mecânica dos sólidos parte3 torcao

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Departamento de Engenharia MecânicaDepartamento de Engenharia Mecânica
Mecânica dos Sólidos I
Torção de Barras Cilíndricas
Prof. Arthur M. B. Braga
2009.1
Mecânica dos SólidosMecânica dos Sólidos
ProblemaProblema
Corpo sujeito a ação de 
esforços externos (forças
F1
F2
F8
F1
F2
F8
esforços externos (forças, 
momentos, etc.) F3
F
F7
F3
F
F7
D t i F4
F6
F4
F6
Determinar
• Esforços internos (tensões)
D f õ F5F5• Deformações
• Deslocamentos
Torção de Barras CilíndricasTorção de Barras Cilíndricas
T T
Mecânica dos Sólidos I
Ref.: S. H. Crandall, N. C. Dahl, and T. J. Lardner, An Introduction to The 
Mechanics of Solids, 2nd ed., McGraw‐Hill, 1978
Torção de Barras CilíndricasTorção de Barras Cilíndricas
A geometria de deformação de barras 
retangulares em torção é mais complexa
Mecânica dos Sólidos I
Torção de Barras CilíndricasTorção de Barras Cilíndricas
Aplicações
Mecânica dos Sólidos I
Torção de Barras CilíndricasTorção de Barras Cilíndricas
Inicialmente vamos considerar uma distribuição 
T
uniforme do momento torsor (torque).
T
T
T T TT
T
T
T
T
T
Mecânica dos Sólidos I
TTorsão de Barras CilíndricasTorsão de Barras Cilíndricas
Geometria de deformação: 
T
Simetria axial e deslocamentos 
circunferenciais
O
F
F’
Az
A’
Mecânica dos Sólidos I
T T
Torção de Barras Cilíndricas
T
T
Torção de Barras Cilíndricas
Geometria de 
AO
A’
O’
deformação: 
Simetria e 
d l t
B
B’
deslocamentos 
axiais
TDeslocamentos axiais 
devem ser nulos!
B’
O’
devem ser nulos!
Mecânica dos Sólidos I
T
C’
Torção de Barras Cilíndricas
T
Torção de Barras Cilíndricas
Geometria de T
deformação: 
Hipótese sobre a 
di t ib i ã d
O
H
A’
H’
distribuição de 
deslocamentos 
circunferenciais
CJ
A
J’
circunferenciais 
ao longo da 
direção radial
BB’
Mecânica dos Sólidos I
T
TTorção de Barras Cilíndricas
T
ç
H
A’
H’
A
O A
J’ T
CJ
BB’
J
J’
T T
B
O B’C
Mecânica dos Sólidos I
T
Incompatibilidade de deslocamentos
Torção de Barras Cilíndricas
T T
Torção de Barras Cilíndricas
H
H’
B
B’
A
O A’
J’
J
C J’
A’
J
BB’
J
C A
HH’
A
O
B’ H’
Mecânica dos Sólidos I
T T
Incompatibilidade de deslocamentos
Torção de Barras Cilíndricas
TT
Torção de Barras Cilíndricas
B
B’
H
H’
J
C J’
A’
A
O A’
J’
O
A
HH’
A
J
BB’
J
C
H’B’
Mecânica dos Sólidos I
TT
Deslocamentos circunferenciais devem variar linearmente com a direção radial!
Torção de Barras CilíndricasTorção de Barras Cilíndricas
Hipótese Adicional: Não há variação de volume 
(diâmetro e comprimento da barra mantêm-se 
inalterados).
TT
Mecânica dos Sólidos IT
Torção de Barras CilíndricasTorção de Barras Cilíndricas
Geometria de deformação: Seções transversais da 
barra cilíndrica (eixo) mantêm-se indeformadas 
enquanto sofrem rotações em relação às seções 
i di t t dj timediatamente adjacentes.
T T
Mecânica dos Sólidos I
Torção de Barras CilíndricasTorção de Barras Cilíndricas
Deformação de uma seção da barra
r
D/2
A
B
E
F
B
G
H
r 
z
C
D Gr 
Mecânica dos Sólidos I
Torção de Barras CilíndricasTorção de Barras Cilíndricas
Deformação de uma seção da barra
D/2
A1
B1
E1
F1
B1
G
H1
C1
D1 G1
Mecânica dos Sólidos I
Torção de Barras CilíndricasTorção de Barras Cilíndricas
Deformação de uma seção da barra: CISALHAMENTO
BA A B
D/2
A1
B
E1
F1
BA A1 B1
B1
H1

C1
D1 G1
CD D1 C1
Mecânica dos Sólidos I
Cisalhamento
Tensão e Deformação Cisalhante
• Pequenas deformações
• Resposta linear elástica  G

 x
y
xy x
Mecânica dos Sólidos I

Torção de Barras CilíndricasTorção de Barras Cilíndricas
Deformação de uma seção da barra: CISALHAMENTO
r
D/2
A1
B
E1
F1
r
E E

B1
H1
E1

z
C1
D1 G1 H H1

(r)
Mecânica dos Sólidos I
Torção de Barras CilíndricasTorção de Barras Cilíndricas
Deformação de uma seção da barra: CISALHAMENTO
r
drrr   lim)(
dz
r
z
rr
z
   0lim)( z
(r)
Mecânica dos Sólidos I
Torção de Barras CilíndricasTorção de Barras Cilíndricas
Deformação
d
dz
drr  )(
Relação entre tensão e deformação
Eq ilíbrio
G
rr )()(  
Equilíbrio 
dA
dz
dGrrdArrT )(  

 
r
Jr
dz
dGJdAr
dz
dG
dz
)(2  


Mecânica dos Sólidos I
rdzdz
Torção de Barras CilíndricasTorção de Barras Cilíndricas
J
Trr )(
J
1
324DJ 
T
2
GJ
TL
x
GJ
T