Apostila 20130219121208

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FACULDADE PITÁGORAS UBERLÂNDIA 
GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ms. LEONARDO BARBOSA DE REZENDE 
 
 
 
 
 
 
UBERLÂNDIA 2013 
APRESENTAÇÃO 
 
 
Este material foi elaborado com o objetivo de apresentar os fundamentos da 
Administração Financeira, baseados na Matemática Financeira que por sua vez trata do valor 
do dinheiro no tempo. 
O conteúdo aqui apresentado foi concebido de forma a atender ao programa do curso 
de Graduação em Administração da FACULDADE PITÁGORAS UBERLÂNDIA. 
Para atender à carga horária de 60 (sessenta) horas - aula, dividiu-se o conteúdo 
programado em 3 (três) módulos, divididos em 7 (sete) capítulos. 
O primeiro módulo, de fundamentação, apresenta os conceitos gerais da Matemática 
Financeira, destaca as regras básicas para os cálculos matemáticos financeiros, os critérios de 
capitalização dos juros, as fórmulas e aplicações dos juros simples e compostos. 
O segundo módulo, de aplicação prática da Matemática Financeira, apresenta os 
conceitos e aplicações da equivalência de capitais e os produtos financeiros de curto prazo. 
O terceiro módulo dedica-se aos fluxos de caixa de rendas certas e aos principais 
sistemas de amortização. 
Além dos exercícios ilustrativos, que exemplificam cada um dos conteúdos 
programados, são propostos ainda exercícios para resolução em sala de aula. 
As aulas são expositivas com o auxílio de data show, retro - projetor e utilização da 
calculadora financeira HP – 12C. 
Espera-se com este curso, dar ao Graduando do curso de Administração da 
FACULDADE PITÁGORAS UBERLÂNDIA, um sólido embasamento ao estudo de 
Finanças e Gestão. 
 
SUMÁRIO 
MÓDULO - I .............................................................................................................................. 4 
1 INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA .......................................................................... 4 
1.1 O que trata a Matemática Financeira? .......................................................................... 4 
1.2 Taxas Unitárias e Percentuais ....................................................................................... 5 
1.3 Regras Básicas .............................................................................................................. 6 
1.4 Critérios de Capitalização dos Juros ............................................................................. 7 
2 JUROS SIMPLES ................................................................................................................... 11 
2.1 Fundamentos ............................................................................................................... 11 
2.2 Juros Simples .............................................................................................................. 13 
2.3 Montante de Juros Simples ou Valor Futuro de Juros Simples .................................. 15 
3 JUROS COMPOSTOS ............................................................................................................. 17 
3.1 Fundamentos ............................................................................................................... 17 
3.2 Juros Compostos ......................................................................................................... 20 
MÓDULO - II ........................................................................................................................... 26 
4 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS .............................................................................................. 26 
4.1 Fundamentos ............................................................................................................... 26 
4.2 Equivalência de Capitais ............................................................................................ 29 
5 DESCONTOS ........................................................................................................................ 32 
5.1 Desconto Simples ....................................................................................................... 32 
5.2 Desconto Composto .................................................................................................... 38 
5.2.1 Desconto Composto Racional ou (Por Dentro) ....................................................... 38 
5.2.2 Desconto Composto Bancário ou Comercial ou (Por Fora) .................................... 41 
MÓDULO - III ......................................................................................................................... 44 
6 RENDAS CERTAS OU ANUIDADES ....................................................................................... 44 
6.1 Classificação das Rendas ............................................................................................ 44 
6.2 Classificação das Rendas Certas quanto ao Pagamento da Primeira Prestação ......... 45 
6.3 Cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Imediata ....................... 46 
6.4 Cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Imediata .......................... 46 
6.5 Cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Antecipada................... 46 
6.6 Cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Antecipada ..................... 47 
6.7 Cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Diferida ....................... 47 
6.8 Cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Diferida .......................... 47 
7 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS ................................. 53 
7.1 O que trata os Sistemas de Amortização? .................................................................. 53 
7.2 Termos Utilizados: ..................................................................................................... 53 
7.3 Definições Básicas:..................................................................................................... 53 
7.4 Modalidades de Sistemas de Amortização: ................................................................ 54 
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................... 62 
 
 
 
 
MÓDULO - I 
 
 
1 Introdução à Matemática Financeira 
1.1 O que trata a Matemática Financeira? 
Do estudo do valor do Dinheiro no Tempo. 
Receber R$100,00 hoje, não é a mesma coisa que receber R$100,00 daqui 60 dias. 
O sacrifício de receber R$100,00 daqui 60 dias tem que ser recompensado. 
O valor deste sacrifício é definido pelos JUROS. 
Juro é a remuneração do capital aplicado numa operação financeira. 
As Taxas de Juros devem ser eficientes para remunerar: 
1. O Risco (Incerteza Futura); 
2. A perda do poder de compra do Capital pela Inflação; 
3. E gerar um lucro que compense a privação do consumo imediato, ou o rendimento de 
outra aplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
5 
1.2 Taxas Unitárias e Percentuais 
A Taxa de juro é a unidade de medida dos Juros. 
A Taxa correspondente à remuneração paga pelo uso, durante determinado tempo, de 
01 (uma) unidade de capital é uma (taxa unitária). 
Exemplo: 
Um capital de R$1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende juros, ao final deste período 
de: 
A Taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20 por unidade de 
capital aplicada. 
A Taxa correspondente à remuneração paga pelo uso, durante determinado tempo, de 
100 (cem) unidades de capital é uma (taxa centesimal ou percentual), que refere-se aos 
“Centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital. 
Do exemplo acima tem-se: 
O capital de $1.000,00 tem dez centos. Como cada cento rende
20, a remuneração 
total da aplicação no período é $200,00 
A transformação da taxa percentual em unitária se processa simplesmente pela divisão 
da notação percentual por 100, e para a transformação da taxa unitária em percentual basta 
multiplicar a taxa unitária por 100. 
$200,00 Juros
100
20
 $1.000,00 Juros
20% $1.000,00 Juros



$200,00 Juros
20 
100
$1.000,00
 Juros
20% $1.000,00 Juros



100 UnitáriaTaxa Percentual Taxa
100
Percentual Taxa
 UnitáriaTaxa


 
 
6 
Exemplo: 
Taxa Percentual Taxa Unitária 
1,5% 0,015 
8% 0,08 
17% 0,17 
84% 0,84 
120% 1,20 
1.3 Regras Básicas 
1ª) NAS FÓRMULAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA TODOS OS CÁLCULOS 
SÃO EFETUADOS UTILIZANDO-SE A TAXA UNITÁRIA DE JUROS. JÁ OS 
ENUNCIADOS E AS RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SÃO INDICADOS PELA TAXA 
PERCENTUAL. 
2ª) NAS FÓRMULAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA, TANTO O PRAZO DA 
OPERAÇÃO COMO A TAXA DE JUROS DEVEM NECESSARIAMENTE ESTAR 
EXPRESSOS NA MESMA UNIDADE DE TEMPO. 
Exemplo: 
1) Um fundo de Poupança que esteja oferecendo juros de 2% ao mês e os rendimentos 
sendo creditados mensalmente. Obedece a regra de expressar a taxa de juros e o prazo de 
capitalização na mesma unidade de tempo (mensal). 
2) Um fundo de Poupança que esteja oferecendo juros de 2% ao ano e os rendimentos 
sendo creditados mensalmente. Não Obedece a regra de expressar a taxa e o prazo de 
capitalização na mesma unidade de tempo, pois a taxa de juros está expressa ao ano e o 
período de capitalização em meses. 
Os critérios de transformação do prazo e da taxa para a mesma unidade de tempo, 
podem ser efetuados através das regras de juros simples (média aritmética) e de juros 
compostos (média geométrica), dependendo do regime de capitalização definido para a 
operação. Como regra adota-se o ano comercial de 360 dias e o mês de 30 dias. 
 
 
7 
1.4 Critérios de Capitalização dos Juros 
A operação de formação e incorporação dos juros ao capital tem o nome de 
CAPITALIZAÇÃO. 
Existem dois regimes de capitalização: 
 Regime de Capitalização Simples ou (linear); 
 Regime de Capitalização Composto ou (exponencial). 
1.4.1 Regime de Capitalização Simples: 
Este regime de capitalização comporta-se como se fosse uma progressão aritmética, 
crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. 
Neste critério, a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial da operação. 
Exemplo: 
Vamos admitir um empréstimo de $1.000,00 pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros 
simples de 10% ao ano. 
Ano Saldo no início 
de cada ano 
Juros apurados para 
cada ano 
Saldo devedor ao 
final de cada ano 
Crescimento 
anual do Saldo 
Devedor 
Início do 
1º ano 
1.000,00 - - - 
Fim do 1º 
ano 
1.000,00 100,00 1.100,00 100,00 
Fim do 2º 
ano 
1.100,00 100,00 1.200,00 100,00 
Fim do 3º 
ano 
1.200,00 100,00 1.300,00 100,00 
Fim do 4º 
ano 
1.300,00 100,00 1.400,00 100,00 
Fim do 5º 
ano 
1.400,00 100,00 1.500,00 100,00 
 
 
 
 
 
