Apostila De Eletricidade Aplicada

Prévia do material em texto

1
Eletricidade Aplicada 
 
Corrente: 
 Os elétrons livres são as partículas carregadas responsáveis pela corrente elétrica 
em um fio de cobre ou em qualquer outro sólido condutor de eletricidade. A partir da 
ordenação destes elétrons livres através de um campo elétrico externo (bateria, fonte, 
pilha) tem-se a formação da CORRENTE >>> I >>> A (ampères). 
 
Tensão: 
 A capacidade de realizar trabalho em cargas elétricas é chamada de energia 
potencial elétrica das cargas. Entre terminais de uma bateria, pilha ou fonte, existe uma 
diferença de potencial elétrico. Se conectarmos os 2 terminais através de um condutor, 
os elétrons acumulados no terminal negativo terão energia suficiente para alcançar o 
terminal positivo, para o qual são atraídos. 
 Então, podemos dizer que existe uma diferença de potencial (DDP) de 1 Volt 
(V) entre 2 pontos se acontece uma troca de energia de 1 Joule (J) quando deslocamos 
uma carga de 1 Coulomb (C) entre estes 2 pontos. 
Obs: Potencial ≡ Tensão ≡ Força eletromotriz ≡ Diferença de potencial ≡ Diferença 
de voltagem. 
V = W / Q 
 
TENSÃO >>> V, E ou U >>> V (volts) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fontes de corrente contínua (CC): 
 Apresentaremos 3 tipos de fontes de tensão CC: 
 
Baterias e pilhas: Utilizam reações químicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
2
Geradores: Transformam energia mecânica em elétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fontes de alimentação: Obtém corrente contínua retificando corrente alternada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência: 
 Oposição à passagem de corrente em um condutor. R = ρ (l / A) 
 
RESISTÊNCIA >>> R >>> Ω (ohms) 
 
 
 
 
 
R2 > R1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
3
Medidores: 
 
Amperímetro: É utilizado para medir intensidade de corrente. Deve ser ligado em 
SÉRIE com o circuito logo, é necessário abrir o circuito para a sua colocação. 
 
Voltímetro: É utilizado para medir a diferença de potencial entre 2 pontos. Deve ser 
ligado aos 2 pontos do circuito nos quais queremos medir a diferença de potencial, em 
PARALELO. 
 
Ohmímetro: É utilizado para medição de resistência. Seu uso é externo ao circuito e 
para isso ele contém uma fonte interna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
4
Potenciômetro: É um tipo de resistor variável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multímetro: Faz medição tanto de tensão, quanto de corrente e resistência. Pode ser do 
tipo analógico ou digital. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lei de Ohm: 
 Em circuitos elétricos, o EFEITO que desejamos estabelecer é o escoamento de 
cargas ou corrente. A diferença de potencial ou tensão entre 2 pontos do circuito é a 
CAUSA e a resistência representa a OPOSIÇÃO ao escoamento de cargas. Então, 
 
EFEITO = CAUSA / OPOSIÇÃO >>> CORRENTE = TENSÃO / RESISTÊNCIA 
 
I = E / R ou E = RI ou R = E / I >>> LEI DE OHM 
 
Circuito básico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
5
Exemplos: 
1) Calcule a corrente que atravessa o resistor de 2 kΩ da figura abaixo se a queda de 
tensão entre seus terminais é de 16 V. 
 
Solução: I = V/ R 
 
I = 16 / 2 k >>> I = 8 mA 
 
 
2) Calcule a ddp que deve ser aplicada ao ferro de soldar da figura abaixo para que ele 
seja percorrido por uma corrente de 1,5 A. A resistência interna do ferro é de 80 Ω. 
 
Solução: E = R I 
 
E = (80) (1,5) 
 
E = 120 V 
 
 
 
Gráficos V x I: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 Determine a resistência associada ao gráfico da figura abaixo. 
 
Solução: Para V = 6 V >>> I = 3 mA 
 
R = V / I = 6 / 3 m >>> R = 2 kΩ ou 
 
R = ΔV / ΔI = 2 / 1 m >>> R = 2 kΩ 
 
 
 
 
 
 
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
6
Potência: 
 A potência é uma grandeza que mede quanto trabalho (conversão de energia de 
uma forma em outra) pode ser realizado em um certo período de tempo ou seja, é a 
RAPIDEZ com que um trabalho é realizado. 
 
1 Watt (W) = 1 Joule / segundo (J/s) 
 
P = W / t >>> I = Q / t >>> t = Q / I 
 
P = (W / Q) . I >>> P = V I ou P = V2 / R ou P = I2 R 
 
Exemplos: 
1) Calcule a potência consumida pelo motor de corrente contínua ilustrado abaixo. 
 
 
Solução: P = V I 
 
P = (120) (5) >>> P = 600 W ou 
 
P = 0,6 kW 
 
 
 
 
2) Qual a potência dissipada por um resistor de 5 Ω quando ele é percorrido por uma 
corrente de 4 A ? 
 
Solução: P = I2 R = (4)2 (5) >>> P = 80 W 
 
3) Na figura abaixo vemos a curva característica de uma lâmpada de filamento. Observe 
que a curva é não-linear, o que mostra que a resistência da lâmpada varia 
consideravelmente com a tensão aplicada. Se a tensão de operação da lâmpada é 120 V, 
calcule a potência dissipada e a resistência da lâmpada para essas condições de 
funcionamento. 
 
Solução: Para V = 120 V >>> 
 
I = 0,625 A >>> P = V I 
 
P = (120) (0,625) 
 
P = 75 W 
 
R = V / I >>> R = 120 / 0,625 
 
R = 192 Ω 
 
 
 
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
7
Eficiência: 
 Seja a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Um motor de 2 hp opera com 75 % de eficiência. Qual a potência de entrada em 
watts? Se a tensão aplicada ao motor é de 220 V, qual é a corrente de entrada? 
Solução: 
 1 hp >>> 746 W; η % = (Ps / Pe) x 100 % >>> 0,75 = (2) (746) / Pe >>> 
Pe = 1492 / 0,75 >>> Pe = 1989,33 W; Pe = E I >>> I = Pe / E = 1989,33 / 220 >>> 
I = 9,04 A. 
Obs: ηtotal = η1 . η2 . η3 ... ηn 
2) Calcule a eficiência total do sistema da fig. abaixo sabendo que η1 = 90 %, η2 = 85 % 
e η3 = 95 %. No caso da eficiência η1 cair para 40 %, calcular a nova eficiência total e 
compare com o resultado anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: ηtotal = (0,90) (0,85) (0,95) = 0,727 >>> ηtotal = 72,7 %. No 2º caso: 
ηtotal = (0,40) (0,85) (0,95) = 0,323 >>> ηtotal = 32,3 % >>> O limite máximo para a 
eficiência de um sistema de vários estágios é dado pelo rendimento do subsistema 
menos eficiente. 
Energia: 
 Afim de que uma potência se traduza na realização de algum trabalho, um 
sistema deve ser utilizado durante um certo tempo. As unidades da energia elétrica mais 
usadas são o Watt-hora (Wh) e o Quilowatt-hora (kWh). 
 
Obs: 1 kWh é a energia dissipada por uma lâmpada de filamento de 100 W que 
permanece acesa durante 10 horas. 
 
