Apost GD - SP e DPO - 01 a 48

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 
 SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS 
 DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA 
 Professoras Deise Maria Bertholdi Costa e Luzia Vidal de Souza 
 Disciplina Geometria Descritiva 
 
 
 
SISTEMAS DE PROJEÇÃO 
 
 
 
 
1. Métodos de representação 
 
• Dupla Projeção Ortogonal (Monge) 
• Projeção Cotada (Büache) 
• Projeção Central (Cousinery) 
• Projeção Axonométrica (Polke) 
 
 
 
2. Projeções 
 







→







→




→
→
→
Monge) deou Mongeano Método(ou Ortogonal Projeção Duplaplanos maisou dois
cascartográfi projeções especiais
cotada projeção
caaxonométri aperspectiv
 ortogonais
cavaleira aperspectiv oblíquas
 cilíndrica
cônica aperspectiv cônica
 plano só um
 
 
 
 
 
 
3. Operações fundamentais no desenho projetivo 
 
3.1 Conceito de projetar 
 
a) Projetar um ponto A a partir de um outro ponto O, distinto de A, significa determinar a 
reta pertencente aos dois pontos. A reta OA é denominada projetante do ponto A, e o 
ponto O é denominado de centro de projeção (Figura 1). 
 
 
 
 
FIGURA 1 – PROJEÇÃO DO PONTO A 
 
O A 
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2 
b) Projetar um ponto A a partir de uma reta r, não pertencente a esse ponto, significa 
determinar o plano pertencente ao ponto e à reta. Esse plano, α , é denominado plano 
projetante do ponto A, e a reta r é o eixo de projeção (Figura 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 2 – PROJEÇÃO DO PONTO A, A PARTIR DA RETA r 
 
 
 
c) Projetar uma reta r a partir de outra s significa determinar o plano definido pelas duas 
retas. O problema somente é possível se as retas forem coplanares, ou seja, 
concorrentes ou paralelas (Figura 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 3 – PROJEÇÃO DE UMA RETA A PARTIR DE OUTRA 
 
 
 
d) Projetar um objeto a partir de um ponto significa determinar as projetantes de todos os 
pontos desse objeto. Quando se quer projetar um sólido, normalmente são projetados 
somente os elementos necessários e suficientes que o determinam. 
 
 
 
 
 
Observação: Sejam uma reta a e um ponto B fixos e b uma reta móvel passando por B, que 
rotaciona: 
B
A
b
α
r
A
α
r
s
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3 
3.2 Conceito de cortar 
 
a) Cortar uma reta r por outra s, significa obter o ponto (rs) comum às duas retas. O ponto 
considerado pode ser próprio ou impróprio, conforme as retas sejam concorrentes ou 
paralelas. 
 
b) Cortar um plano α por uma reta r, ou uma reta r por um plano α , significa obter o 
ponto rα comum à reta e ao plano (Figura 4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 4 – CORTE DA RETA r NO PLANO α 
 
c) Cortar um plano α outro β significa encontrar a reta αβ comum a ambos os planos 
(Figura 5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 5 – CORTE DO PLANO α NO PLANO β 
 
d) Cortar um objeto por um plano significa encontrar a seção plana produzida por este 
plano no sólido considerado (Figura 6). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 6 – CORTE DO PLANO α NA SUPERFÍCIE β 
 
Observação: o ponto ou a reta ou a curva quando determinados por cortes chamam-se traços. 
α
β
αβ
α
β
αβ
r
α
rsrα 
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4. Conceito de projeção cônica (ou central) 
 
Considere um plano ′pi e um ponto fixo O não pertencente ao plano considerado. 
Denomina-se projeção central ou cônica, no plano ′pi , de um ponto A, distinto de O, ao traço 
A′ , produzido sobre o plano, pela reta projetante do ponto A (Figura 7). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 7 – PROJEÇÃO CÔNICA DO PONTO A 
 
O plano ′pi é denominado plano de projeção e o ponto O é denominado centro, polo ou 
vértice de projeção. 
 A projeção central ou cônica é também denominada perspectiva cônica, ou perspectiva 
linear exata do ponto A. 
 
Observações: 
• Plano de projeção ≠ plano projetante. 
• O sistema é chamado de projeção cônica, pois as projetantes descrevem uma 
superfície cônica. 
 
5. Conceito de projeção cilíndrica (oblíqua ou ortogonal) 
 
Denomina-se projeção cilíndrica de um ponto A, no plano ′pi a partir de O∞, ao traço A’ 
produzido sobre ′pi , pela reta projetante do ponto A (Figura 8). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 8 – PROJEÇÃO CILÍNDRICA DO PONTO A 
 
Observações: 
• Dado o ponto A, A’ é único, porém dado somente A’ sabe-se que o ponto A pertence à 
reta projetante; 
• O sistema é denominado projeção cilíndrica, pois as projetantes descrevem uma 
superfície cilíndrica; 
• Os pontos do plano de projeção coincidem com suas projeções; 
• Se a direção das projetantes for oblíqua ao plano de projeções tem-se o sistema de 
projeção Cilíndrica Oblíqua; 
• Se a direção das projetantes for perpendicular ao plano de projeções tem-se o Sistema 
de Projeção Cilíndrica Ortogonal. 
 +O 
+A 
+A’ 
pi’ 
 O∞ 
+A 
+A’ 
pi’ 
d 
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5 
5.1 Propriedades das projeções cilíndricas (oblíquas ou ortogonais) 
 
Propriedade 1: A projeção cilíndrica de uma reta não paralela à direção das projetantes é uma 
reta (Figura 9). A projeção cilíndrica de uma reta paralela à direção das projetantes é um ponto 
(Figura 10). 
 
