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Profº Orlando Sodré Gomes M e c â n ic a 1 Aula 1 2015.1 Apresentação da Ementa de Mecânica 1 EMENTA Estudos de Cinemática, de Dinâmica e de Estática do Corpo Rígido, bem como resolução de problemas. Estabelecimentos de relações entre Centróides e Baricentros. Conceituação e cálculo de Momento de Inércia. OBJETIVO DA DISCIPLINA Interpretar os fenômenos que ocorrem na natureza e resolver problemas de Mecânica, em uma perspectiva crítica e interdisciplinar, utilizando as leis fundamentais da Mecânica. UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO Objetivos Identificar os principais movimentos que um corpo rígido pode executar, relacionando-os às suas causas. Conteúdos 1.1 Corpo rígido. Movimentos de um corpo rígido: translação, rotação e movimento geral. Teorema do movimento geral (Teorema de Chasles). 1.2 Componentes de uma força. Resultante de forças. Equação fundamental da dinâmica das translações (2ª lei de Newton). Equilíbrio de um ponto material. Equação fundamental da dinâmica das rotações (análogo da 2ª lei de Newton). 1.3 Momento de uma força. Teorema de Varignon. Momento de um conjugado (binário). Apresentação da Ementa de Mecânica 1 UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO Objetivos Resolver problemas de Estática, em perspectiva crítica e interdisciplinar. Conteúdos 2.1 Redução de um sistema de forças a uma força e um binário. Sistemas equivalentes de forças. 2.2 Condições de equilíbrio de um corpo rígido. Tipos de equilíbrio. Diagramas de corpo livre. Tipos de vínculos. Reações nos vínculos. 2.3 Equilíbrio de um corpo submetido a três forças. Apresentação da Ementa de Mecânica 1 UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS Objetivos Diferenciar centro de massa, centróide e baricentro. Calcular o centróide de figuras planas simples e compostas. Conteúdos 3.1 Centro de massa. Centro de gravidade (baricentro). Centro geométrico (centróide). Centróide de linhas, superfícies e sólidos. Cálculo do centróide por integração. Momento de primeira ordem. 3.2 Determinação do centróide de figuras compostas. Teoremas de Pappus. 3.3 Equilíbrio de vigas com forças distribuídas. Apresentação da Ementa de Mecânica 1 UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA Objetivos Conceituar momento de inércia. Calcular o momento de inércia de figuras planas simples e compostas. Conteúdos 4.1 Momentos de inércia de massa. O significado físico do momento de inércia. Momento de segunda ordem. Momento de inércia de linhas, superfícies e sólidos. 4.2 Cálculo do momento de inércia por integração. Momento de inércia polar. Raio de giração. 4.3 Teorema dos eixos paralelos (Teorema de Steiner). Determinação do momento de inércia de figuras compostas. Apresentação da Ementa de Mecânica 1 METODOLOGIA Aulas expositivas e dialogadas, podendo contar com o apoio de projeções, além do desenvolvimento de trabalhos, individuais e/ou em grupo, visando o preparo dos alunos para uma sociedade comprometida com o desenvolvimento científico e tecnológico. ATIVIDADES DISCENTES Resolver as listas de exercícios, questões e problemas; Realizar leituras orientadas dos livros referenciados; Realizar estudos dirigidos; Desenvolver trabalho de pesquisa individualmente ou em grupo; PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO Realização de duas ou três provas escritas, de acordo com as normas de avaliação da Universidade. Apresentação da Ementa de Mecânica 1 BIBLIOGRAFIA BÁSICA BEER, F. P. e JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 5. ed. São Paulo: Pearson Education, 2008. SHAMES, I. H. Estática: Mecânica para Engenharia. v.1. São Paulo: Pearson Education, 2002. SORIANO, Humberto L. Estática das estruturas. 2. ed. São Paulo: Ciência Moderna, 2010. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. v.2. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para Engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson Education, 2011. KELLER, Frederick J. Física. v.1. Rio de Janeiro: Makron Books, 1999. MERIAM, J.L.; KRAIGE, L.G. Mecânica para Engenharia: Estática. v.1, 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. Apresentação da Ementa de Princ. de Engenharia Introdução a Mecânica dos Corpos Rígidos O que é MECÂNICA? É a ciência que descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob a ação de forças. A Mecânica dos Corpos Rígidos é subdividida em ESTÁTICA e DINÂMICA. A primeira se refere a corpos em repouso e a segunda a corpos em movimento. A Mecânica é o fundamento da maioria das ciências de ENGENHARIA e é um pré-requisito indispensável ao seu estudo. A Mecânica é uma ciência aplicada e, a sua finalidade é explicar e prever fenômenos físicos, fornecendo assim os fundamentos para as aplicações da ENGENHARIA. Introdução a Mecânica dos Corpos Rígidos Princípios e Conceitos Fundamentais Embora o estudo da MECÂNICA se tenha iniciado no tempo de Aristóteles (384-322 a.C.) e Arquimedes (287- 212 a.C.), teve que fazer esperar Newton (1642-1727) para encontrar um formulação satisfatória de seus PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS. Estes princípios foram mais tarde expressos de forma diferente por D’Alembert, Lagrange e Hamilton. Sua validade permaneceu inalterada, no entanto, até Einstein ter formulado a Teoria da Relatividade (1905). Apesar de suas limitações terem sido reconhecidas, a Mecânica Newtoniana ainda constitui a base das ciências atuais da Engenharia. Introdução a Mecânica dos Corpos Rígidos Princípios e Conceitos Fundamentais Os conceitos básicos usados na Mecânica são os de ESPAÇO, TEMPO, MASSA e FORÇA. PONTO MATERIAL é uma pequena porção da matéria que pode ser considerada como se ocupasse um ponto no espaço. Um CORPO RÍGIDO é uma combinação de grande número de partículas que ocupam posições fixas, relativamente umas ás outras. Introdução a Mecânica dos Corpos Rígidos Princípios e Conceitos Fundamentais O estudo da Mecânica repousa em seis princípios fundamentais: 1. A LEI DO PARALELOGRAMO PARA A ADIÇÃO DE FORÇAS. Estabelece que duas forças atuantes sobre um ponto material podem ser substituídas por uma única força, chamada de RESULTANTE, obtida pela diagonal do paralelogramo cujos os lados são iguais às forças dadas. 2. O PRINCÍPIO DE TRANSMISSIBILIDADE. Estabelece que as condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo rígido permanecerão inalteradas, se uma força que atua num dado ponto do corpo rígido é substituída por outra de mesma intensidade, direção e sentido, mas que atua em um ponto diferente, desde que as duas forças tenham a mesma linha de ação. Introdução a Mecânica dos Corpos Rígidos Princípios e Conceitos Fundamentais O estudo da Mecânica repousa em seis princípios fundamentas: 3. PRIMEIRA LEI DE NEWTON. Se a força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este permanecerá em repouso ou mover-se-á com velocidade constante em linha reta. 4. SEGUNDA LEI DE NEWTON. Se a força resultante que atua sobre um ponto material não é zero, este terá uma aceleração proporcional à intensidade da resultante e na direção desta. Onde F é a força resultante que atua sobre a partícula, m sua massa e a aceleração. Introdução a Mecânica dos Corpos Rígidos Princípios e Conceitos Fundamentais O estudo da Mecânica repousa em seis princípios fundamentas: 5. TERCEIRA LEI DE NEWTON. As forças de ação e reaçãoentre corpos em contato têm a intensidade, mesma linha de ação e sentidos opostos. 6. LEI DE GRAVITAÇÃO DE NEWTON. Estabelece que dois pontos materiais de massa M e m são mutuamente atraídos com forças iguais e opostas F e –F de intensidade F dada pela fórmula: F = G Mm r² Onde, r = distância entre os pontos materiais. G = constante universal chamada de Constante de Gravitação. m M -F F r UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO Movimentos de um Corpo Rígido Os diversos tipos de movimento de um corpo rígido podem ser convenientes agrupados como se segue: 1. TRANSLAÇÃO Um movimento é de translação quando qualquer reta, unindo dois pontos quaisquer do corpo, conserva a mesma direção durante o movimento. Na translação todos os pontos materiais que forma o corpo deslocam-se segundo trajetórias paralelas. Fig. 1 – Translação Retilínea Fig. 2 – Translação Curvilínea UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO Movimentos de um Corpo Rígido 2. ROTAÇÃO Neste movimento, os pontos materiais que formam o corpo rígido se deslocam em planos paralelos ao longo de circunferências, cujos centros estão sobre