# Aula 2

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Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 2
Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento
unidimensional
Metas
Apresentar, sem demonstrar, os principais resultados sobre diferenciais e in-
tegrais de funções reais, com uma variável real, e aplicar esses resultados no
movimento unidimensional de uma partícula.
Caso já tenha estudado os conceitos relacionados às integrais você já cumpriu
as metas das seções iniciais desta aula e pode ir diretamente para a seção
denominada "Problema inverso do movimento unidimensional".
Objetivos
Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:
1. calcular diferenciais de funções reais, com uma variável real;
2. calcular derivadas de funções compostas utilizando a Regra da Cadeia;
3. calcular integrais definidas de funções reais, com uma variável real;
4. utilizar integrais para obter a posição de uma partícula que está em
movimento unidimensional a partir da sua aceleração e das condições
iniciais;
5. resolver problemas do movimento retilíneo uniforme e do movimento
retilíneo uniformemente acelerado.
Introdução
A descrição do movimento de uma partícula requer o conhecimento da sua
posição em cada instante do tempo. As Leis de Newton, que estudaremos
em mais detalhes a partir da Aula 9, não fornecem diretamente a posição da
partícula, mas apenas a sua aceleração instantânea. As ferramentas mate-
máticas que permitem obter a posição da partícula com o conhecimento da
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Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
sua aceleração instantânea e das condições iniciais são as diferenciais e as in-
tegrais. Por isso, nesta aula, apresentaremos, sem demonstrar, os principais
resultados referentes às diferenciais e às integrais.
Diferenciais
Figura 2.1: Variação da função ∆f e sua diferencial df .
A Figura 2.1 mostra o gráfico da função f(t) no plano t× f . A vari-
ação da função no entorno de t0 é dada por:
∆f(t0) = f(t1)− f(t0),
sendo t1 um ponto da vizinhança de t0. Essa variação também foi represen-
tada na Figura 2.1.
Para não sobrecarregar as expressões das funções trigonométricas, não
colocaremos as unidades nos seus argumentos. Como algumas propriedades
dessas funções ficam mais simples quando seus argumentos são expressos
em radianos, eles serão escritos, a menos que se diga o contrário, de acordo
com essa unidade.
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Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
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Exemplo 2.1
Considere a função f(t) = sen(t). Calcule a variação f(0,1) − f(0). Dê a
resposta com um algarismo significativo.
Resolução
A variação da função é dada por:
f(0,1)− f(0) = sen(0,1)− sen(0) = 0,09 ∼= 0,1.
Figura 2.2: Variação da função ∆f e sua diferencial df quando t0 e t1 estão
muito próximos.
A Figura 2.2 mostra que, se t1 está próximo de t0, a curva que representa
a função f na vizinhança do ponto t0 e a reta tangente são quase iguais.
Dizemos que a reta tangente K(t0, t) é a linearização da função f no ponto
t0.
Como o coeficiente angular da reta tangente em t0 é a derivada primeira da
função f , a variação calculada sobre a reta tangente em t0 é dada por:
∆K = K(t0, t1)−K(t0, t0) = f ′(t0)× (t1 − t0) = f ′(t0) ∆(t).
Essa variação é denominada diferencial da função f no ponto t0 e é represen-
tada da seguinte forma:
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df(t0) = f
′(t0) ∆(t).
A Figura 2.1 mostra que a variação da função ∆f(t0) e a diferencial da
função são diferentes, uma vez que vale a seguinte relação:
∆f(t0) = df(t0)− �.
Todavia, é fácil perceber, pela Figura 2.2, que elas são aproximadamente
iguais quando ∆t tende a zero, uma vez que, nesse caso, � também tende a
zero, isto é,
∆f(t0) ∼= df(t0).
As diferenciais são mais fáceis de calcular do que as variações das funções,
visto que elas fornecem as variações sobre a reta tangente K(t0, t). Por isso,
é comum utilizá-las para calcular as variações das funções quando os pontos
são próximos.
Atividade 1
Atende ao Objetivo 1
Seja a função definida por f(t) = sen(t), sabendo que sen(0) = 0, calcule
o valor de sen(t) em t1 = 0,1. Forneça a sua resposta com um algarismo
significativo.