8 
Observações importantes: 
- Os juros incidem exclusivamente sobre o capital inicial de R$1.000,00 e 
apresentam valores idênticos ao final de cada ano (0,10 x $1.000,00 = $100,00); 
- Em conseqüência, o crescimento dos juros no tempo é linear ($100,00 por ano) 
como o de uma Progressão Aritmética, atingindo um total nos cinco anos de 
$500,00; 
- Se os juros simples não forem pagos ao final de cada ano, a remuneração do 
capital emprestado somente se opera pelo seu valor inicial ($1.000,00), não 
ocorrendo remuneração sobre os juros que se formam no período; 
- Como os juros variam linearmente no tempo, a apuração do custo total da dívida 
no prazo contratado é processada simplesmente pela multiplicação do número de 
anos pela taxa anual, isto é: 5 anos x 10% ao ano = 50% para os 5 anos. 
1.4.2 Regime de Capitalização Composto: 
Por este regime de capitalização, incorpora-se ao capital não somente os juros 
referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento 
anterior. 
Admitindo-se o exemplo anterior, que a dívida de $1.000,00 deve ser paga em juros 
compostos, à taxa de 10% ao ano: 
Ano Saldo no início 
de cada ano 
Juros apurados para 
cada ano 
Saldo devedor ao 
final de cada ano 
Crescimento 
anual do Saldo 
Devedor 
Início do 
1º ano 
1.000,00 - - - 
Fim do 1º 
ano 
1.000,00 100,00 1.100,00 100,00 
Fim do 2º 
ano 
1.100,00 110,00 1.210,00 110,00 
Fim do 3º 
ano 
1.210,00 121,00 1.331,00 121,00 
Fim do 4º 
ano 
1.331,00 133,10 1.464,10 133,10 
Fim do 5º 
ano 
1.464,00 146,41 1.610,51 146,41 
 
 
 
9 
Observações importantes: 
- No critério composto, os juros não incidem unicamente sobre o capital inicial de 
$1.000,00, mas sobre o saldo total existente no início de cada ano, que incorpora o 
capital inicial mais os juros incorridos em períodos anteriores; 
- O juro do 1º ano é produto da incidência da taxa de 10% ao ano, sobre o capital 
emprestado de $1.000,00, totalizando $100,00; 
- No 2º ano, os $210,00 de juros acumulados ao saldo devedor inicial identificam a 
seguinte operação: 
Juros referentes ao 1º ano: 0,10 x $1.000,00 = $100,00 
Juros referentes ao 2º ano: 0,10 x $1.000,00 = $100,00 
Juros sobre os juros apurados no 1º ano: 0,10 x $100,00 = $10,00 
 $210,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Exercícios Propostos: 
1) Preencha a Tabela abaixo admitindo um empréstimo de $1.550,00 pelo prazo de 5 
anos, pagando-se juros simples de 25% ao ano. 
Ano Saldo no início 
de cada ano 
Juros apurados para 
cada ano 
Saldo devedor ao 
final de cada ano 
Crescimento 
anual do Saldo 
Devedor 
Início do 
1º ano 
1.550,00 - - - 
Fim do 1º 
ano 
 
Fim do 2º 
ano 
 
Fim do 3º 
ano 
 
Fim do 4º 
ano 
 
Fim do 5º 
ano 
 
 
2) Admita um empréstimo de $1.550,00 pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros 
compostos de 25% ao ano. 
Ano Saldo no início 
de cada ano 
Juros apurados para 
cada ano 
Saldo devedor ao 
final de cada ano 
Crescimento 
anual do Saldo 
Devedor 
Início do 
1º ano 
- - 1.550,00 - 
Fim do 1º 
ano 
 
Fim do 2º 
ano 
 
Fim do 3º 
ano 
 
Fim do 4º 
ano 
 
Fim do 5º 
ano 
 
 
 
 
 
 
11 
2 Juros Simples 
2.1 Fundamentos 
2.1.2 Taxas Proporcionais e Equivalentes de Juros Simples 
Em toda operação financeira, tem-se sempre a existência de dois prazos: O prazo a que 
se refere à taxa de juros: i = 5% a m, e o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros: n = 5 
meses. 
Em muitos casos, estes prazos não são coincidentes. 
Por exemplo, sabe-se que a caderneta de poupança paga aos seus depositantes uma 
taxa de juros de 6% ao ano, a qual é capitalizada ao principal todo mês através de um 
percentual proporcional de 0,5%. Têm-se aqui, então dois prazos – prazo da taxa: ano e prazo 
de capitalização: mês. 
Para o uso das fórmulas da matemática financeira, estes prazos têm que ser iguais. 
Esta transformação é denominada de Taxa Proporcional de juros. A taxa proporcional 
é obtida através da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes 
em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização). 
Exemplo: 
1) Considerando o regime de juros simples, determine qual a taxa mensal proporcional 
a 48 % ao ano? 
 
 
As taxas de juros são ditas Equivalentes, quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo
mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros e consequentemente o 
mesmo montante linear de juros. 
1
1
2
2
Dados do exercício:
i 48% a. a. 100 = 0,48 a. a.
n 1 ano
i ? % a. m.
n 12 meses
 



1 1 2 2
2
2
2
2
Solução:
i n i n
0,48 1 = i 12
0,48
i = 
12
i = 0,04 a. m. 100
i = 4% a. m.
  
 

 
 
12 
Exemplo: 
2) Em juros simples, um capital de $500.000,00, se aplicado a 2,5% ao mês ou 15% ao 
semestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros: 
Sendo: 
n i PV J 
 
J (2,5% a m) = 500.000 x 0,025 x 12 = $150.000,00 
J (15% a s) = 500.000 x 0,15 x 2 = $150.000,00 
Os juros produzidos pelas duas taxas lineares de juros são iguais, logo são definidas 
como Taxas Equivalentes. No regime de Juros Simples, Taxas Proporcionais e Taxas 
Equivalentes são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente à classificação de duas taxas 
de juros como proporcionais ou equivalentes. 
 
Exercícios Propostos: 
3) Dada a taxa de 34,5 % ao trimestre, determine as taxas proporcionais para: 
a) Um Ano: 
b) Um Semestre 
c) Um Bimestre 
d) Um Mês 
e) 17 Dias 
f) 2 m e 7 dias 
4) Determinar a taxa de juros anual proporcional, dadas as seguintes taxas: 
a) 3% a t 
b) 27% ao quadrimestre 
c) 5% a m 
 
 
13 
2.2 Juros Simples 
O Juro Simples é produzido unicamente sobre o Capital Inicial também denominado 
de Valor Presente, e seu valor é calculado a partir da seguinte expressão: 
 
Onde: 
 J = Valor dos juros expresso em unidade monetária; 
 PV = Valor Presente ou Capital Inicial; 
 i = taxa de juros, expressa em sua forma unitária; 
 n = prazo ou período da operação. 
Esta é a formula básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros valores 
financeiros nela representados mediante simples dedução algébrica. 
Exemplo: 
1) Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante três meses. 
Pede-se determinar o valor dos juros simples acumulados neste período. 
 
 
 
 
 
 
 
 
J = PV i n 
Dados do exercício:
PV = $80.000,00
i = 2,5% a.m. 100 = 0,025 a.m.
n = 3 meses
J = $?

Solução:
J = PV i n
J = 80.000 0,025 3
J = $6.000,00
 
 
 
 
14 
Exercícios Propostos: 
5) Calcular os juros simples de $20.000,00 a 2% a m, durante 2,5 anos. 
6) A que taxa devemos aplicar o capital de $10.000,00 para que em 1 ano 3 meses e 5 
dias produza $2.275,00 de juros simples? 
7) Durante quanto tempo deve ficar aplicado um capital à taxa de juros simples de 
11% a m, para que seus juros se igualem ao capital? 
8) Qual o capital, que aplicado a taxa de juros simples de 42% a a pelo prazo de 100 
dias produz $175,00 de juros? 
9) Durante quanto tempo um capital colocado a taxa de juros simples de 5% a a rende 
juros a 1/50 de seu valor? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
2.3 Montante de Juros Simples ou Valor Futuro de Juros Simples 
Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juro por 
determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de Montante ou Valor Futuro. 
Montante ou Valor Futuro é o capital acrescido de seus juros. 
 
Sendo: 
 
Tem-se: 
 
Evidenciando PV, a fórmula do Valor Futuro de Juros Simples é: 
 
Exemplos: 
1) Uma pessoa aplica $18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar 
o montante simples ao final deste período. 
 
 
 
2) Determinar o valor futuro simples, decorrentes de uma aplicação de $25.000,00 a 
80%ao semestre durante 2 anos. 
 
FV = PV + J
J = PV i n 
FV = PV + PV i n 
FV = PV (1+i n) 
Dados do exercício:
PV = $18.000,00
i = 1,5% a.m. 100 = 0,015 a.m.
n = 8 meses
FV = $?

Solução:
FV = PV (1+i n)
FV = 18.000 (1+0,0150 8)
FV = $20.160,00
 
 
Dados do exercício:
PV = $25.000,00
i = 80% a.s. 100 = 0,80 a.s.
n = 2 anos
FV = $?

1
1
2
2
Solução:
i 80% a. s. 100 = 0,80 a. s.
n 2 semestres
i ? % a. a.
n 1 ano
 



 
 
16 
 
 
 
Exercícios Propostos: 
10) Uma pessoa empregou seu capital a taxa de 5% ao ano retirou no fim de 6 meses, 
capital e juros e colocou-os a taxa de 6% ao ano durante 4 meses recebendo no fim deste 
prazo $20.910,00. Calcule o capital inicial, considerando o regime de juros simples. 
11) Em uma instituição, foi aplicado $20.000,00 a 10 % a m, e, noutra instituição 
financeira, foi aplicado $18.000,00 a 12% a m. Depois de quanto tempo os montantes serão 
iguais, considerando o regime de juros simples? 
12) Se um capital de $2.000,00 gerou um montante de $2.840,00 em 2 anos, qual é a 
taxa de juros simples equivalente trimestral? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 1 2 2
2
2
2
2
i n i n
0,80 2 = i 1
1,60
i = 
1
i = 1,60 a. a. 100
i = 160% a. a.
  
