mecânica dos sólidos parte3 plano tensao

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Departamento de Engenharia Mecânica 
Mecânica dos Sólidos I 
Parte 3 – Estado Plano de Tensão 
Prof. Arthur M. B. Braga 
2015.1 
Mecânica dos Sólidos I 
Mecânica dos Sólidos 
Problema 
Corpo sujeito a ação de 
esforços externos (forças, 
momentos, etc.) 
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
Determinar 
•  Esforços internos (tensões) 
•  Deformações 
•  Deslocamentos 
Mecânica dos Sólidos I 
Determinação da Distribuição de Tensão no 
Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas 
F7 
F1 
F2 
F3 
F4 
F5 
F6 
F8 
P (x,y,z) ),,( zyxσ
 
x 
z 
y 
σxy σxx 
σxz 
σzy σzx 
σzz 
σyy 
σyx 
σyz 
Mecânica dos Sólidos I 
Representação Gráfica do Estado de Tensão 
no Ponto (Paralelepípedo Fundamental) 
 
x 
z 
y 
σxy σxx 
σxz 
σzy σzx 
σzz 
σyy 
σyx 
σyz 
Mecânica dos Sólidos I 
F 
Barras Carregadas Axialmente 
F sxx 
z 
y 
x 
sxx 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
000
00xx
σ
σ
A
F
xx =σ
Mecânica dos Sólidos I 
Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção 
θ r 
x 
θ 
z 
	