uma mesma reta fixa. Se essa reta, chamada de EIXO DE ROTAÇÃO, intercepta o corpo rígido, os pontos materiais situados sobre ela possuem velocidade e aceleração nulas . UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO Movimentos de um Corpo Rígido 3. MOVIMENTO PLANO GERAL É o movimento em que todos os pontos materiais do corpo se deslocam em planos paralelos. Qualquer movimento plano que não seja de ROTAÇÃO ao redor de um eixo fixo e nem de TRANSLAÇÃO, considera-se como um MOVIMENTO PLANO GERAL. A seguir dois exemplos de movimento plano geral: UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO Movimentos de um Corpo Rígido 4. MOVIMENTO EM TORNO DO PONTO FIXO É o movimento tridimensional de um corpo rígido com um ponto fixo 0. Um exemplo típico é o movimento de um PIÃO sobre o solo. UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO Movimentos de um Corpo Rígido 5. MOVIMENTO GERAL Qualquer movimento de um corpo rígido que não esteja incluído nos tipos anteriormente mencionados é denominado MOVIMENTO GERAL. 5.1 TEOREMA DE CHASLES O movimento plano geral de um corpo pode sempre ser considerado como a combinação dos movimentos de translação e de rotação - lei de Chasles. UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO TRANSLAÇÃO Seja um corpo rígido animado de um movimento de TRANSLAÇÃO (retilínea ou curvilínea) e sejam A e B dois quaisquer de seus PONTOS. Chamando de rA e rB os VETORES DE POSIÇÃO de A e B em relação a um sistema de referência fixo e de rB/A o VETOR que une A e B. UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO TRANSLAÇÃO Derivando em relação t TEMPO, o VETOR rB/A deve ser constante, já que A e B pertencem ao corpo rígido. Assim, a derivada de rB/A é NULA temos: Derivando novamente: Logo, quando um corpo rígido está em TRANSLAÇÃO, todos os pontos do corpo têm a mesma ACELERAÇÃO em qualquer instante dado. UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO ROTAÇÃO Considere um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo AA’. Seja P um ponto do corpo e r seu vetor de posição em relação a um sistema de referência fixo. Por conveniência, vamos assumir que o sistema de referência esteja centrado no ponto 0 sobre AA’ e que o eixo z coincida com AA’. Seja B a projeção de P sobre AA’. Como P precisa permanecer a uma distância constante de B, ele descreverá um círculo de centro B e de raio r sen ø, onde ø representa o ângulo formado entre r e AA’. UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO ROTAÇÃO A posição de P e de todo corpo fica totalmente definida pelo ângulo ɵ que a linha BP forma com o plano zx. O ângulo ɵ é denominado de coordenada angular corpo e é definido como positivo quando visto no sentido anti-horário a partir de A’. A coordenada angular será expressa em radianos (rad) ou, ocasionalmente, em graus (°) ou revoluções (rev). UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO ROTAÇÃO A VELOCIDADE v = dx/dt de uma partícula P é um vetor tangente á trajetória de P e de INTENSIDADE v = ds/dt. O COMPRIMENTO Δs do arco descrito por P quando o corpo gira de um ÂNGULO Δɵ é: e dividindo ambos os membros por Δt, obtemos no limite, com Δt tendendo a zero, onde ɵ representa a derivada temporal de ɵ. . UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO ROTAÇÃO Se traçássemos em AA’ um VETOR w = ɵk efetuássemos o produto vetorial w x r . Então, O VETOR orientado ao longo do eixo de rotação, é denominado velocidade angular do corpo, sendo igual em intensidade à taxa de variação ɵ da coordenada angular. Seu sentido pode ser obtido pela REGRA DA MÃO DIREITA. . . UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO ROTAÇÃO A aceleração a da partícula P será determinada, a seguir: O vetor dw/dt é representada por é denominado aceleração angular do corpo. Sendo k a constante em intensidade e direção, temos: Introdução à Engenharia. Florianópolis: UFSC, 2000. Referências Bibliográficas •BEER, F. P. e JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 3ª. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1980. • BEER, F. P., JOHNSTON, E. R e CORNWELL, P. J. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica. 9ª. ed. Porto Alegre: McGraw-Hill, 2012.
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