 

FV = PV (1+i n)
FV = 25.000 (1+1,60 2)
FV = $105.000,00
 
 
 
 
17 
3 Juros Compostos 
3.1 Fundamentos 
3.1.2 Taxas Proporcionais e Equivalentes de Juros Compostos 
Os conceitos emitidos para taxas Equivalentes no regime de juros simples são os 
mesmos para o regime de juros compostos diferenciando-se, no entanto, a formula de cálculo 
da taxa de juros, e o fato de no regime de juros compostos as taxas Proporcionais não serem 
Equivalentes, conforme demonstrado no exemplo a seguir: 
Exemplo: 
1) Três investidores A, B, e C, tem cada um $10.000,00 para aplicar. A aplicou a 
120% a.a. B aplicou a 60% a s. e C aplicou a 10 % a m. Quais os montantes de cada um, 
depois de decorrido um ano? 
a) Capitalização Anual (A) 
$22.000,00 FV
)2,1(1 10.000,00 FV
i)(1 PV FV
1
n



 
b) Capitalização Semestral (B) 
$25.600,00 FV
)60,0(1 10.000,00 FV
i)(1 PV FV
2
n



 
c) Capitalização Mensal (C) 
$31.384,28 FV
)10,0(1 10.000,00 FV
i)(1 PV FV
12
n



 
 
 
Definição: 
 
 
18 
Duas Taxas são equivalentes, quando aplicadas sobre um mesmo capital, durante um 
mesmo prazo (períodos de capitalização diferentes), produzem montantes iguais. 
Se por definição FV1 = FV2 e PV = PV logo, fazendo (1) = (2) deriva-se a fórmula 
geral de equivalência de Juros Compostos: 
Exemplo: 
2) Determinar a taxa semestral equivalente a 10% a m. 
Dado que: Solução: 
Cálculo das taxas equivalentes compostas utilizando a HP – 12C: 
Solução na HP – 12C 
Teclas Visor Significado 
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros 
1 CHS PV -1,00 Valor Presente 
10 i 10,00 Taxa i1 mensal dada 
6 n 6,00 Prazo n1 mensal equivalente 
FV 1,77 Valor Futuro 
1 n 1,00 Prazo n2 semestral equivalente 
i 77,16 Taxa i2 semestral equivalente 
Exercícios Propostos: 
(2) )i (1 PV FV
(1) )i (1 PV FV
2
1
n
22
n
11


 )i (1 )i (1 21
n
2
n
1 
s. a. 77,16% i
100 s. a. 0,7716 i
i 1- (1,1)
)i (1 0,10) (1 
)i (1 )i (1
2
2
2
6
1
2
6
n
2
n
1
21





semestre 1 n
s. a. ?% i
meses 6 n
m. a. 10% i
2
 2
1
 1




 
 
19 
Demonstre as soluções dos exercícios pela fórmula matemática e pelas teclas 
financeiras da HP – 12C. 
 
13) Dada a taxa de 34,5 % ao trimestre, determine as taxas equivalente compostas 
para: 
a) Um Ano: 
b) Um Semestre 
c) Um Bimestre 
d) Um Mês 
e) 17 Dias 
f) 2 m e 7 dias 
14) Determinar a taxa
de juros equivalente composta, dadas as seguintes taxas: 
a) 3% a t 
b) 27% ao quadrimestre 
c) 5% a m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
3.2 Juros Compostos 
Afirma-se que um capital está empregado a juros compostos ou no regime de 
capitalização composta, se no fim de cada período financeiro determinado, o juro produzido é 
somado ao capital para formando um novo capital, produzir juros no período seguinte e assim 
sucessivamente. É o “juro sobre juro” ou “juros capitalizados”. 
– Fórmula do Montante de Juros Compostos: 
Identificando-se: 
PV = Valor Presente ou Capital 
FV = Valor Futuro ou Montante 
n = Período 
i = Taxa 
Sabe-se que o valor monetário dos juros (J) é apurado pela diferença entre o montante 
(FV) e o Capital (PV), podendo-se obter o seu resultado também pela seguinte expressão: 
J = FV – PV 
Como: 
FV = PV x (1+i)
n
 
Colocando-se PV em evidência, obtém-se a Fórmula do Juro Composto: 
 
 
 
 
 
ni) (1 PV FV 
1] - i) [(1 PV J n
 
 
21 
Exemplos: 
1) Se uma pessoa deseja obter $27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela 
depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês? 
 
 
 
 
Solução na HP – 12C 
Teclas Visor Significado 
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros 
1 CHS PV -1,00 Valor Presente 
1,7 i 1,70 Taxa i1 mensal dada 
12 n 12,00 Prazo n1 mensal equivalente 
FV 1,22 Valor Futuro 
1 n 1,00 Prazo n2 anual equivalente 
I 22,42 Taxa i2 anual equivalente 
f FIN i 22,42 Limpa memória financeira e 
entra com a taxa anual 
27.500 FV 27.500 Valor do Montante 
1 n 12 Prazo em ano 
PV -22.463,70 Valor Presente 
Dados do exercício:
FV = $27.500,00
n = 1 ano
i = 1,7% a.m.
PV = $?
1
1
2
2
Solução:
i 1,7% a. m. 100 = 0,0170 a. m.
n 12 meses
i ? % a. a.
n 1 ano
 



1 2n n
1 2
12 1
2
2
2
2
2
(1+ i ) (1+ i )
(1+ 0,0170) (1+ i )
1,2242 = 1+ i
i = 1,2242 - 1
i = 0,2242 a. a. 100
i = 22,42% a. a.



n
1
FV = PV (1+i)
27.500 = PV (1+0,2242)
PV = $22.463,70


 
 
22 
2) Qual o valor de resgate de uma aplicação de $12.000,00 em um título pelo prazo de 
8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a m? 
Dados do exercício: Solução: 
 
Solução na HP – 12C 
Teclas Visor Significado 
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros 
12.000 CHS PV -12.000,00 Valor da Aplicação 
8 n 8 Prazo em meses 
3,5 i 3,5 Taxa em meses 
FV 15.801,71 Valor do Resgate 
 
3) Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $40.000,00 que 
produz um montante de $43.894,63 ao final de quatro meses? 
Dados do exercício: Solução: 
 
 
? Fv
m. a. 0,035 i
meses 8 n 
$12.000,00 PV




$15.801,71 FV
0,035) (1 12.000,00 FV
i) (1 PV FV
8
n



m. a. % ? i
meses 4 n 
$43.894,63 FV
$40.000,00 PV




m. a. 2,35% i
100 m. a. 0,0235 i
i 1 (1,0974)
i) (1 1,0974
i) (1 1,0974
i) (1 40.000,00 43.894,63
i) (1 PV FV
1/4
4 44
4
4
n







 
 
23 
Solução na HP – 12C 
Teclas Visor Significado 
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros 
40.000 CHS PV -40.000,00 Valor da Aplicação 
43.894,63 FV 43.894,63 Valor do Resgate 
4 n 4 Prazo em meses 
I 2,35 Taxa ao mês 
 
4) Uma aplicação de $22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de 
juros de 2,4% ao mês, um montante de $26.596,40. Calcular o prazo da operação. 
Dados do exercício: Solução: 
 
Solução na HP – 12C 
Teclas Visor Significado 
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros 
1 CHS PV -1,00 Valor Presente 
2,4 i 2,40 Taxa i1 mensal dada 
1 n 1,00 Prazo n1 mensal equivalente 
FV 1,024 Valor Futuro 
30 n 30,00 Prazo n2 diário equivalente 
i 0,0791 Taxa i2 diária equivalente 
meses 8 n 
0,0237 n 0,1897
LN1,024 n 1,0289 LN
(1,024) 1,2089
0,024) (1 22.000,00 26.596,40
i) (1 PV FV
n
n
n






meses ? n 
m. a. 0,024 i
$26.596,40 FV
$22.000,00 PV




 
 
24 
Continuação... 
f FIN i 0,0791 Limpa memória financeira e 
entra com a taxa diária 
22.000 CHS PV -22.000,00 Valor da Aplicação 
26.596,40 FV 26.596,40 Valor do Resgate 
N 240 Prazo em dias 
30 ÷ 8,0000 Período em meses 
 
Exercícios Propostos: 
15) Adote os conceitos de taxas equivalentes em juros compostos, demonstre a 
solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP – 12C para o calculo do 
montante de uma aplicação financeira de $80.000,00 admitindo as seguintes taxas e prazos: a) 
i = 9 % ao bimestre e n = 1 ano e 8 meses; b) i = 12 % ao ano e n = 108 meses. 
16) Adote os conceitos de taxas equivalentes em juros compostos, demonstre a 
solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP – 12C para o calculo do juro 
de uma aplicação financeira de $100.000,00 admitindo os seguintes prazos e taxas: a) i = 3,5 
% ao trimestre e n = 2 anos e meio; b) i = 5 % a s e n = 3 anos. 
17) Demonstre a solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP – 
12C e calcule a que taxa mensal deve ser colocado um capital de $48.000,00 para que renda 
de juros compostos $4.806,25 em 8 meses? 
18) Demonstre a solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP – 
12C e calcule em quanto tempo um capital dobra se for colocado à taxa de 10% ao mês? 
19) Se uma pessoa quiser comprar um carro no valor de $12.000,00 quanto deve 
aplicar hoje para que daqui a 7 meses possua tal valor, admitindo-se uma taxa de juros de 
3,5% ao mês? Demonstre a solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP 
– 12C. 
 