  
θ 
x 
z 
x 
r 
	
  
C 
C 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
00
00
000
z
zσ
θ
θ
σ
σ
y 
σθz =
TD
2J
Em coordenadas cilíndricas 
Mecânica dos Sólidos I 
Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção 
A 
x 
T 
T 
y 
z 
A 
x 
y 
z 
)0(>= xzστ
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
00
000
00
xz
xz
σ
σ
σ
J
TDDxz 2
)2( ==τσ
Em coordenadas Cartesianas 
Mecânica dos Sólidos I 
x 
T 
T 
y 
z 
B 
Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção 
B 
)0(<= xyστ
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
00
00
xy
xy
σ σ
σ
x 
y 
z 
J
TDDxy 2
)2( −=−= τσ
Em coordenadas Cartesianas 
Mecânica dos Sólidos I 
Tensões de Flexão em Barras (vigas) 
xxσ
x
y
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
000
00)(
),,(
y
zyx
xxσ
σ
I
Myyxx −=)(σ
Tensões Normais de Flexão – Causadas pelo Momento Fletor 
M
M
Mecânica dos Sólidos I 
Tensões normais e cisalhantes em vigas sob 
carregamentos de flexão 
)(xq
x
y
)(xM
)(xV
Mecânica dos Sólidos I 
Tensões de Flexão em Barras (vigas) 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
000
00),(
),,(
yx
zyx
xxσ
σ
I
xMyyxxx
)(),( −=σ
Tensões Normais de Flexão Devido ao Momento Fletor 
xxσ
Mecânica dos Sólidos I 
Tensões cisalhantes em vigas sob 
carregamentos de flexão – Esforço Cortante 
Viga de seção retangular: 
y
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛−=
2
41
2
3)(
h
y
bh
Vyxyσ
bh
Vy xyxy 2
3)0(})(max{ ==σσ
Mecânica dos Sólidos I 
Tensões cisalhantes em vigas sob 
carregamentos de flexão – Esforço Cortante 
Viga de seção Circular: 
y
A
Vy xyxy 3
4)0(})(max{ ==σσ
Iyb
yQVyxy )(
)()( =σ
Mecânica dos Sólidos I 
Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t) 
P 
t
PD
4
=θθσ
t
PD
4
=ϕϕσ
ϕϕσ
θθσ
Vasos esféricos 
Mecânica dos Sólidos I 
Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t) 
P 
t
PD
2
=θθσ
t
PD
xx 4
=σ
xxσ
θθσ
Vasos cilíndricos 
Mecânica dos Sólidos I 
Exercício 
z 
N 
N 
Uma barra de perfil circular deve suportar um carregamento axial 
N = 50 kN. No projeto será utilizado um perfil laminado de aço 
SAE 1020, com limite de escoamento SY = 210 MPa. Deve ser 
utilizado um coeficiente de segurança ns= 2,0 no projeto contra a 
falha por escoamento do material. Determinar qual o diâmetro 
mínimo para a barra. 
Mecânica dos Sólidos I 
Regime 
Plástico 
Regime 
Elástico 
Carregamentos e Deformações Uniaxiais 
Ensaio de Tração 
Sy 
0,2% 
σ = F/A 
ε = δ/L 
F F 
Su 
Estricção 
Mecânica dos Sólidos I 
Exercício (continuação) 
z 
N 
N 
Uma barra de perfil circular deve suportar um carregamento axial 
N = 50 kN. No projeto será utilizado um perfil laminado de aço 
SAE 1020, com limite de escoamento SY = 210 MPa. Deve ser 
utilizado um coeficiente de segurança ns= 2,0 no projeto contra a 
falha por escoamento do material. Determinar qual o diâmetro 
mínimo para a barra. 
Resposta: D > 24,6 mm 
Mecânica dos Sólidos I 
Exercício (continuação) 
Escolhemos uma barra com diâmetro D = 25,4 mm. 
Além do esforço axial de 50 kN, esta barra seria capaz de 
suportar simultaneamente um torque? De qual valor? Para 
responder considere Sy = 210 Mpa e um coeficiente de 
segurança ns = 2,0. 
z 
T 
T 
N 
N 
Mecânica dos Sólidos I 
Determinação da Distribuição de Tensão no 
Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas 
Carregamento combinado: Força Axial e Torção 
z 
T 
T 
N 
N 
Mecânica dos Sólidos I 
Força Axial e Torção 
•  Hipóteses 
–  Pequenas Deformações 
–  Comportamento Elástico Linear 
•  Sob estas hipóteses, pode-se aplicar o princípio da 
superposição 
•  Os estados de tensão resultantes de cada um dos 
carregamentos são calculados independentemente e 
somados. 
Mecânica dos Sólidos I 
Força Axial e Torção 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
00
000
0
xz
xzxx
σ
σ
σσ
J
TD
A
N
xzxx 2
e == σσ
x 
T 
T 
y 
z 
N 
N 
x 
z 
xzσ
xxσ
x 
y 
z 
Mecânica dos Sólidos I 
Força Axial e Torção 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
00
0
xy
xyxx
σ σ
σσ
J
TD
A
N
xyxx 2
e −== σσ
x 
T 
T 
y 
z 
N 
N 
x 
y 
z 
x 
y 
xxσ
xyσ
Mecânica dos Sólidos I 
σ1 
σ3 
σ2 Sy Sy 
Início do escoamento no 
ensaio de tração 
Estado 3D 
de Tensão 
σeq σeq 
Critério de 
 Escoamento 
Estado Uniaxial 
Equivalente 
Tensões Principais 
Aplicação: Critérios de Falha 
Tensões 
Principais 
Mecânica dos Sólidos I 
Corpo em equilíbrio sujeito à ação de um 
conjunto de forças externas 
F1 
F2 
F3 
F4 
F5 
F6 
F7 
F8 
Corpo em equilíbrio significa 
que qualquer parte 
(subvolume) do corpo deve 
também estar em equilíbrio 
Mecânica dos Sólidos I 
Corpo em equilíbrio sujeito à ação de um 
conjunto de forças externas 
F1 
F2 
F3 
F4 
F5 
F6 
F7 
F8 
Corte por um plano 
definido pelo vetor 
normal n 
Mecânica dos Sólidos I 
F1 
F2 
F3 
F4 
F8 
n 
Corpo em equilíbrio sujeito à ação de um 
conjunto de forças externas 
Forças internas de ligação (forças de superfície) 
mantêm as duas partes do corpo em equilíbrio 
Mecânica dos Sólidos I 
Corpo em equilíbrio sujeito à ação de um 
conjunto de forças externas 
F1 
F2 
F3 
F4 
F8 
n 
DF 
n 
DA DF – Força de superfície resultante 
 atuando sobre o elemento de 
 área DA 
Mecânica dos Sólidos I 
ΔA 
n 
ΔF 
Definição do Vetor Tensão 
t 
AΔ
Δ
Δ
Ft
0A→
= lim
Vetor tensão s 
tn 
ts 
 
nt ⋅=nt
( )nntt ⋅−=st
Componente normal 
(tensão normal) 
Componente tangencial 
(tensão cisalhante) 
Mecânica dos Sólidos I 
Estado de Tensão em um Ponto 
O vetor tensão associado à direção cuja normal é n, 
pode então ser calculado a partir do tensor de tensões: 
 