 
 
 
FIGURA 9 – PROJEÇÃO CILÍNDRICA DA RETA r 
 
 
 
FIGURA 10 – PROJEÇÃO CILÍNDRICA DA RETA r 
 
Observações: 
 
a) Se a projeção cilíndrica de uma reta é uma reta, então a reta objetiva não é paralela a 
direção das projetantes; 
 
b) Se a projeção cilíndrica de uma reta é um ponto, então a reta é paralela à direção das 
projetantes; 
 
c) Se uma reta é perpendicular ao plano de projeção, sua projeção cilíndrica-ortogonal sobre o 
mesmo será o seu traço no plano de projeção considerado. Reciprocamente, se a projeção 
ortogonal de uma reta sobre um plano reduzir-se a um ponto, então a reta será perpendicular 
ao plano de projeção, ou o que é equivalente, a reta será paralela à direção das projetantes. 
 
d) Uma reta r, não paralela à direção das projetantes, e sua projeção cilíndrica r′ são 
coplanares; logo, pode ocorrer entre a reta e sua projeção uma das seguintes condições: 
• r e r′ são concorrentes, neste caso a reta corta o plano de projeção (Figura 9); 
• São paralelas, neste caso a reta será paralela ao plano de projeção; 
• São coincidentes, neste caso a reta estará contida no plano de projeção. 
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6 
Propriedade 2: Se duas retas r e s são paralelas, então as suas projeções cilíndricas ou são 
paralelas (Figura 11), ou são coincidentes (Figura 12) ou são pontuais (Figura 13). 
 
 
 FIGURA 11 – PROJEÇÕES PARALELAS FIGURA 12 – PROJEÇÕES COINCIDENTES 
 
 
 
 
FIGURA 13 – PROJEÇÕES PONTUAIS 
 
 
Observação: A recíproca da propriedade 2 não é verdadeira (Figura 14).FIGURA 14 – CONTRA EXEMPLO DA RECÍPROCA DA PROPRIEDADE 2 
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7 
d
A' B ' C'
A
B
C
Propriedade 3: Se dois segmentos são paralelos ou são colineares, então a razão entre eles no 
espaço conserva-se na projeção cilíndrica, desde que a direção dos segmentos não seja 
paralela à direção das projetantes (Figura 15). 
 
 
DC
BA
CD
AB
 a paralelos não e 
colineares
ou
 CD // AB
 Se ′′
′′=⇒



d 
a) AB//CD 
 
 
FIGURA 15 – RAZÃO ENTRE AS PROJEÇÕES DE SEGMENTOS PARALELOS 
 
b) AB e CD colineares 
 
 
 
FIGURA 16 – RAZÃO ENTRE AS PROJEÇÕES DE SEGMENTOS COLINEARES 
 
Conseqüência: Se M é ponto médio do segmento AB então M’ é ponto médio da projeção do 
segmento AB (A’B’). 
 
Observação: A recíproca não é verdadeira. Ou seja, se AB/CD=A’B’/C’D’ não implica que 
AB//CD ou colineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 17 – CONTRA-EXEMPLO PARA A RECÍPROCA DA PROPRIEDADE 3 
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8 
d
A' B '=C' =D'
A
D
C
B
Propriedade 4: Se uma figura está contida num plano paralelo ao plano de projeção, então 
essa figura será congruente à sua projeção cilíndrica, isto é, a projeção cilíndrica desta figura 
está em verdadeira grandeza (V.G.) (Figura 17). 
F'
α
d
F
 
 
FIGURA 18 – PROPRIEDADE 4 
 
Observação: A recíproca não é verdadeira em projeção oblíqua, porém é verdadeira em 
projeção ortogonal (Figura 19). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 19 – CONTRA-EXEMPLO PARA A RECÍPROCA DA PROPRIEDADE 4 
 
 
Propriedade 5: Qualquer figura contida num plano paralelo a direção das projetantes tem para 
projeção um segmento que está contido no traço do plano dessa figura sobre o plano de 
projeção (Figura 20). 
 
 
FIGURA 20– PROPRIEDADE 5 
 
Observação: A recíproca da Propriedade 5 é verdadeira. 
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9 
5.2 Propriedades das projeções cilíndricas ortogonais 
 
Propriedade 6: Se um segmento é oblíquo ao plano de projeção ′pi , então sua projeção 
ortogonal é menor que a sua verdadeira grandeza (Figura 21). 
 
 
FIGURA 21 – PROPRIEDADE 6 
 
 
Observação: A recíproca da Propriedade 6 é verdadeira. 
 
