulo, valores muito grandes positivos 
(+ ) ou negativos (– ). Simbolicamente, teríamos: 
 
 x x
f(x) lim ou )x(flim
 
 
Exemplos: Calcule os limites das funções a seguir e faça o esboço gráfico para cada uma das situações apresentadas: 
a) 






 x
1
 lim
 x
 _______ b) 






 x
1
 lim
 x
 _______ c)


3
 x
 xlim
 _______ 
d)


3
 x
 xlim
 _______ e)


2
 x
 x- lim
 _______ f )


2
 x
 x- lim
 _______ 
 
 
 
• Os limites nos extremos (x tendendo a mais ou menos infinito) podem ser um número real, ou 
ainda podem dar mais ou menos infinito, conforme os exemplos anteriores mostraram. 
• Há funções cujos limites nos extremos não existem, como a função f(x) = sen(x), pois f(x) oscila 
entre -1 e 1 à medida que x tende para mais ou menos infinito. 
• O limite nos extremos de uma função polinomial é igual ao limite de seu termo de maior expoente, pois, colocando-
se esse termo em evidência, todos os outros termos tendem a 0. Isso pode ser constatado no seguinte exemplo: 








3
 x32
3
x
23
 x
2x lim
x2
9
x2
5
x
2
12x lim)9x5x4(2x lim
, 
pois todos os termos (exceto o 1º) entre parênteses tem limite igual a 0 quando x tende a infinito. 
• Como consequência da observação anterior, quando tivermos o limite nos extremos de um quociente de dois 
polinômios, ele será igual ao limite do quociente dos termos do maior expoente do numerador e denominador. Assim, 
por exemplo: 
.2x lim
x2
4x
 lim
17x8x2
9x7x54x 
 lim
 x2
3
 x2
23
 x




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-34- 
 
Exercícios de Aprendizagem 
 
 
01. Calcule os seguintes limites: 
a) 
2 
1
 lim
xx 
 
b) 
2 
1
 lim
xx 
 
c) 
4
 
lim x
x 
 
d) 
4
 
lim x
x 
 
e) 
5
 
3lim x
x 
 
f) 
5
 
3lim x
x 
 
g) 
x
x
e
 
lim
 
h) 
x
x
e
 
lim
 
i) 
)632(lim 34
 


xxx
x
 
j) 
)632(lim 34
 


xxx
x
 
k) 
)632(lim 25
 


xx
x
 
l) 
)632(lim 25
 


xx
x
 
m) 
125
135
 lim
2
24
 

 xx
xx
x
 
n) 
125
135
 lim
2
24
 

 xx
xx
x
 
o) 
1
523
 lim
23
 

 x
xx-
x
 
p) 
3
12
 lim
 

 x
x
x
 
q) 
3
12
 lim
 

 x
x
x
 
r) 
316
225
 lim
  x
x-
x
 
s) 
xx
xx
x 52
13
 lim
2
2
 


 
t) 
3
1
 lim
2 

 x
x
x
 
u) 
1
13
 lim
23
2
 

 x-xx
xx
x
 
v) 
152
14
 lim
2 

 xx
x
x
 
w) 
x
x
x 43
21
 lim
2
 


 
x) 
x
x
x 43
21
 lim
 


 
 
Respostas dos Exercícios 
 
a) 0 
b) 0 
c)  
d)  
e)  
f) -  
g)  
h) 0 
 
i)  
j)  
k)  
l) -  
m)  
n)  
o) -  
p) 2 
q) 2 
r) 
16
25
 
s) 
2
1
 
t) 0 
u) 0 
v) 0 
w)  
x) 
2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-35- 
 
4.6. Propriedades Operatórias dos Limites 
 
 
1. 
         xvvexuuparavlimulimvulim
axaxax


 
 
2. 
      xuuparaulimCuClim
axax


 e 
C
 é uma constante. 
 
3. 
         xvvexuuparavlimulimvulim
axaxax


 
4. 
 