 
 
 
em notações mais concisas: 
 
 
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
n
n
n
σσσ
σσσ
σσσ
t
t
t
z
y
x
)(
)(
)(
n
n
n
{ } [ ]{ } nσt nn == )()( ounσt
Mecânica dos Sólidos I 
TensõesPrincipais e Planos Principais 
Dado o estado de tensão num ponto, os planos principais são 
definidos como aqueles planos onde a componente 
tangencial (cisalhante) do vetor tensão é nula 
A equação abaixo relaciona o vetor tensão atuando sobre um 
plano definido pela norman n com o tensor de tensões: 
 
ou, em forma matricial: 
nσt n =)(
{ } [ ]{ }nσt =)(n
Mecânica dos Sólidos I 
Tensões Principais e Planos Principais 
Deseja-se determinar os planos definidos pelas suas 
normais n, tais que os vetores tensão atuando sobre eles 
têm a forma: 
 
Substituindo-se esta expressão na equação da tela 
anterior, obtém-se: 
 
ou em forma matricial: 
nt n λ=)(
nnσ λ=
[ ]{ } { }nnσ λ=
Mecânica dos Sólidos I 
Tensões Principais e Planos Principais 
Portanto, a determinação dos planos principais fica 
reduzida à solução de um problema de autovalores: 
 
 
–  Os autovetores do tensor de tensão definem os 
planos (direções) principais. 
–  Os autovalores do tensor de tensão, λ, são as 
tensões principais. 
nnσ λ=
Mecânica dos Sólidos I 
Tensões Principais e Planos Principais 
Exemplo: Considere o estado de tensão dado pelo tensor: 
 
 
 
As componentes do tensor referem-se a uma base Cartesiana. 
Seus autovalores são obtidos resolvendo-se a equação: 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
5000
05010
01050
σ (em MPa) 
0
5000
05010
01050
det =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
λ
λ
λ
Mecânica dos Sólidos I 
Tensões Principais e Planos Principais 
Expandindo-se este determinante, obtém-se a equação: 
 
 
Cujas raízes são: 
 
 
Mostra-se ainda que as direções (planos) principais são 
definidas pelos autovetores (unitários e ortogonais) 
( )( ) 05024001002 =−+− λλλ
MPa40e MPa,50MPa,60 321 === λλλ
jinknjin
2
2
2
2,,
2
2
2
2
321 −==+= e
Mecânica dos Sólidos I 
Tensões Principais e Planos Principais 
x 
z 
y 
50 
50 10 50 
10 
45° 
x 
z 
y 
50 
60 
40 
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
F2 
F3 
F4 
F5 
F6 
F7 
F1 x 
z 
y 
σxy σxx σyy 
σyx 
x 
y 
σxx 
σxx 
σyy 
σyy 
σxy 
σxy 
σxy 
σxy 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
0
0
yyxy
xyxx
σ σσ
σσ
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão: Força Axial e Torção 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
00
000
0
xz
xzxx
σ
σ
σσ
J
TD
A
N
xzxx 2
e == σσ
x 
T 
T 
y 
z 
N 
N 
x 
z 
xzσ
xxσ
x 
y 
z 
Mecânica dos Sólidos I 
Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t) 
P 
t
PD
2
=θθσ
t
PD
xx 4
=σ
xxσ
θθσ
Vasos cilíndricos 
Mecânica dos Sólidos I 
Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t) 
Vasos cilíndricos 
Tensões já estão 
nas direções 
principais! 
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
Conhecidas as componentes do tensor de tensões num 
ponto onde o estado de tensão é plano, determinar o 
vetor tensão em planos arbitrários 
F1 
F1 
F1 
F1 
z 
y 
x 
Mecânica dos Sólidos I 
F1 
F1 
F1 
F1 
z 
y 
x 
P 
Estado Plano de Tensão 
Considere o ponto P 
x 
y 
σxx 
σxx 
σyy 
σyy 
σxy 
σxy 
σxy 
σxy 
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
Considere um plano passando pelo ponto P 
F1 
F1 
F1 
F1 
z 
y 
x 
P 
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
O plano é determinado pela normal n que faz um ângulo 
a com o eixo x 
F1 
F1 
F1 
F1 
z 
y 
x 
t(n) 
n a 
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
 