 
 
Propriedade 7: Se duas retas são perpendiculares ou ortogonais entre si, sendo uma delas 
paralela ou pertencente ao plano de projeção e a outra não perpendicular a esse plano, então 
as projeções ortogonais dessas retas são perpendiculares entre si (Figura 22). 
 
Resumindo: 
r ⊥ s ou r s (1) 
Se r // ′pi ou r ⊂ ′pi (2) ⇒ r’ ⊥ s’ (4) 
s ′pi (3) 
 
 
FIGURA 22 – PROPRIEDADE 7 
 
 
Observação: As recíprocas da propriedade 7 são verdadeiras. São elas: 
Recíproca 1: (2) + (3) +(4) ⇒ (1) 
Recíproca 2: (1) + (4) ⇒ (2) + (3) 
 
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Exercícios: 
 
Considere um sistema de projeção cilíndrica com somente um plano de projeção ′pi . Escrever 
ao lado de cada exercício as propriedades geométricas e as propriedades das projeções 
cilíndricas utilizadas. 
 
1. Representar o ponto médio M do segmento dado AB. 
 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Representar o paralelogramo ABCD sendo dados os três vértices. 
 
a) b) 
A'
B'
D'
 
A'
B'
C'
 
 
 
 
 
c) d) 
 
A'
B'D'
 
A'
B'=C'
 
 
 
 
 + 
A’ 
+ 
B’ 
 A’≡B’ 
+ 
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11 
A'
B'
G'
3. Representar o paralelogramo ABCD sendo dados os pontos A e B e o ponto M de 
interseção das diagonais. 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Representar o triângulo ABC sendo dados os vértices A e B e o baricentro G. 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A’ 
+ 
 + 
B’ + 
M’ 
 A’≡B’ 
+ 
+ 
M’ 
 A’ 
+ 
+ M’≡B’ 
 A’≡ B’ 
+ 
+ 
G’ 
 A’≡ G’ 
+ 
+ 
B’ 
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12 
A'
O'
C'
A'
B'
C'
5. Representar o hexágono regular ABCDEF sendo dados dois vértices e o centro O da 
circunferência circunscrita. 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
A'
B'
O'
 
 
 
6. Representar o hexágono regular ABCDEF sendo dados A, B e C 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
+ 
B’ 
+ 
O’ 
A’ 
+ 
 
+ 
A’≡B’ 
+ 
C’ 
 
+ 
B’ 
+ 
C’ 
A’ 
+ 
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13 
O MÉTODO DAS DUPLAS PROJEÇÕES ORTOGONAIS 
 
PARTE I – REPRESENTAÇÃO DO PONTO 
 
1. Planos fundamentais de referência (PFR) 
 
 
Consideremos ′pi e π ′′ dois planos perpendiculares entre si, denominados 
Planos Fundamentais de Referência (PFR) ou Planos de Fundamentais de Projeção 
(PFP). 
 
Denominamos: 
′pi - 1º PFR ou 1º PFP ou Plano Horizontal de Projeção. 
π ′′ - 2º PFR ou 2º PFP ou Plano Vertical de Projeção. 
 
 A interseção de ′pi e π ′′ chama-se Linha de Terra. Esta divide ′pi nas partes: 
anterior e posterior e π ′′ em superior e inferior. 
 
 Estes dois planos dividem o espaço em 4 porções, chamadas de diedros: 
1º diedro – entre a parte anterior de ′pi e a superior de π ′′ 
2º diedro – entre a parte posterior de ′pi e a superior de π ′′ 
3º diedro – entre a parte posterior de ′pi e a inferior de π ′′ 
4º diedro – entre a parte anterior de ′pi e a inferior de π ′′ 
 
Considerando uma origem O sobre a Linha de Terra temos os eixos x, y e z. 
No 1º diedro temos os valores para x ____ y ____ e z ____ 
No 2º diedro temos os valores para x ____ y ____ e z ____ 
No 3º diedro temos os valores para x ____ y ____ e z ____ 
No 4º diedro temos os valores para x ____ y ____ e z ____ 
 
 Consideremos um 3º PFR (ou 3º PFP ou 3º PDP ou Plano Lateral de Projeção) 
π ′′′ que contém os eixos y e z. Estes 3 planos dividem o espaço em octantes. 
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2. Representação do ponto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja A um ponto. Consideremos as 3 projeções cilíndricas ortogonais: A′ , A ′′ e A ′′′ 
sobre os planos ′pi , π ′′ e π ′′′ , respectivamente. 
 