 
25 
20) Calcule a taxa mensal de juros de uma aplicação de $6.600,00 que produz um 
montante de $7.385,81 ao final de 7 meses. Demonstre a solução pela fórmula matemática e 
pelas teclas financeiras da HP – 12C. 
21) Em quanto tempo duplica um capital que cresce à taxa de juros compostos de 
2,2% ao mês? Demonstre a solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP 
– 12C. 
22) Aplicando primeiro a formula geral de equivalência composta e depois 
demonstrando com o uso da calculadora financeira, determine as seguintes taxas: 
a) Semestral equivalente a 14% a m 
b) Trimestral equivalente a 82,25% a s 
c) Diária equivalente a 19,75% a m 
23) Qual a melhor opção? Aplicar um capital de $60.000,00 à taxa de juros compostos 
de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano? Adote os conceitos de taxas equivalentes 
compostas, demonstre a solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP – 
12C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
MÓDULO - II 
 
 
4 Equivalência de Capitais 
4.1 Fundamentos 
4.1.2 Taxas Nominais e Efetivas 
Quando se diz que uma taxa de juros é Nominal, admite-se que o prazo de 
capitalização dos juros (ou seja, período de formação e incorporação dos juros ao principal) 
não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros. 
Por exemplo, seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano capitalizada mensalmente. 
Os prazos não são coincidentes. O prazo de capitalização é de um mês e o prazo a que se 
refere à taxa de juros igual a um ano (12 meses). 
Assim, 36% ao ano representa uma taxa nominal de juros, expressa para um período 
inteiro, a qual deve ser atribuída ao período de capitalização. 
Quando se trata de taxa nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorra por 
juros proporcionais simples.
Assim, no exemplo, a taxa por período de capitalização é de 36% 
÷ 12 = 3 % ao mês (taxa equivalente ou proporcional simples). 
Taxa Efetiva de Juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo “n”, sendo 
formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. Ou seja, taxa efetiva é o 
processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de 
capitalização. É obtida pela seguinte expressão: 
 
 
27 
 
 
 
Solução na HP – 12C 
Teclas Visor Significado 
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros 
36 ENTER 12 ÷ 3,00 Taxa Nominal proporcional 
mensal 
i 3,00 Taxa i1 mensal dada 
12 n 12,00 Prazo n1 mensal equivalente 
1 CHS PV -1,00 Valor Presente 
FV 1,42 Valor Futuro 
1 n 1,00 Prazo n2 anual equivalente 
i 42,58 Taxa i2 anual equivalente 
Ao se capitalizar a taxa nominal de 3% a.m. = 36% a.a. ÷ 12 apura-se uma taxa 
Efetiva de juros ie = 42,58% a.a. superior àquela declarada para a operação. 
Da mesma forma, a taxa Efetiva de juros ie = 42,58% a.a. pode ser equivalentemente 
definida para a taxa nominal de 36% a.a. da seguinte maneira: 
 
 
1
1
2
2
i = 3% a. m. 100 = 0,03 a. m.
n = 12 meses
i = ?% a. a.
n = 1 ano

1 2n n
1 2
12 1
2
2
2
2
(1+i ) = (1+i )
(1+0,03) = (1+i )
1,4258 - 1 = i
i = 0,4258 a. a. 100
i = 42,58% a. a.

1
1
2
2
i = 42,58% a.a. 100 = 0,4258 a.a.
n = 1 ano
i = ?% a.m.
n = 12 meses

1 2n n
1 2
1 12
2
1
12
2
2
2
2
2
(1 + i ) = (1 + i )
(1 + 0,4258) = (1 + i )
(1,4258) = 1 + i
1,03 - 1 = i
i = 0,03 a.m. 100
i = 3% a.m. 12 meses
Taxa Nominal i = 36% a.a.



 
 
28 
 
Solução na HP – 12C 
Teclas Visor Significado 
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros 
1 CHS PV -1,00 Valor Presente 
42,58 i 42,58 Taxa i1 efetiva anual dada 
1 n 1,00 Prazo n1 anual equivalente 
FV 1,43 Valor Futuro 
12 n 12,00 Prazo n2 mensal equivalente 
i 3,00 Taxa i2 nominal proporcional 
mensal equivalente 
12 × 36,00 Taxa nominal anual 
 
Exercícios Propostos: 
Demonstre a solução dos exercícios a seguir pela fórmula matemática e pelas teclas 
financeiras da HP – 12C 
24) Dadas as taxas nominais calcule suas respectivas taxas efetivas: 
a) 12% a.a. e capitalização mensal; 
b) 6% a.s. e capitalização mensal; 
c) 1% a.m. e capitalização diária; 
25) Dadas as taxas efetivas calcule suas respectivas taxas nominais: 
a) 15% a.a. e capitalização mensal; 
b) 6,5% a.s. e capitalização mensal; 
c) 1,5% a.m. e capitalização diária; 
 
 
 
29 
4.2 Equivalência de Capitais 
O problema da Equivalência Financeira constitui-se no raciocínio básico da 
Matemática Financeira. 
Conceitualmente, dois ou mais capitais representativos de certa data são considerados 
equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzirem resultados iguais numa data 
comum. Esta data comum é chamada de “Data Focal” ou “Data de Equivalência”. 
Na equivalência financeira em juros simples, é importante ressaltar que os prazos não 
podem ser desmembrados (fracionados) sob pena de alterar os resultados. Ao fracionar os 
prazos, dois capitais equivalentes deixam de produzir o mesmo resultado na data focal pelo 
critério de juros simples. 
Apesar da utilização em determinados casos, do critério de juros simples, será adotado 
o critério de juros compostos, devido sua maior aplicação. 
Exemplos: 
1) Um título A de $120,00 que vence daqui a um ano e outro título B de $100,00, que 
vence hoje, são equivalentes a uma taxa de juros de 20%, uma vez que o título B de $100,00, 
capitalizado, produzirá os $120,00 do título A dentro de um ano, ou o título A de $120,00 do 
final do primeiro ano, resultaria em $100,00 do título B se atualizado para hoje. Ou seja, 
ambos os capitais produzem, numa data de comparação (Data Focal) e a taxa de 20% ao ano, 
resultados idênticos. 
Graficamente tem-se: 
 
 
 
 
 
 
$100,00
$120,00
10,2) (1 100 FV 
10,2) (1
120
 PV


 
 
30 
2) Admita ilustrativamente que A deve para B, os seguintes pagamentos: 
 $50.000,00 de hoje a 4 meses; 
 $80.000,00 de hoje a 8 meses. 
Suponha que A tenha proposto à B, pagar $10.000,00 hoje, $30.000,00 de hoje a 6 
meses, e o restante ao final do ano. 
Sabendo que B exige uma taxa de juros de 2,0% ao mês, qual o saldo a ser pago no 
final do ano? 
Graficamente tem-se: 
 
 
 
 
 
 
Dado que por definição a equivalência ocorre quando A = B, decorre que 
considerando a Data Focal em (0) Zero, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
$98.710,25 B 
1,2682 77.832,35 B 
) 02 , 0 (1 
B 36.639,14 114.471,49 
) 02 , 0 (1 
B 26.639,14 10.000,00 68.279,22 46.192,27 
) 02 , 0 (1 
B 
) 02 , 0 (1 
30.000,00 10.000,00 
) 02 , 0 (1 
80.000,00 
) 02 , 0 (1 
50.000,00 
i) (1 
B 
i) (1 
B B 
i) (1 
A 
i) (1 
A 
12 
12 
12 
12 
12 
12 
12 
12 
6 8 4 
n 
12 
n 
6 
0 n 
8 
n 
4 
 
  
 
  
 
    
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
0
2 4 6 8 10
12
Meses
4A
$50.000,00
8A
$80.000,00
0B
$10.000,00
6B
$30.000,00
12B
$?,00
Pagamento de (A) Esquema
Pagamento de (B) Esquema
 
 
31 
Exercícios Propostos: 
26) Determinar se $438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a se receber 
hoje $296.000,00, admitindo uma taxa de juros de 6% ao mês. Justifique sua resposta. 
27) Uma pessoa deve dois títulos no valor de R$25.000,00 e $56.000,00 cada. O 
primeiro título vence de hoje a 2 meses, e o segundo um mês após. O devedor deseja propor a 
substituição destas duas obrigações por um único pagamento ao final do 5º mês. 
Considerando 3% ao mês a taxa corrente de juros, determinar o valor deste pagamento único. 
28) Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros: $35.000,00 vencíveis no 
fim de 3 meses e $65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses. Para o resgate dessas dívidas, o 
devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicando-as em uma conta de poupança 
que rende 66% ao ano. Pede-se determinar o valor do capital que deve ser aplicado nesta 
poupança de forma que possam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de 
vencimentos sem deixar saldo final na conta. 
29) Uma dívida no valor de $48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende 
resgatar a dívida pagando $4.800,00 hoje, $14.000,00 de hoje a dois meses, e o restante um 
mês após a data de vencimento. Sendo o momento deste último pagamento definido como a 
data focal da operação, e sabendo-se ainda que é de 34,8% ao ano a taxa de juros adotada 
nesta operação, determinar o valor do último pagamento da proposta alternativa. 
30) Uma empresa deve $180.000,00 a um banco sendo o vencimento definido em 3 
meses contados de hoje. Prevendo dificuldades de caixa no período, a empresa negocia com o 
banco a substituição deste compromisso por dois outros de valores iguais nos meses 5 e 6 
contados de hoje. Sendo de 3,6% ao mês a taxa de juros, pede-se calcular o valor dos 
pagamentos propostos sendo a data focal no 5º mês. 
31) Um título vence daqui a 4 meses apresentando um valor nominal de resgate de 
$407.164,90. É proposta a troca deste título por outro de valor nominal de $480.000,00 
vencível daqui a 8 meses. Sendo de 5% ao mês a rentabilidade exigida pelo aplicador, pede-se 
avaliar se a troca é vantajosa. 
 
