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Mecanica1 UVA Aula 1 2015 1

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Profº Orlando Sodré Gomes 
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1
 
Aula 1 
2015.1 
Apresentação da Ementa de Mecânica 1 
EMENTA 
Estudos de Cinemática, de Dinâmica e de Estática do 
Corpo Rígido, bem como resolução de problemas. 
Estabelecimentos de relações entre Centróides e 
Baricentros. Conceituação e cálculo de Momento de 
Inércia. 
OBJETIVO DA DISCIPLINA 
 Interpretar os fenômenos que ocorrem na natureza e 
resolver problemas de Mecânica, em uma perspectiva 
crítica e interdisciplinar, utilizando as leis fundamentais 
da Mecânica. 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
Objetivos 
 Identificar os principais movimentos que um corpo rígido pode 
executar, relacionando-os às suas causas. 
Conteúdos 
 1.1 Corpo rígido. Movimentos de um corpo rígido: translação, 
rotação e movimento geral. Teorema do movimento geral 
(Teorema de Chasles). 
 1.2 Componentes de uma força. Resultante de forças. Equação 
fundamental da dinâmica das translações (2ª lei de Newton). 
Equilíbrio de um ponto material. Equação fundamental da 
dinâmica das rotações (análogo da 2ª lei de Newton). 
 1.3 Momento de uma força. Teorema de Varignon. Momento de 
um conjugado (binário). 
Apresentação da Ementa de Mecânica 1 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
Objetivos 
 Resolver problemas de Estática, em perspectiva crítica 
e interdisciplinar. 
Conteúdos 
 2.1 Redução de um sistema de forças a uma força e um 
binário. Sistemas equivalentes de forças. 
 2.2 Condições de equilíbrio de um corpo rígido. Tipos de 
equilíbrio. Diagramas de corpo livre. Tipos de vínculos. 
Reações nos vínculos. 
 2.3 Equilíbrio de um corpo submetido a três forças. 
Apresentação da Ementa de Mecânica 1 
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 
Objetivos 
 Diferenciar centro de massa, centróide e baricentro. Calcular 
o centróide de figuras planas simples e compostas. 
Conteúdos 
 3.1 Centro de massa. Centro de gravidade (baricentro). 
Centro geométrico (centróide). Centróide de linhas, 
superfícies e sólidos. Cálculo do centróide por integração. 
Momento de primeira ordem. 
 3.2 Determinação do centróide de figuras compostas. 
Teoremas de Pappus. 
 3.3 Equilíbrio de vigas com forças distribuídas. 
Apresentação da Ementa de Mecânica 1 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
Objetivos 
 Conceituar momento de inércia. Calcular o momento de 
inércia de figuras planas simples e compostas. 
Conteúdos 
 4.1 Momentos de inércia de massa. O significado físico do 
momento de inércia. Momento de segunda ordem. 
Momento de inércia de linhas, superfícies e sólidos. 
 4.2 Cálculo do momento de inércia por integração. 
Momento de inércia polar. Raio de giração. 
 4.3 Teorema dos eixos paralelos (Teorema de Steiner). 
Determinação do momento de inércia de figuras compostas. 
Apresentação da Ementa de Mecânica 1 
METODOLOGIA 
 Aulas expositivas e dialogadas, podendo contar com o apoio 
de projeções, além do desenvolvimento de trabalhos, individuais 
e/ou em grupo, visando o preparo dos alunos para uma sociedade 
comprometida com o desenvolvimento científico e tecnológico. 
 
ATIVIDADES DISCENTES 
 Resolver as listas de exercícios, questões e problemas; 
 Realizar leituras orientadas dos livros referenciados; 
 Realizar estudos dirigidos; 
 Desenvolver trabalho de pesquisa individualmente ou em grupo; 
 
PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO 
 Realização de duas ou três provas escritas, de acordo com as 
normas de avaliação da Universidade. 
Apresentação da Ementa de Mecânica 1 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
 BEER, F. P. e JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: 
Estática. 5. ed. São Paulo: Pearson Education, 2008. 
 SHAMES, I. H. Estática: Mecânica para Engenharia. v.1. São Paulo: 
Pearson Education, 2002. 
 SORIANO, Humberto L. Estática das estruturas. 2. ed. São Paulo: Ciência 
Moderna, 2010. 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
 HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. v.2. 8. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
 HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para Engenharia. 12. ed. São Paulo: 
Pearson Education, 2011. 
 KELLER, Frederick J. Física. v.1. Rio de Janeiro: Makron Books, 1999. 
 MERIAM, J.L.; KRAIGE, L.G. Mecânica para Engenharia: Estática. v.1, 6. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
Apresentação da Ementa de Princ. de Engenharia 
Introdução a Mecânica dos Corpos Rígidos 
O que é MECÂNICA? 
 É a ciência que descreve e prediz as condições de 
repouso ou movimento de corpos sob a ação de forças. 
 A Mecânica dos Corpos Rígidos é subdividida em 
ESTÁTICA e DINÂMICA. A primeira se refere a corpos em 
repouso e a segunda a corpos em movimento. 
 A Mecânica é o fundamento da maioria das 
ciências de ENGENHARIA e é um pré-requisito 
indispensável ao seu estudo. 
 A Mecânica é uma ciência aplicada e, a sua 
finalidade é explicar e prever fenômenos físicos, 
fornecendo assim os fundamentos para as aplicações da 
ENGENHARIA. 
Introdução a Mecânica dos Corpos Rígidos 
Princípios e Conceitos Fundamentais 
 Embora o estudo da MECÂNICA se tenha iniciado 
no tempo de Aristóteles (384-322 a.C.) e Arquimedes (287-
212 a.C.), teve que fazer esperar Newton (1642-1727) 
para encontrar um formulação satisfatória de seus 
PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS. Estes princípios foram mais 
tarde expressos de forma diferente por D’Alembert, 
Lagrange e Hamilton. Sua validade permaneceu 
inalterada, no entanto, até Einstein ter formulado a Teoria 
da Relatividade (1905). Apesar de suas limitações terem 
sido reconhecidas, a Mecânica Newtoniana ainda 
constitui a base das ciências atuais da Engenharia. 
Introdução a Mecânica dos Corpos Rígidos 
Princípios e Conceitos Fundamentais 
 Os conceitos básicos usados na Mecânica 
são os de ESPAÇO, TEMPO, MASSA e FORÇA. 
 PONTO MATERIAL é uma pequena porção 
da matéria que pode ser considerada como se 
ocupasse um ponto no espaço. 
 Um CORPO RÍGIDO é uma combinação de 
grande número de partículas que ocupam 
posições fixas, relativamente umas ás outras. 
Introdução a Mecânica dos Corpos Rígidos 
Princípios e Conceitos Fundamentais 
 O estudo da Mecânica repousa em seis princípios 
fundamentais: 
1. A LEI DO PARALELOGRAMO PARA A ADIÇÃO DE FORÇAS. 
 Estabelece que duas forças atuantes sobre um ponto material 
podem ser substituídas por uma única força, chamada de 
RESULTANTE, obtida pela diagonal do paralelogramo cujos os 
lados são iguais às forças dadas. 
2. O PRINCÍPIO DE TRANSMISSIBILIDADE. 
 Estabelece que as condições de equilíbrio ou de movimento de 
um corpo rígido permanecerão inalteradas, se uma força que 
atua num dado ponto do corpo rígido é substituída por outra de 
mesma intensidade, direção e sentido, mas que atua em um 
ponto diferente, desde que as duas forças tenham a mesma linha 
de ação. 
Introdução a Mecânica dos Corpos Rígidos 
Princípios e Conceitos Fundamentais 
 O estudo da Mecânica repousa em seis princípios 
fundamentas: 
3. PRIMEIRA LEI DE NEWTON. 
 Se a força resultante que atua sobre um ponto material é zero, 
este permanecerá em repouso ou mover-se-á com velocidade 
constante em linha reta. 
4. SEGUNDA LEI DE NEWTON. 
 Se a força resultante que atua sobre um ponto material não é 
zero, este terá uma aceleração proporcional à intensidade da 
resultante e na direção desta. 
 
 Onde F é a força resultante que atua sobre a partícula, m sua 
massa e a aceleração. 
Introdução a Mecânica dos Corpos Rígidos 
Princípios e Conceitos Fundamentais 
 O estudo da Mecânica repousa em seis princípios 
fundamentas: 
5. TERCEIRA LEI DE NEWTON. 
 As forças de ação e reaçãoentre corpos em contato têm a 
intensidade, mesma linha de ação e sentidos opostos. 
6. LEI DE GRAVITAÇÃO DE NEWTON. 
 Estabelece que dois pontos materiais de massa M e m são 
mutuamente atraídos com forças iguais e opostas F e –F de 
intensidade F dada pela fórmula: 
 F = G Mm 
 r² 
Onde, r = distância entre os pontos materiais. 
G = constante universal chamada de Constante de Gravitação. 
m 
M 
-F 
F 
r 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
Movimentos de um Corpo Rígido 
 Os diversos tipos de movimento de um corpo rígido podem 
ser convenientes agrupados como se segue: 
 