 Temos as distâncias de A até os 3PFR: 
Cota – distância de A até ′pi = segmento A A′ 
Afastamento – distância de A até π ′′ = segmento A A ′′ 
Abscissa – distância de A até π ′′′ = segmento A A ′′′Estas distâncias também nos fornecem as coordenadas (x,y,z) do ponto A: 
x = abscissa 
y = afastamento 
z = cota 
 
 
Fixamos um dos PFR e rebatemos os outros sobre o primeiro escolhido, temos a 
representação plana do ponto, chamada de épura do ponto A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Um ponto pode pertencer a qualquer diedro: 
 
a) A pertence ao 1º diedro 
O
y
x
z
 
b) B pertence ao 2º diedro 
O
y
x
z
 
c) C pertence ao 3º diedro 
O
y
x
z
 
d) D pertence ao 4º diedro 
O
y
x
z
 
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16
3. Pontos pertencentes aos PFR 
 
Espaço Épura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) ′pi é o lugar geométrico (LG) dos pontos de _____________ nulas. Se A∈ ′pi ⇔ ____ ∈ LT. 
 
b) π ′′ é o lugar geométrico (LG) dos pontos de _____________ nulas. Se B∈ π ′′ ⇔ ____ ∈ LT. 
 
c) π ′′′ é o lugar geométrico (LG) dos pontos de _____________ nulas. Se C∈ π ′′′ ⇔ ____∈___. 
 
 
 
4. Pontos pertencentes aos eixos 
 
Espaço Épura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A LT (eixo x) é o LG dos pontos de _______________ nulas. Se A ∈ LT ⇔ __________. 
 O eixo y é o LG dos pontos de _______________ nulos. Se A ∈ y ⇔ __________. 
 O eixo z é o LG dos pontos de _______________ nulas. Se A ∈ z ⇔ __________. 
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5. Obtenção da 3a projeção 
 
Para obtermos a representação do ponto na 3ª projeção, podemos rebater o 3º PFP sobre o 
1º ou 2º PFP. 
 
Rebatimento sobre π ′′ : 
Consideremos o 2º PFP fixo. Ao rebatermos o 3º plano sobre o 2º, a 3ª projeção do ponto 
descreverá um arco de circunferência com centro no eixo z e raio o seu afastamento. Este arco 
está contido num plano paralelo a ′pi e, portanto está em VG na 1ª projeção. A 3ª projeção 
rebatida do ponto pertence a uma reta que passa pela segunda projeção do ponto e é paralela 
a linha de terra. 
 
 
 Espaço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Épura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
A unidade utilizada é o milímetro. 
 
1. Representar a 1ª, 2ª e a 3ª projeções dos pontos dados. 
 
a) A(20,30,40) b) B(50,-20,40) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) C(30,-40,-20) d) D(40,50,-20) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19
2. Localizar os pontos dados nos diedros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ∈ ____ B ∈ ____ C ∈ ____ D ∈ ____ E ∈ ____ 
 
 
 
 
 
 
 
3. Representar os pontos dados. Identificar a posição do ponto em relação aos diedros ou 
aos planos de projeção. 
 
A(20,30,10) ∈ _____ 
B(50,-20,40) ∈ _____ 
C(30,-40,-20) ∈ ____ 
D(40,50,-10) ∈ _____ 
E(10,0,30) ∈ _______ 
F(60,20,0) ∈ _______ 
G(15,0,-40) ∈ ______ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B” 
C” 
A’’ 
D’ 
E’’ 
 
B’ 
C’ 
A’ 
D” E’ 
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20
4. Representar os pontos dados e obter as terceiras projeções. 
 
A(20,50,20) 
B(40,-10,-20) 
C(50,-20,10) 
D(60,30,-40) 
E(10,40,?) ∈ ′pi 
F(-10,-20,-30) 
G(-40,30,-10) 
H(-10,-20,0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Representar um quadrado contido em ′pi sendo dados A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A’ 
B’ 
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21
6. Representar um quadrado contido num plano α paralelo a ′pi sendo dados A e B. 
A(20,20,10) B(40,30,?) 
 
 
7. Representar o paralelogramo ABCD, sendo dados os vértices A e B, e o ponto M de 
interseção das diagonais. 
a) A(10,30,30) B(30,10,10) M(40,15,20) 
b) A(10,20,-30), B(-20,30,-10) e M(20,10,30) 
 
 
8. Representar um hexágono regular ABCDEF, contido em pi ′′ sendo dados dois vértices. 
a) A(20,?,20) e B(40,?,10) 
b) A(30,?,50) e C(60,?,30) 
 
 
9. Representar o triângulo ABC sendo dados M, N e P, pontos médios dos lados. 
a) M(20,35,50) N(40,60,40) P(60,50,30) 
b) M(-25,30,30) N(10,60,50) P(30,25,20) 
 
 
10. Representar o triângulo ABC sendo dados os vértices A e B e o baricentro G. 
A(30,10,20) B(20,50,40) G(50,30,30). 
 
 
11. Representar um quadrado contido em ′pi sendo dados A(20,40,?) e sabendo-se que o 
lado AB mede 30 e é paralelo à LT. 
 
 
12. Representar os pontos A e B de ′pi conhecendo A(10,30,?) e B(x,50,?) sabendo-se que 
AB=30. 
 
 
13. Representar um triângulo equilátero ABC contido em ′pi de lado l=30, com o vértice A 
pertencente a pi ′′ e um lado perpendicular a pi ′′ . 
a) AB ⊥ pi ′′ A(40,?,?) 
b) BC ⊥ pi ′′ A(30,?,?) 
 
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PARTE II – REPRESENTAÇÃO DA RETA 
 
1. Representação da reta 
 
Propriedade já vista: Se r é uma reta então r’ ou é uma reta (se r não for paralela a direção das 
projetantes d) ou um ponto (se r for paralela a direção das projetantes d). 
 