 A energia de entrada é igual ao 
somatório da energia de saída com a 
energia perdida ou armazenada no 
sistema. Logo, em relação ao tempo: 
 
Pe = Ps + PPerd. ou armaz. >>> 
 
η = Ps / Pe >>> eficiência em % 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
8
Exemplos: 
1) Durante quanto tempo um aparelho de televisão de 205 W deve ficar ligado para 
consumir 4 kWh? 
Solução: W = (P . t) >>> t = W / P >>> t = 4 k / (205) >>> t = 19,51 h. 
 
2) Suponha que a posição dos ponteiros em um medidor seja a ilustrada abaixo. Se o 
resultado de uma leitura anterior foi 4650 kWh, calcule a conta a ser paga pelo consumo 
de energia entre as duas leituras, se cada kWh custa R$ 0,09.Circuitos em série: 
 Dois tipos de corrente são usados em equipamentos elétricos e eletrônicos: CC, 
cuja intensidade e sentido não variam com o tempo e CA, cuja intensidade e sentido 
mudam constantemente. Neste item veremos apenas os circuitos CC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Um circuito consiste em um número qualquer de elementos unidos por seus 
terminais, com pelo menos um caminho fechado, para que a corrente possa fluir. 
 Dois elementos estão em série se: 
1 – Possuem somente um terminal em comum. 
2 – O ponto comum entre os dois elementos não está conectado a outro elemento 
percorrido por corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
5360 kWh – 4650 kWh = 710 kWh 
 
 
710 kWh (0,09 / kWh) = 63,9 >>> 
 
R$ 63,90 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
9
Obs.: 
1) Quando 2 ou mais elementos de um circuito estão ligados em série, a corrente é 
a mesma em todos eles. 
2) Ramo é qualquer parte do circuito que possui um ou mais elementos em série. 
3) A resistência total de um circuito em série é a soma das resistências do circuito. 
Ela é sempre obtida através da “visão” da fonte: 
 
RT = R1 + R2 + ... + Rn (Ω) 
 
 Do circuito da figura anterior teremos então: 
 
 
 
 
 
 
 
Is = E / RT ; V1 = I R1 ; V2 = I R2 ; Vn = I Rn ; P1 = V1 I = I
2 R1 = V1
2 / R1 . 
 
A potência fornecida pela fonte é: P = E I. 
A potência total fornecida a um circuito resistivo é igual à potência total dissipada pelos 
elementos resistivos presentes no circuito: P = PT = P1 + P2 + ... + Pn . 
 
Exemplos: 
1) Para o circuito abaixo, encontre RT, I, V1, V2, P1, P2, P3, P e compare P com a soma 
das potências dissipadas em cada resistor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= (2,5)2(1) = 6,25 W; P3 = V3
2/R3 = (12,5)
2/(5) = 31,25 W; P = EI = (20)(2,5) = 50 W; 
 
P1 + P2 + P3 = 12,5 + 6,25 + 31,25 = 50 W >>> confere. 
 
2) Determine RT, I e V2 para o circuito abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: RT = R1 + R2 + R3 = 2 + 1 + 5 = 8 Ω; 
 
I = E/RT = 20/8 = 2,5 A; V1 = IR1 = (2,5)(2) = 5 V; 
 
V2 = IR2 = (2,5)(1) = 2,5 V; V3 = IR3 = (2,5)(5) = 
 
= 12,5 V; P1 = V1I = (5)(2,5) = 12,5 W; P2 = I2
2R2 = 
Solução: RT = NR1 + R2 = (3)(7) + 4 = 21 + 4 = 
 
= 25 Ω; I = E/RT = (50)/(25) = 2 A; V2 = IR2 = 
 
= (2)(4) = 8 V. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
10
Fontes de tensão em série: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lei de Kirchhoff para tensões (LKT): 
 Esta lei afirma que a soma algébrica das variações de potencial em uma malha 
fechada é nula. Uma malha fechada é qualquer caminho contínuo que deixa um ponto 
em um sentido e retorna ao mesmo ponto vindo do sentido oposto, sem deixar o 
circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: A aplicação da LKT não precisa seguir um caminho que inclua elementos 
percorridos por corrente, por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Determine as tensões desconhecidas nos circuitos abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ET = E1 + E2 + E3 = 10 + 6 + 2 = 18 V. 
 
 
 
 
 
ET = E2 + E3 – E1 = 9 + 3 – 4 = 8 V. 
+ E – V1 – V2 = 0 >>> E = V1 + V2 . 
 
 A tensão aplicada a um circuito em 
série é igual à soma das quedas de tensão 
nos elementos em série. 
+ 12 – Vx – 8 = 0 >>> Vx = 12 – 8 >>> 
 
Vx = 4 V. 
(c) 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
11
Solução: a) + E1 – V1 – V2 – E2 = 0 >>> V1 = E1 – V2 – E2 = 16 – 4,2 – 9 = 2,8 V. 
 
b) + E – V1 – Vx = 0 >>> Vx = E – V1 = 32 – 12 = 20 V ou + Vx – V2 – V3 = 0 >>> 
 
Vx = V2 + V3 = 6 + 14 = 20 V. 
 
c) + 25 – V1 + 15 = 0 >>> V1 = 25 + 15 = 40 V; – V2 – 20 = 0 >>> V2 = – 20 V. 
 
Intercambiando elementos em série: 
 Os elementos de circuitos em série podem ser intercambiados sem que a 
resistência total, a corrente que atravessa o circuito e a potência consumida pelos 
diferentes elementos sejam afetadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 Determine I e a tensão entre os terminais do resistor de 7 Ω do circuito abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra dos divisores de tensão: 
 Nos circuitos em série, a tensão entre os terminais dos elementos respectivos se 
divide na mesma proporção que os valores da resistência. 
 
 
 
 
 ou 
 
 
 
Solução: RT = (2)(4) + 7 >>> 
 
RT = 15 Ω; I = E / RT = 
 
= (37,5)/(15) >>> I = 2,5 A; 
V7 Ω = I R = (2,5)(7) >>> V7 Ω = 17,5 V. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
12
Dedução da regra: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Utilizando a regra dos divisores de tensão, determine as tensões V1, V3 e V’ para o 
circuito em série abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine os valores de R1 e R2 no divisor de tensão do circuito abaixo para que 
VR1 = 4 VR2 . 
 
 
 
 
 
Notação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RT = R1 + R2 ; I = E / RT ; V1 = I R1 = (E / RT) R1 = 
 
= (R1 E) / RT ; V2 = I R2 = (E / RT) R2 = (R2 E) / RT. 
 
Então: Vx = (Rx E) / RT >>> regra dos divisores de 
 
tensão. 
Solução: V1 = R1E/RT = (2 k)(45)/(2 k + 5 k + 8 k) 
 
>>> V1 = 6 V; V3 = R3 E / RT = (8 k)(45)/(15 k) 
 
>>> V3 = 24 V; V’ = R’ E / RT = 
 
= (2 k + 5 k)(45) / (15 k) >>> V’ = 21 V. 
Solução: RT = E / I = 20 / 4 m = 5 k Ω; como 
 
VR1 = 4 VR2 >>> R1 = 4 R2 >>> RT = R1 + R2 
 
= 4 R2 + R2 = 5 R2 = 5 k Ω >>> R2 = 1 k Ω 
 
>>> R1 = 4 k Ω. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
13
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Encontre as tensões Vb, Vc e Vac no circuito abaixo: 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Utilizando a regra dos divisores de tensão, determine as tensões V1 e V2 do circuito 
abaixo. 
 Solução: Redesenhando o circuito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vab = Va – Vb = 10 – 4 = 6 V 
Vb = 10 – 4 = 6 V 
Vc = Vb – 20 = 6 – 20 = – 14 V ; 
 
Vac = Va – Vc = 10 – (–14) = 24 V. 
V1 = R1E / (R1 + R2) = 
 
= (4)(24) / (4 + 2) = 16 V; 
 
V2 = R2E / (R1 + R2) = 
 
= (2)(24) / (4 + 2) = 8 V. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
14
Circuito paralelo: 
 Dois elementos, ramos ou circuitos estão ligados em paralelo quando possuem 
dois pontos em comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condutância total: 
 É a soma das condutâncias individuais: GT = G1 + G2 + G3 + ... + GN  
1/RT = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 + ... + 1/RN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Determine a condutância e a resistência totais para o circuito em paralelo abaixo 
e qual seria o efeito que um resistor adicional de 10 Ω em paralelo teria sobre os 
valores de GT e RT? 
Solução: GT = G1 + G2 = 1/3 + 1/6 = 3/6  GT = 0,5 S; 
 
RT = 1/ GT = 1/0,5  RT = 2 Ω; colocando em paralelo 10 Ω: 
 
GT = 0,5 + 0,1  GT = 0,6 S e RT = 1/0,6  RT = 1,667 Ω. 
 