 
 
 
32 
5 Descontos 
Desconto é a recompensa da operação de se liquidar um título antes
de seu 
vencimento. 
Assim, pode-se entender que Desconto, é a diferença entre o Valor Nominal de um 
título e o seu Valor Atualizado apurado “n” períodos antes de seu vencimento. 
Por outro lado, Valor Descontado de um título é o seu Valor Atual na data do 
desconto, sendo determinado pela diferença entre o Valor Nominal e o Desconto, ou seja: 
 
 
5.1 Desconto Simples 
São identificados dois tipos de Desconto Simples: 
 Desconto “Por Dentro” (ou Racional) e, 
 Desconto “Por Fora” (ou Bancário, ou Comercial). 
 
5.1.1 Desconto Simples Racional ou (Por Dentro) 
O desconto racional, também denominado de Desconto “Por Dentro”, incorpora os 
conceitos e as relações básicas de juros simples. 
Assim, o valor do Desconto Racional (Dr), o Capital (ou Valor Atual) (C), a Taxa 
periódica de Juros (i) e o Prazo do desconto (número de períodos que o título é negociado 
antes do vencimento) (n), têm-se a conhecida expressão de juros simples: 
 
Na prática, não é possível calcular o desconto racional com essa fórmula, uma vez que 
o Valor Atual ou Capital (C) só é conhecido após o cálculo do desconto. 
Desconto - NominalValor DescontadoValor 
n i C Dr 
 
 
33 
Pela própria definição de desconto e introduzindo-se o conceito de Valor Descontado 
no lugar de capital no cálculo do desconto, tem-se: 
Sendo: 
 Dr = Desconto Racional (ou recompensa da liquidação antecipada); 
 N = Valor Nominal (ou valor de resgate ou montante); 
 Vr = Valor Descontado racional (ou valor atual) na data da operação. 
Como: 
Tem-se: 
Sendo (1 + i x n) o M.M.C. da fração, tem-se: 
 
Assim, a fórmula do Desconto Racional Simples é: 
 
A partir desta fórmula é possível calcular o Valor do Desconto Racional (Dr) obtido 
de determinado Valor Nominal (N) a uma dada taxa simples de juros (i) e a um determinado 
prazo de antecipação (n). 
Vr - N Dr  1
n) i (1
N
 C Vr 


n) i (1
N
 - N Dr 


n) i (1
N - n) i (1 N
 Dr 



n) i (1
N -n i N N
 Dr 



n) i (1
n i N
 Dr 


 2
 
 
34 
Já o Valor Descontado (Vr), conforme definição apresentada, é obtido pela seguinte 
expressão de cálculo: 
 
É importante ressaltar que o juro ou desconto, incide sobre o capital (Valor Presente) 
do título, ou seja, sobre o valor liberado da operação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
n) i (1
N
 Vr 
n) i (1
n i N -n i N N
 Vr 
n) i (1
n i N - n) i (1 N
 Vr 
n) i (1
n i N
 - N Vr 
Dr - N Vr 












 3
 
 
35 
1) Seja um título de valor nominal de $4.000,00 vencível em um ano, que está sendo 
liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a., a taxa nominal de juros 
simples, pede-se calcular o desconto e o valor descontado “por dentro” desta operação: 
Dados do exercício: Solução: Valor do Desconto 
- Valor Descontado: ou: 
2) Determinar a taxa mensal de desconto racional simples de um título negociado 60 
dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $26.000,00 e valor atual na 
data do desconto de $24.436,10. 
Dados do exercício: 
 
 
?$ Vr 
?$ Dr 
m. a. 0,035 i
100 m. a. 3,5% i
12 a. a. 42% i
meses 3 n 
$4.000,00 N







$380,10 Dr 
(1,105)
420
 Dr 
3) 0,035 (1
3 0,035 4.000,00
 Dr 
n) i (1
n i N
 Dr 








$3.619,90 Vr 
380,00 - 4.000,00 Vr 
Dr - N Vr 



$3.619,90 Vr 
3) 0,035 (1
4.000,00
 Vr 
n) i (1
N
 Vr 





$24.436,10 Vr 
$26.000,00 N
meses 2 dias 60 n 



 
 
36 
Como no desconto racional, o desconto é aplicado sobre o valor atual (capital 
liberado) do título, logo: 
Solução: 
 
5.1.2 Desconto Simples Bancário ou (Comercial) ou (Por Fora) 
Simplificadamente, o “Desconto Por Fora” é assim denominado por incidir sobre o 
Valor Nominal (valor de resgate ou montante) do título e não sobre o Valor Descontado 
(Capital ou Valor Atual) como ocorre no Desconto Racional. 
Esta modalidade de desconto é amplamente adotada pelo mercado, principalmente em 
operações de crédito bancário e comercial a curto prazo. 
No regime de juros simples, o Valor do Desconto “por fora” (DF) é determinado pelo 
produto do valor nominal do título (N), da taxa de desconto periódica “por fora” contratada na 
operação (d) e do prazo de antecipação definido para o desconto (n). 
O Valor Descontado “Por fora” (VF) aplicando-se a definição, é obtido: 
 
m. a. 3,2% i
100 m. a. 0,032 i
48.872,20
1.563,90
 i
2 24.436,10
24.436,10 - 26.000
 i
n Vr 
Dr
 i
n i Vr Dr 








n i N Df  1
n) i - (1 N Vf
n i N - N Vf
Df - N Vf


 2
 3
 
 
37 
Exemplos: 
1) Seja um título de valor nominal de $4.000,00 vencível em um ano, que está sendo 
liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a a, a taxa nominal de juros 
simples, pede-se calcular o desconto e o valor descontado “por fora” desta operação: 
Dados do exercício: Solução: Valor do Desconto: 
- Valor Descontado: 
2) Determinar a taxa mensal de desconto comercial simples de um título negociado 60 
dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $26.000,00 e valor atual na 
data do desconto de $24.436,10. 
Dados do exercício: Solução: 
 
 
 
?$ Vf
?$ Df
m. a. 0,035 i
100 m. a. 3,5% i
12 a. a. 42% i
meses 3 n 
$4.000,00 N







$420,00 Df
3 0,035 4.000,00 Df
n i N Df



$3.580,00 Vf
0,8950 4.000,00 Vf
3) 0,035 - (1 4.000,00 Vf
n) i - (1 N Vf




$24.436,10 Vf
$26.000,00 N
meses 2 dias 60 n 
 m a % ? i




$1.563,90 DF
24.436,10 - 26.000,00 DF
VF - N DF



 
 
38 
 
A taxa aplicada sobre o valor nominal do título é de 3,0075% a.m., contudo, a taxa 
efetiva desta operação é a determinada pelo desconto racional composto. 
5.2 Desconto Composto 
Assim como no regime de juros simples, no regime de juros compostos são 
identificados dois tipos de Desconto: 
 Desconto “Por Dentro” ou Racional; 
 Desconto “Por Fora” ou Bancário, ou Comercial. 
5.2.1 Desconto Composto Racional ou (Por Dentro) 
Assim como o Desconto Racional “Por Dentro” Simples é estabelecido segundo as 
relações do regime de Juros Simples, o Desconto Racional “Por Dentro” Composto, é 
estabelecido segundo as relações do regime de Juros Compostos. 
Desta forma, o Valor Descontado Racional Composto (VR), equivale ao Valor 
Presente de juros compostos, ou seja: 
 
 
m. a. 3,0075% i
100 m. a. 0,0301 i
i 
2
0,0602
2 i 0,0602
2 i 
26.000,00
1.563,90
2 i 26.000,00 1.563,90
n i N DF







n i) (1 
N VR 
 
   1 
 
 
39 
Por outro lado, sabe-se que o desconto é obtido pela diferença entre o Valor Nominal 
(resgate) e o valor descontado (Valor Presente). Logo, o Desconto Racional Composto (DR) 
tem a seguinte expressão de cálculo: 
- Colocando N em evidência: 
Exemplos: 
1) Uma pessoa deseja descontar uma nota promissória 3 meses antes de seu 
vencimento. O valor nominal deste título é de $50.000,00. Sendo de 4,5% ao mês a taxa de 
desconto composto racional, determine qual o valor descontado, qual o valor do desconto e 
qual a taxa efetiva da operação? 
Dados do exercício:
Solução: Valor Descontado: 
- Desconto: 
 
ni) (1
N
 - N DR
VR - N DR


 2
m. a. ?% i
?$ DR
?$ VR
mês ao 0,045 i
meses 3 n 
$50.000,00 N
e 





$43.814,83 VR
0,045) (1
50.000,00
 VR
i) (1
N
 VR
3
n





$6.185,16 DR
43.814,83 - 50.000,00 DR
VR - N DR



 
 