Para obtemos a projeção de uma reta 
consideramos: 
- ou dois pontos A e B pertencentes a r 
- ou o seu plano projetante 
 
 
 
 
 
 
Como temos 3 PFR então há 3 projeções e portanto 3 planos projetantes. 
 
Normalmente, consideramos apenas a 1ª e a 2ª projeções da reta, pois são suficientes para 
determinar a 3ª projeção (exceto para a reta de perfil que veremos mais tarde). 
 
Espaço Épura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Ponto pertencente à reta 
 
Propriedade: P∈r ⇔ P’∈r’ e P’’∈r’’ 
Mas se r//π ′′′ e r ′pi então também deve ser verificado se P’’’∈ r’’’. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
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3. Posições da reta em relação aos PFR 
 
A reta pode ocupar posições distintas em relação aos 3 PFR, podendo ser: 
- r perpendicular a um dos PFR: 
 
 
 reta vertical reta de topo reta fronto-horizontal 
- r paralela a um dos PFR e oblíqua em relação aos outros dois PFR:reta horizontal reta frontal reta de perfil 
 
- r oblíqua em relação a todos os 3 PFR: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 reta qualquer 
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3.1. Reta vertical 
 
Essa reta é perpendicular ao Plano Horizontal de Projeção e paralela em relação ao Plano 
Vertical de Projeção. 
 
a) Característica espacial: __________________ b) Épura: 
 
 
c) Diedros: ________________________ 
 
d) Ângulos: 
com ′pi ________________ 
com π ′′ ________________ 
com π ′′′ ________________ 
 
e) Tem alguma projeção em VG? ____________________ 
 
f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: ___________________ 
 
g) Traços: H, V, L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.2. Reta de topo 
 
Essa reta é paralela ao Plano Horizontal de Projeção e perpendicular em relação ao Plano 
Vertical de Projeção. 
 
a) Característica espacial: __________________ b) Épura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Diedros: ________________________ 
 
d) Ângulos: 
com ′pi ________________ 
com π ′′ ________________ 
com π ′′′ ________________ 
 
e) Tem alguma projeção em VG? ____________________ 
 
f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: ___________________ 
 
g) Traços: H, V, L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.3. Reta fronto-horizontal 
 
Essa reta é paralela ao Plano Horizontal de Projeção e paralela em relação ao Plano Vertical 
de Projeção. 
 
a) Característica espacial: __________________ b) Épura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Diedros: ________________________ 
 
d) Ângulos: 
com ′pi ________________ 
com π ′′ ________________ 
com π ′′′ ________________ 
 
e) Tem alguma projeção em VG? ____________________ 
 
f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: ___________________ 
 
g) Traços: H, V, L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.4. Reta horizontal 
 
Essa reta é paralela ao Plano Horizontal de Projeção e inclinada em relação ao Plano Vertical 
de Projeção. 
 
a) Característica espacial: __________________ b) épura 
 
 
 
 
 
 
c) Diedros: ________________________ 
 
d) Ângulos: 
com ′pi ________________ 
com π ′′ ________________ 
com π ′′′ ________________ 
 
e) Tem alguma projeção em VG? ____________________ 
 
f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: ___________________ 
 
g) Traços: H, V, L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.5. Reta frontal 
 
Essa reta é inclinada em relação ao Plano Horizontal de Projeção e paralela em relação ao 
Plano Vertical de Projeção. 
 
a) Característica espacial: __________________ b) Épura: 
 
 
 
 
 
 
 
c) Diedros: ________________________ 
 
d) Ângulos: 
com ′pi ________________ 
com π ′′ ________________ 
com π ′′′ ________________ 
 
e) Tem alguma projeção em VG? ____________________ 
 
f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: ___________________ 
 
g) Traços: H, V, L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.6. Reta de perfil 
 
Essa reta é inclinada em relação ao Plano Horizontal de Projeção e ao Plano Vertical de 
Projeção e paralela ao Plano Lateral de Projeção. 
 
a) Característica espacial: _____________________ b) Épura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Diedros: _______________________________ 
 
d) Ângulos: 
com ′pi ________________ 
com π ′′ ________________ 
com π ′′′ ________________ 
 
e) Tem alguma projeção em VG? ____________________ 
 
f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: ___________________ 
 
g) Traços: H, V, L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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30
x
z
y
r'
r"
r
3.7. Reta qualquer 
 
Essa reta é inclinada em relação ao Plano Horizontal de Projeção, ao Plano Vertical de 
Projeção e ao Plano Lateral de Projeção. 
 
a) Característica espacial: __________________ b) Épura 
 
 
 
 
 
 
 
c) Diedros: ________________________ 
 
d) Ângulos: 
com ′pi ________________ 
com π ′′ ________________ 
com π ′′′ ________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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e) Tem alguma projeção em VG? ____________________ 
 
 
f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: ___________________ 
 
 
g) Traços: H, V, L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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32
 