2) Calcule a resistência equivalente para os circuitos abaixo: 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Solução: 
RT = R/N = 12/3  RT = 4 Ω. RT = R/N = 2/4  RT = 0,5 Ω. 
RN 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
15
Obs.: A RT de umconjunto de resistores em paralelo é sempre menor que a do resistor 
de menor resistência do conjunto. 
 
Simplificando o cálculo da resistência total em paralelo: 
1) Para 2 resistores em paralelo: RT = (R1 . R2)/ (R1 + R2). 
2) Para 3 resistores em paralelo: RT = (R1 . R2 . R3)/ (R1R2 + R1R3 + R2R3). 
3) Para N resistores iguais em paralelo: RT = R/N. 
 
Circuitos em paralelo: 
 Todos os elementos de um circuito em paralelo estão submetidos à mesma 
diferença de potencial. 
 V1 = V2 = E; Is = I1 + I2  E/RT = V1/R1 + V2/R2 
 
  E/RT = E/R1 + E/R2; P1 = V1.I1 = I1
2.R1 = V1
2/R1; 
 
  P2 = V2.I2 = I2
2.R2 = V2
2/R2; 
 
  P = E.Is = Is
2.RT = E
2/RT. 
 
Exemplos: 
1) Para o circuito em paralelo abaixo, calcule: RT, Is, I1, I2, P1, P2 e P. 
 
 Solução: RT = (R1 . R2)/ (R1 + R2) = (9.18)/(9 + 18) 
 
 RT = 6 Ω; Is = E/RT = 27/6  Is = 4,5 A; 
 
 I1 = V1/R1 = 27/9  I1 = 3 A; I2 = V2/R2 = 27/18 
 
 I2 = 1,5 A; P1 = V1.I1 = 27.3  P1 = 81 W; 
 
P2 = V2.I2 = 27.1,5  P2 = 40,5 W; P = E.Is = 27.4,5  P = 121,5 W; P = P1 + P2 
 
 121,5 = 81 + 40,5  121,5 = 121,5  OK! 
 
2) Considerando os dados do circuito abaixo, determine: R3, E, Is, I2 e P2. 
 
 Solução: 1/RT = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3  
 
 1/4 = 1/10 + 1/20 + 1/R3  1/R3 = 1/4 - 1/10 - 1/20 
 
 1/R3 = 2/20  R3 = 10 Ω; E = V1 = R1.I1 = 10.4 
 
E = 40 V; Is = E/RT = 40/4  Is = 10 A; I2 = 
 
V2/R2 = 40/20  I2 = 2 A; P2 = V2.I2 = 40.2  P2 = 80 W. 
 
Lei de Kirchhoff para a corrente: 
 A soma algébrica das correntes que entram e saem de uma região, sistema ou nó 
é igual a zero. 
∑ Ientram = ∑ Isaem 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
16
Exemplos: 
1) Utilizando a LKC, determine as correntes I3 e I5 no circuito abaixo. 
 
 Solução: 
 
 Em a: I1 + I2 = I3  I3 = 4 + 3  I3 = 7 A; 
 
 Em b: I3 = I4 + I5  I5 = I3 – I4 = 7 – 1  I5 = 6 A. 
 
 
2) Determine o valor e o sentido da corrente I1 do circuito integrado abaixo. 
 
Solução: ∑ Ientram = 10 m + 4 m + 8 m = 22 mA; 
 
 ∑ Isaem = 5 m + 4 m + 2 m + 6 m = 17 mA  
 
 I1 = 22 – 17  I1 = 5 m A saindo. 
 
 
 
3) Determine I1, I3, I4 e I5 para o circuito abaixo. 
 
 Solução: Em a: I = I1 + I2  I1 = I – I2 = 
 
 = 5 – 4  I1 = 1 A; Em b: I1 = I3  
 
I3 = 1 A; Em c: I2 = I4  I4 = 4 A; 
 
Em d: I3 + I4 = I5  I5 = 1 + 4  
 
I5 = 5 A. 
 
Regra do divisor de corrente: 
1 – No caso de 2 elementos em paralelo com resistências iguais, a corrente se distribui 
entre os 2 elementos em partes iguais. 
2 – Se os elementos em paralelo tiverem resistências diferentes, o elemento de menor 
resistência será percorrido pela maior fração da corrente. 
3 – A razão entre os valores das correntes nos 2 ramos será inversamente proporcional à 
razão entre as suas resistências pois, 
R1I1 = R2I2  I1/I2 = R2/R1 
 
 
 
 I = V/RT =  para um ramo x qualquer: 
 
 Vx = RxIx = V  I = RxIx/RT  Ix = (RT/Rx) I. 
 
 
 
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
17
Exemplos: 
1) Determine a corrente I2 no circuito abaixo, utilizando a regra do divisor de 
corrente. 
 Solução: I2 = R1 Is/(R1+ R2) = (4 k)(6)/(4 k + 8 k)  
 
 
 I2 = 2 A. 
 
 
 
 
 
2) Calcule o valor da corrente I1 no circuito abaixo. 
 
 Solução: I1 = [(R2//R3) I] / [R1 + (R2//R3)]; 
 
 R2//R3 = (24)(48) / (24 + 48) = 16 Ω; 
 
 I1 = (16)(42 m) / (6 + 16)  I1 = 30,54 mA 
 
 
 
3) Determine o valor de R1 de modo a efetuar a divisão de corrente do circuito 
abaixo. 
 
Solução: I1 = R2 I/(R1+ R2)  R1I1 + R2I1 = R2 I 
 
 R1I1 = R2 (I – I1)  R1 = R2 (I – I1) / I1 = 
 
 = 7(27 – 21) / 21  R1 = 2 Ω. 
 
 
 
Fontes de tensão em paralelo: 
 A única condição de se interligar fontes de tensão em paralelo é que elas sejam 
de mesmo valor, cujo objetivo é aumentar o valor de corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
18
Circuito série-paralelo: 
 
Princípios gerais: 
1 – Estudar o problema “como um todo”; 
2 – Examine cada região do circuito separadamente; 
3 – Redesenhe o circuito várias vezes; 
4 – Depois de obter a solução, verificar se ela é razoável. 
 
Método de redução e retorno: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
1) Cada bloco do circuito abaixo representa um resistor. Determine as correntes Is, IA, IB 
e IC. 
 
