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MATEMÁTICA FINANCEIRA Com uso HP-12-C Prof. Thomaz Junior Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 2 PROGRAMA � Porcentagem e Fatores � Juros Simples: – Juros; – Montante; – Fluxo de Caixa. � Desconto Simples: – Racional (por dentro); – Comercial (por fora); – Bancário; � HP-12C-Apresentação. � Taxas Efetivas e Nominais. � Juros Compostos: – Montante; – Juros; – Fluxo de Caixa; � Convenção Exponencial e Linear � Sistemas de Amortizações: – SAF; – SAC; – Americano; � Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 3 Observações Importantes: 1. Nunca poderemos comparar valores em tempos diferentes. 2. Seja em regime de capitalização Simples ou Composta, nunca podemos entrar em fórmulas com taxas percentuais. Deveremos trabalhar com taxas unitárias. 3. Taxas Unitárias são as taxas percentuais divididas por 100. 4. Cuidado com o uso, correto, de fatores de aumento (>1) ou diminuição (<1). Porcentagem e Fatores (Conceitos Básicos) 1) Calcular 15% de 640. 2) Um equipamento de valor R$ 640,00 tem aumento de 15%. Qual o valor do novo preço? 3) Um equipamento de valor R$ 640,00 pode ser adquirido com um desconto de 15%. Qual o valor do preço com desconto? 4) Um equipamento tem seu preço reajustado de R$ 500,00 para R$ 625,00. Qual o percentual de reajuste? 5) Uma mercadoria tem seu preço reajustado de R$ 625,00 para R$ 500,00. Qual o percentual de reajuste? 6) Qual o percentual acumulado após aumentos sucessivos de 30% e 45%? 7) Em um período de três meses, o preço de certa mercadoria sofreu reajustes mensais de + 8%; – 5% e + 3%. Qual o porcentual de reajuste acumulado? 8) Certo equipamento teve reajuste de 18% no seu preço, ao longo dos últimos dois anos. Se no primeiro ano o aumento foi de 9,6%, qual o percentual de reajuste no segundo ano? 9) Uma aplicação financeira tem rendimento de 14% em certo período com inflação de 10,4%. Qual o ganho percentual dessa aplicação descontada a inflação? Questões de Concursos 1) (Sefaz–SP) Um investidor aplicou o capital de R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo investidor foi de (A) R$ 25.800,00 (B) R$ 26.400,00 (C) R$ 26.460,00 (D) R$ 27.000,00 (E) R$ 27.060,00. Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 4 2) (FR–MS) Em 1998 um fundo de investimentos rendeu 25%; no acumulado entre 1998 e 1999 este fundo rendeu 48%. Podemos afirmar que, em 1999, o fundo rendeu: (A) menos de 18%; (B) entre 18% e 19%; (C) entre 19% e 20%; (D) mais de 20%. 3) (AAP–PREVIRIO) Uma aplicação semestral foi remunerada à taxa de 30%. Se nesse período a inflação foi de 25% ganho real desse investimento corresponde a: (A) 3,5% (B) 4,0% (C) 4,5% (D) 5,0% 4)(FR-MS) A taxa de inflação acumulada em 1999 medida pelo IGP-M foi de 20,10%. Um investidor afirma ter auferido, em uma aplicação financeira, um rendimento real de 12% ao longo de 1999, usando o IGP-M como índice de inflação. Sua taxa efetiva de juros auferida em 1999 foi de aproximadamente: (A)34,5% (B) 33,8% (C) 33,1% (D) 32,1% 5)(SEFAZ–AM) Um capital aplicado por dois anos rendeu 154,10% em juros mais atualização monetária calculada com base nas variações do IGP. Considerando uma variação do IGP de 40% e 50% para o primeiro e segundo anos, respectivamente, a taxa real obtida nos dois anos foi: (A)7,7% (B) 21,0% (C) 44,1% (D) 64,1% (E) 110,0% 6)(AFR–SP) Um investidor aplicou R$ 80.000,00 no início de um determinado ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$ 98.280,00, esgotando totalmente seu crédito referente a esta operação. Sabe-se que a taxa de inflação referente ao primeiro ano da aplicação foi de 5% e ao segundo, 4%. Então, a correspondente taxa real de juros, no período desta aplicação, foi de: (A)11,25% (B) 12,5% (C) 12,85% (D) 13,65% (E) 13,85% 7)(Contador–CEAL) Um investidor aplica R$ 20 000,00 em uma determinada data e resgata o montante de R$ 23 320,00 depois de um ano. Se a taxa real de juros deste investimento foi de 10%, tem-se que a taxa de inflação neste período de aplicação foi igual a: (A)6,0% (B) 6,6% (C) 7,2% (D) 7,8% (E) 8,4%. 8)(Infraero) Um capital de valor igual a R$ 10.000,00 é aplicado durante um ano apresentando, no final, um montante igual a R$ 11.275,00. Se a taxa real de juros correspondente a esta aplicação foi de 10%, tem-se que a inflação no período considerado foi de: (A) 1,75% (B) 2,00% (C) 2,25% (D) 2,50% (E) 2,75%. 9)(AFR-SP) A inflação acumulada nos dois últimos anos foi de 18%. Então, a queda em poder de compra (perda real) de um trabalhador que teve apenas 6% de reajuste salarial durante esse tempo foi de, aproximadamente: Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 5 (A)12% (B) 11% (C) 10% (D) 9% (E) 8% 10)(AF–GO) Com uma inflação anual de 12% admitindo-se que o salário foi corrigido em 8%, a variação real do poder de compra de um assalariado é de – 3,57%. (B) + 3,57% (C) – 3,70% (D) + 3,70% (E) – 4,00% Gabarito: 1. E 2. B 3. B 4. A 5. B 6. B 7. A 8. D 9. C 10. A Aplicações Práticas 1. José aplicou $50.000, na caderneta de poupança por um mês. A poupança rende TR “mais” 0,5% ao mês. Se a TR foi de 0,2%, qual o valor do resgate? Resp.: $50.350,50 2. Um cliente fez um empréstimo de $ 150.000, por um ano, ao custo da variação cambial “mais” 4% ao ano. No mesmo dia aplicou o dinheiro à taxa de 12% ao ano, pelo mesmo prazo. Calcule: a) O resultado financeiro, considerando uma alta do dólar de 20%. Resp.:- $19.200, b) O resultado financeiro considerando uma queda do dólar de 10%. Resp.:$27.600, c) A variação cambial que torna o resultado financeiro igual a zero. R:7,69% 3. Um gerente de investimentos comprou 1.000 ações ordinárias de uma empresa da área de energia, no dia 1º de janeiro de 2011, ao preço de R$ 15,00 por ação. Essa empresa distribuiu dividendos de R$ 5,50 por ação ordinária em 1º de outubro de 2011. Logo após recebê-los, o gerente vendeu todas as ações ao preço unitário de R$ 12,10. Qual o retorno percentual do investimento no período de aplicação? Caso houvesse uma inflação acumulada no período de 1,58%, qual seria o percentual do Ganho Real? Juros Simples No regime de juros simples, o juro é calculado sobre o capital inicial , proporcionalmente ao número de capitalização. J=C.i.n Onde; J = Juros, rendimentos. C=P=Capital ou Principal. i=Taxa. n=prazo. Exemplo: Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 6 Calcular o juro produzido por um capital de $ 100.000, aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples de 2% a.m. J = C x i x n J = 100.000 x 0,02 x 6 J = $ 12.000,00 Montante Simples A soma de Capital (C) e Juros (J) chama-se Montante (M), e pode ser calculado de duas formas. M = C + J M = C(1 + i.n) Exemplo: 1. Calcular o montante de um capitalde $ 100.000, aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples de 2% a.m. – Forma de cálculo 1: M = C + J M = 100.000 + 12.000 = $ 112.000 – Forma de cálculo 2: M = C x (1 + i x n) M = 100.000 x (1 + 0,02 x 6) M = $ 112.000 Exercícios Resolvidos de Juros Simples 1. Qual a im proporcional de juros de 14,4% a a? 0,144/12=0,012 = (x 100) 1,2% a m 2. Calcular o montante da aplicação de $85.000,00, aplicados por 7 meses à taxa de 2,5% a m? Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 7 M=C(1 + i. n) = 85.000,00(1 + 0,025. 7) M=$ 99.875,00 3. Um empréstimo de $ 3.480,00 foi resgatado 5 meses depois pelo valor de $ 3.949,80.Calcular a taxa mensal e anual de juros linear da operação? M = C + J = 3.949,80 = 3.480,00 + J J = $ 469,80 Como J = C.i.n, teremos: i = J .(1 / C.n ) logo: i = 469,80 /(3.480 x 5) = 0,027 = 2,7 % a m i = 2,7 x 12 = 32,4% a a 4. O valor de resgate de um título é 140% maior que o valor da aplicação. Sendo 30% a a a taxa de juros linear,calcular o prazo da aplicação? C = 1; J = 1,4; i = 30% a.a. (0,3); n = ? J =C. i.n Logo: n = J (C. i) n = 1,4 = 56 (1 x 0,30/12) n = 56 meses 5. Uma mercadoria é oferecida por $130,00 a vista ou com 20% de entrada e um pagamento de $106,90 em 30 dias. Qual o juro linear cobrado na compra? Preço à vista: 130,00. Entrada: 26,00 (130,00 x 20%). Saldo: 104,00 (130,00 – 26,00) para 30 dias. Porém, a segunda parcela terá Juros (J =M – C) Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 8 Podemos resolver de duas maneiras: M = C(1 + i.n) i = (M/C) – 1 n i = (106,90/104) – 1 = 0,0279 = n i =2,79% a m J = C.i.n 2,90 = 104 x i x 30 i = 2,9 = 0,0009295 =(x 100) 0,09295% a d 104 x 30 i = 0,09295 x 30 i =2,79% a m 6. Uma empresa possuiu as seguintes obrigações junto ao seu parceiro financeiro: • $22.000,00 em 2 meses; • $57.000,00 em 5 meses; • $90.000,00 em 7 meses. Hoje, a empresa verifica a impossibilidade de honrar tais compromissos e deseja renegociar as dívidas propondo substituir por dois pagamentos iguais, vencíveis ao final do 6º e 8º mês. Sendo de 3,7% a m a taxa de juros linear e a data base hoje (n=0), calcular o valor dos pagamentos? Sendo de 3,7% ao mês (0,037) a taxa de juros simples, temos: 22.000 + 57.000 + 90.000 = (1+0,037x2) (1+0,037x5) (1+0,037x7) X + X = (1+0,037x6) (1+0,037x8) 140.070,74= 0,818. X + 0,772. X 140.070,74=1,59. X Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 9 X= $ 88.094,81 Exercícios Propostos de Juros Simples Questões Básicas de Juros Simples 1) Determine os juros e o montante da aplicação de R$ 4.000,00 por 5 meses à taxa de juros simples de 3% ao mês. 2) Se R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples de taxa 10% ao semestre por 2 anos e 6 meses, qual o montante? 3) Determine o montante da aplicação de R$ 4.000,00 a juros simples de taxa 48% ao ano, por 5 meses. 4) O capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a juros simples comerciais de taxa 6% ao mês durante 20 dias. Calcule o montante dessa aplicação. 5) O capital de R$ 5.000,00 é aplicado durante um ano e meio a juros simples rendeu R$ 1.800,00. Qual a taxa mensal da aplicação? 6) A aplicação de R$ 3.000,00 a juros simples de taxa mensal igual a 6% gerou montante igual a R$ 3.420,00. Determine o prazo da aplicação. 7) Um artigo de preço à vista igual a R$ 700,00 pode ser adquirido com entrada de 20% mais um pagamento para 45 dias. Se o vendedor cobra juros simples de 8% ao mês, qual o valor do pagamento devido? 8) Um artigo pode ser comprado à vista com 10% de desconto ou em 2 vezes iguais, “sem juros”, sendo a primeira prestação no ato e a segunda em 30 dias. Qual a taxa de juros mensais cobrada efetivamente pelo vendedor? 9) Uma duplicata de R$ 600,00, vencida em 10/04/09, somente foi paga em 22/06/09. Admitindo-se que o banco cobre juros simples exatos de 60% ao ano, calcule o montante desembolsado pelo devedor. 10)Os capitais de R$ 800,00, R$ 1.000,00 e R$ 600,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 90, 120 e 100 dias, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais. Questões de Concursos de Juros Simples 1)(Susep) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros simples durante seis meses e meio a uma taxa de 3% ao mês. Obtenha o montante ao fim do prazo. (A) R$ 2.360,00 (B) R$ 2.390,00 (C) R$ 2.420,00 (D) R$ 2.423,66 (E) R$ 2.423,92 Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 10 2)(TRF) Indique qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 3,6% ao mês rende R$ 96,00 em 40 dias. (A) R$ 2.000,00 (B) R$ 2.100,00 (C) R$ 2.120,00 (D) R$ 2.400,00 (E) R$ 2.420,00 3)(Sefaz–SC) Um Capital de $ 1.000,00 ficou aplicado durante 135 dias, alcançando no final deste período o montante de $ 1.450,00. Calcule a taxa mensal de juros simples que esse capital rendeu e assinale a alternativa que indica a resposta correta. (A) 10,00%. (B) 12,00%. (C) 15,00%. (D) 17,00%. (E) 21,00%. 4)(CEF) Um capital foi aplicado a juros simples e, ao completar um período de um ano e quatro meses, produziu um montante equivalente a 7/5 de seu valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de: (A) 2%; (B) 2,2%; (C) 2,5%; (D) 2,6%; (E) 2,8%. 5)(AFR–SP) Uma geladeira é vendida à vista por R$ 900,00, ou a prazo, em duas prestações de R$ 470,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada e a outra 30 dias depois. Então, a taxa mensal de juros efetiva do financiamento é de, aproximadamente: (A) 5%; (B) 6%; (C) 7%; (D) 8%; (E) 9%. 6) (FT–ES) Uma loja de eletrodomésticos vende uma televisão por R$ 1.500,00 à vista. A prazo, a loja vende por R$ 1.800,00, sendo R$ 300,00 de entrada e o restante após 1 ano. Sabendo-se que a loja de eletrodomésticos opera com juros simples, a taxa de juros cobrada, ao ano, é de: (A) 10,00%; (B) 16,66%; (C) 20,00%; (D) 25,00%; (E) 40,00%; 7)(AFTN) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano (1.998). Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos. (A) R$ 705,00 (B) R$ 720,00 (C) R$725,00 (D) R$ 715,00 (E) R$ 735,00. Gabarito: 1.B 2. A 3. A 4. C 5. E 6. D 7. B Qual o valor presente de uma aplicação em juros simples em cinco anos, taxa de juro de 14% ao ano e valor de resgate, único, igual a R$100.000,00? R: $ 58.823,53 Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 11 Um investidor faz empréstimo de R$140.000,00 à taxa de 1,95% ao mês no regime de capitalização simples. Sabendo que o pagamento será feito cinco meses após a contratação do empréstimo, qual o valor a ser pago no final deste período? R: $ 153.650,00 Se aplicarmos a quantia de R$50.000,00 pelo prazo de quatro meses, teremos como remuneração desse capital a quantia de R$4.350,00. Qual é a taxa de juro simplesao mês dessa operação? R: 2,18 % a m. Um agente de mercado aplicou R$45.000,00 em determinado papel. Considerando que a taxa de juro foi de 1,45% ao mês, pelo prazo de 51 dias, calcule, no regime de capitalização simples, o valor de resgate desta operação. Admita que um mês possua 30 dias corridos. R:$ 46.109,25 Um agente financeiro aplicou $ 85.000,00 em um período de 173 dias. Foi totalizada uma quantia de $ 15.500,00 de juros. Qual é a taxa de juro mensal desta aplicação, considerando o regime de capitalização simples? Admita que um mês tenha 30 dias corridos. R: 3,16 % a m. Em quantos meses um capital quintuplica na capitalização simples à taxa de 7,5% ao mês? R: 53,33 meses. Uma empresa toma empréstimo de $ 80.000,00 à taxa de 14,5% ao ano no regime de capitalização simples. Sabendo que a amortização será feita quatro meses após a contratação do empréstimo, calcule o montante a ser pago no final deste período. R: $ 83.866,67 Você aplicou $ 5.000,00 à taxa de juro simples de 13% ao ano. Quantos anos serão necessários para triplicar o valor? R: 15 anos 4 meses e 19 dias Você fez um empréstimo de $ 5.000,00 a uma taxa de juro simples de 12% ao ano a ser pago em dois anos. O valor a ser pago é de: R: $ 6.200,00 Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 12 Taxas Proporcionais Taxas proporcionais são típicas do sistema de capitalização linear (juros simples). Exemplo: 1% a.m. é proporcional a 3% a.t., que é proporcional a 6% a.s., que é proporcional a 12% a.a. Fluxo de Caixa Para que possamos determinar valores de um fluxo de caixa deveremos sempre levar o fluxo para uma data base e para tanto teremos que andar com os valores para frente (MONTANTE=Valor Futuro) ou para trás (PRINCIPAL ou CAPITAL=Valor Presente). Desconto Simples Representa a diferença entre o VN-Valor Nominal (Valor do Título ou Valor de Face) e o VA-Valor Atual (Valor Presente ou Valor Hoje) de um título ou qualquer outro ativo entregue para desconto junto a um parceiro financeiro. Desconto Racional – Dr (“por dentro”) Calculado sobre o Valor Atual Dr = VA. i.n VN = VA. (1 + i.n) Desconto Comercial – Dc (“por fora”) REPRESENTAÇÃO GRÁFICA (DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA) Entradas 0 4.000 4.000 0 6.000 Eixo do tempo ↑↑↑↑ ↑↑↑↑ ↑↑↑↑ ↑↑↑↑ ↑↑↑↑ ↓↓↓↓0 1 2 3 4 ↓↓↓↓5 6 Saídas 11.000 2.144 Por convenção, a flecha no sentido “para baixo” representa uma saída de caixa, e no sentido “para cima” representa uma entrada de caixa. Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 13 Calculado sobre o Valor Nominal Dc = VN. i.n VA = VN (1 – i.n) Desconto Bancário – Db Db = VN(i.n + h) h=taxa administrativa VA = VN (1 –(i.n + h)) Exercícios Resolvidos de Desconto Simples Um banco credita na conta do cliente a quantia de $27.000,00 proveniente de um desconto de um título efetuado 80 dias antes de seu vencimento. Sendo 2,85% a m a taxa de desconto linear e 1,5% a taxa administrativa cobrada pelo banco, determinar o valor nominal do título. VA= $ 27.000,00 n = 80 dias i = 2,85% a.m.=(0,0285) h= 1,5% a.m.=(0,015) VN = ? Temos: VA=VN. [1-(i.n + h)] VN = VA = 1 -(i.n + h) VN = 2.700 = (1 –((0,0285/30).80)+ 0,015)) VN = $ 29.702,97 Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 14 JUROS COMPOSTOS No regime de juros compostos, os juros produzidos em um período de capitalização e não pagos são integrados ao capital no início do período seguinte, para produzirem novos juros, ou seja, os juros incidem sobre o capital inicial e sobre os próprios juros. Fórmulas Básicas M = C x (1 + i)^n C = M (1 + i)^n n. Ln ( 1 +i) = Ln( M / C) Para uso da HP-12C precisamos nos acostumar com as seguintes nomenclaturas: FV= valor futuro (M) PV=valor presente (C) PMT=prestações iguais CHS=troca de sinal 1/x=inverter Yx = elevar n=prazo i=taxa Fórmulas Básicas FV= PV(1 + i)^n PV= FV (1 + i)^n n= Ln( FV/ PV) Ln ( 1 + i) Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 15 Exercício Resolvido Calcular o montante de um capital de $ 100.000 aplicado durante 6 meses, à taxa de juros compostos de 2% a.m. FV = PV(1 + i)n FV = 100.000 x (1 + 0,02)^6 FV = 100.000 x 1,1261624 FV = $ 112.616,24 Solução na HP-12C: f fin f clx 100.000 CHS PV 2 i 6 n FV ? = 112.216,24 Exercícios Propostos Questões Básicas de Juros Compostos 1. Determine o montante da aplicação de R$ 1.000,00 à taxa composta de 10% ao mês, em 3 meses. 2. Calcule o montante gerado na aplicação de R$ 2.000,00 por 1 ano e meio, á taxa composta de 5% ao semestre. 3. O capital de R$ 5.000,00 é aplicado à taxa composta de 10% ao trimestre por 12 meses. Determine o montante. 4. Calcule o montante da aplicação de R$ 10.000,00 à taxa composta de 3% ao bimestre por 14 meses. Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 16 5. Qual o montante ao final de 15 meses da aplicação de R$ 10.000,00 à taxa composta de 4% ao trimestre? Questões de Concursos de Juros Simples 1) (AFRE–SP) Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado à taxa de 3% ao mês, durante três meses. Os montantes correspondentes obtidos segundo capitalização simples e composta, respectivamente, valem: a) R$ 2.180,00 e R$ 2.185,45; b) R$ 2.180,00 e R$ 2.480,00; c) R$ 2.185,45 e R$ 2.480,00; d) R$ 2.785,45 e R$ 2.480,00; e) R$ 6.180,00 e R$ 4.394,00. 