mecânica dos sólidos parte2 tracao

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Departamento de Engenharia Mecânica
Mecânica dos Sólidos I
Parte 2
Prof. Arthur M. B. Braga
2006.1
Mecânica dos Sólidos I
Mecânica dos Sólidos I – Parte II
• Barras carregadas axialmente (Cap. 1 e 2)
• Cisalhamento (Cap. 1)
• Torção de eixos cilíndricos (Cap. 3)
Mecânica dos Sólidos I
Mecânica dos Sólidos
Problema
Corpo sujeito a ação de 
esforços externos (forças, 
momentos, etc.)
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
Determinar
• Esforços internos (tensões)
• Deformações
• Deslocamentos
Mecânica dos Sólidos I
Determinação da Distribuição de Tensão no 
Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas
F7
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F8
P (x,y,z) ),,( zyxσ
x
z
y
σxyσxx
σxz
σzyσzx
σzz
σyy
σyx
σyz
Mecânica dos Sólidos I
Determinação da Distribuição de Tensão no 
Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas
Barras sujeitas a carregamentos axiais (Cap. 1 e 2)
F
F
Mecânica dos Sólidos I
Determinação da Distribuição de Tensão no 
Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas
Cisalhamento (Cap. 1)
Mecânica dos Sólidos I
Determinação da Distribuição de Tensão no 
Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas
Eixos sujeitos a carregamentos de torção (Cap. 3)
x
T
T
Mecânica dos Sólidos I
Determinação da Distribuição de Tensão no 
Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas
Barras submetidas a carregamentos de flexão 
(Cap. 5 e 6)
VIGAS F
Mecânica dos Sólidos I
Determinação da Distribuição de Tensão no 
Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas
Estado plano de tensões (Cap. 8)
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F1x
z
y
σxyσxx σyyσyx
x
y
σxx
σxx
σyy
σyy
σxy
σxy
σxy
σxy
[ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
0
0
yyxy
xyxx
σ σσ
σσ
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F1x
z
y
σxyσxx σyyσyxx
z
y
σxyσxx σyyσyx
x
y
σxx
σxx
σyy
σyy
σxy
σxy
σxy
σxy
x
y
σxx
σxx
σyy
σyy
σxy
σxy
σxy
σxy
[ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
0
0
yyxy
xyxx
σ σσ
σσ
Mecânica dos Sólidos I
Determinação da Distribuição de Tensão no 
Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas
Vasos de pressão (Pressão Interna) 
(Cap. 8)
p
Mecânica dos Sólidos I
Barras Carregadas Axialmente
F
Fσxx
z
y
x
σxx
[ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
000
00xx
σ
σ
A
F
xx =σ
Mecânica dos Sólidos I
Barras Carregadas Axialmente
Hipóteses
• Esforços internos (tensões) 
uniformemente distribuídos 
ao longo do corpo
• Pequenas deformações
• Material linear elástico
z
y
x
σxx
σxx
F
F
[ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
000
00xx
σ
σ
z
y
x
z
y
x
σxx
σxx
F
F
[ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
000
00xx
σ
σ
L
δε =
δ+L
A
L
FF
Relação entre deformação e deslocamento (variação de 
comprimento da barra)
Mecânica dos Sólidos I
Barras Carregadas Axialmente
Relação entre Tensão e Deformação
Ensaio de Tração
Figuras reproduzidas de:
Beer, Johnston & DeWolf, Mechanics of 
Materials, 4th ed., McGraw-Hill, 2002
Mecânica dos Sólidos I
Barras Carregadas Axialmente
Figuras reproduzidas de:
Beer, Johnston & DeWolf, Mechanics of 
Materials, 4th ed., McGraw-Hill, 2002
Relação entre Tensão e Deformação
Mecânica dos Sólidos I
Barras Carregadas Axialmente
Figuras reproduzidas de:
Beer, Johnston & DeWolf, Mechanics of 
Materials, 4th ed., McGraw-Hill, 2002
Relação entre Tensão e Deformação
Mecânica dos Sólidos I
Regime 
Plástico
Regime 
Elástico
Sy
0,2%
σ = F/A
ε = δ/L
Su
F FF F
Relação entre Tensão e Deformação
Barras Carregadas Axialmente
Mecânica dos Sólidos I
Barras Carregadas Axialmente
Relação entre Tensão e Deformação
• Pequenas Deformações
• Regime Elástico:
δ+L
A
L
FF
EA
FL
L
AF =⇒
⎭⎬
⎫
=
= δδε
σ
εσ E=
Mecânica dos Sólidos I
Barras Carregadas Axialmente
Determine os deslocamentos 
verticais dos pontos B, D e E.