Resposta Comentada
Como t1 = 0,1, ou seja, é próximo de zero, vamos calcular o valor do seno em
t1 utilizando a diferencial da função em t0 = 0. Por definição, a diferencial
de sen(t) é dada por:
d(sen)(t) = (sen(t))′∆t = cos(t) ∆t.
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Logo, a diferencial em t0 = 0 é igual a
d(sen)(0) = cos(0) ∆t = ∆t = 0,1− 0 = 0,1.
Por isso, temos que:
sen(0,1)− sen(0) = ∆(sen)(0) ∼= df(sen)(0) = 0,1⇒
sen(0,1) ∼= 0,1.
A comparação entre o resultado encontrado nesta atividade e o resultado
encontrado no Exemplo 2.1 mostra que, se considerarmos apenas um alga-
rismo significativo, a diferença dos senos em t1 = 0,1 e t0 = 0 e a diferencial
em t0 = 0 são iguais.
Atividade 2
Atende ao Objetivo 1
Calcule as diferenciais das seguintes funções:
1. f(t) = C sendo C uma constante;
2. f(t) = t;
3. f(t) = C t;
4. f(t) = tn+1;
5. f(t) = cos(t).
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Resposta Comentada
Pela definição da diferencial de uma função, temos que:
1. d(C) = (C)′∆t = 0;
2. d(t) = (t)′∆t = ∆t;
3. d(C t) = C (t)′∆t = C ∆t;
4. d(tn+1) = (tn+1)′∆t = (n+ 1) tn ∆t;
5. d(cos(t)) = (cos(t))′∆t = −sen(t) ∆t.
Na Atividade 2 mostramos que d(t) = ∆t. Por isso, podemos reescrever a
diferencial de um função f da seguinte forma: df(t) = f ′(t) dt.
A definição da diferencial de uma função mostra que a sua derivada pode ser
escrita como o quociente entre duas diferenciais. Isto é,
df
dt
(t) = (f(t))′.
Essa nova forma de escrever a derivada de uma função dá significado à no-
tação de Leibniz para a derivada primeira, mencionada na Aula 1.
A Regra da Cadeia
A Regra da Cadeia permite calcular as derivadas de uma função com-
posta formada por funções deriváveis.
Seja a função f(t) derivável em t0, a função g(u) derivável em u0 e h(t)
a função composta h(t) = g ◦ f(t) = g(f(t)). A derivada da função f(t) em
t0 é
df
dt
(t0) e a derivada da função g(u) em u0 = f(t0) é igual a
dg
du
(u0). A
Regra da Cadeia diz que
df
dt
(t0) =
dg
du
(u0)
du
dt
(t0) ,
em que u(t) = f(t).
Essa regra pode ser vista como uma consequência do fato de que a
derivada é a razão entre duas diferenciais, já que
df
dt
=
df
du
du
dt
.
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Exemplo 2.2
Calcule as derivadas em relação a t das seguintes funções:
1. f(t) = (t− 3)3;
2. f(t) = (t− a)n.
Resolução
Vamos reescrever as funções como funções compostas para calcularmos as
suas derivadas utilizando a Regra da Cadeia.
1. Se f(t) = g(u(t)), sendo g(u) = u3 e u(t) = (t− 3)⇒
dh
dt
=
dg
du
du
dt
= 3u2 (t− 3)′ = 3 (t− 3)2 (1) = 3 (t− 3)2.
2. Se f(t) = g(u(t)), sendo g(u) = un e u(t) = (t− a)⇒
dh
dt
=
dg
du
du
dt
= nun−1 (t− a)′ = n (t− a)n−1 (1) = n (t− a)n−1.
Atividade 3
Atende ao Objetivo 2
Seja a função f(t) = sen(t3), calcule a derivada da função em relação ao
tempo t.
Resposta Comentada
Se f(t) = g(u(t)), sendo g(u) = sen(u) e u(t) = t3, então temos que
dg
du
(u) = cos(u) e
du
dt
(t) = 3 t3−1 = 3 t2.
Logo, usando a Regra da Cadeia, a derivada da função f(t) em relação ao
tempo é
df
dt
(t) =
dg
du
(u) · du
dt
(t) = 3 t2. cos(t3).
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Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
Propriedades das diferenciais
Vimos que a diferencial de uma função f é dada por:
df(t0) = f
′(t0) dt(t0).