 
 
 
   xvvexuupara
vlim
ulim
v
u
lim
ax
ax
ax









 
5. 
      xuuparaulimulim m
ax
m
ax


 
 
6. 
   xuuparaulimulim m
ax
m
ax


 
7. 
      xuuparaulimloguloglim
ax
aa
ax


 
8. 
          xvvexuuparaulimulim vlim
ax
v
ax
ax  
 
9. 
  ,,0,00,00 


 e 
      0,,0 kk  
 
10. Indeterminações de limites: 



 1,0,,,
0
0
,0, 00
 
 
 
Exemplos: Dadas as funções 
 
)2x(
1
)x(f
2

e 
x3 g(x) 
, calcule os limites indicados, fazendo uso das propriedades 
operatórias: 
 
a) 


)x(flim
2x
 
b) 


)x(glim
2x
 
c) 
2x2x
)x(glim)x(flim


 
d) 
2x2x
)x(glim)x(flim


 
e) 


2
2x
)]x(f[lim
 
f) 
2x2x
)x(glim)x(flim


 
 
 
-36- 
 
4.7. Notações Simbólicas Operacionais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 


 k
 k
 
 
b) 












0k se ,
0k se ,
)(k
0k se ,
0k se ,
)(k
 
 
c) 
0
k


 
 
d) 
 )( n
 






ímpar én se 
par én se 
)( n
 
*N n com 
 
 
e) 






0k se ,
0k se ,
0
k
 
 
f) 





 )( )(
 )( )(
 
 
 
-37- 
 
5. Continuidade de uma Função 
 
 
Intuitivamente, a ideia de função contínua decorre da análise de seu gráfico. Quando o gráfico de uma função 
não apresenta interrupções, dizemos que ela é contínua. Se houver algum ponto em que ocorre a interrupção, dizemos 
que esse é um ponto de descontinuidade. 
A fim de tornarmos mais formal esse conceito, observemos as funções que comparecem na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 a) f1(x) = x2 b) f2(x) = 
2
1
x
 c) f3(x) = 





0 para ,2
0 para ,1
xx
xx
 
 
 
 
 
 
 
 d) f4(x) = 
2
42


x
x
 e) f5(x) = 
x
1
 
 
Temos as seguintes considerações a fazer: 
• Para a função f1(x), cujo gráfico é uma parábola, para qualquer valor real de b temos: 
),()(lim)(lim 111 bfxfxf
bxbx

 
 
ou seja, o limite existe para x tendendo a b, e, além disso, ele é igual ao valor da função em b. 
 
• Para a função f2(x), se calcularmos o limite para x tendendo a zero, veremos que: 
,)(lim)(lim 2
0
2
0

 
xfxf
xx
 
ou seja, o limite existe para x tendendo a 0, mas ele não é igual ao valor da função para x = 0, pois 0 está fora do 
domínio. 
 
• Para a função f3(x), se calcularmos o limite para x tendendo a zero, veremos que: 
,2)(lim e 1)(lim 3
0
3
0

 
xfxf
xx
 
ou seja, não existe o limite da função para x = 0. 
 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
• 
 
-1 2 
1 
2 
x 
y 
2 
4 
x 
y 
 
-38- 
 
• Para a função f4(x), se calcularmos o limite para x tendendo a 2, teremos: 
,4)(lim)(lim 4
2
4
2

 
xfxf
xx
 
ou seja, o limite existe para x tendendo a 2, mas a função não está definida para x = 2. 
 
• Para a função f5(x), se calcularmos o limite para x tendendo a zero, teremos: 
,)(lim e )(lim 5
0
5
0

 
xfxf
xx
 
ou seja, não existe o limite da função para x tendendo a zero. 
 
Pela análise dos gráficos, vemos que, com exceção de f1(x), todas as outras funções apresentam interrupções 
em algum ponto. No caso da função f1(x), o que caracteriza a ausência de interrupções é o fato de o limite existir em 
qualquer ponto b do domínio e, além disso, desse limite ser igual à imagem de b. 
Isso sugere a seguinte definição: 
 
Uma função f(x) é contínua num ponto b do domínio, se: 
).()(lim)(lim bfxfxf
bxbx

 
 
 
Em resumo, temos: 
• f1(x) é contínua em todos os pontos do domínio, • f2(x) é descontínua para x = 0, 
• f3(x) é descontínua para x = 0, • f4(x) é descontínua para x = 2, 
• f5(x) é descontínua para x = 0. 
 