n 
t(n) 
y 
x 
z 
α 
σxx 
σxy 
σyy 
σxy 
τα σα 
Deseja-se determinar σα 
e τα em função das 
tensões σxx, σxy e σyy 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
0
0
yyxy
xyxx
σ σσ
σσ
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
Impondo-se o equilíbrio de forças nas duas direções 
obtém-se: 
ασα
σσ
τ
ασα
σσσσ
σ
α
α
2cos2sin
2
2sin2cos
22
xy
yyxx
xy
yyxxyyxx
+
−
−=
+
−
+
+
=
 
n 
t(n) 
y 
x 
z 
α 
σxx 
σxy 
σyy 
σxy 
τα σα 
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
O mesmo resultado é obtido considerando-se 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
0
0
yyxy
xyxx
σ σσ
σσ
{ }
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
0
sin
cos
α
α
n
{ } [ ]{ }
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==
0
sincos
sincos
0
sin
cos
000
0
0
)( ασασ
ασασ
α
α
σσ
σσ
σα yyxy
xyxx
yyxy
xyxx
nt
{ } { }
{ } { }nσt
ntσ T
αα
α
ατ
α
−=
=
)(
)(
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
Tensões e direções principais 
Problema: Determinar as direções dos planos, 
determinados pelos ângulos a, onde ocorrem os valores 
máximo e mínimo de σα
logo 
( ) αα τασασσα
σ 22cos22sin =+−−= xyyyxxd
d
00 =⇒= αα τα
σ
d
d
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
Tensões e direções principais 
( ) 02cos22sin =+−−= ασασσ
α
σα
xyyyxxd
d
⇓
yyxx
xy
p σσ
σ
α
−
=
2
2tan
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
= −
yyxx
xy
p σσ
σ
α
2
tan
2
1 1
logo 
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
Tensões e direções principais 
As tensões edireções principais sao dadas pelas 
expressões: 
R
R
mIII
yyxx
yyxx
m
xy
±=
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
=
+
=
σσ
σ
σσ
σσ
σ
,
2
2
2
2
yyxx
xy
p σσ
σ
α
−
=
2
2tan
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
Tensões e direções principais 
As tensões e direções principais podem também ser 
obtidas a partir de um problema de autovalor: 
( ) 0)()(
00
0
0
det 22 =−++−−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
xyyyxxyyxxyyxy
xyxx
σσσσσσσσ
σ
σσσ
σσσ
0
22
22
2
2
2
2
=
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
=
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
=
III
xy
yyxxyyxx
II
xy
yyxxyyxx
I
σ
σ
σσσσ
σ
σ
σσσσ
σ
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
Tensões e direções principais 
yyxx
xy
p σσ
σ
α
−
=
2
2tan RR mIImI −=>+= σσσσ
 