 
 
 
 
 
  
n i) (1 
1 - 1 N DR   3 
 
 
40 
- Taxa Efetiva: 
2) Um banco libera a um cliente $6.800,00 provenientes do desconto composto 
racional de um título de valor nominal de $9.000,00 descontado à taxa de 4% ao mês. Calcule 
o prazo de antecipação que foi descontado este título. 
Dados do exercício: Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m. a. 4,5% i
100 m. a. 0,0450 i
i 1 - 1,0450
i 1 (1,1412)
)i (1 
43.814,83
50.000,00
 )i (1 x 43.814,83 50.000,00
 )i (1 VF N
e
e
e
e
3
e
3
e
n
e
3
1







? n 
m. a. 0,04 i 
$9.000,00 N 
$6.800,00 VR 
 
 
 
 
dias 5 e meses 7 n 
30 meses 0,1468 n 
7 - meses 7,1468 n 
0,0392 
0,2803 n 
0,0392 n 0,2803 
1,04 LN n 1,3235 LN 
(1,04) 3235 , 1 
(1,04) 
00 , 800 . 6 
00 , 000 . 9 
0,04) (1 6.800,00 9.000,00 
i) (1 VR N 
i) (1 
N VR 
n 
n 
n 
n 
n 
  
  
 
 
  
  
 
 
   
   
 
 
 
 
41 
5.2.2 Desconto Composto Bancário ou Comercial ou (Por Fora) 
O Desconto Composto “Por Fora” caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa de 
desconto sobre o Valor Nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos 
obtidos em períodos anteriores. 
Assim, pode-se dizer que: 
e como: 
tem-se: 
Onde o valor 
é o novo valor nominal sobre o qual incidirá a taxa de desconto nos períodos 
seguintes. 
Sendo a formula de expressão do cálculo do Desconto Composto “Por Fora” assim 
determinada: 
Como: 
Tem-se: 
 
 
DF - N VF 1
i N DF 
i) - (1 N VF
i N - N VF


i) - (1 N
ni) - (1 N VF  2
VF - N DF
]i) - (1 - [1 N DF
i) - (1 N - N DF
n
n


 3
 
 
42 
Exemplo: 
1) Um título de valor nominal de $35.000,00 é negociado através de uma operação de 
Desconto Composto “Por Fora” 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada 
atinge 5% ao mês. Pede-se determinar o Valor Descontado, o Desconto e a Taxa de Juro 
Efetiva da operação. 
Dados do exercício: Solução: Valor Descontado: 
- Desconto: 
- Taxa Efetiva: 
 
m. a. ?% i
?$ DF
?$ VF
m. a. 0,05 i
meses 3 n 
$35.000,00 N
e 





$30.008,12VF
0,857435.000,00VF
0,05)-(135.000,00VF
i)-(1NVF
3
n




$4.991,88 DF
30.008,12 - 35.000,00 DF
VF - N DF



m. a. % 5,26 i
100 m. a. 0,0526 i
i 1 - 1,0526
i 1 (1,1663)
)i (1 1,1663
)i (1 
30.008,12
35.000,00
)i (1 30.008,12 35.000,00
)i (1 VF N
e
e
e
e
3
e
3
e
3
e
n
e
3
1








 
 
43 
Exercícios Propostos: 
32) Calcular o Valor do Desconto e o Valor Descontado simples “Por Dentro” 
(racional) de um título de valor nominal $54.000,00 descontados 95 dias antes de seu 
vencimento a uma taxa de desconto de 4,5% ao mês. 
33) O Valor Atual de um título é de $159.529,30 sendo o Valor de seu desconto 
racional simples, apurado a uma taxa de juros de 5,5% ao mês, igual a $20.470,70. Com base 
nestas informações, determinar o número de dias que falta para o vencimento do título. 
34) Calcular o Valor do Desconto e o Valor Descontado simples “Por Fora” 
(comercial) de um título de valor nominal $54.000,00 descontados 95 dias antes de seu 
vencimento a uma taxa de desconto de 4,5% ao mês. 
35) O desconto de uma duplicata de valor nominal de $77.000,00 e com prazo de 
vencimento de 141 dias, produz um valor atual de $65.000,00. Determinar a taxa de desconto 
simples “Por Fora” desta operação. 
36) Um título de valor nominal de $5.000,00 é negociado através de uma operação de 
desconto composto “por fora” 4 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada 
atinge 3% ao mês. Pede-se determinar o Valor Descontado, o Desconto e a Taxa de Juro 
Efetiva mensal da operação. 
37) Uma empresa deseja descontar uma duplicata 5 meses antes de seu vencimento. O 
valor nominal deste título é de $100.000,00. Sendo de 5% ao mês a taxa de desconto racional 
composto, determine qual o valor descontado e qual o valor do desconto da operação? 
38) Um banco libera a um cliente $15.357,91 provenientes do desconto de um título 
de valor nominal de $20.000,00 descontado à taxa racional composta de 4,5% ao mês. Calcule 
o prazo de antecipação que foi descontado este título. 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
MÓDULO - III 
 
 
6 Rendas Certas ou Anuidades 
Rendas ou anuidades é um conjunto de depósitos ou de pagamentos periódicos 
destinados a constituir um capital ou amortizar uma dívida. 
Cada um dos pagamentos de uma série pode ser denominado de termo, prestação ou 
simplesmente pagamento da renda. 
Ao intervalo de tempo entre os vencimentos de dois termos consecutivos denomina-se 
período da renda ou intervalo de pagamento. 
6.1 Classificação das Rendas 
- Quanto a sua Periodicidade as rendas são classificadas em: 
 Certas; 
 Aleatórias. 
- Quanto a sua Duração as rendas são classificadas em: 
 Temporárias; 
 Perpétuas. 
- Quanto aos seus Valores as rendas são classificadas em: 
 Constantes; 
 Variáveis. 
- Quanto ao seu Período de Ocorrência as rendas são classificadas em: 
 Imediatas; 
 Antecipadas; 
 Diferidas. 
 
 
 
 
45 
6.2 Classificação das Rendas Certas quanto ao Pagamento da Primeira Prestação 
6.2.1 Rendas Imediatas 
São aquelas cujo primeiro pagamento ocorre no Final do 1º Período e o último 
pagamento se dá no Fim do último período (n). 
6.2.2 Rendas Antecipadas 
São aquelas cujo primeiro pagamento ocorre no Início do 1º Período e o último 
pagamento se dá no Início do último período (n). 
6.2.3 Rendas Diferidas 
Caracterizam-se por terem um prazo de Carência (m) antes do Primeiro pagamento. 
 
 
 
 
 
0 2 n-1 n
Período
1
PMT PMT PMT PMT
0 2 n-1 n
Período
1
PMT PMT PMT PMT
0 2 m+1 m + n
Período
1
PMT PMTPMT
m + n-1m
Carência
 
 
46 
6.3 Cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Imediata 
O cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Imediata é dado a 
partir da descapitalização das Prestações Constantes (PMT), descrito pela fórmula a seguir: 
6.4 Cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Imediata 
O cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Imediata é dado a partir 
da capitalização das Prestações Constantes (PMT), descrito pela fórmula a seguir: 
6.5 Cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Antecipada 
O cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Antecipada é dado a 
partir da descapitalização das Prestações Constantes (PMT), descrito pela fórmula a seguir: 
 
 
0 2 n-1 n
Período
1
PMT PMT PMT PMT
?$ PV 
i
i) (1 - 1
 PMT PV
-n

n
0 2
n-1
Período
1
PMT PMT PMT PMT
?$ FV 
i
1-i)(1
PMTFV
n

0 2 n-1 n
Período
1
PMT PMT PMT PMT
?$ PV 
i) (1 
i
i) (1- 1
 PMT PV
-n



 
 
47 
6.6 Cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Antecipada 
O cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Antecipada é dado a 
partir da capitalização das Prestações Constantes (PMT), descrito pela fórmula a seguir: 
6.7 Cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Diferida 
O cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Diferida é dado a 
partir da descapitalização das Prestações Constantes (PMT), descrito pela fórmula a seguir: 
6.8 Cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Diferida 
O cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Diferida é dado a partir 
da capitalização das Prestações Constantes (PMT), descrito pela fórmula a seguir: 
 
 
0 2 n-1 n
Período
1
PMT PMT PMT PMT
?$FV 
i) (1 
i
1- i) (1
 PMT FV
n



0 2 m+1 m + n
Período
1
PMT PMTPMT
m + n-1m
Carência
?$ PV 
m-
-n
i) (1 
i
i) (1- 1
 PMT PV 


0 2
m+1 m + n
Período
1
PMT PMTPMT
m + n-1m
Carência
?$FV 
i
1-i)(1
PMTFV
n

 
 
48 
Exemplos: 
1) Um determinado produto, cujo preço à vista é $6.800,00 está sendo vendido com 
uma entrada de 20% do preço e o restante em seis prestações mensais com juros de 5,5% a. m. 
De quanto serão a entrada e as prestações? 
Dados do exercício: 
Solução: 
 
 
 
 
?$ PMT
?$ Entrada
m. a. 5,5% i
Pagamentos 6 n 
Entrada - Vista a Preço Financiada Parte
20% vistaa Preço Entrada
$6.800,00 Vista a Preço