Exemplos: 
Exemplo 01: Verificar se a função 
2
4
)(
2



x
x
xf
 é contínua em x = 3. 
Resolução: Cálculo de 
)3(f
: 
5
43
43
)3(
2



f
. 
Cálculo do 
:)(lim
3
xf
x
 
2
4
lim
2
3 

 x
x
x
 = 
)2(
)2)(2(
lim
3 

 x
xx
x
 = 
)2(lim
3


x
x
 = 5. 
Como 
)(lim
3
xf
x
 = 
)3(f
, 
)(xf
 é contínua no ponto x = 3. 
 
Exemplo 02:Verificar se a função 
1
7
)(



x
x
xf
 é contínua no ponto x = 1. 
Resolução: Como não existe divisão por zero, a função é descontínua em x = 1. 
 
Exemplo 03: Verificar se a função 






3 22
3 2 
)(
xsex
xsex
xf
 é contínua em x =3. 
Resolução: Cálculo de 
)3(f
: Para x = 3, tem-se 
523)3( f
. Contudo, como
5)(lim
3


xf
x
 é diferente de 
,8)(lim
3


xf
x
conclui-se que não existe o limite em x = 3, logo, a função é descontínua. 
 
-39- 
 
 
Exercícios de Aprendizagem 
 
 
 
01. Dada a função
1x
x1
)x(f



, diga se 
)x(f
 é 
contínua nos pontos: 
a) x = 0 b) x = -1 c) x = 2 
 
02. Calcule p de modo que as funções abaixo sejam 
contínuas: 
a) 






3 x3,
3 x,2pxx
)x(f
2 
b) 






-1 x,p
-1 x,p2x
)x(f
2
 
c) 







0 x7,-p
0 x,e
)x(f
3
x2 
 
03. Determine, se existirem, os pontos onde as 
seguintes funções não são contínuas: 
a) 
)7x)(3x(
x
)x(f


 
 
b) 
)x6)(3x()x(f  
c) 
)x(sen21
1
)x(f


 
d) 
10x6x
1x3x
)x(f
2
2



 
 
 
04. Construa o gráfico e analise a continuidade das 
seguintes funções: 
 
a) 






0 xx,
0 x,0
)x(f
 
b) 










2 x1,
-2 x,
2x
4x
)x(f
2
 
c) 








0 x1,-
0 x,
x
x
)x(f
 
d) 






0 xx,-
0 x),1xln(
)x(f
 
e) 
3x4x
3xx3x
)x(f
2
23



 
 
 
 
 
 
 
Respostas dos Exercícios 
 
Questão 01 
a) Sim b) Não c) Sim 
 
Questão 02 
a) 
3
8
p 
 b) p = 1 c) p = 2 
Questão 03 
a) 
3 xe 7x 
 b) x  (3, 6) 
c) 












Zk ,k2
6
7
x
Zk ,k2
6
x
k2
k1 
d) Contínua em todo domínio. 
 
-40- 
 
Exercícios de Revisão da Unidade 2 
 
01. Resolver os limites abaixo: 
a) 
2x
6x5x
lim
2
2x 


 
b) 
2x
4x
lim
2
2x 


 
c) 
1x
1x
lim
2
3
1x 


 
d) 
h
9)h3(
lim
2
0h


 
e) 
h
h42
lim
0h


 
f) 
3
23x 2x6
4x
lim



 
 
 
02. Resolver os limites abaixo: 
a) 
)3x2(lim
 x


 
b) 
)x54(lim
 x


 
c) 
)3x4x5(lim 2
 x


 
d) 
)x4(lim 2
 x


 
e) 
)4x3(lim 3
 x


 
 
 
03. Resolver os limites abaixo: 
a) 










 10x3x2
x7x4
lim
2
3
 x
 
b) 