 
 
  
. 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
(a) R’T = (R3 + R4) // R2 ; 
 
 
(b) RT = R1 + R’T ; 
 
 
 
(c) Is = E / RT ; 
 
 
 
(d) V2 = R’T . Is ; 
 
 
(e) V4 = (R4 . V2) / (R4 + R3). 
RB//C = RB//RC = (12k.6k)/(12k + 6k) = 
 
= 72k2/18k = 4 kΩ; RT = 2k + 4 k = 6 kΩ. 
Is = E / RT = 54 / 6 k  Is = 9 mA. 
IA = Is = 9 mA; IB = (6k . 9m)/(6k + 12k) = 
 
= 54/18k  IB = 3 mA; 
 
IC = (12k . 9m)/(6k + 12k) = 108/18k  
 
IC = 6 mA; ou IC = Is – IB = 9m – 3m = 6 mA. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
19
2) Calcule, para o circuito abaixo, a corrente I4 e a tensão V2. 
 
 
 
 
 
 
 
I4 = E / RB = 12 / 8  I4 = 1,5 A; V2 = (RD.E)/(RD + RC); RD = R2//R3 = (3.6)/(3 + 6) 
 
 RD = 2 Ω  V2 = (2.12)/(2 + 4) = 24/6  V2 = 4 V. 
 
3) Determinar V1, V2 e V3 para o circuito abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circuitos abertos e curtos-circuitos: 
 Um circuito aberto consiste em 2 terminais isolados sem qualquer ligação entre 
si. Neste caso, podemos ter uma DDP qualquer entre seus terminais mas o valor da 
corrente é sempre zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
– E1 + V1 + E3 = 0  V1 = E1 – E3 = 20 – 8  
 
V1 = 12 V; – E2 + V1 + V2 = 0  V2 = E2 – V1 = 
 
= 5 – 12  V2 = – 7 V; – V3 – V2 + E3 = 0  
 
V3 = E3 – V2 = 8 – (– 7)  V3 = 15 V. 
Um curto-circuito acontece quando conectamos os 2 terminais em um elemento 
de resistência muito baixa. A corrente que percorre um curto-circuito tem seu valor 
determinado pelo sistema em que o curto está conectado mas a DDP entre seus terminais 
é sempre nula. 
Exemplo: 
 Determine, para cada um dos circuitos abaixo, as tensões e as 
correntes desconhecidas. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
20
 
 
 
 
Efeito da ligação de um voltímetro: 
 Para medir a tensão em um resistor em um circuito, coloca-se o voltímetro em 
paralelo com este. Logo, este medidor deverá ter uma resistência interna alta para não 
influenciar no resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte com divisor de tensão (com ou sem carga): 
 Carga é qualquer elemento, circuito ou sistema que consome corrente da fonte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vb = (R2’.Va)/(R2’ + R1); R2’ = (R2 + R3’)//RL2; R3’ = R3//RL3 = 30//20  R3’ = 12 Ω; 
 
R2’ = (20 + 12)//20  R2’ = 12,31 Ω; Vb = (12,31.120)/(12,31 + 10)  Vb = 66,21 V; 
 
Vc = (R3’.Vb)/(R3’ + R2) = (12.66,21)/(12 + 20)  Vc = 24,83 V. 
 
Obs.: Se as cargas fossem de 1 kΩ  Va = 120 V, Vb = 98,88 V e Vc = 58,63 V. 
 
Ligação de uma carga a um potenciômetro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fazer RL ≥ RT. 
a) como temos um curto-circuito em paralelo com 2 resistores, a RT será igual a zero 
 V = 0 V e I = IT = 12 mA. 
b) comoo circuito série está aberto  I = 0 A e V = E = 22 V. 
Sem carga: Com carga: 
 
Sem carga: Com carga: 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
21
Fonte de corrente: 
 Uma bateria fornece uma tensão fixa com a corrente por ela fornecida podendo 
variar de acordo com a carga. Já a fonte de corrente, fornece uma corrente fixa com a 
tensão de saída podendo variar de acordo com a carga. Então, a fonte de corrente é 
freqüentemente chamada de dual da fonte de tensão. 
Exemplo: 
 Encontre a tensão Vs e as correntes I1 e I2 para o circuito abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Conversão de fontes: 
 As fontes, na realidade, não são ideais e o que se quer é uma resistência interna 
de uma fonte de tensão tão pequena quanto possível (Rs ≈ 0 Ω). Assim como se requer 
uma resistência interna enorme para uma fonte de corrente (Rs ≈ ∞ Ω). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 Para o circuito (a): 1) converta a fonte de tensão em uma fonte de corrente e 
calcule a corrente na carga de 4 Ω para cada tipo de fonte; 2) substitua a carga de 4 Ω 
por uma de 1 kΩ e calcule a corrente IL para a fonte de tensão; 3) Repita o cálculo do 
item 2 supondo uma fonte de tensão ideal (Rs = 0 Ω) pois RL é muito maior que Rs. Esta 
é uma aproximação apropriada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vs = E = 12 V; I2 = VR/R = E/R = 12/4  I2 = 3 A; 
 
I = I1 + I2  I1 = I – I2 = 7 – 3  I1 = 4 A. 
1) (a) IL = E/(Rs + RL) = 6/(2 + 4)  IL = 1 A; 
 
(b) IL = Rs.I/(Rs + RL) = 2.3/(2 + 4) = 6/6  
 
  IL = 1 A; 
 
2) IL = E/(Rs + RL) = 6/(2 + 1 k)  
 
 IL = 5,99 mA; 
 
3) IL = E/RL = 6/1 k  IL = 6 mA ≈ 5,99 mA. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
22
Fontes de corrente em paralelo: 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine a corrente I2 no circuito abaixo. 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
Fontes de corrente em série: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
1) Reduza o circuito abaixo a uma única fonte e calcule a corrente em RL. 
 
IL = Rs.Is/(Rs + RL) = 6.10/(6 + 14)  
 
 IL = 3 A. 
I2 = (E1 + E2)/(R1 + R2) = (12 + 5)/(3 + 2)  I2 = 3,4 A. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geração de corrente alternada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definições: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Forma de onda: gráfico de uma grandeza como tensão em função do tempo, posição, 
temperatura ou outra variável qualquer. 
 Amplitude: valor máximo de uma forma de onda em relação ao valor médio (Em, 
Vm, Am). 
 Valor instantâneo: amplitude em um instante qualquer (e1, e2). 
 Valor de pico: valor máximo de uma função medido a partir do nível zero. No caso 
da senóide este valor é idêntico à amplitude. 
 Valor pico a pico: diferença entre os valores dos picos positivo e negativo, isto é, a 
soma dos módulos das amplitudes positiva e negativa (Epp, Vpp). 
 Forma de onda periódica: forma de onda que se repete após um certo intervalo de 
tempo constante. 
 Período: intervalo de tempo entre repetições sucessivas de uma forma de onda 
periódica (T). 
 
 
 
 
O termo alternada indica que o 
valor da tensão ou da corrente alterna 
(oscila) regularmente entre 2 níveis. As 
formas de onda alternadas podem ser 
senoidais, quadradas ou triangulares, 
variantes com o tempo. 
Corrente alternada ou CA 
Obtém-se uma onda alternada 
através de usinas hidroelétricas (queda 
d’água), termoelétricas (gás) ou nucleares 
que utilizam estes elementos para fazer 
girar um rotor envolvido pelos 
enrolamentos do estator (a parte 
estacionária) de um gerador ou 
alternador, induzindo assim uma tensão 
nos enrolamentos. 
 Outros tipos de geração de energia são a eólica (ventos), a solar e os painéis de 
células fotoelétricas. Em uma bancada, tem-se o gerador de funções ou gerador de sinais 
que é um equipamento capaz de gerar tensões alternadas para trabalho que podem ser 
controladas pelo usuário. 
 