2) (ISS–SP) Uma pessoa toma emprestados R$ 15.000,00 a juros compostos de 2% a.m., pelo prazo de dois meses. O montante que ele deverá devolver é: a) R$ 15.706,00; b) R$ 15.700,00; c) R$ 15.618,00; d) R$ 15.606,00; e) R$ 15.600,00, 3) (FT–CE) Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos durante 12 meses, à taxa de 4% ao mês, atinge o montante de R$ 1.000,00 (aproxime o resultado para reais). a) R$ 625,00 b) R$ 630,00 c) R$ 636,00 d) R$ 650,00 e) R$ 676,00 4) (CEF) Pretendendo guardar uma certa quantia para as festas de fim de ano, uma pessoa depositou R$ 2.000,00 em 05/06/97 e R$ 3.000,00 em 05/09/97. Se o banco pagou juros compostos à taxa de 10% ao trimestre, em 05/12/97 essa pessoa tinha um total de: a) R$ 5.320,00; b) R$ 5.480,00; c) R$ 5.620,00; d) R$ 5.680,00; e) R$ 5.720,00. 5) (ISS–SP) Que quantia mínima devo aplicar a juros compostos, à taxa anual de 20%, para que ao completar-se um período de três anos eu consiga, com o montante, comprar um carro no valor de R$ 10.800,00? a) R$ 6.000,00 b) R$ 6.250,00 c) R$ 6.500,00 d) R$ 6.750,00 e) R$ 6.800,00 6) (Infraero) Antônio aplicou R$ 12.000,00 em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a juros simples, a uma taxa de 1,5% ao mês. Após 8 meses, ele resgata todo o montante e o aplica totalmente em um outro banco, durante um ano, a juros compostos, a uma taxa de 5% ao semestre. No final da segunda aplicação, o valor do montante é de a) R$ 15.214,50 b) R$ 14.817,60 c) R$ 14.784,40 d) R$ 13.800,00 e) R$ 13.230,007) (TCE–MG) Um capital é aplicado à taxa de juros simples de 36% ao ano, durante 20 meses. Verifica-se que o correspondente montante é igual ao montante produzido por um Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 17 outro capital no valor de R$ 50000,00, aplicado durante um ano, à taxa de juros compostos de 8% ao semestre. O valor dos juros referente à primeira aplicação é igual a a) R$ 19500,00 b) R$ 19650,00 c) R$ 20250,00 d) R$ 21750,00 e) R$ 21870,00 8) (TCM–RJ) Uma pessoa pretende comprar um automóvel cujo valor é de R$ 14.048,66, exclusivamente com o rendimento de uma aplicação financeira no valor de R$ 20.000,00. Se a aplicação rende juros efetivos compostos de 3% a.m., o prazo mínimo necessário da aplicação é de: a) 13 meses; b) 15 meses; c) 18 meses; d) 20 meses; e) 22 meses. 9) (AFC) Um certo tipo de aplicação duplica o valor da aplicação a cada dois meses. Essa aplicação renderá 700% de juros em: a) 5 meses e meio; b) 6 meses; c) 3 meses e meio; d) 5 meses; e) 3 meses. 10) (AFRFB–adaptado) Paulo aplicou pelo prazo de um ano a quantia total de R$ 50.000,00 em dois bancos diferentes. Uma parte dessa quantia foi aplicada no Banco A, à taxa de 3% ao mês. O restante dessa quantia foi aplicado no Banco B a taxa de 4% ao mês. Após um ano, Paulo verificou que os valores finais de cada uma das aplicações eram iguais. Deste modo, o valor aplicado no Banco A e no Banco B, sem considerar os centavos, foram, respectivamente iguais a: a) R$ 21.948,00 e R$ 28.052,00; b) R$ 23.256,00 e R$ 26.744,00; c) R$ 26.589,00 e R$ 23.411,00; d) R$ 27.510,00 e R$ 22.490,00; e) R$ 26.447,00 e R$ 23.552,00. 11) (AFRE–SP) Uma pessoa aplica 40% de seu capital, na data de hoje, a uma taxa de juros simples de 30% ao ano, durante seis meses. Aplica o restante, na mesma data, à taxa de juros compostos de 10% ao trimestre, durante um semestre. Sabendo-se que a soma dos montantes obtidos através destas duas operações é igual a R$ 65.230,00, tem-seque o valor do capital inicial total que esta pessoa possui na data de hoje é: a) R$ 50.000,00; b) R$ 52.500,00; c) R$ 55.000,00; d) R$ 57.500,00; e) R$ 60.000,00. 12) (AFC) Um título de valor inicial R$ 1.000,00, vencível em um ano com capitalização mensal a uma taxa de juros de 10% ao mês, deverá ser resgatado um mês antes do seu vencimento. Qual o desconto comercial simples à mesma taxa de 10% ao mês? a) R$ 313,84 b) R$ 285,31 c) R$ 281,26 d) R$ 259,37 e) R$ 251,81 13) (Contador–RJ) Uma pessoa tomou dois empréstimos. O primeiro por três meses a juros efetivos compostos de 5% ao mês e o segundo por dez meses a juros efetivos compostos de 4% ao mês. Sabendo-se que pagou ao todo R$ 11.181,14 de juros, qual o valor do primeiro empréstimo, sabendo-se que ele foi igual à metade do segundo? Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 18 a) R$ 10.000,00 b) R$ 10.090,00 c) R$ 10.100,00 d) R$ 10.125,00 e) R$ 10.150,00 14) (Petrobras) Se aplicamos o capital C por 3 meses à taxa composta de 7% a.m., o rendimento total obtido é, proporcionalmente a C, de, aproximadamente, a) 10,0% b) 20,5% c) 21,0% d) 22,5% e) 25,0% 15) (TRF) Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 500,00, a juros compostos de 12% ao mês. Se, após 2 meses, ela pagou R$ 250,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito, o valor desse último pagamento foi: a) R$ 250,00 b) R$ 377,20 c) R$ 392,54 d) R$ 422,46. e) R$ 453,60 16) (BNDES) A metade de um capital C foi aplicada a juros compostos com taxa de 20% ao mês. Simultaneamente, a outra metade foi aplicada a juros simples com taxa mensal i%. Ao final de dois meses, os montantes a juros simples e a juros compostos foram somados e seu valor correspondia ao capital total C, acrescido de 50%. Quantos são os divisores inteiros de i? a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6. 17) (Sefaz–SP) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor de R$ 10.400,00, a juros simples. À taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a a) 22 meses. b) 20 meses. c) 18 meses. d) 16 meses. e) 15 meses. 18) (Contador–Ceal) Uma pessoa investe, na data de hoje, 2/5 de seu capital à taxa de juros simples de 2% ao mês. O restante, também na data de hoje, ela investe à taxa de juros compostos de 2% ao mês. No final de 2 meses, a soma dos montantes correspondentes às duas aplicações será igual a R$ 13 003,00. O capital total que esta pessoa possui, na data de hoje, é a) R$ 9 000,00 b) R$ 10 000,00 c) R$ 10 500,00 d) R$ 12 000,00 e) R$ 12 500,00 Gabarito: 14. A 15. B 16. C Gabarito: 1. A 2. D 3. A 4. E 5. B 6. B 7. E 8. C 9. B 10. E 11. C 12. A 13. A 14. D 15. D 16. E 17. D 18. E Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 19 CÁLCULO DO VALOR DE RESGATE EM APLICAÇÕES FINANCEIRAS PREFIXADAS As aplicações financeiras de renda fixa, sejam prefixadas ou pós-fixadas, são tributadas com imposto de renda na fonte, deduzido no momento do resgate. O imposto incide sobre o rendimento (juros) de acordo com o prazo durante o qual o dinheiro ficou aplicado. 