 1x2
2x11
lim
3 x
 
c) 









 1xx2
1x3x
lim
2
3
 x
 
d) 








 7x5
3x2
lim
 x
 
e) 










 12x4
x121
lim
2
3
x
 
f) 










 x5x3x3
3x2x2
lim
23
3
 x
 
 
 
 
04. Julgue as afirmações: 
I) 


x
x
10lim
 
II) 


x
x
alim
, se 0 < a < 1 
III) 
0)(lim 4 

xx
x 
Assinale a alternativa correta: 
a)  I, II e III são falsas. 
b)  Apenas as afirmações I e II são falsas. 
c)  I, II e III são verdadeiras. 
d)  Apenas as afirmações I e III são falsas. 
e)  Apenas as afirmações II e III são falsas. 
 
05. O 
x9x
3x
lim
29x 


 é igual a: 
a)  
9
1
 
b)  
27
1
 
c)  
243
1
 
d)  
523
1
 
e)  
54
1
 
 
06. Calculando-se 










 2x3x
x2xx
lim
2
23
2x
, obtém-se: 
a)  0 
b)  1 
c)  2 
d)  4 
e)  6 
 
 
 
 
 
 
 
 
-41- 
 
 
07. Seja 







4 xse 2x,k
4 xse ,4x
)x(f
. 
O valor de k para o qual f(x) é contínua em x = 4 é: 
a)  2 
b)  4 
c)  6 
d)  8 
e)  10 
 
 
08. Observe o gráfico da função f(x). É correto afirmar: 
a)  não existe o
)x(flim
2x 
 
b)  
2)x(flim
1x


 
c)  
4)x(flim
4x


 
d)  


)x(flim
6x
 
e)  
5)x(flim
7x


 
 
 
09. Observando o gráfico correspondente à função f(x), 
assinale a única alternativa incorreta: 
a)  
2)x(flim
1x


 
b) 


)x(flim
1x
 
c)  
2)x(flim
1x


 
d)  
2)x(flim
x


 
e)  f(1) = 2 
 
 
 
 
 
 
10. Calcule os limites: 
a) 
)3x5x(lim 2
4 x


 
b) 
4x
3x2
lim
2 x 


 
c) 










x8
3x
1x5
lim
21 x
 
d) 
2x
64x
lim
2 x 


 
e) 
x
4x
lim
8 x


 
f) 
1x
1x
lim
2
3
1- x 


 
g) 
2x3x
1x
lim
2
3
1- x 


 
h) 
4x4x
x2x
lim
2
2
1- x 


 
i) 
3x4x
2x3x
lim
4
3
1 x 


 
j) 
33
2
3x ax
ax)1a(x
lim



 
k) 
h
x)hx(
lim
33
0h

 
l) 








 31x x1
3
x1
1
lim
 
m) 
1x
1x
lim
1x 


 
n) 
4x
8x
lim
364x 


 
o) 
2
33 2
1x )1x(
1x2x
lim



 
p) 
49x
3x2
lim
27x 


 
q) 
2x
8x
lim
38x 


 
r) 
1x
1x
lim
31x 


 
s) 
x51
x53
lim
4x 


 
t) 
x
x1x1
lim
0x


 
u) 
2x2x3
1x4x2
lim
4
23
x 


 
v) 
1xx3
3xx4
lim
34
3
x 


 
x) 
8x3x2
3xx2x4
lim
2
23
x 


 
z) 
1x2
1x2x
lim
2
4
x 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
-42- 
 
Respostas dos Exercícios 
 
 
Questão 01 
a) -1 b) 0 c) 
2
3
 
d) 0 e) 
4
1
 f) 
2
1

 
 
Questão 02 
a) 

 b) 

 c) 

 
d) 

 e) 

 
 
Questão 03 
a) 

 b) 0 c) 

 
d) 
5
2
 e) 

 f) 
3
2

 
 