 Ciclo: parte de uma forma de onda contida em um intervalo de tempo igual a um 
período. 
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
24
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
a) 60 Hz; b) 1.000 Hz. 
Solução: a) T = 1 / f = 1 / 60  T = 0,01667 s ou T = 16,67 ms; 
b) T = 1 / 1.000  T = 10-3 s ou T = 1 ms. 
 
2) Determine a freqüência da forma de onda da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: 
1) Representação de fontes CA: 
 
 
 
 
2) A senóide é a única forma de onda que não se altera ao ser aplicada a um 
circuito contendo resistores, capacitores e indutores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Radianos x Graus: 
 O radiano é a medida de ângulo correspondente ao comprimento do arco igual 
ao raio da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
1 Hz = 1 c/s 
 Freqüência (f): número de 
ciclos contidos em 1 s. 
Unidade: hertz (Hz). 
 
f = 1 / T ou T = 1 / f 
1) Calcule o período de uma forma de onda periódica cuja freqüência é: 
 
Solução: T = 25 m – 5 m = 20 ms  
 
 f = 1 / T = 1 / 20 m  f = 50 Hz. 
 
 
.60
3
180
grausrad
3
;rad
2
90
180
rad90:.Ex.radianos
180
grau
graus
180
radianos;360rad23,57rad1







































 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
25
 
 
 
 
 
 
 
 
Velocidade angular ou freqüência angular (ω): 
 Consiste na velocidade angular do vetor que gera uma função senoidal. 
s/radf2ous/rad
T
2
tempot
percorridoângulo






 
Expressão geral para tensões e correntes senoidais: 
 
Am sen α  Am sen ωt  Am sen 2πf 
Exemplo: 
 Plote o gráfico de e(t) = 10 sen 314 t, tomando como unidade do eixo horizontal: 
a) o ângulo α em graus; b) o ângulo α em radianos; c) o tempo t em segundos. 
 
 
 
 
 
 
c) 360° : T = 2π / ω = 2π / 314  T = 20 ms; 180° : T / 2 = 10 ms; 90° : T / 4 = 5 ms; 
 30° : T / 12 = 1,67 ms. 
 
Relações de fase: Am sen (ωt ± θ) onde θ  valor do deslocamento em graus ou 
radianos. 
Ex.: sen (ωt + 90°) = sen (ωt + π/2) = cos ωt; sen ωt = cos (ωt – 90°) = cos (ωt – π/2). 
Obs.: Os termos atrasado e adiantado são utilizados para indicar diferenças de fase entre 
duas formas de onda senoidais de mesma freqüência plotadas no mesmo gráfico. 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Qual é a relação de fase entre as formas de onda senoidais em cada um dos seguintes 
pares: a) i = 15 sen (ωt + 60°) e v = 10 sen (ωt – 20°); b) i = – 2 cos (ωt – 60°) e 
v = 3 sen (ωt –150°). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A corrente está adiantada 80° em relação à 
tensão ou v está atrasada 80° em relação à i. 
i = – 2 cos (ωt – 60°) = 2 [– cos (ωt – 60°)] 
= 2 sen (ωt – 60° – 90°) = 2 sen (ωt – 150°) 
 i e v estão em fase. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
26
Valor médio: 
 Valor associado a uma onda tal que a área da curva acima deste valor é igual à 
área abaixo deste valor. Numa senóide este valor é igual a zero. 
Valor eficaz ou valor rms: 
 Valor de corrente ou tensão contínua equivalente, do ponto de vista de 
dissipação de potência, a uma correnteou tensão alternada. 
     
 
 .tensãoparaidemI707,0II707,0
2
I
Iou
I2I
2
IR
IRPP:fazendo;ACmédiapotência
aé
2
IR
onde
2
t2cosIR
2
IR
Pt2cos1
2
1
IRP
t2cos1
2
1
tsen;tsenIRtsenIRiRP
mefm
m
DC
DCm
2
m2
DCACDC
2
m
2
m
2
m
AC
2
mAC
222
m
2
m
2
ACAC











 
Exemplo: 
 Encontre os valores eficazes para as formas de onda senoidais abaixo: 
 Solução: 
  

   .V12073,169707,0Vc
;frequênciadaindepende
eficazvaloromA484,8Ib
;mA484,810.12707,0Ia
ef
ef
3
ef


 
 
Obs.: A derivada de uma senóide é uma co-senóide e estas duas formas de onda têm o 
mesmo período e a mesma freqüência. Então: 
          tcosEf2tcosE
dt
ted
tsenEte mmm
 
 
 
 
 
 
 
Resposta dos elementos básicos R, L e C a uma tensão ou corrente senoidal: 
 
Resistor: 
 
   
R
V
ItsenItsen
R
V
R
tsenV
R
tv
ti mmm
mm 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em um elemento puramente resistivo, a tensão entre 
seus terminais e a corrente que o atravessa estão em fase e a 
relação entre os valores de pico das duas grandezas é dada 
por Vm = Im R. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
27
Indutor: 
 
     
 
 .emindutivareatânciaLX
L
I
V
ILV90tsenV
tcosIL
dt
tsenId
L
dt
tid
Ltv
L
m
m
mmm
m
mL
L





 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capacitor: 
 
 
   
 
 .emcapacitivareatância
C
1
X
C
1
I
V
VCI90tsenI
tcosVC
dt
tsenVd
L
dt
tvd
Cti
C
m
m
mmm
m
mC
C









 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: 
 Se a corrente está adiantada em relação à tensão aplicada, o circuito é capacitivo; 
se a corrente está atrasada em relação à tensão, o circuito é indutivo; se a corrente e a 
tensão estão em fase, o circuito é resistivo. 
Exemplo: Dados os pares de expressões para tensões e correntes a seguir, verifique se o 
elemento envolvido é um capacitor, um indutor ou um resistor e determine os valores de 
C, L e R se possível. 
a) v = 100 sen (ωt + 40°) e i = 20 sen (ωt + 40°); 
b) v = 1000 sen (377t + 10°) e i = 5 sen (377t – 80°); 
c) v = 500 sen (157t + 30°) e i = 1 sen (157t + 120°); 
d) v = 50 cos (ωt + 20°) e i = 5 sen (ωt + 110°). 
Solução: 
a) Como v e i estão em fase  resistor  R = Vm/Im = 100/20  R = 5 Ω; 
b) Como v está adiantada de 90° em relação a i  indutor  XL = Vm/Im = 1000/5 = 
= 200 Ω  ωL = 200  L = 200/377  L = 0,531 H; 
c) Como i está adiantada de 90° em relação a v  capacitor  XC = Vm/Im = 500/1 = 
= 500 Ω  1/ωC = 500  C = 1/(157.500)  C = 12,74 μF; 
d) Como v e i estão em fase  resistor  R = Vm/Im = 50/5  R = 10 Ω. 
Para um indutor, vL(t) está adiantada de 90° em relação a iL(t). 
Para um capacitor, iC(t) está adiantada de 90° em relação a vC(t). 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
28
Potência AC: 
 
 
 
 
 
 
 
Se v e i forem grandezas senoidais, teremos: v = Vm sen (ωt + θv) e i = Im sen 
(ωt + θi) fazendo θ = θv – θi 
1º caso: θ = 0°  v e i em fase  carga puramente resistiva; 
2º caso: θ positivo  v adiantada em relação a i  circuito indutivo; 
3º caso: θ = 90°  carga puramente indutiva; 
4º caso: θ negativo  i adiantada em relação a v  circuito capacitivo; 
5º caso: θ = – 90°  carga puramente capacitiva. 
Aplicando relações trigonométricas ao produto vi, temos: 
 











 iv
mmmm t2cos
2
IV
cos
2
IV
p
 
O 1º termo desta equação é constante e representa uma transferência de energia: 
)W(WATTSemmédiaPotênciacosIVcos
2
I
2
V
cos
2
IV
P efef
mmmm 












 
O valor da potência média é o mesmo, quer a tensão esteja atrasada ou adiantada 
em relação à corrente. Nesta equação, se cos θ = 0, a potência é nula e se cos θ = 1 ela 
será máxima então, cos θ  Fp  Fator de Potência. 
 