1.Um cidadão aplicou $20.000, em uma Instituição bancária, comprando um título prefixado por 200 dias corridos, à taxa bruta de 10% ao ano, com 20% de IR. Vamos calcular o valor a) do resgate bruto, b) resgate líquido, c) a taxa líquida no período. 2.Fernando aplicou $50.000,00 em um título prefixado por 250 dias corridos, à taxa bruta de 12% ao ano. A alíquota do Imposto de Renda é de 20%. Calcule o valor a) do resgate bruto; b) do resgate líquido, c) da taxa líquida no período, e d) da taxa líquida anual OPERAÇÕES INDEXADAS AO CERTIFICADO DE DEPÓSITO BANCÁRIO (CDI) O CDI é uma taxa pós-fixada, calculada diariamente a partir das operações interbancárias de curto prazo. O CDI é a referência para o custo de oportunidade do dinheiro brasileiro, tornando uma referência comum em operações financeiras. Nas operações indexadas ao CDI a contagem de tempo é feita em dias úteis, tendo o ano 252 dias úteis. VF = VP x ( 1 + CDI)DIAS ÚTEIS/ 252 Aplicações práticas: 1. Uma empresa contraiu um empréstimo de $ 1.000.000,00 por 65 dias úteis, corrigido pelo CDI. Quanto vai pagar no vencimento, se o CDI no período foi de 12,75% ao ano? 2. Uma empresa pegou um empréstimo de $500.000,00 por 35 dias úteis, corrigido pelo CDI. O CDI foi de 12,75% ao ano durante cinco dias úteis, 12% ao ano durante 20 dias úteis, e 11,5% ao ano pelo prazo restante. a) Qual o valor a pagar no vencimento? b) Qual a taxa efetiva no período? c) Qual a taxa efetiva média anual? 3. Laura fez um empréstimo de $ 500.000,00 por 20 dias úteis ao custo de 108% do CDI. Qual o valor a pagar no vencimento, se o CDI acumulado no período foi de 10,5% ao ano? Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 20 EXERCÍCIOS DE JUROS COMPOSTOS, COM RESOLUÇÃO NA HP-12C 1) Calcular o montante de uma aplicação de R$1.000,00 pelo prazo de 9 meses à uma taxa de 4% ao mês. Resposta: FV = R$1.423,31 2) Após 2 anos, uma pessoa efetuará um pagamento de R$5.000,00 referente ao valor tomado emprestado hoje adicionado dos juros devidos, correspondente a uma taxa de 4,5% ao mês. Resposta: PV = R$ 1.738,52 3) Em que prazo um empréstimo de R$55.000,00 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ 110.624,65, sabendo-se que a taxa contratada é de 15%ao semestre. Obs.: resolver pela HP-12C e por log. Resposta: 5 semestres 4) Uma casa está sendo oferecida por R$100.000,00 à vista ou R$30.000,00 de entrada e mais duas parcelas, sendo a primeira de R$50.000,00 no final de 6 meses e mais uma de R$28.000,00 após 12 meses da data da compra. Sabendo-se que no mercado financeiro, a taxa de juros composta é de 1,53% ao mês, determinar o valor presente e a melhor opção para um interessado que possua recursos disponíveis para comprar esta casa. Resposta: o custo parcelado será de R$98.982,05. 5) Determine o montante, no final de 3 anos, resultante da aplicação de um capital de R$10.000,00 à taxa de 4% ao mês. Resposta: R$41.039,33 6) Guilherme aplicou seu capital, a juros compostos durante 10 meses. O rendimento obtido por ele foi igual ao valor inicialmente aplicado. Determine, a taxa mensal da aplicação. Resposta: 7,18% ao mês. 7) O fundo de investimento Tabajara remunera aplicações, a juros compostos, com taxa de 3% a.m. Maria pretende aplicar hoje R$85.000,00 mais R$100.000,00 daqui a três meses. Calcule qual será o montante atingido por ela daqui a 6 meses. Resposta: R$210.767,15 8) Calcule o valor que deve ser aplicado hoje para se obter um montante de R$500.000,00, considerando dois anos de prazo e taxa semestral de 15%, no regime de juros compostos. Resposta R$285.876,62 9) D. Nadir aplicou R$15.000,00 em um banco. Após um ano ela recebeu R$782,87 de juros. Qual foi a taxa de juros mensal paga pelo Banco onde o dinheiro foi aplicado? Resposta: 0,42% a.m. Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 21 10) Um apartamento é vendido, à vista, por R$245.000,00. Caso o comprador opte por pagar em uma única parcela após certo período de tempo, o vendedor exige R$74.461,23 como juros, oriundos de uma taxa de 2,5% a.m. Qual é o prazo do pagamento nessa hipótese? Resposta: 11 meses 11) Uma loja ofereceu um carro por R$18.000,00 à vista, ou 25% de entrada e mais um pagamento de R$20.000,00 após dois anos. Qual foi a taxa anual de juros cobrada nessa operação? Resposta: 21,72% a.a. Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 22 CONVENÇÃO EXPONENCIAL E CONVENÇÃO LINEAR 1.Um capital inicial de $ 70.000,00 é investido por 105 dias, à taxa de 5% a.m.. Determinar os valores de resgate pela Convenção Exponencial e pela Convenção Linear. 2.Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante três meses e meio, a taxa de 8% a.m. a) Qual o montante pela convenção exponencial? b) Qual o montante pela convenção linear? 3.Se você aplica R$ 10.000,00 por 40 meses a uma taxa de 10% a.a., qual é o montante recebido, considerando-se a convenção exponencial? 4. Uma pessoa aplicou um capital pelo prazo de 2 anos e 5 meses à taxa de 18% a.a. Determinar o valor da aplicação sabendo-se que o montante produzido ao final do período atinge $ 24.800,00. Resolver o problema utilizando as convenções linear e exponencial. ESTUDO DAS TAXAS 1) Qual a taxa efetiva mensal correspondente à taxa nominal de 120% ao ano capitalizados mensalmente? 2) Qual a taxa efetiva bimestral correspondente à taxa nominal de 24% ao semestre com capitalização bimestral? 3) Determine a taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 16% ao ano com capitalização semestral. 4) Qual o montante da aplicação de R$ 10.000,00 à taxa nominal de 36% ao ano com capitalização trimestral por 9 meses? 5) Calcular a taxa semestral equivalente à taxa bimestral composta de 10%. 6) Qual a taxa semestral equivalente à taxa de 36% ao ano com capitalização trimestral? 7) Determine a taxa mensal a juros compostos equivalente a 20% ao ano. 8) (FT–CE) Um capital aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 36% ao ano, com capitalização mensal, atingiu um montante de R$ 10.900,00, ao fim de um trimestre foi de: R: $9.975,00 9) (TCM–RJ) Quanto rende de juros um capital de R$ 20.000,00, aplicado durante 9 meses a juros nominais de 18% ao semestre capitalizados trimestralmente? Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 23 R: $5.900,60 10) (TCM–RJ) Um determinado capital, aplicado por três anos a juros nominais de 24% ao ano capitalizados bimestralmente, totaliza um rendimento de R$10.258,20. Qual o valor do capital aplicado? R: aprox.. $10.000,00 11) (AFRF) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. R: 12,6825% 12) (Petrobras) Uma aplicação financeira de R$ 20.000,00 rende 20% ao ano, capitalizado semestralmente. Considerando que a alíquota de Imposto de Renda é de 20% sobre os rendimentos, ao final da aplicação, o valor do resgate líquido, em reais, após 1 (um) ano de aplicação, será de: R: $23.360,00 13) (Eletrobras) Um certo tipo de aplicação financeira procura atrair investidores afirmando conseguir uma rentabilidade de 24% ao ano, capitalizados mensalmente. Se a projeção para a inflação acumulada nos próximos doze meses for de 10%, a rentabilidade real do investimento será de: R: 15,3% 14) (Susep) No sistema de juros compostos, o Banco “X” oferece uma linha de crédito ao custo de 80 % ao ano com capitalização trimestral. Também no sistema de juros compostos, o Banco “Y” oferece a mesma linha de crédito ao custo dado pela taxa semestral equivalente à taxa cobrada pelo Banco “X”. Maria obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco “X”, para serem pagas ao final de um ano. Mário, por sua vez, obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco Y para serem pagas ao final de um semestre. Sabendo-se que Maria e Mário honraram seus compromissos nos respectivos períodos contratados, então os custos percentuais efetivos pagos por Maria e Mário, foram, respectivamente, iguais a: R: 107,36% ao ano e 44% ao semestre. 15) (ESAF - BACEN) Calcule o juro final como porcentagem do capital inicial aplicado a uma taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal, em um prazo de 18 meses. R: 42,82%. SÉRIE UNIFORME OU RENDAS CERTAS Série Uniforme é quando apresentamos um fluxo de caixa que se caracteriza por entradas ou saídas iguais (uniformes), realizadas em intervalos de tempo constantes, podendo ser: Postecipados Antecipados Diferidos Série postecipada: É quando os pagamentos ou recebimentos começam a ser realizados ao fim do primeiro intervalo de tempo. Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 24 Série antecipada: É quando os pagamentos ou recebimentos começam a ser realizados no início do intervalo de tempo (primeiro pagamento ou recebimento no ato). Na HP-12C devemos introduzir begin na máquina (g 7) Série diferida: É quando os pagamentos ou recebimentos começam a ser realizados ao fim de uma carência, iniciando o primeiro pagamento ou recebimento após intervalo de tempo contratado. Observações: Quando calculamos o valor presente (PV) de uma série uniforme, esta irá cair, no fluxo de caixa, um período antes da data desejada. Quando calculamos o valor futuro (FV) de uma série, esta coincide com o último recebimento ou pagamento do fluxo de caixa. Uma série diferida tem que levar até um período antes da série de pagamentos ou recebimentos começar o valor financiado. Fórmulas Básicas: PV = PMT. (1 + i)^n – 1 (1 + i)^n x i PMT = PV .(1 + i)^n – 1 (1 + i)^n x i Fórmulas Básicas: FV = PMT . (1 + i)^n – 1 i PMT = FV . (1 + i)^n – 1 i Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 25 Exercícios Resolvidos Determinado bem é vendido em 5 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $ 4.000,00. Para uma taxa de 2,9% a m determinar seu valor à vista. PV = PMT . (1 + i)^n – 1 = (1 + i)^n x i PV = 4.000 x ( 1 + 0,029)^5 – 1 = ( 1 + 0,029)^5 x 0,029 PV = $ 18.371,25 Solução na HP-12C: f fin f clx 4.000 CHS PMT 2,9 i 5 n PV ? = $ 18.371,25 Qual o valor de resgate de uma aplicando mensalmente $200,00 em uma instituição que remunera 14,2028862% a a com capitalização semestral, durante 10 anos. FV = PMT . (1 + i)^n – 1 i Taxa nominal (período expresso difere do período de capitalização), logo: ies =7,1014431% a s Calculando: iem = [(1 + 0,071014431)^1/6 – 1] x 100 iem =1,15% a m FV = 200 x (1 + 0,0115)120 - 1 0,0115 FV = $ 51.195,19 Solução na HP-12C: f fin Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 26 f clx 200 CHS PMT 1,15 i 120 n FV ? = 51.195,19 Um depósito de $ 8.000,00 é efetuado em um fundo que rende juros de 2,1%a m. Após 5 meses, o depositante decide retirar sua aplicação em 12 parcelas mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira, 30 dias após. Admitindo a manutenção da mesma taxa de juros, determinar o valor das parcelas que serão sacadas. FV = PV (1 + i)^n FV = 8.000,00 (1 + 0,021)^5 FV = $ 8.876,03 Solução na HP-12C: f fin f clx 8.000 CHS PV 2,1 i 5 n FV ? =$ 8.876,03 Determinando o valor das parcelas a serem sacadas, temos: PV = $ 8.876,03 n = 12 parcelas mensais i = 2,1% a.m. (0,021) PMT = ? PMT = PV = (1 + i)^n – 1 (1 + i)^n x i PMT = 8.876,03 = (1 + 0,021)^12 – 1 (1 + 0,021)^12 x 0,021 Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 27 PMT = $ 844,48 Solução na HP-12C: f fin f clx 8.876,03 CHS PV 2,1 i 12 n PMT ? = $ 844,48 Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 28 Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 29 Exercícios Propostos Sequencias de Capitais: 1) Um equipamento pode ser adquirido em 5 pagamentos mensais e iguais de R$ 1.000,00, financiados á taxa composta de 4% ao mês. Determine o valor á vista desse equipamento se: a) o primeiro pagamento ocorre ao final de 30 dias. b) o primeiro pagamento ocorre no ato. 2) (AFR-SP) Um bem foi adquirido através de um plano sem entrada em três prestações mensais iguais e consecutivas de R$ 300,00 cada uma, sendo a primeira a trinta dias da data da celebração do contrato. Admitindo-se uma taxa de 4% ao mês e a capitalização composta, o valor desse bem na data do contrato é: R: $832,53 3) (AF–P.Alegre) Uma dívida de R$ 2.000,00 será paga em 12 parcelas mensais iguais, sem entrada, a juros compostos, de 3% ao mês. Determine o valor das parcelas. R: $200,80 4) (TRF) Desejo trocar uma anuidade de oito pagamentos mensais de R$ 1.000,00 vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês por outra anuidade equivalente de dezesseis pagamentos vencendo também o primeiro pagamento ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do