$1.088,97 PMT
4,9955 PMT 00,440.5
0,055
0,055) (1 - 1
 PMT 5.440,00
i
i) (1 - 1
 PMT PV
PV $5.440,00 Financiada Parte
1.360,00 - 6.800,00 Financiada Parte
Entrada - Vista a Preço Financiada Parte
$1.360,00 Entrada
0,20 6.800,00 Entrada
20% vistaa Preço Entrada
6-
n-












 
 
49 
Solução na HP – 12C 
Teclas Visor Significado 
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros 
6800 ENTER 20 % 1.360,00 Valor da Entrada 
(-) CHS PV -5.440,00 Parte Financiada 
6 n 6 Número de Prestações 
Mensais 
5,5 i 5,5 Taxa em meses 
PMT $1.088,97 Valor das Prestações 
 
2) Um determinado produto, cujo preço à vista é $6.800,00 está sendo vendido com 
uma entrada de 20% do preço e o restante em seis prestações mensais com juros de 5,5% a. m. 
De quanto serão a entrada e as prestações, considerando que a primeira deverá ser paga no ato 
da compra? 
Dados do exercício: 
 
 
 
 
?$ PMT
?$ Entrada
m. a. 5,5% i
Pagamentos 6 n 
Entrada - Vista a Preço Financiada Parte
20% vistaa Preço Entrada
$6.800,00 Vista a Preço







 
 
50 
Solução: 
Solução na HP – 12C 
Teclas Visor Significado 
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros 
G BEG BEGIN Configuração para Fluxos de 
Caixa Antecipados 
6800 ENTER 20 % 1.360,00 Valor da Entrada 
(-) CHS PV -5.440,00 Parte Financiada 
6 n 6 Número de Prestações 
Mensais 
5,5 i 5,5 Taxa em meses 
PMT $1.032,20 Valor das Prestações 
 
 
 
 
$1.032,20 PMT
1,055 4,9955 PMT 00,440.5
0,055) (1 
0,055
0,055) (1 - 1
 PMT 5.440,00
i) (1 
i
i) (1 - 1
 PMT PV
PV $5.440,00 Financiada Parte
1.360,00 - 6.800,00 Financiada Parte
Entrada - Vista a Preço Financiada Parte
$1.360,00 Entrada
0,20 6.800,00 Entrada
20% vistaa Preço Entrada
6-
n-














 
 
51 
3) Um financiamento no valor de $35.000,00 é concedido para pagamento em 12 
prestações mensais, iguais, com 3 meses de carência. Para uma taxa de juros de 3,5% a m, 
determinar o valor das prestações. 
Dados do exercício: Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
Solução na HP – 12C 
Teclas Visor Significado 
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros 
35000 CHS PV -35.000,00 Valor do Financiamento 
3 n 3,00 Período de Carência 
3,5 i 5,50 Taxa em meses 
FV 38.805,12 Valor Futuro 
f FIN 38.805,12 Limpa Registros 
CHS PV -38.805,12 Valor do Saldo Devedor 
12 n 12,00 Número de Prestações 
3,5 i 3,50 Taxa em meses 
PMT $4.015,71 Valor das Prestações 
 
 
?$ PMT 
m. a. 3,5% i 
carência de meses 3 m 
Pagamentos 12 n 
$35.000,00 nto Financiame do Valor 
 
 
 
 
 
$4.015,71 PMT 
0,9019 9,6633 PMT 00 , 000 . 35 
0,035) (1 
0,035 
0,035) (1 - 1 PMT 35.000,00 
i) (1 
i 
i) (1 - 1 PMT PV 
3 - 
12 - 
m - 
n - 
 
   
  
 
  
  
 
  
 
 
52 
Exercícios Propostos: 
39) Um terreno está à venda em 7 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de 
$4.000,00. Para uma taxa de juros de 2,6% a m. Até que preço compensa vender o terreno à 
vista? 
40) Um bem, cujo preço à vista é $10.000,00 está sendo vendido com uma entrada de 
20% do preço e o restante em 5 prestações mensais imediatas com juros de 2,5% a. m. De 
quanto serão a entrada e as prestações? 
41) Uma pessoa quer comprar um apartamento, cujo preço à vista é $80.000,00, mas 
só dispõe de $48.000,00 para dar como entrada e poderá pagar prestações mensais de, no 
máximo, $500,00. Em quantos pagamentos, no mínimo, poderá comprar o apartamento se a 
taxa de juros para comprá-lo a prazo é 1,5% a m e de quanto serão os pagamentos, se forem 
iguais? 
42) Um empréstimo de $55.000,00 está sendo pago com 10 prestações mensais de 
$5.963,88. Qual a taxa mensal de juros cobrada pelo credor? 
43) Com o objetivo de fazer uma poupança, uma pessoa deposita $1.000,00 no fim de 
cada mês, numa instituição financeira que paga juros de 0,75% a m. Qual será o montante no 
fim do ano, após efetuar seu 12º depósito? 
44) Faltando oito pagamentos mensais de $5.400,00 para o término de um contrato de 
financiamento, o financiado deseja liquidá-lo. Quanto deverá pagar (na data em que pagaria o 
primeiro dos oito pagamentos) se a taxa para avaliação da dívida é 4,5% a m ? 
45) Um carro está sendo vendido a prazo em 4 pagamentos mensais de $5.000,00. 
Sendo de 2,5% a m a taxa de juros, determinar o seu valor final, admitindo que o primeiro 
pagamento é efetuado no ato da compra. 
46) Um banco concedeu um empréstimo de $50.000,00 em 12 prestações mensais e 
iguais, com 4 meses de carência. Para uma taxa de juros de 1,5% a m qual o valor das 
prestações? 
47) Determine o Valor Futuro do exercício anterior. 
 
 
 
53 
7 Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 
7.1 O que trata os Sistemas de Amortização? 
Tratam da forma pela qual são restituídos, pelo Devedor ao Credor do Capital, os 
encargos financeiros e o montante principal, relativos a empréstimos de longo prazo. 
7.2 Termos Utilizados: 
 Credor ou Mutuante: É aquele que dá o empréstimo. 
 Devedor ou Mutuário: É aquele que recebe o empréstimo. 
 Encargos (Despesas) Financeiras: Representam os Juros da operação, caracterizando – 
se como custo para o devedor e retorno para o credor. 
Os Encargos Financeiros podem ser corrigidos por Indexador Prefixado ou Pós – 
fixado. 
Nas Operações Pós Fixadas, os Encargos Financeiros são desdobrados em Juros e 
Correção Monetária, (inflação para dívidas expressas em moeda nacional ou Variação 
Cambial para dívidas expressas em moeda estrangeira) que vier a se verificar no futuro. 
Nas Operações Prefixadas estipula-se uma taxa única, a qual incorpora-se uma 
expectativa inflacionaria para todo o horizonte de tempo. 
7.3 Definições Básicas: 
 Amortização:
Refere-se exclusivamente ao pagamento do montante principal do Capital 
Emprestado. 
 Saldo Devedor: Representa o valor do principal da dívida, em determinado momento, 
após a dedução do valor já pago ao credor a título de amortização. 
 Encargos Financeiros: Os Juros são calculados sempre sobre o Saldo Devedor, e se 
considera normalmente o regime de Juros Compostos. 
 Prestação: É composta do valor da amortização mais os encargos financeiros devidos em 
determinado período de tempo. 
 Carência: É a postergação do início da Amortização do Principal (capital emprestado), 
não sendo incluídos necessariamente os juros, durante o prazo de carência. Na hipótese de 
Carência de Juros, os mesmos são capitalizados e pagos junto com a primeira parcela de 
amortização ou distribuídos para as várias datas de pagamento previamente pactuadas. 
 
 
54 
7.4 Modalidades de Sistemas de Amortização: 
Existem diversos sistemas para se amortizar uma dívida, contudo, os mais conhecidos 
e utilizados são os descritos a seguir: 
 Sistema de Amortização Constante – SAC; 
 Sistema de Amortização Francês – SAF (Price); 
 Sistema de Amortização Misto – SAM; 
 Sistema de Amortização Americano; 
 Sistema de Amortização Variável; 
 Etc. 
7.4.1 Sistema de Amortização Constante - SAC: 
Possui as seguintes características: 
 As Amortizações do Montante Principal são sempre iguais em todo o período da 
operação. 
 Os Juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o 
pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes nos períodos. 
 Em conseqüência do comportamento da amortização constante e dos juros 
decrescentes, as prestações periódicas e sucessivas do SAC são decrescentes. 
 Os contratos podem ser firmados entre as partes considerando ou não prazos de 
carência. 
Se houver carência, três situações podem ocorrer: 
1. Os Juros poderão ser pagos durante a carência. 
2. Os Juros são Capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento da primeira 
amortização. 
3. Os Juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor gerando um fluxo de 
amortização de maior valor. 
Como os sistemas de amortização prevêem pagamentos de forma parcelada, é 
conveniente tanto para o credor como para o credor a elaboração de um Quadro 
Demonstrativo que revele o estado da dívida em cada período do prazo fixado. 
 