• A barra rígida BDE é suspensa 
pelas duas barras flexíveis AB e 
CD.
• A barra AB é fabricada de 
alumínio (E = 70 GPa) e a área de 
sua seção transversal é de 500 
mm2
• A barra CD é fabricada de aço 
(E = 200 GPa) e a área de sua 
seção transversal é de 600 mm2
Exercício
Figuras reproduzidas de:
Beer, Johnston & DeWolf, Mechanics of 
Materials, 4th ed., McGraw-Hill, 2002
Mecânica dos Sólidos I
Barras Carregadas Axialmente
Exercício
Determinar a variação no 
comprimento do conjunto ao 
lado quando carregado em 
compressão pela força W
Placa Rígida 
Tubo (Material 1)
 E1, A1 
Cilindro (Material 2) 
 E2, A2 
 
W 
L 
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
• Forças P e P’ são aplicadas transversalmente ao 
componente AB
• Esforços internos atuando no plano da seção C
são chamados forças de cisalhamento
• Vetores tensão atuando ao longo do plano C 
têm apenas componentes cisalhantes 
(tangenciais)
• A tensão cisalhante deve variar ao longo da 
seção. Seu valor é nulo nas superfícies superior 
e inferior e o valor máximo ocorre no centro da 
seção.
• A tensão cisalhante média ao longo da seção é
onde A é a área da seção transversal C
AP=médiaτ
Figuras reproduzidas de: Beer, Johnston & DeWolf, Mechanics of Materials, 
4th ed., McGraw-Hill, 2002
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Tensão e Deformação Cisalhante
Área A
γ
Figuras reproduzidas de: Beer, Johnston & DeWolf, Mechanics of Materials, 
4th ed., McGraw-Hill, 2002
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Área A
γ
Área AÁrea A
γγ
AP
γ
G
1
Tensão e Deformação Cisalhante
AP=τ
γτ G=
G é o Módulo de 
Cisalhamento
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Tensão e Deformação Cisalhante
• Pequenas deformações
• Resposta linear elástica
γ
τ
τ
τ
τ
γτ G=
x
y
xyστ =
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Exemplos
Punção
P
P
τ = P/πDt
t
D
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Exemplos : Conexões parafusadas
A
F
A
P ==medτ
Cisalhamento Simples Cisalhamento Duplo
A
F
A
P
2med
==τ
Figuras reproduzidas de: Beer, Johnston & DeWolf, Mechanics of Materials, 4th ed., 
McGraw-Hill, 2002
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Exemplos
Cisalhamento Simples
P
P
P
P
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Exemplos
Cisalhamento Simples
P
P
P
P
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Exemplos
Cisalhamento Simples (ruptura por cisalhamento)
P
P
PP
Mecânica dos Sólidos I
PP
Cisalhamento
Exemplos
Cisalhamento Simples (ruptura por cisalhamento)
P
P
P
P
( )4π 2med DP τ=
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Exemplos
Cisalhamento Simples (ruptura por cisalhamento)
Figura reproduzida de: Gere, Mecânica dos Materiais, Thomson, Brasil, 2003
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Exemplos
Cisalhamento Simples
W
A = πD2/4
τ = W/A
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Exemplos
Cisalhamento Duplo
P
P
P/2
P
P/2
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Exemplos
Cisalhamento Duplo
P
P
P/2
P
P/2
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Exemplos
Cisalhamento Duplo (ruptura por cisalhamento)
P
P
P/2
P
P/2
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Exemplos
Cisalhamento Duplo (ruptura por cisalhamento)
P
P
P/2
P
P/2
P
P/2
P/2
( )4π2 2med DP τ=
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Exemplos
Conexão Parafusada – Rasgamento (shearout)
P
P
P
P
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Exemplos
Conexão Parafusada – Rasgamento (shear out)
P
P
P
P
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Exemplos
Conexão Parafusada – Rasgamento (shear out)
P
P
P
P
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Exemplos
Conexão Parafusada – Rasgamento (shear out)
P
P
P
P
τAL
P
τAL
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Exemplos
Conexão Parafusada – Rasgamento (shear out)
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Exemplos
Conexão Parafusada – Rasgamento (shear out)
Mecânica dos Sólidos I
Problema
Determine o valor máximo 
admissível para a força P
considerando:
– Pinos em B, C e D têm 10 mm 
de diâmetro
– A tensão normal, compressiva 
ou trativa, em BD e CD não deve 
ultrapassar 100 MPa (em valor 
absoluto)
– A máxima tensão cisalhante 
admissível nos pinos é 150 MPa
Figuras reproduzidas de: Lardner & Archer, Mechanics of Solids – An 
Introduction, McGraw-Hill, 1994