+ + + 
− − + 
+ − − 
− + − 
 
xxxx σσ − xyσ )2tan( pα pα
40 πα << p
)( pασα )2( πασα +p
Iσ IIσ
40 πα << p
04 <<− pαπ
04 <<− pαπ
IIσ Iσ
Iσ IIσ
IIσ Iσ
yyxx σσ −
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
Tensões e direções principais 
Alternativa: 
i.  Dados 
ii.  
iii.  
iv.  
xyyyxx σσσ ,,
)
2
(Tan
2
1 1-
yyxx
xy
p σσ
σ
α
−
=
)2sin()2cos(
22
)2(
)2sin()2cos(
22
)(
pyp
yyxxyyxx
p
pyp
yyxxyyxx
p
ασα
σσσσ
πασ
ασα
σσσσ
ασ
α
α
−
−
−
+
=+
+
−
+
+
=
{ }
{ })2(),(min
)2(),(max
πασασσ
πασασσ
αα
αα
+=
+=
ppII
ppI
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
Tensões e direções principais 
Ex: Determinar tensões e direções principais 
x 
y 
-40 MPa 
60 MPa 
-110 MPa 
-40 MPa 
-40 MPa 
60 MPa 
-110 MPa 
-40 MPa [ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
000
06040
040110
σ (em MPa) 
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
Tensões e direções principais 
Ex: Determinar tensões e direções principais (cont.) 
MPa60
MPa40
MPa110
=
−=
−=
yy
xy
xx
σ
σ
σ
!6,12
2
Tan
2
1
MPa9,932
MPa25
2
1-
2
2
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
=+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
=
−=
+
=
yyxx
xy
p
xy
yyxx
yyxx
m
R
σσ
σ
α
σ
σσ
σσ
σ
⇒
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
Tensões e direções principais 
Ex: Determinar tensões e direções principais (cont.) 
Considerando a tabela do Slide 43: 
MPa9,118)(
MPa9,68)2(
−=−==
=+=+=
R
R
mpII
mpI
σασσ
σπασσ
α
α
 
110−
110− 40−
40−
40−
40−
60
60
x
y Rotação de +12,6° 
em torno do eixo z 
 
x
y
px
py
!6,12
9,118−
9,118−
9,68
9,68
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
Máxima tensão cisalhante 
Problema: Determinar os planos onde ocorrem as 
máxima e mínima tensões cisalhantes 
 
 
logo 
 
 
portanto 
( ) ασασσ
α
τα 2sin22cos xyyyxxd
d −−−=
p
xy
yyxx
sd
d α
σ
σσ
α
α
τα 2cot
2
2tan0 −=
−
−=⇒=
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +−=
4
παα ps
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
Máxima tensão cisalhante 
I 
II σII 
σI σI 
σII 
45° 
τmax 
σI + σII 
 2 
σI + σII 
 2 
τmax 
σI + σII 
 2 
σI + σII 
 2 
22
2
2
max
IIIyyxx
xy
R σσσ
σσ
τ −=+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
==
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
Impondo-se o equilíbrio de forças nas duas direções 
obtém-se: 
ασα
σσ
τ
ασα
σσσσ
σ
α
α
2cos2sin
2
2sin2cos
22
xy
yyxx
xy
yyxxyyxx
+
−
−=
+
−
+
+
=
 
n 
t(n) 
y 
x 
z 
α 
σxx 
σxy 
σyy 
σxy 
τα σα 
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
Círculo de Mohr 
sII sI C 
R 
0 
t 
s 
sm 
tmax 
R
R
R
mII
mI
yyxx
yyxx
m
xy
−=
+=
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
=
+
=
σσ
σσ
σ
σσ
σσ
σ
2
2
2
2
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Plano de Tensão 
Círculo de Mohr 
C 0 σ 
σyy 
σ 
σxy 
σxx + σyy 
2 
Ponto 
correspondente a 
σxx e σsxy 
2αp 
τ 
x 
y 
σxx 
σxx 
σyy 
σyy 
σxy 
σxy 
σxy 
σxy 
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Triaxial de Tensão 
Círculo de Mohr 
 
x 
z 
y 
σxy σxx 
σxz 
σzy σzx 
σzz 
σyy 
σyx 
σyz 
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Triaxial de Tensão - Círculo de Mohr 
τ 
σ σ2 
σ1 σ3 
σ1 - σ2 
2 
σ2 - σ3 
2 
τmax = 
σ1 - σ3 
2 
Mecânica dos Sólidos I 
Estado Triaxial de Tensão 
Círculo de Mohr 
 
σ2 
σ1 
σ3 
Plano onde ocorre a tensão 
cisalhante máxima (paralelo ao 
eixo 2 e a 45° com a direção 1) 
3 
1 
2