Questão 04: E 
Questão 05: E 
Questão 06: E 
Questão 07: D 
Questão 08: A 
Questão 09: C 
Questão 10 
a) -1 b) 
6
7
 c) -7 
d) 
12
6
 e) 
4
1
 f) 0 
g) -2 h) 
3
1
 i) 
2
1
 
j) 
2aa39
2

 k)
2x3
 l)
1
 
m)
2
1
 n)
3
 o) 
9
1
 
p)
56
1

 q)
12
 r)
2
3
 
s)
3
1

 t)
1
 u) 0 
v) 0 x)

 z)
2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-43- 
 
UNIDADE 3: 
Teoria das Derivadas 
 
 
1. Introdução 
 
O conceito de derivada foi introduzido em meados dos séculos XVII e XVIII em estudos de problemas de 
Física ligados ao movimento. Entre outros, destacam-se neste estudo o físico e matemático inglês Isaac Newton (1642 
– 1727), o filósofo e matemático alemão Gottfried Leibniz (1646 – 1716) e o matemático francês Joseph-Louis 
Lagrange (1736 – 1813 – nasceu em Turim, na Itália, mas viveu praticamente toda sua vida na França). 
As ideias preliminarmente introduzidas na Física foram aos poucos sendo incorporadas a outras áreas do 
conhecimento. Dessa forma, muitos fenômenos que variam, como a velocidade de um foguete, a inflação de uma 
moeda, o número de bactérias em uma cultura, a intensidade do tremor de um terremoto, a voltagem de um sinal 
elétrico, e assim por diante, utilizam o conceito de derivada. 
 
2. O que não varia hoje em dia 
 
Campanhas de combate ao desperdício de água anunciam: uma torneira aberta deixa vazar 4 litros por minuto. 
Esse é um bom exemplo para refletir sobre o significado da taxa de variação. 
Se a vazão da torneira é constante, isto é, se não há aumentos ou diminuição no valor de 4 litros por minuto, a 
taxa de variação da vazão é nula. A partir disso, vamos avaliar outro tipo de taxa de variação: do nível do reservatório 
em que a água é depositada. Para isso, imagine dois formatos diferentes de reservatório (Figura 01). Quatro litros de 
água em um reservatório no formato de um cilindro reto (trataremos por reservatório I), por exemplo, atingem uma 
altura menor do que essa mesma quantidade de água colocada em um reservatório no formato cônico (reservatório 
II). 
 
 
 
 
Imagine o nível H de água aumentando em cada reservatório à medida que o tempo passa e pense no gráfico 
que poderia ser feito para cada reservatório, relacionando o nível de água ao tempo decorrido: 
Reservatório I Reservatório II 
 Fi
g
u
ra
 0
1
 -
 R
es
er
v
at
ó
ri
o
s 
d
e 
Á
g
u
a 
 
 
-44- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reservatório I Reservatório II 
 
 
O nível da água no reservatório I aumenta de forma linear. Isso significa que o nível da água tem nesse 
reservatório um aumento constante. Esse aumento medido em relação a determinado intervalo de tempo é a taxa de 
variação do nível H. Com isso, a taxa de variação do nível H da água é constante para o reservatório I. 
O formato do reservatório II, cuja área da secção transversal aumenta à medida que nos afastamos da base, faz 
com que o nível da água aumente rapidamente no início e mais lentamente depois. Por exemplo, se no primeiro 
intervalo de 1 minuto H passar de 0 para 2 cm, no minuto seguinte não passará de 2 cm para 4 cm, pelo contrário, 
atingirá, certamente, menos do que 4 cm. Dessa forma, a taxa de variação do nível de água diminui de valor com 
o passar do tempo. 
A medida da variação de alguma grandeza dá informações precisas e instantâneas para a análise das causas de 
algum fenômeno e, a partir delas, projetam-se inferências. Em alguns casos, interessa que a taxa de variação de 
determinada grandeza seja grande e em outros que ela seja nula. 
Alguém com dinheiro aplicado num investimento deseja que a taxa de variação mensal do investimento seja, 
em primeiro lugar, positiva, isto é, que seu capital aumente. Em segundo lugar, o investidor quer ainda que essa taxa 
seja a maior possível, pois assim