O 
 
O 
Exercícios 
 
1. Na reta r, definida pelos pontos A(20,40,10) e B(60,10,-40) representar os pontos: 
 
C(40,?,?) 
D(?,50,?) 
E(?,?,-10) 
F(?,-10,?) 
G(?,?,0) 
H(-10,?,?) 
I(0,?,?) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Na reta r, definida pelos pontos A(40,30,10) e B(40,10,30) representar os pontos: 
 
C(?,35,?) 
D(?,?,20) 
E(?,?,-10) 
F(?,-10,?) 
G(?,?,0) 
H(?,0,?) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Seja a reta r definida pelos pontos A e B. Representá-la, identificar o nome da reta e sua 
posição em relação aos PFR (paralela, oblíqua ou perpendicular). 
a) A(30,15,10), B(60,50,-15) 
b) A(20,30,20), B(20,45,20) 
c) A(20,20,30), B(20,20,45) 
d) A(10,20,-30), B(50,20,20) 
e) A(40,50,10), B(40,20,30) 
 
4. Seja a reta r definida pelos pontos A e B. Representar os traços H, V e L sobre os 
PFR( ′pi , π ′′ e π ′′′ ). Identificar os diedros pelos quais a reta atravessa. Destacar sua 
visibilidade. 
a) A(30,20,30), B(50,10,60) 
b) A(20,30,10),B(40,20,10) 
c) A(30,20,-40), B(60,20,-40) 
d) A(30,50,10), B(30,20,30) 
e) A(20,20,10), B(60,10,-30) 
 
5. Seja a reta r definida pelos pontos A e B. Identificar o nome da reta. Encontrar os 
ângulos que a reta forma com os PFR, bem como a VG do segmento AB. 
a) A(0,-20,-10), B(50,20,-10) 
b) (30,-10,-40), B(30,20,-40) 
c) A(50,20,15), B(70,30,35) 
d) A(30,-30,-10), B(30,-30,20) 
e) A(20,-20,-30), B(50,-20,-30) 
f) A(30,10,50), B(30,-30,-15) 
g) A(20,10,0), B(40,10,30) 
 
6. Representar as retas horizontais que passem pelo ponto dado A e que formem ângulo 
dado com um dos PFR. 
a) A(10,30,40) θ3=30o 
b) A(10,30,40) θ2=30o 
c) A(10,-40,60) θ2=15o 
 
7. Representar uma reta horizontal que passe pelo ponto dado A sabendo-se que qualquer 
segmento da mesma tem a sua segunda projeção reduzida a metade desse segmento. 
A’A” = 60 
 
8. Representar as retas frontais que passem pelo ponto dado A e que formem ângulo dado 
com um dos PFR. 
a) A(10,30,40) θ1=30o 
b) A(10,-40,-60) θ1=15o 
c) A(10,30,40) θ3=30o 
 
9. Representar as retas de perfil que passem pelo ponto dado A e que formem ângulo 
dado com um dos PFR. 
a) A(20,25,10), θ1 = 600 
b) A(50,10,-20), θ1 = 300 
 c) A(30,20,40), θ2 = 150 
 
10. Representar as retas quaisquer que passam pelo ponto dado A(30,20,40) e formam 
ângulo θ1 =30º com ′pi e θ2 = 45º com π ′′ . 
 
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4. Posição relativa de duas retas 
 
Duas retas r e s podem ser: 



−



reversas ou coplanaresnão
escoincident
esconcorrent
paralelas
 coplanares
 
 
Observação: sejam r, s, P∈ r e α(P,s) então 
- se α(P,s) possuir em comum com r apenas o ponto P então r e s são reversas e P≡(rα); 
- ou se r estiver contida em α então as retas r e s são coplanares. 
 
4.1. Condições de paralelismo 
 
1º) Retas não de perfil 
 
Vimos propriedade 2: Se r//s então r’//s’ ou r’≡s’ ou são pontuais. 
 
Como trabalhamos com pelo menos duas projeções então: 
r//s ⇔ 



′′
≡≡
)s//r e pontuais são s" e r" ou ( //s"r" e pontuais são s' e r'
)s'r' e s"r" (ou //s"r" e s'r'
//s"r" e //s'r'
//
 
 
Se r’≡s’ e r”≡s” e r e s são não de perfil então r≡s 
 
2º) Retas de perfil 
 
a) as retas pertencem a um mesmo plano projetante em 1ª e 2ª projeções 



′′′′′′
′′′≡′′′
′′′′′′
sxr se esconcorrent
sr se escoincident
s//r se paralelas
 ser podem s e r
 
 
b) as retaspertencem a planos projetantes distintos em 1ª e 2ª projeções 


′′′′′′
′′′≡′′′′′′′′′
sxr se reversas
sr ou s//r se paralelas
 ser podem s e r 
 
4.2. Condições de incidência 
 
1º) Retas não de perfil 



′∈′′′′′′′∈′′′′
′≡′′′′′′′≡′′′′
∈′′′′′′′′′′′′
⇔
 )s a e ponto um é r , s x r (ou s a e ponto um é r , s x r
 )s r e s x r (ou sr e s x r
LC mesma PP e P em s x r e P em s x r
 s x r
 
 
2º) Uma reta é de perfil e a outra não 
 Além das condições anteriores deve ser verificada também a 3ª projeção. 
 
