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Mecânica dos Sólidos 
José Mauro Marquez, PhD 
Torção 
• Previamente em Cisalhamento, estudou-se que a 
deformação de um elemento plano retangular, 
cortado em um corpo onde as forças que nele 
atuam dão origem, no elemento considerado, só a 
tensões de cisalhamento, τ, como se indica na figura 
abaixo. 
 
Torção 
• Em Torção, vai-se um pouco mais além e 
estuda-se a peça como um todo e não apenas 
a seção de Cisalhamento. Como mostra a 
figura abaixo: 
a) Barra em torção 
b) Deformação por cisalhamento 
c) Distribuição da das forças de 
cisalhamento e gráfico de tensões 
Torção 
• Ou seja, a uma barra engastada numa 
extremidade e solicitada na outra por um 
binário de forças, situadas no plano da seção 
transversal, é gerado um momento torçor em 
que: 
 
 𝑴𝒕 = 𝑭 𝒙 𝒅 
 
 
Torção 
• No caso geral, em diversas seções transversais, 
atuam binários situados nos planos dessas 
seções. 
• A definição de Momento Torçor, para 
determinada seção transversal, é a soma 
algébrica dos momentos dos binários que se 
situam de um dos lados da seção considerada. 
• A escolha desses lados é arbitrária e conduz ao 
mesmo resultado. 
• Para isso, supõe-se que os esforços aplicados à 
barra estão em equilíbrio. 
 
Torção 
• Portanto, por exemplo, ao se usar uma 
ferramenta, tipo, chave de parafusos, obtêm-
se o resultado da figura abaixo: 
Torção 
• No instante em que se torce a 
chave de parafuso, ocorre uma 
deformação das fibras da sua 
haste, como representada 
abaixo: 
 
Torção 
O Momento Polar de Inércia da peça é 
determinado por: 
• Força de cisalhamento: 
 
 
• A tensão de cisalhamento 𝜏 no raio ρ gera 
um momento elementar: 
 
 𝒅𝑴 = 𝝉𝝆𝒅𝑨 =
𝝉𝒎𝒂𝒙
𝒓
 𝝆𝟐𝒅𝑨 
 
𝑸 = 𝝉𝒅𝑨 
Torção 
• O momento resultante, igual ao torque, é a soma 
de todos os momentos elementares sobre a 
seção transversal: 
 
 T= 𝑑𝑀 = 
𝑑𝐴
𝜏𝑚𝑎𝑥
𝑟
 𝜌2𝑑𝐴 = 
𝑑𝐴
𝜏𝑚𝑎𝑥
𝑟
𝐼o 
 
• Onde Momento Polar de Inércia é dado por: 
 
 𝐼o= 𝜌
2𝑑𝐴 
𝑑𝐴
 
 
Torção 
• Para um círculo de raio r e diâmetro d, o momento 
de inércia polar é: 
 
 𝐼𝑜 = 
𝜋𝑟4
2
 = 
𝜋𝑑4
32
 
 
• Para um eixo cirular oco, de diâmetro D0 e diâmetro 
interno Di o Momento Polar de Inércia da seção 
transversal em relação ao centro é: 
 
 𝐼𝑜 = 
𝜋(𝐷0
4
 
− 𝐷𝑖4)
32
 [UC4] 
 
UC = Inidade de Comprimento, por exemplo, mm4 
Torção 
• Tensão de Cisalhamento na torção: 
 𝜏 =
𝑀𝑡
𝐼𝑜
 . 𝜌 
 
 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑡
𝐼𝑜
 .
𝐷𝑜
2
 
 
• Módulo de Elasticidade ao Cisalhamento 
 G = 
𝜏
𝛾
 donde: 𝛾 =
𝜏
𝐺
 
 
Torção 
• Ângulo de Torção 
Se um eixo de comprimento L está submetido ao 
momento torçor Mt, o ângulo θ de que gira uma 
seção externa, em relação à outra, é: 
 θ = 
Mt 𝑥 𝐿
𝐺 𝑥 𝐼𝑜
 = 
Mt 𝐿
𝐺 𝐼𝑜
 
 
Torção 
• Exercício 1: 
Um eixo de seção circular de diâmetro igual a 44,45 mm está 
submetido a Mt = 1000 Nm. Calcular a tensão máxima de 
cisalhamento, e o deslocamento angular correspondente a 1m 
de comprimento. O valor de G = 80 GPa. 
Solução: 
𝐼𝑜 = 
𝜋𝑑4
32
 = 
𝜋(44,45 𝑥 10−3)4
32
 = 38,3255 x 10-8 m4 
 