valor do pagamento mensal da segunda anuidade considerando a taxa de juros compostos de 3% ao mês. R: aprox. $559,00 5) Determinar o valor presente de um fluxo de 12 pagamentos trimestrais, iguais e sucessivos de $700,00 sendo a taxa igual a 1,7%am. R: $6.138,30 6) (Livro do Assaf Neto) Uma loja anuncia a venda de uma geladeira em 12 prestações (0 + 12) de $ 113,31 mais uma entrada diferenciada. Se a geladeira à vista sai por $ 1.200,00 e a taxa de juros cobrada pela loja é 7% a.m., qual o valor da entrada que deve ser dada? R: $300,00 7) (Livro do Assaf Neto) Uma imobiliária está vendendo um terreno em um loteamento a vista por $28.000,00, ou em 9 (nove) pagamentos mensais sem entrada de $3.750,00. Qual a taxa mensal de juros que esta sendo cobrada pela imobiliária? R: 3,91% am. Valor Futuro (séries uniformes) 8) (Bacen) Um contrato de aplicação financeira prevê que depósitos de mesmo valor sejam feitos mensalmente em uma conta de aplicação durante dezoito meses com o objetivo de atingir o montante de R$ 100.000,00 ao fim desse prazo. Obtenha o valor mais próximo da quantia que deve ser depositada ao final de cada mês, considerando uma taxa de rendimento de 3% ao mês. R: $4.270,00 9) (CVM) Um cliente negociou com o seu banco depositar a quantia de R$ 1.000,00, ao fim de cada mês, para obter R$21.412,31, ao fim de 18 meses. A que taxa efetiva anual o banco remunerou o capital de seu cliente? R:26,82%aa Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 30 10) (Livro do Assaf Neto) Calcular o valor da prestação de uma mercadoria que é vendida em 30 parcelas iguais e sucessivas, cujo valor a vista é de $1.820,00. A taxa de juros é igual a 1,7% a.m. No cálculo das prestações, admita que a série de pagamentos inicia-se: a) no próximo período (0 + 30); $77,95 b) primeiro pagamento no ato (1 + 29). $76,65 RENDAS CERTAS (APLICAÇÕES) 1.Uma loja vende uma mercadoria por $ 2.400,00 para pagamento em 10 parcelas mensais e iguais, sem acréscimo e sem entrada. Calcule o desconto máximo que a loja pode conceder para pagamento à vista, se ela tem um custo de captação de 2,5% ao mês. 2.Paulo pegou um empréstimo de $ 8.000,00 à taxa de 4,5% ao mês, para pagamento em seis prestações mensais postecipadas, com quatro meses de carência. Qual o valor das prestações? 3.Ana Paula pretende comprar um novo apartamento. A construtora vende o imóvel à vista por $ 120.000,00, ou a prazo, com taxa de 1% ao mês, nas seguintes condições: entrada de 10%; um pagamento único de $ 24.000,00 em 12 meses; 10 intermediárias semestrais postecipadas de $ 6.000,00 e 180 prestações mensais postecipadas, contadas a partir da data do contrato. Qual o valor das prestações? 4.Laura tem 22 anos e deseja fazer um plano de previdência privada para se aposentar aos 65 anos com $ 1.000.000,00 no banco. Quanto ela deve depositar por mês considerando uma taxa de juros de 0,5% ao mês? 5.Manoela tem 20 anos e deseja simular quanto terá acumulado ao final dos seus 55 anos, considerando que fez um depósito hoje de $ 15.000,00 e pretende depositar $ 200,00 por mês, a partir do mês que vem, corrigidos a 0,5% ao mês. 6.Daniele possui uma Academia de ginástica que lhe rende, postecipadas e mensalmente, um total de $ 30.000,00. Admitindo-se uma taxa de juros de 1,5% ao mês e se desejar passar oponto, qual seria a primeira estimativa? 7.Nadir, preocupada em se aposentar, resolveu fazer depósitos mensais e iguais, no período de 150 meses devidamente atualizados monetariamente, de modo que tenha uma renda perpétua de $ 6.400,00 por mês a partir do 151º mês. Considerando uma taxa de juro de 1,6% a.m., obtenha o valor dos depósitos. 8.D. Guilhermina se aposentou aos 60 anos tendo um saldo acumulado de $ 500.000,00 e decidiu realizar resgates mensais para se sustentar durante a aposentadoria. Calcule quanto ela poderá resgatar por mês, considerando que ela espera viver cerca de 20 anos, e que o banco remunera as aplicações a uma taxa de juros de 0,6% ao mês. R.: $ 3.936,75. Quanto tempo, aproximadamente, duraria o dinheiro se ela efetuasse resgates mensais de $ 3.500,00, considerando que o saldo continua sendo corrigido a 0,6% ao mês. R.: 326 meses ou 27 anos. Qual deveria ser o saque mensal para se garantir a perpetuidade? Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 31 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO SAF – Sistema de Amortização Francês. Caracteriza-se por apresentar PMT constante, equivale, em outras palavras, ao modelo padrão de fluxo de caixa. O juro incide sobre o saldo devedor e a parcela de amortização assume valores crescentes, ou seja, os Juros decrescem e a amortização cresce. No sistema SAF para calcular o PMT usaremos a fórmula já apresentada, bem como os passos da HP-12C. Exemplo: Um financiamento de $10.000,00 foi realizado em 4 parcelas mensais a 2% a m.Monte a planilha de financiamento se o sistema de amortização é Francês. PMT = PV = (1 + i)^n – 1 (1 + i)^n x i PMT = 10.000 = (1 + 0,02)^4 - 1 (1 + 0,02)^4 x 0,02 PMT = $ 2.626,24 Solução na HP-12C: f fin f clx 10.000 CHS PV 2 i 4 n PMT ? = $ 2.626,24 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO - SAF n PMT Juros Amortz SD 0 - - - 10.000 1 2.626,24 200 2.462,24 7.573,76 2 2.626,24 151,48 2.474,76 5.099,00 3 2.626,24 101,98 2.524,26 2.574,74 4 2.626,24 51,49 2.574,74 0 Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 32 Solução na HP-12C: f fin f clx 10.000 CHS PV 2 i 4 n PMT ? = 2.626,24 0 n 1 f amort J1 X ≥Y amort1 RCL PV SD1 1 f amort J2 X ≥Y amort2 RCL PV SD2 1 f amort J3 X ≥Y amort3 RCL PV SD3 1 f amort J4 X ≥Y amort4 RCL PV SD4 Exercícios Resolvidos 1) Um imóvel no valor de R$260.000,00 foi financiado em 10 anos, com taxa de 12% a a efetiva,entrada de 40% e pagamento mensais.Determinar o valor dos juros e da amortização contida na parcela de nº 40(considerar sistema de financiamento Francês). Solução na HP-12C: f fin f clx 260.000 enter 40 % - CHS PV 12 enter 100 ÷ 1 + 12 1/x y x 1 – 100 x i 120 n PMT ? = 2.183,18 0 n 39 f amort J Σ39 X ≥Y amort Σ39 RCL PV SD Σ39 Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 33 1 f amort J40 X ≥Y amort40 RCL PV SD 40 2) Um automóvel no valor de R$48.000,00 foi financiado com 30% de entrada e 36 parcelas mensais e iguais, a juros de 0,9% a m. Determinar o valor da Prestação. 