3º) Retas de perfil 
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35
O
s''
r''
r'
s'
O
r''
r'
s''
s'
Exercícios de posição relativa de duas retas 
 
1. Representar a reta r pertencente ao ponto A(10,20,30) e paralela a reta s(P,Q): 
a) P(40,10,30) Q(40,20,30) 
b) P(40,30,15) Q(40,30,40) 
c) P(30,30,15) Q(10,30,15) 
d) P(30,30,40) Q(50,15,40) 
e) P(30,40,20) Q(50,40,40) 
f) P(30,40,10) Q(10,30,-20) 
 
2. Representar a reta r, pertencente ao ponto dado A e paralela a reta s(P,Q) 
a) A(30,50,20) P(30,40,50) Q(30,20,30) 
b) A(60,40,10) P(40,30,40) Q(40,10,20) 
c) A(50,30,25) P(50,10,35) Q(50,20,20) 
d) A(50,30,25) P(40,10,35) Q(40,20,20) 
 
3. São dadas duas retas r(A,B) e s(P,Q), verificar se são coincidentes, paralelas, 
concorrentes ou reversas. Caso sejam concorrentes, determinar o ponto X em comum. 
 
As retas dadas são não de perfil 
a) b) 
O
s''
s'
r''
r'
 
 
 
c) d) 
 
O
r''
r'
s''
s'
 
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O
r''=s''
r'
s'
O
r''
r'
s''
s'
O
s''
s'
r''
r'
e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 g) h) 
 
O
r''
r'
s''
s'
 
 
 
 
As retas dadas são de perfil 
i) A(20,30,40) B(20,40,50) P(40,40,20) Q(40,50,30) 
j) A(30,-10,0) B(30,0,10) P(30,10,30) Q(30,20,40) 
k) A(20,30,40) B(20,40,50) P(40,40,20) Q(40,10,30) 
l) A(30,30,40) B(30,40,20) P(30,10,30) Q(30,20,40) 
 
 
Uma das retas dadas é de perfil e a outra é não de perfil 
m) A(30,-10,40) B(30,0,40) P(30,10,20) Q(30,20,30) 
n) A(40,10,30) B(40,30,10) P(20,10,10) Q(60,30,60) 
 
 
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37
 
4. Representar a reta horizontal r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma 
reta qualquer s(P,Q) dada. Representar o ponto X de interseção. 
A(10,20,-10) P(30,30,30) Q(50,20,40) 
 
 
5. Representar a reta frontal r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma reta 
qualquer s(P,Q) dada. Representar o ponto X de interseção. 
A(10,25,-10) P(30,30,40) Q(50,20,50) 
 
 
6. Representar a reta de perfil r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma reta 
qualquer s(P,Q) dada. Representar o ponto X de interseção. 
A(10,20,-10) P(30,30,40) Q(50,20,50) 
 
 
7. Representar a reta horizontal r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma 
reta de perfil s(P,Q) dada. Representar o ponto X de interseção. 
A(10,20,20) P(30,30,40) Q(30,20,50) 
 
 
8. Representar a reta de topo r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma reta 
de perfil s(P,Q) dada. Representar o ponto X de interseção. 
A(30,-10,30) P(30,30,20) Q(30,50,10) 
 
 
9. Representar a reta vertical r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma reta 
de perfil s(P,Q) dada. Representar o ponto X de interseção. 
A(30,15,50) P(30,30,20) Q(30,50,10) 
 
 
10. Representar a reta fronto-horizontal r pertencente ao ponto dado A e concorrente com 
uma reta de perfil s(P,Q) dada. Representar o ponto X de interseção. 
A(20,30,?) P(30,10,20) Q(30,40,10) 
 
 
11. Representar uma reta r(A,B) qualquer concorrente com uma reta de perfil s(P,Q) dada. 
Representar o ponto X de interseção. 
A(10,30,30) B(30,20,?) P(40,30,40) Q(40,10,10) 
 
 
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O
r'
r''
P '
P ''
O
r'
r''
P '
P ''
5. Perpendicularidade e ortogonalidade de retas 
 
 
Relembrando a Propriedade 7 para somente uma projeção: 
(1) r ⊥ s ( ou r s ) 
Se (2) r // ′pi ( ou r ⊂ ′pi ) ⇒ (4) r’ ⊥ s’ 
(3) s ′pi 
 
 
Recíprocas são válidas: 
 
(2) r // ′pi ( ou r ⊂ ′pi ) 
Se (3) s ′pi ⇒ (1) r ⊥ s ( ou r s ) 
(4) r’ ⊥ s’ 
 
 
 
Se (1) r ⊥ s ( ou r s ) ⇒ (3) s ′pi 
 (4) r’ ⊥ s’ (2) r // ′pi ( ou r ⊂ ′pi ) 
 
 
 
Na projeção cilíndrica ortogonal tem-se que um ângulo não reto somente se projeta em VG 
quando osdois lados forem paralelos ao plano de projeção. Porém, se o ângulo for reto, basta 
um só lado ser paralelo (ou estar contido) e o outro ser não perpendicular ao plano de projeção 
para que ele tenha projeção ortogonal em VG. 
 