1. TRANSLAÇÃO 
 Um movimento é de translação quando qualquer reta, unindo 
dois pontos quaisquer do corpo, conserva a mesma direção 
durante o movimento. Na translação todos os pontos materiais 
que forma o corpo deslocam-se segundo trajetórias paralelas. 
Fig. 1 – Translação Retilínea Fig. 2 – Translação Curvilínea 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
Movimentos de um Corpo Rígido 
2. ROTAÇÃO 
 Neste movimento, os pontos materiais que formam o corpo rígido 
se deslocam em planos paralelos ao longo de circunferências, 
cujos centros estão sobre uma mesma reta fixa. Se essa reta, 
chamada de EIXO DE ROTAÇÃO, intercepta o corpo rígido, os 
pontos materiais situados sobre ela possuem velocidade e 
aceleração nulas . 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
Movimentos de um Corpo Rígido 
3. MOVIMENTO PLANO GERAL 
É o movimento em que todos os pontos materiais do corpo se 
deslocam em planos paralelos. Qualquer movimento plano que não 
seja de ROTAÇÃO ao redor de um eixo fixo e nem de TRANSLAÇÃO, 
considera-se como um MOVIMENTO PLANO GERAL. 
 A seguir dois exemplos de movimento plano geral: 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
Movimentos de um Corpo Rígido 
4. MOVIMENTO EM TORNO DO PONTO FIXO 
É o movimento tridimensional de um corpo rígido com um ponto fixo 
0. 
 Um exemplo típico é o movimento de um PIÃO sobre o solo. 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
Movimentos de um Corpo Rígido 
5. MOVIMENTO GERAL 
Qualquer movimento de um corpo rígido que não esteja incluído nos 
tipos anteriormente mencionados é denominado MOVIMENTO 
GERAL. 
 
5.1 TEOREMA DE CHASLES 
O movimento plano geral de um corpo pode sempre ser 
considerado como a combinação dos movimentos de translação e 
de rotação - lei de Chasles. 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
TRANSLAÇÃO 
Seja um corpo rígido animado de um movimento de TRANSLAÇÃO 
(retilínea ou curvilínea) e sejam A e B dois quaisquer de seus PONTOS. 
Chamando de rA e rB os VETORES DE POSIÇÃO de A e B em relação 
a um sistema de referência fixo e de rB/A o VETOR que une A e B. 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
TRANSLAÇÃO 
Derivando em relação t TEMPO, o VETOR rB/A deve ser constante, já 
que A e B pertencem ao corpo rígido. Assim, a derivada de rB/A é 
NULA temos: 
Derivando novamente: 
 Logo, quando um corpo rígido está em TRANSLAÇÃO, todos os pontos 
do corpo têm a mesma ACELERAÇÃO em qualquer instante dado. 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
ROTAÇÃO 
Considere um corpo rígido que gira em 
torno de um eixo fixo AA’. Seja P um ponto 
do corpo e r seu vetor de posição em 
relação a um sistema de referência fixo. 
Por conveniência, vamos assumir que o 
sistema de referência esteja centrado no 
ponto 0 sobre AA’ e que o eixo z coincida 
com AA’. Seja B a projeção de P sobre 
AA’. Como P precisa permanecer a uma 
distância constante de B, ele descreverá 
um círculo de centro B e de raio r sen ø, 
onde ø representa o ângulo formado entre 
r e AA’. 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
ROTAÇÃO 
A posição de P e de todo corpo fica 
totalmente definida pelo ângulo ɵ que a 
linha BP forma com o plano zx. O ângulo ɵ 
é denominado de coordenada angular 
corpo e é definido como positivo quando 
visto no sentido anti-horário a partir de A’. 
A coordenada angular será expressa em 
radianos (rad) ou, ocasionalmente, em 
graus (°) ou revoluções (rev). 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
ROTAÇÃO 
A VELOCIDADE v = dx/dt de uma partícula P é um vetor tangente á trajetória 
de P e de INTENSIDADE v = ds/dt. O COMPRIMENTO Δs do arco descrito por P 
quando o corpo gira de um ÂNGULO Δɵ é: 
e dividindo ambos os membros por Δt, obtemos no limite, com Δt 
tendendo a zero, 
onde ɵ representa a derivada temporal de ɵ. 
. 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
ROTAÇÃO 
Se traçássemos em AA’ um VETOR w = ɵk 
efetuássemos o produto vetorial w x r . 
 Então, 
 O VETOR 
orientado ao longo do eixo de rotação, é 
denominado velocidade angular do corpo, 
sendo igual em intensidade à taxa de 
variação ɵ da coordenada angular. 
Seu sentido pode ser obtido pela REGRA 
DA MÃO DIREITA. 
. 
. 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
ROTAÇÃO 
A aceleração a da partícula P será 
determinada, a seguir: 
O vetor dw/dt é representada por é 
denominado aceleração angular do corpo. 
Sendo k a constante em intensidade e 
direção, temos: 
 Introdução à Engenharia. Florianópolis: UFSC, 2000. 
Referências Bibliográficas 
•BEER, F. P. e JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para 
Engenheiros: Estática. 3ª. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 
1980. 
• BEER, F. P., JOHNSTON, E. R e CORNWELL, P. J. Mecânica 
Vetorial para Engenheiros: Dinâmica. 9ª. ed. Porto 
Alegre: McGraw-Hill, 2012.

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