Obs.: Os circuitos capacitivos têm um fator de potência adiantado enquanto que 
circuitos indutivos têm um fator de potência atrasado. 
Exemplo: 
 Determine os fatores de potência das cargas a seguir e verifique se eles são 
atrasados ou adiantados. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em um sistema como ao da figura 
ao lado, a potência fornecida a uma carga 
em qualquer instante é definida pelo 
produto da tensão aplicada pela corrente 
resultante: 
p = v i 
Fp = cos θ = cos [40° – (– 20°)] = 
 
= cos 60° = 0,5 adiantado 
Fp = cos θ = P / Vef . Ief = 100 / 20 . 5 = 
 
= 100 / 100 = 1  carga resistiva  
 
nem adiantado, nem atrasado. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
29
Números complexos: 
1) Forma retangular  C = X + jY: 2) Forma polar  C = Z /_θ_: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Retangular para polar: C = √ X2 + Y2 e θ = arc tg Y/X 
 
4) Polar para retangular: X = Z cos θ e Y = Z sen θ 
 
Fasor: 
 É um vetor soma, de módulo constante e com um ponto fixo na origem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caso tenhamos ângulos diferentes de 0° e 90°: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Também podemos admitir que o módulo de um fasor represente o valor eficaz 
da função senoidal que o representa. Sabendo-se que a álgebra dos fasores só pode ser 
aplicada a formas de onda senoidais de mesma freqüência: 
   
 .4,46tsen63,104,46/63,104,46/7,7.2
4,46/7,743,5j18,5iii;67,3j12,260/242,460/6.707,0
60tsen6i;76,1j06,330/535,330/5.707,030tsen5i
T21
21



 
 Então, a forma fasorial de uma tensão ou de uma corrente será V = Vef /θ e 
I = Ief /θ onde θ é o ângulo de fase. 
 
 
 .43,63tsen236,2v
ou43,63/236,2v
43,63
1
2
tgarc
v
v
tgarc;236,25
12vvv
T
T
2
1
T
222
2
2
1T





 
 
   
 
 
 
 .4,46tsen63,10
4,46/63,107,7j33,7
iii;2,5j32,5,3
60sen6,60cos660/6
60tsen6i;5,2j33,4
5,2,33,430sen5,30cos5
30/530tsen5i
T21
2
1







 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
30
Exemplos: 
1) Converta as expressões a seguir do domínio do tempo para o domínio dos 
fasores. Solução: 
   
      
     .90/82,3190/45707,0ctcos45c
;72/21,4972/6,69707,0b72tsen6,69b
;0/50atsen502a



 
2) Determine a corrente i2 para o circuito abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
   
     .89,100tsen10.8,10589,100tsen10.82,74289,100/mA82,74
mA47,73jmA14,140mA47,73jmA56,56mA42,42i
0jmA56,560/mA56,56tsen10.80i;mA47,73jmA42,42
60/mA84,8460tsen10.120i;iiiiii
33
2
3
1
3
T1T221T






Impedância: 
 É uma grandeza que tem módulo e fase mas não é um fasor pois esta grandeza 
não varia com o tempo. 
 
Elementos resistivos: 
 
.impedância0/RZ
0/
I
V
0/I
0/V
i
v
0/ItsenIi
;0/VtsenVv:fasorialformaem
;R
I
V
RIV
R
V
I
R
m
m
m
m
mm
m
m







 
 
 
 
 
 
+ 
 
 
- 
v = Vm sen ωt 
i = Im sen ωt 
R 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
31
Reatância indutiva: 
 
.impedância90/XZ90/
I
V
90/I
0/V
i
v
90/I90tsenIi
;0/VtsenVv:fasorialformaem
;R
I
V
RIV
R
V
I
LL
L
L
L
L
L
L
LmL
LmL
m
m
mm
m
m







 
Reatância capacitiva: 
 
.impedância90/XZ90/
I
V
90/I
0/V
i
v
90/I90tsenIi
;0/VtsenVv:fasorialformaem
;R
I
V
RIV
R
V
I
CC
C
C
C
C
C
C
CmC
CmC
m
m
mm
m
m







 
Diagrama de impedâncias: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 Calcule as tensões vR, vL e vC no circuito abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
     
  
  
.87,6/V85v
13,53/10
60/V850
13,53/10
30/V5090/17
Z
EZ
v;13,173/V45v
13,53/10
120/V450
13,53/10
30/V5090/9
Z
EZ
v;13,83/V30v
13,53/10
30/V300
8j6
30/V300
17j9j6
30/V300
90/1790/90/6
30/V500/6
ZZZ
EZ
v:Solução
C
T
C
CL
T
L
LR
CLR
R
R






























 
+ 
 
 
- 
v = Vm sen ωt 
i 
XL = ωL 
+ 
 
 
- 
v = Vm sen ωt 
i 
XC = 1/ωC 
j 
XL /90° 
R /0° 
XC /-90° 
+ 
+ 
 
- 
E = 50 V /30° 
+ VR - + VL - + VC - 
R = 6 Ω XL = 9 Ω XC = 17 Ω 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
32
Circuitos resistivos: 
 
 
t2cos
2
IV
2
IV
P0 mmmmR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Toda a potência fornecida a um resistor é dissipada em forma de calor. 
 
Potência Aparente (S): 
 Como o fator de potência de uma carga tem influência sobre a potência dissipada 
por ela, consideramos o produto tensão x corrente (VI) em uma carga como a potência 
aparente, dada em Volt-Ampères (VA). 
 
 
 
 
 
 
 
A potência média fornecida à carga é: 
P = V I cos θ  P = S cos θ  Fp = cos θ = P / S 
O fator de potência de um circuito é a relação entre a potência média e a 
potência aparente. Para um circuito puramente resistivo  Fp = 1 
Em geral, a potência de equipamentos é especificada em VA ou kVA e não em 
W. Por exemplo, um equipamento cuja potência de trabalho é 10 kVA e cuja tensão de 
operação é 200 V não deve operar com uma corrente maior que: I = 10000 / 200 = 50 A. 
 
Circuitos indutivos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não tem potência média e nenhuma energia é perdida no processo. 
S = V I  V = I Z  I = V / Z  S = I2 Z e S = V2 / Z 
v adiantada 90° em relação a i  θ = 90°  
 
 PL = V I sen 2ωt 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
33
Potência Reativa (Q): 
 
 Q = V I sen θ VAR (Volt-Ampères Reativos); Para um indutor: QL = V I 
como V = I XL  I = V / XL  QL = I
2 XL e QL = V
2 / XL 
A potência aparente associada a um indutor é S = V I e a potência média é P = 0 
logo, o fator de potência será: Fp = cos θ = P / S = 0 / VI = 0. 
 
