AULA 01 Conceitos iniciais (1) (1)

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Prof. Luciano Andrade
AULA 01
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OBJETIVO GERAL
Desenvolver os conceitos de Integral, os processos de integração de funções e suas respectivas aplicações práticas.
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Definição de Primitivas de uma função
Dizemos que uma função F(x) é uma Primitiva da função f(x) em um intervalo I (ou apenas uma Primitiva de f(x)), se tivermos:
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2) F(x) = sen x é uma primitiva de f(x)= cos x, pois 
 é uma primitiva de f(x)= 2x, pois 
Exemplos:
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1) F(x) é primitiva de f(x) G(x), definida por G(x) = F(x) + C, também é primitiva de f(x), onde C é uma constante. 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Além de F(x)=x2, a função G(x)=x2+ 5 também é uma primitiva de f(x)=2x , uma vez que G’(x)=(x2+5)’=2x+0=2x.
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Podemos observar porém, que a derivada das funções...
f(x) = x2
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2) é constante em . 
F(x) é primitiva de f(x) em G(x) é primitiva de f(x) em 
3)
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Podemos observar que, a ligação existente entre f(x) = x2 e , é que F(x) é o processo inverso da derivada f(x), a qual é denominada antiderivada ou primitiva da função f(x). 
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A Integral Indefinida e os
 Processos de Integração. 
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Integral Indefinida
Definição: Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Assim, toda primitiva da função f(x) é definida por uma expressão da forma F(x) + C, onde C é uma constante. Esta expressão é chamada Integral Indefinida de f(x) , que denotamos por .
Ou seja:
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Notações:
Função integrando
Sinal de integração
Integrando
Da definição, decorre de imediato:
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2) O símbolo representa uma família de funções, que é a família de todas as primitivas da função .
OBSERVAÇÕES
1) Usa-se o símbolo no integrando para identificar a variável de integração.
f(x)
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Vejamos alguns exemplos:
1)
 
2) 
3)
4) 
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Algumas integrais imediatas 
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Algumas integrais imediatas 
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Propriedades da Integral Indefinida
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Calcular as integrais: 
a) 
b) 
c) 
d) 
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Continuando...
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continuação...
OBS: Apesar de algumas integrais se decomporem em várias no seu cálculo, basta acrescentarmos uma única constante de integração ao final do processo.
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Referências
FLEMING, Diva M. & GONÇALVES, Mirian B., Cálculo A – 5ªedição. Makron Books – São Paulo, 1992
LEITHOLD, Louis., O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 2 – Ed. Harbra – São Paulo, 1990
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 Se numa certa situação, forem mencionadas duas primitivas de uma mesma função f(x) e não for mencionado o intervalo onde cada uma delas é primitiva de f(x) fica subentendido que são primitivas de f no mesmo intervalo.
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Prova: 2) Considere x e y quaisquer pertencentes a I. Como f é derivável em I, ela é contínua em [x,y]. Então,pelo T.V.M., existe um z em [x,y] tal que f’(z)=(f(y)-f(x))/(y-x). Mas, como f’(z)=0, vem de imediato que f(y)-f(x)=0, ou seja, f(y)=f(x). Como x e y foram tomados supostamente quaisquer em I, então tem-se que f é constante em I.
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A 2ª propriedade acima também vale não só para duas, mas para um número n qualquer de funções.
 Com o uso destas propriedades e das integrais imediatas, podemos calcular uma infinidade de outras integrais, como mostram os exemplos a seguir.