 𝜏 =
𝑀𝑡
𝐼𝑜
 . 𝜌 = 
𝑀𝑡
𝐼𝑜
 . 
𝐷
2
 = 
1000
38,3255 𝑥 10−8 
 x 
44,45 𝑥 10−3 
2
 
 
 𝜏 = 579,90 x 10-5 = 580 MPa 
Torção 
580 MPa 
θ = 
Mt 𝑥 𝐿
𝐺 𝑥 𝐼𝑜
 = 
1000 𝑥 1
80 𝑥 109 𝑥 38,3255 𝑥 10−8
 
 
θ = 0,0326 rad 
Torção 
• Exercício 2 
– Um eixo circular de 31,25 mm de diâmetro, está 
submetido a Mt= 312,5 Nm. Sabendo-se que para 
l = 1,5 m tem-se θ = 3,120, qual o valor de G? 
• Exercício 3 
– Qual a potência máxima, em HP, que um eixo de 
aço de 5,72 cm de diâmetro pode transmitir com 
n=250 rpm, sabendo-se que a tensão admissível, 
ao cisalhamento, é 77,4 MPa. 
• Obs: Mt = T = 7256 
𝑃
𝑛
  P em [HP], n [rpm] 
 
Torção 
• Exercício 4 
Um eixo AB bi-engastado de seção transversal circular tem 
250 mm de comprimento e 20 mm de diâmetro. No trecho de 
125 mm a partir da extremidade B, o eixo tem seção vazada 
com diâmetro interno de 16 mm. Pede-se determinar o 
momento torsor em cada apoio quando um torque de 120 Nm 
é aplicado no ponto médio de AB, como mostrado na figura. 
 
Torção 
• Exercício 5 
Considere um eixo de seção circular vazada com 
75 mm de diâmetro interno e 125 mm de 
diâmetro externo. Experimentalmente, 
determinou-se a tensão de cisalhamento τi = 56 
MPa, na face interna. Qual a tensão nas fibras 
externas? 
Torção 
• Exercício 6 
A distribuição de tensão máxima em um eixo maciço foi 
representada em gráfico ao longo de três linhas radiais 
arbitrárias, como mostra a figura. Determine o torque interno 
resultante na seção. 
Torção 
• Exercício 7 
O tubo mostrado na figura abaixo tem diâmetro interno de 80 
mm e diâmetro externo de 100 mm. Se sua extremidade for 
apertada contra o apoio em A usando-se uma chave em B, 
determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no material 
nas paredes interna e externa ao longo da porção central do 
tubo quando são aplicadas forças de 80 N à chave. 
 
Torção 
• Exercício 8 
O poste maciço de ferro 
fundido com 50 mm de 
diâmetro, mostrado na figura, 
está enterrado no solo até 600 
mm de seu comprimento total. 
Se for aplicado um torque em 
sua parte superior com uma 
chave de torque rígida, 
determinar a tensão na parte 
superior. Considere que o 
torque estaria prestes a girar o 
poste e que o solo exerce uma 
resistência uniforme à torção t 
N.mm/mm ao longo dos 600 
mm de comprimento que estão 
enterrados. G = 40 x 103 MPa. 
Torção 
• Exercício 9 
O eixo de aço A-36 é composto 
pelos tubos AB e CD e uma seção 
maciça BC. Está apoiado em 
mancais lisos que permitem que 
ele gire livremente. Se as 
engrenagens presas às 
extremidades do eixo forem 
submetidas a torques de 85 N.m, 
determinar o ângulo de torção da 
engrenagem A em relação à 
engrenagem D. Os tubos têm 
diâmetro externo de 30 mm e 
diâmetro interno de 20 mm. A 
seção maciça tem diâmetro de 40 
mm. G = 75 GPa. 
Torção 
• Exercício 10 
O moto-redutor de 2,5 
kW pode girar a 330 
rev/minuto. Se a tensão 
de cisalhamento 
admissível para o eixo for 
τadm = 56 Mpa, 
determine, com 
aproximação de 
múltiplos de 5mm, o 
menor diâmetro do eixo 
que pode ser usado.