Circuitos capacitivos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo das potências: 
 As grandezas potência aparente (S), potência média (P) e potência reativa (Q) 
estão relacionadas pela seguinte equação vetorial: 
.90/90/;0/  CCLL QQeQQPPondeQPS

 
 
Diagramas de potência: 
 
Cargas indutivas: Cargas capacitivas: 
 
 
 
 
 
 
 
 CL QjPSQjPS

 
Obs.: Como os vetores associados à potência reativa e à potência média são sempre 
perpendiculares, os valores das 3 potências estão relacionados pelo teorema de 
Pitágoras: 
 
Diagrama de impedância para um circuito RLC série: 
 
 
 
 
 
 
 
i está adiantada de 90° em relação a v  θ = – 90°  
 
 PC = – V I sen 2ωt 
 
QC = V I (VAR)  QC = I
2 XC  QC = V
2 / XC ; Fp = cos θ = P / S = 0 / VI = 0 
S2 = P2 + Q2 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
34
Exemplo: 
a) Encontre o número total de Watts, Volt-Ampères Reativos e Volt-Ampères e o fator 
de potência Fp para o circuito abaixo; b) Desenhe o triângulo das potências; c) Encontre 
a energia dissipada pelo resistor durante um ciclo completo da tensão, se a freqüência da 
tensão for 60 Hz; d) Encontre a energia armazenada ou devolvida pelo capacitor e pelo 
indutor durante meio ciclo da curva de potência se a freqüência da tensão for 60 Hz. 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Os consumidores de energia elétrica pagam pela potência aparente que consomem 
e não pela potência dissipada em seus equipamentos. Assim, quanto mais próximo de 1 
estiver o fator de potência de um consumidor, maior a eficiência dos seus equipamentos. 
 

     
   ;87,36V150V901513,53A10V;13,143V70V
90713,53A10V;13,53V60V0613,53A10V
;13,53A10I
13,5310
0V100
15j7j6
0V100
Z
E
Ia
CCL
LRR
T









 
  
     
  
     
    
       
 .capacitivoadiantado6,0F
VA1000
W600
S
P
F
;VAR800VAR700VAR1500
7
V70
15
V150
X
V
X
V
QouVAR800715A10
XXIQQQouVAR800Q13,53senA10V100
senIEQ;VA1000
10
V100
Z
E
SouVA100010A10
ZISouVA1000SA10V100IES
;W600
6
V60
R
V
PouW6006A10
RIPouW600P13,53cosA10V100cosIEP
P
T
T
P
22
L
2
L
C
2
C
T
2
LC
2
LCTT
T
2
T
2
T
2
T
2
TT
22
R
T
2
2
TTT
















 
   
.J10W
Hz60
A10V60
f
IV
Wc
R
R
R


   
  
  
  
.J98,3W
Hz602
A10V150IV
W;J86,1W
Hz602
A10V70IV
Wd C
C
CL
L
L 








Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
35
Correção do fator de potência: 
Correntes altas  perdas de potência nas linhas de transmissão (P = I2R)  
condutores mais parrudos  maior capacidade de geração de energia. 
Conclusão: 
Limitar a corrente ao mínimo necessário. Esta corrente é mínima quando S = 
P, QT = 0  FP = 1  carga resistiva  introduz-se elementos reativos para levar o 
fator de potência a um valor mais próximo da unidade  correção do fator de 
potência. 
Como em geral as cargas são indutivas, o processo normalmente envolve a 
introdução de elementos capacitivos para aumentar o fator de potência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Um motor de 5 hp com um fator de potência atrasado 0,6 e cuja eficiência é 92 % 
está conectado a uma fonte de 208 V e 60 Hz. 
a) Construa o triângulo de potências para a carga; 
b) Determine o valor do capacitor que deve ser ligado em paralelo coma carga de 
modo a aumentar o fator de potência para 1; 
c) Compare a corrente na fonte do circuito compensado com a do circuito não 
compensado; 
d) Determine o circuito equivalente para o circuito acima e verifique as conclusões. 
Solução: 

   
.VA25,6757
8,540535,4054QPS
;VAR8,540513,53tg.35,4054
tgPQ
P
Q
tg
;13,536,0cosarc6,0cosF
;W35,4054
92,0
3730P
P
;W3730746.5hp5PW746hp1a
222
L
2
i
iL
i
L
p
o
i
o









 
  
.F6,331C
8.60.2
1
fX2
1
C
8
8,5405
208
X8,5405
X
V
QQ:1FParab
C
2
C
C
2
LCp






 
Is = IC + IL = - j IC + (IL + j IL’) = IL + j (IL’ – IC); se XC for escolhido para IC = IL’  
 Is = IL + j (0) = IL / 0°  o circuito parece “resistivo”. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
36

.fontedacorrentena%40dereduçãoumaemresultaqueo
;A49,19
208
35,4054
V
S
I35,4054IVS1FPara
;A49,32
208
25,6757
V
S
I25,6757IVS6,0FParac
p
p


 

).b(.figamostracomo
8j
1
64,10
1
S125,0jS094,0Y
13,53S156,0
13,534,6
1
Z
1
Y:eequivalentparaleloemaargC
);a(.figamostracomo12,5j84,3Z
13,534,6
13,53A49,32
0V208
I
E
Z
;13,53A49,32IA49,32
6,0.208
35,4054
I35,4054cosIEPd
m
m
m
mmm













 
 
 
 
 
 
 
 Fica claro que o efeito da reatância indutiva de 8 Ω pode ser compensado por 
uma reatância capacitiva de 8 Ω em paralelo, usando um capacitor de 332 μF para 
correção do fator de potência. O módulo da corrente no ramo onde está o capacitor pode 
ser obtido da seguinte forma: 
.A26
8
208
X
E
I
C
C 
 
2) Uma pequena usina geradora industrial alimenta 10 kW de aquecedores e 20 kVA de 
motores elétricos. Os elementos de aquecimento são considerados puramente resistivos 
(Fp = 1) e os motores possuem um fator de potência atrasado igual a 0,7. Se a fonte é de 
1000 V e 60 Hz, determine a capacitância necessária para aumentar o Fp para 0,95. 
Solução: 
    .A93,27
1000
k93,27
V
S
I;kVA93,27k28,14k24S
;kVAR28,14714,0.k20senVIQ;6,45
7,0cosarc;kW147,0.k20cosVIP
kVA20VIS:motoresosPara
T22
T
L




 
.F93,16
74,156.60.2
1
fX2
1
C
;74,156
k38,6
10
Q
V
X
X
V
QkVAR38,6k9,7k28,14'QQkVAR9,7
329,0.k24tgP'Q
P
'Q
tg19,1895,0cosarc:95,0FPara
C
23
C
2
C
C
2
CLL
TL
T
L
p








 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
37
Sistemas trifásicos: 
 
 A preferência por sistemas trifásicos em lugar dos monofásicos para a 
transmissão de energia pode ser justificada por muitos motivos, como por exemplo: 
1. É possível usar condutores bem mais finos para transmitir a mesma potência à 
mesma tensão, o que reduz em cerca de 25% a quantidade de cobre necessária e 
conseqüentemente reduz os custos de fabricação e manutenção das linhas. 
2. Linhas mais leves são mais fáceis de instalar e as torres de sustentação podem 
ser mais delgadas e mais espaçadas. 
3. Motores e equipamentos trifásicos apresentam melhores características de 
partida e operação que os sistemas monofásicos porque a transferência de 
potência da fonte para a carga nos sistemas trifásicos está menos sujeita a 
flutuações. 
4. Quase todos os motores de grande porte são trifásicos porque, ao contrário dos 
motores monofásicos, eles não necessitam de circuitos especiais para a partida. 
 