40.000 x 0,60 = 28.800,00 PMT = 28.800 = (1 + 0,009)36 - 1 (1 + 0,009)36 x 0,009 PMT = $ 940,15 Solução na HP-12C: f fin f clx 48.000 enter 40 % - CHS PV 0,9 i 36 n PMT ? = 940,15 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO - SAC O SAC tem por característica básica serem as Amortizações do principal sempre igual. amortz = Valor Financiado nº de parcelas Exemplo: Um financiamento de $10.000,00 foi realizado em 4 parcelas mensais a 2% a m.Monte a planilha de financiamento se o sistema de amortização é SAC. amortz = 10.000 = 2.500,00 4 Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 34 n PMT juros amortz SD 0 - - - 10.000 1 2.700 200 2.500 7.500 2 2.650 150 2.500 5.000 3 2.600 100 2.500 2.500 4 2.550 50 2.500 0 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO - AMERICANO O Sistema de Amortização Americano estimula que a devolução do capital é efetuada ao final do período contratado da operação de uma só vez. n PMT juros amortz SD 0 - - - 10.000 1 200 200 - 10.000 2 200 200 - 10.000 3 200 200 - 10.000 4 10.200 200 10.000 0 Exercícios Propostos 1) Um imóvel no valor de $ 260.000,00 foi financiado em 10 anos,com taxa de 12% a a efetiva,entrada de 40% e pagamento mensais.Determinar o valor dos juros e da amortização contida na parcela de nº 40(considerar sistema de financiamento PRICE). 2) Um automóvel no valor de $ 48.000,00 foi financiado com 30% de entrada e 36 parcelas mensais e iguais, a juros de 0,9% a m. Determinar o valor da Prestação. 3) Considerando o sistema SAC, determinar o valor da PMT de um financiamento em seis parcelas semestrais, de uma máquina no valor de $ 60.000,00, a juros de 3% a s. CARÊNCIA EM EMPRÉSTIMOS Período inicial dos empréstimos em que não há pagamento do principal, ou seja, não há amortizações, mas poderá haver ou não pagamento de juros. CARÊNCIA COM PAGAMENTO DE JUROS: o saldo devedor permanece constante durante a carência. Exemplo: Um empréstimo de $100.000,00 será pago pelo Sistema de Amortização Francês em cinco prestações mensais e postecipadas com uma carência de dois meses, com pagamento de juros. Se a taxa for de 5% a.m., veja como ficará a planilha de amortização. Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 35 n Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 0 100.000, 1 5.000, 5.000, 0 100.000, 2 5.000, 5.000, 0 100.000, 3 23.097,48 5.000, 18.097,48 81.902,52 4 23.097,48 4.095,13 19.002,35 62.900,17 5 23.097,48 3.145,01 19.952,47 42.947,70 6 23.097,48 2.147,38 20.950,10 21.997,60 7 23.097,48 1.099,88 21.997,60 0 CARÊNCIA SEM PAGAMENTO DE JUROS: os juros não pagos de cada período são incorporados ao saldo devedoranterior, passando a produzir juros para o próximo período. Exemplo: Um empréstimo de $100.000,00 será pago pelo Sistema de Amortização Francês em cinco prestações mensais e postecipadas com uma carência de dois meses, sem pagamento de juros. Se a taxa for de 5% a.m., veja como ficará a planilha de amortização. n Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 0 -- -- -- 100.000, 1 0 5.000, 0 105.000, 2 0 5.250, 0 110.250, 3 25.464,97 5.512,50 19.952,47 90.297,53 4 25.464,97 4.514,88 20.950,10 69.347,43 5 25.464,97 3.467,37 21.997,60 47.349,83 6 25.464,97 2.367,49 23.097,48 24.252,35 7 25.464,97 1.212,62 24.252,35 0 Obs.; Durante o período de carência. SDN = (1+i) x SDN-1 Praticando... 1.Elabore o esquema de pagamento de um empréstimo de $80.000,00 à taxa de 15% ao ano, pelo SAC, em 4 anos, com 2 anos de carência, com pagamento de juros. 2. Elabore o esquema de pagamento de um empréstimo de $80.000,00 à taxa de 15% ao ano, pelo SAC, em 4 anos, com 2 anos de carência, sem pagamento de juros. Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 36 TIR E VPL (FLUXOS DE CAIXA) 1)Uma pessoa está pensando em abrir uma loja. Para este fim existem duas oportunidades de franquias. Supondo que a Taxa Mínima de Atratividade (TMA) seja 3% a.m. e que as variáveis envolvidas com cada uma das franquias estão expressos conforme tabela abaixo, vamos calcule o VPL de cada uma das alternativas. Dados Franquia A Franquia B Investimento Inicial 250.000 350.000 Tempo de Utilização 6 anos 6 anos Receitas Mensais 30.000 50.000 Custos Mensais 25.000 35.000 2) Considere o fluxo de caixa a seguir: Ano Valor 0 – 40.000,00 1 3.500,00 2 7.500,00 3 7.500,00 4 7.500,00 5 15.000,00 6 15.000,00 a) Determine o NPV para i = 8% a.a. b) Determine IRR. c) Determine NPV se o valor investido for $38.000,00 3)Um investidor tem a oportunidade de adquirir uma propriedade por $9.900,00 e ele gostaria de ter um retorno de 12%. Ele espera poder vendê-la em 10 anos por $12.000,00, e prevê que os fluxos de caixa anuais referentes aos aluguéis anuais e valor de venda são os apresentados na tabela abaixo: Ano Fluxo de Caixa Ano Fluxo de Caixa 1 $ 1.700 1 $ 1.210 2 $ 1.400 2 $ 1.200 3 $ 1.300 3 $ 1.200 4 $ 1.300 4 $ 750 5 $ 1.300 5 $ 12.000 Calcule o NPV e o IRR da operação. Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 37 4)Uma empresa está avaliando duas propostas de investimento de capital cujas informações básicas são apresentadas a seguir: Projeto Investimento Inicial Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 I - $ 1.300, $ 900, $ 750, $ 600, $ 600, II - $ 1.300, $ 300, $ 400, $ 1.350, $ 1.700, Considerando que a taxa de retorno exigida pela empresa atinge 30% a.a., pede-se para cada projeto: a) O valor presente líquido e a taxa interna de retorno; b) O ponto de Fischer. Matemática Financeira com uso da HP-12C Prof. Thomaz Junior profthomazjunior@gmail.com 38 2008 2009 2010 Preço R$ 55,00 R$ 60,50 Qd 200 200 Receita R$ 11.000,00 R$ 12.100,00 Custo Total R$ 7.220,00 R$ 7.220,00 Custo Fixo Total R$ 220,00 R$ 220,00 Custo Var Total R$ 7.000,00 R$ 7.000,00 Custo Var Unit R$ 35,00 R$ 35,00 LB R$ 3.780,00 R$ 4.880,00 Dep R$ 1.400,00 R$ 1.400,00 LAIR R$ 2.380,00 R$ 3.480,00 IR R$ 595,00 R$ 870,00 LL R$ 1.785,00 R$ 2.610,00 ECX R$ 3.185,00 R$ 6.210,00 LL R$ 1.785,00 R$ 2.610,00 Dep R$ 1.400,00 R$ 1.400,00 VR R$ 1.200,00 ICG (retorno) R$ 1.000,00 SCX R$ 5.000,00 R$ - R$ - Inv R$ 4.000,00 Var ICG R$ 1.000,00 ICG R$ 1.000,00 FCX R$ (5.000,00) R$ 3.185,00 R$ 6.210,00 VPL R$ (788,71) 48%
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