 
Exercícios de perpendicularidade e ortogonalidade de retas 
 
1. Representar a reta s que passe pelo ponto dado P e seja perpendicular a uma reta dada r. 
 
a) r é horizontal b) r é frontal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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39
c) r é de perfil 
 
 
O
A '
B '
A ''
B ''
r'=r''
P '
P ''
 
 
d) r é fronto-horizontal 
 
 
O
r'
r''
P '
P ''
 
 
 
e) r é qualquer 
O
r'
r''
P '
P ''
 
 
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40
2. Representar pelo ponto dado P uma reta s ortogonal a reta dada r, sabendo-se que: 
 
a) s é horizontal b) s é frontal 
 
O
r'
r''
P '
P ''
 
O
r'
r''
P '
P ''
 
 
c) s é de perfil 
 
O
r'
r''
P '
P ''
 
 
d) s é qualquer 
 
 
O
r'
r''
P '
P ''
 
 
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41
O
r'
r''
P '
P ''
O
r'
r''
P '
P ''
3. Representar a distância do ponto dado P a uma reta dada r. Obter a verdadeira grandeza 
dessa distância. 
 
 
a) r é horizontal b) r é frontal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) r é de perfil 
O
P '
P ''
A''
B''
B'
A'
r '= r ''
 
d) r é fronto-horizontal 
O
r'
r''
P '
P ''
 
 
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O r'
r''
P '
P ''
e) r é vertical f) r é qualquer 
O
r''
P '
P ''
r'
 
 
 
4. Representar o losango ABCD, de diagonal BD horizontal, sendo dados os vértices A e C, 
e o comprimento da diagonal BD. 
A(20,25,15) C(50,15,30) BD=40 
 
 
5. Representar o losango ABCD, de diagonal BD horizontal, sendo dados os vértices A e C e 
sabendo-se que a primeira projeção do mesmo deve ser um quadrado. 
A(20,25,15) C(50,15,30) 
 
 
6. Representar um triângulo ABC isósceles, de base AB horizontal dada, sendo dados o 
afastamento e a cota do vértice C. 
A(20,40,20) B(50,50,20) C(x,60,40) 
 
 
7. Representar um retângulo ABCD, sendo dados os vértices A e C, e sabendo-se que o 
lado AB é frontal e tem comprimento dado. 
A(20,20,25) C(50,40,45) AB=20 
 
 
8. São dados dois pontos A e B. Representar uma horizontal h, pertencente ao ponto A e 
que forme ângulo de 60º com pi ′′ . Representar uma frontal f, pertencente ao ponto dado A e 
que forme ângulo de 15º com ′pi . Representar a reta r pertencente ao ponto B e perpendicular 
ao plano definido pelas retas h e f. 
A(20,30,40) B(40,40,20) 
 
 
9. Representar as retas horizontal e frontal pertencentes a um ponto dado P e concorrentes 
com uma reta dada r qualquer nos pontos A e B. Representar o ortocentro do triângulo PAB. 
Representar a altura relativa ao lado AB do triângulo PAB (distância do ponto P à reta r). 
P(20,45,10) Q(60,50,65) R(75,25,30) r(P,Q) 
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PARTE III – REPRESENTAÇÃO DO PLANO 
 
1. Representação do plano 
 
 Um plano pode ser determinado por: 
 
a) três pontos não colineares 
 
 
 
 
b) um ponto e uma reta que não se pertencem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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c) duas retas concorrentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) duas retas paralelas 
 
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Pertinência de ponto e reta a um plano 
 
2.1. Pertinência de reta a plano 
 


⊂
⊂⇔⊂
α ba, onde b, // r a, X r
α ba, onde b, X r a, X r
 αr 
 
2.2. Pertinência de ponto a plano 
 
P ∈ α ⇔ P ∈ r e r ⊂ α 
 
 
2. Representação do plano pelos seus traços 
 
• No espaço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Em épura: 
 
 
 
 
 
 
O
 
 
 
 
 
 
Propriedade: ou απ’ intercepta απ’’ num ponto que pertence a Linha de Terra, ou os traços απ’ 
e απ’’ são paralelos à Linha de Terra. 
Os traços de 
 
 
 
 
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O
r''
s''
s'
r'
t'
Exercícios: 
 
1. Dado um plano α(r,s) representar uma reta t do mesmo do qual se conhece apenas uma das 
projeções. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
O
r''
s''
s'
r'
t'
 
 
2. Dado um plano α(r,s) representar um ponto P do mesmo do qual se conhece apenas uma 
das projeções. 
O
r''
s''
s'
r'
P''
 
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3. Verificar se a reta dada t pertence ao plano dado α(r,s). 
 
O
r''
s''
s'
r'
t'
t''
 
 
 
 
4. Verificar se o ponto dado P pertence ao plano dado α(r,s). 
 
O
r''
s''
s'
r'
P'
P''
 
 
 
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5. Dado o plano α representá-lo por meio de seus traços (1º e 2º). 
 
a) α(r,s) 
 
 
O
r''s''
s'
r' 
 
 
 
 
 
b) α(A,B,C) 
 
A(20; -10;40) 
B(60;20;10) 
C(90;10;40)