Gerador trifásico: 
 Utiliza três enrolamentos distribuídos simetricamente ao longo de rotor (parte 
giratória do gerador), sendo que eles possuem o mesmo número de espiras e giram com 
a mesma velocidade angular. As tensões induzidas nesses enrolamentos têm a mesma 
amplitude e a mesma freqüência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Essas tensões, que são geradas quando se faz girar o eixo do gerador com o 
auxílio de algum equipamento externo, como um motor ou uma turbina, estão 
representadas na figura abaixo como eAN , eBN e eCN.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que as 3 formas de onda são idênticas, a não ser por uma defasagem de 
120° e que em qualquer instante, a soma fasorial das 3 tensões de fase de um gerador 
trifásico é nula (vide o instante ωt = 0). 
As expressões matemáticas e o diagrama fasorial das tensões são os seguintes: 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
38
 
   
       .120tsenE240tsenEe
;120tsenEe
;tsenEe
CNmCNmCN
BNmBN
ANmAN



 
 
 
 
  


120/EEE707,0E
120/EEE707,0E
0/EEE707,0E
CNCNCNmCN
BNBNBNmBN
ANANANmAN
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gerador do tipo Y: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   .270tsenE2ee150tsenE2e
;30tsenE2e30/E3E
.E3EE3E
2
3
230cosE2E
BCBCCACA
ABABANAB
LANANANAB


 
 
Desenhando de outra forma os fasores e 
aplicando a regra segundo a qual a soma de 3 ou mais 
vetores é nula sempre que, ao desenharmos esses 
vetores, a ponta do último vetor se encontrar com a 
origem do primeiro: 
 
∑ (EAN + EBN + ECN) = 0 
Quando os 3 terminais N são ligados 
entre si, o gerador é chamado de gerador 
trifásico tipo Y. Este ponto comum aos 3 
terminais é chamado de neutro. Os 3 
condutores usados para ligar os terminais A, B 
e C à carga do circuito são chamados de linhas 
e a corrente de linha é igual à corrente de fase, 
isto é: 
IL = IΦg 
onde o índice Φ é usado para indicar que se 
trata de uma fase e o índice g, para indicar que 
se trata de um gerador. 
 A tensão entre uma linha e outra é 
chamada de tensão de linha. Em um 
diagrama fasorial é o fasor que liga as 
extremidades dos fasores associados a duas 
fases, no sentido anti-horário. Aplicando a lei 
de Kirchoff para tensões: 
EAB – EAN + EBN = 0 
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
39
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de fasores a partir da seqüência de fase: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 








120/EE
120/EE
)referência(0/EE
BCBC
CACA
ABAB
 








120/EE
120/EE
)referência(0/EE
BNBN
CNCN
ANAN
 
 
Sistemas Y – Y: 
 Quando uma carga tipo Y é ligada a um gerador tipo Y, o sistema é chamado 
Y-Y. Quando a carga é equilibrada, o fio que liga o neutro do gerador ao neutro da 
carga pode ser removido sem que o circuito seja afetado. Isso acontece porque se Z1 = 
Z2 = Z3 a corrente IN é nula. Porém, este fio é necessário para transportar a corrente 
resultante de volta para o gerador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  V3E;EV;III LLLg 
∑ (EAB + ECA + EBC) = 0 
Tensão 
de 
linha 
Tensão 
de 
fase 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
40
Exemplo: 
 A seqüência de fase do gerador tipo Y da figura abaixo é ABC. 
a) Determine os ângulos de fase θ2 e θ3; 
b) Determine o módulo das tensões de linha; 
c) Determine as correntes de linha; 
d) Verifique que, como a carga é balanceada, IN = 0.
   


  

























).aequilibradaargc(0I0j0III
A07,22j43,9I;A87,2j83,23I
;A20,19j40,14I:gulartanreformanaIIIId
;A87,66/24II
;A13,173/24II;A13,53/24IIIIcomoe
;A87,66/24
13,53/5
120/120
Z
V
I;A13,173/24
13,53/5
120/120
Z
V
I
;A13,53/24
13,53/5
0/120
4j3
0/120
Z
V
II
EV;EV;EVEVc
;V208EEEV20812073,1E3Eb
;120e120:ABCsequênciaaParaa
NCcBbAa
CcBb
AaCcBbAaN
cnCc
bnBbanAaLL
cn
cn
cn
bn
bn
bn
an
an
anL
CNcnBNbnANan
CABCABL
32
 
 
Sistemas Y – Δ: 
  I3I;EV;ZZZ LL321 
 
Exemplo: 
 Para o sistema trifásico da figura abaixo: 
a) Determine os ângulos de fase θ2 e θ3; 
b) Determine as correntes de fase da carga; 
c) Determine o módulo das correntes de linha. 
 
 
 
 
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
41
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


    .A95,25IIIA95,251573,1I3Ic
;A87,66/15
13,53/10
120/150
Z
V
I;A13,173/15
13,53/10
120/150
Z
V
I
;A13,53/15
13,53/10
0/150
8j6
0/150
Z
V
I
EV;EV;EVEVb
;120e120:ABCsequênciaaParaa
CcBbAaL
ca
ca
ca
bc
bc
bc
ab
ab
ab
BCbcCAcaABabL
32



















 
 
Gerador tipo Δ: 
 Quando os enrolamentos do gerador são ligados conforme o desenho da figura 
abaixo, o sistema é chamado de gerador trifásico do tipo Δ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
gL
CNCNCNCA
BNBNBNBC
ANANANAB
EEou
ABC
fasesde
Sequência
120tsenE2eeEE
120tsenE2eeEE
tsenE2eeEE










 
 
CABAAaACBAAaACAaBA IIIIIIIII  
 
 
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
42
Diagrama fasorial para uma carga equilibrada: 
 
 
 
gL
ACCc
CBBb
BAAa
I3Isejaou
90/I3I
150/I3I
30/I3I










 
 
 
 
 
 
 
Diagrama fasorial das correntes: Seqüência de fases do gerador tipo Δ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas Δ – Δ: 
 
Exemplo: 
 Para o sistema abaixo, determine: 
a) os ângulos de fase θ2 e θ3 para a seqüência de fases especificada; 
b) as correntes de fase da carga; 
c) o módulo das correntes de linha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
 
43


  
    .A82,58IIIA82,583473,1I3Ic
;A75/9,33
45/54,3
120/120
Z
V
I
;A165/9,33
45/54,3
120/120
Z
V
I
;A45/9,33
45/54,3
0/120
45/071,7
90/25
0/120
5j5
90/50/5
0/120
Z
V
I
EV;EV;EVEVb
;120e120:ACBsequênciaaParaa
CcBbAaL
ca
ca
ca
bc
bc
bc
ab
ab
ab
BCbcCAcaABabL
32

























 
 
Sistemas Δ – Y: 
 
Exemplo: 
 Para o sistema abaixo, determine: 
a) as tensões de fase da carga; 
b) o módulo das tensões de linha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  
  
  
    .V6,34EEEV6,342073,1V3Eb
;V87,66/2013,53/10120/2ZIV
;V13,173/2013,53/10120/2ZIV
;V13,53/2013,53/100/2ZIV
;A120/2II;A120/2II;A0/2IIIIa
ACCBBAL
cncncn
bnbnbn
ananan
CccnBbbnAaanLL







 
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.