 
55 
Exemplos: 
1) SAC – Sem Carência: 
Admita que um empréstimo no Valor de R$100.000,00 foi concedido a uma empresa 
nas seguintes condições: Taxa de Juros de 10% a.a., Amortização em Pagamentos Anuais, 
Prazo de Amortização em 5 anos (Sem Carência). 
Solução: 
a) Para o cálculo da Amortização Constante tem - se: 
Onde: 
A = Amortização 
SD0 = Saldo Devedor Inicial, Valor Presente ou Valor do Financiamento 
n = Número de Prestações 
Logo: 
 
b) O Saldo Devedor é periodicamente reduzido da Amortização: 
n
SD
 A 0
0$100.000,0 Total
20.000,00 A
20.000,00 A
20.000,00 A
20.000,00 A
20.000,00 A
5
100.000,00
 A 
5
4
3
2
1







$0,00 20.000,00 - 20.000,00 SD
$20.000,00 20.000,00 - 40.000,00 SD
$40.000,00 20.000,00 - 60.000,00 SD
$60.000,00 20.000,00 - 80.000,00 SD
$80.000,00 20.000,00 - 100.000,00 SD
0$100.000,0 SD
5
4
3
2
1
0






 
 
56 
 
c) Os Juros são calculados sempre sobre o Saldo Devedor do Período Anterior: 
 
d) A Prestação é a soma da Amortização e dos Juros: 
 
e) Apresentação da Planilha Financeira: 
SAC – Com Carência de um ano e pagamento dos Juros: 
 
 
 
 
$2.000,00 0,10 20.000,00 J
$4.000,00 0,10 40.000,00 J
$6.000,00 0,10 60.000,00 J
$8.000,00 0,10 80.000,00 J
$10.000,00 0,10 100.000,00 J
i SD J
5
4
3
2
1
1 -n 






$22.000,00 2.000,00 20.000,00 P
$24.000,00 4.000,00 20.000,00 P
$26.000,00 6.000,00 20.000,00 P
$28.000,00 8.000,00 20.000,00 P
$30.000,00 10.000,00 20.000,00 P
J A P
5
4
3
2
1
nn






Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - - 
1 80.000,00 20.000,00 10.000,00 30.000,00 
2 60.000,00 20.000,00 8.000,00 28.000,00 
3 40.000,00 20.000,00 6.000,00 26.000,00 
4 20.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,00 
5 - 20.000,00 2.000,00 22.000,00 
Total - 100.000,00 30.000,00 130.000,00 
SAC - Sem Carência
 
 
57 
SAC – Com Carência de 2 anos, Capitalização dos Juros e pagamento dos juros 
acumulados durante a carência quando do vencimento da primeira parcela de amortização: 
 
SAC – Com Carência de 2 anos, Capitalização dos Juros, Acrescidos ao Saldo 
Devedor: 
 
 
 
 
 
Períodos Saldo devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - - 
1 110.000,00 - - - 
2 121.000,00 - - - 
3 80.000,00 20.000,00 33.100,00 53.100,00
4 60.000,00 20.000,00 8.000,00 28.000,00
5 40.000,00 20.000,00 6.000,00 26.000,00
6 20.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,00
7 - 20.000,00 2.000,00 22.000,00
Total - 100.000,00 53.100,00 153.100,00
SAC - Com Carência de 2 anos e PG. dos Juros na 1ª Amortização
Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - - 
1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 
2 80.000,00 20.000,00 10.000,00 30.000,00 
3 60.000,00 20.000,00 8.000,00 28.000,00 
4 40.000,00 20.000,00 6.000,00 26.000,00 
5 20.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,00 
6 - 20.000,00 2.000,00 22.000,00 
Total - 100.000,00 40.000,00 140.000,00 
SAC - Com Carência de 1 ano e Pagamento dos Juros
Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - - 
1 110.000,00 - - - 
2 121.000,00 - - - 
3 96.800,00 24.200,00 12.100,00 36.300,00 
4 72.600,00 24.200,00 9.680,00 33.880,00 
5 48.400,00 24.200,00 7.260,00 31.460,00 
6 24.200,00 24.200,00 4.840,00 29.040,00 
7 - 24.200,00 2.420,00 26.620,00 
Total - 121.000,00 36.300,00 157.300,00 
SAC - Com Carência de 2 anos,
Capitalização dos Juros e Acrescidos ao Saldo Devedor
 
 
58 
7.4.2 Sistema de Amortização Francês – SAF. 
Por este sistema, o devedor paga o empréstimo em Prestações iguais imediatas, 
incluindo em cada uma, uma amortização parcial do empréstimo e os juros sobre o saldo 
devedor anterior. O cálculo das prestações é feito através do Valor Atual das Rendas 
Imediatas. 
Plano de Amortização Francês (Sistema Price) 
Modelo de Quadro Demonstrativo 
Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestações (R$) 
0 SD0 = PV ---- ---- ---- 
1 SD1 = PV – A1 A1 = PMT – J1 J1 = SD0 x i PMT 
2 SD2 = SD1 – A2 A2 = PMT – J2 J2 = SD1 x i PMT 
- - - - - 
- - - - - 
n SDn = SDn – 1 – An An = PMT - Jn Jn = SDn – 1 x i PMT 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
i
i) (1 - 1
PV
 PMT
i
i) (1 - 1
 PMT PV
n -
n -




 
 
59 
Exemplos: 
2) SAF – Sem Carência: 
Admita que um empréstimo no Valor de R$100.000,00 foi concedido a uma empresa 
nas seguintes condições: Taxa de Juros de 10% a.a., Amortização em Pagamentos Anuais, 
Prazo de Amortização em 5 anos (Sem Carência). 
Solução: Utilizando a Calculadora Financeira HP – 12C tem-se: 
Solução na HP – 12C 
Teclas Visor Significado 
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros 
100000 CHS PV -100.000,00 Valor do Empréstimo 
5 n 5,00 Número de Prestações 
10 i 10,00 Taxa anual 
PMT $26.379,75 Valor das Prestações 
5 x $131.898,74 Total das Prestações 
5 / $26.379,75 Valor das Prestações 
1 f AMORT $10.000,00 Valor dos Juros do 1º ano 
X<>Y $16.379,75 Valor da Amortização do 1º ano 
RCL PV $-83.620,25 Saldo Devedor do 1º ano 
1 f AMORT $8.362,03 Valor dos Juros do 2º ano 
X<>Y $18.017,72 Valor da Amortização do 2º ano 
RCL PV $-65.602,53 Saldo Devedor do 2º ano 
1 f AMORT $6.560,25 Valor dos Juros do 3º ano 
X<>Y $19.819,50 Valor da Amortização do 3º ano 
RCL PV $-45.783,03 Saldo Devedor do 3º ano 
E assim por diante até o 5º ano. 
 
 
 
 
60 
Quadro Demonstrativo do Sistema de Amortização Francês (Sem Carência): 
SAF – Com Carência de um ano e pagamento dos Juros: 
SAF – Com Carência de 2 anos, Capitalização dos Juros, Acrescidos ao Saldo 
Devedor: 
 
 
 
 
 
 
Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - - 
1 83.620,25 16.379,75 10.000,00 26.379,75 
2 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,75 
3 45.783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,75 
4 23.981,59 21.801,44 4.578,30 26.379,75 
5 (0,00) 23.981,59 2.398,16 26.379,75 
Total - 100.000,00 31.898,74 131.898,74 
SAF - Sem Carência
Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - - 
1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 
2 83.620,25 16.379,75 10.000,00 26.379,75 
3 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,75 
4 45.783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,75 
5 23.981,59 21.801,44 4.578,30 26.379,75 
6 (0,00) 23.981,59 2.398,16 26.379,75 
Total - 100.000,00 41.898,74 141.898,74 
SAF - Com Carência de 1 ano e Pagamento dos Juros
Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - - 
1 110.000,00 - - - 
2 121.000,00 - - - 
3 101.180,50 19.819,50 12.100,00 31.919,50 
4 79.379,06 21.801,44 10.118,05 31.919,50 
5 55.397,47 23.981,59 7.937,91 31.919,50 
6 29.017,72 26.379,75 5.539,75 31.919,50 
7 (0,00) 29.017,72 2.901,77 31.919,50 
Total - 121.000,00 38.597,48 159.597,48 
SAF - Com Carência de 2 anos, Capitalização dos Juros e Acrescimo ao Saldo Devedor
 
 
61 
Exercícios Propostos: 
48) Um comerciante contratou um empréstimo de $400.000,00 a uma taxa de 12% ao 
ano para ser pago em 5 anos. Elabore o Plano de Amortização deste empréstimo, pelo 
Sistema SAC, nas seguintes condições: 
a) Sem carência; 
b) Com carência de 2 anos e pagamento dos juros durante a carência; 
c) Com carência de 2 anos, capitalização dos juros e pagamento dos juros 
acumulados quando do vencimento da primeira parcela de amortização; 
d) Com carência de 2 anos, capitalização dos juros, acrescidos ao saldo devedor. 
Demonstre as memórias de cálculo e os quadros demonstrativos. 
 
49) Um banco concedeu um empréstimo de $400.000,00 a uma taxa de 12% ao ano 
para ser pago em 5 anos. Elabore o Plano de Amortização deste empréstimo, pelo 
Sistema SAf, nas seguintes condições: 
a) Sem carência; 
b) Com carência de 2 anos e pagamento dos juros durante a carência; 
c) Com carência de 2 anos, capitalização dos juros, acrescidos ao saldo devedor. 
Demonstre as memórias de cálculo pelas fórmulas matemáticas e também pelas 
teclas financeiras da HP – 12C e os quadros demonstrativos. 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 
REFERÊNCIAS 
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo: Atlas, 
2006. 
ASSAF NETO, Alexandre. Mercado Financeiro. São Paulo: Atlas, 2006. 
VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Financeira: uso de calculadoras financeiras: 
aplicações ao mercado financeiro, introdução à engenharia econômica. São Paulo: Atlas, 
2006 
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática Financeira. São Paulo: 
Atlas, 2006.