Essa frase matemática se lê da seguinte forma: "A diferencial da função
em t0 é o produto da derivada da função em t0 pela diferencial da variável
da função em t0". É fácil perceber que as propriedades das diferenciais são
análogas às propriedades das derivadas.
1. d(f + g) = df + dg;
2. d(C g) = C dg, sendo C é uma constante;
3. d(f g) = df g + f dg;
4. Se g 6= 0⇒ d
(
f
g
)
=
df · g − f · dg
g2
.
Integrais definidas
Mostraremos a seguir que o conhecimento da derivada primeira de uma
função f(t) em um intervalo [t0, t1] permite calcular a variação dessa função
entre os valores t0 e t1. Com essa finalidade, vamos dividir o intervalo [t0, t1]
em N intervalos, com comprimentos iguais a
t1 − t0
N
. Nesse caso, poderemos
escrever a variação da função f da seguinte forma:
∆f(t0) = f(t1)− f(t0) =
N∑
i=1
(f(tti)− f(tti−1)) =
N∑
i=1
∆f(tti−1).
Essa soma pode ser aproximada pela soma das diferenciais, isto é,
∆f(t0) = f(t1)− f(t0) =
N∑
i=1
∆f(tti−1) ∼=
N∑
i=1
df(tti−1).
No caso em que N tende a∞, a variação da função f em cada intervalo
[tti, tti−1] se aproxima da diferencial da função f em tti−1, de tal forma que
podemos reescrever a variação da função f da seguinte maneira:
∆f(t0) = f(t1)− f(t0) = lim
N→∞
N∑
i=1
df(tti−1) =
∫ t1
t0
df(tt).
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Na Figura 2.3, abaixo, utilizamos N = 3.
Figura 2.3: A figura mostra que a variação da função entre os valores t0 e
t1 pode ser escrita como a soma das variações das funções em três intervalos
iguais e consecutivos, com tamanhos iguais a
t1 − t0
3
.
Dizemos então que a variação da função f no intervalo [t0, t1] é a integral
definida nesse intervalo, aplicada à diferencial da função f(t):
∆f(t0) = f(t1)− f(t0) =
∫ t1
t0
df(tt).
Com a finalidade de obter a relação entre a variação da função e a sua
diferencial, denominados a variável que define o intervalo de tt. Como tt
também é uma variável, podemos usar qualquer letra para denominá-la. Por
exemplo, podemos chamá-la de t. Nesse caso, temos que:
∆f(t0) = f(t1)− f(t0) =
∫ t1
t0
df(t).
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Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
A integral definida é a função inversa da diferencial. Ela transforma a
diferencial da função na variação desta entre os limites da integral. A integral
definida só pode ser aplicada às diferenciais das funções.
Nem sempre a integral definida é representada com uma diferencial
no seu argumento. Por exemplo, ela pode ser escrita da seguinte forma:∫ t1
t0
g(t) d(t). Nesse caso, para resolvê-la, é necessário reescrever o argu-
mento da integral como uma diferencial.
Exemplo 2.3
Calcule as seguintes integrais definidas:
1.
∫ t1
t0
C dt, em que C é uma constante;
2.
∫ t1
t0
t dt.
Resolução
Para resolver as integrais, é necessário escrever seus argumentos como dife-
renciais.
1. C dt = dg1 = g′1dt;
2. t dt = dg2 = g′2dt.
Logo, temos que adivinhar quais são as funções g1 e g2 que, derivadas em
relação a t, satisfazem às seguintes relações:
g′1 = C e g
′
2 = t.
É fácil verificar que as funções são g1 = C t e g2 =
t2
2
, uma vez que
g′1 = C t
′ = C e g′2 =
(
t2
2
)′
=
(t2)
′
2
=
2 t
2
= t.
Dessa forma, as integrais das funções são dadas por:
1.
∫ t1
t0
C dt =
∫ t1
t0
d(C t) = C t1 − C t0;
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2.
∫ t1
t0
t dt =
∫ t1
t0
d
(
t2
2
)
=
t21
2
− t
2
0
2
.
No Exemplo 2.3, foi utilizado o método geral para se calcular uma
integral definida. Ele está enunciado no Teorema Fundamental do Cálculo.
Seja a função g(t) uma função contínua definida no intervalo [t0, t1],
então a integral definida existe e é dada por:
G(t1)−G(t0) =
∫ t1
t0
g(t) dt,
tendo a função G a seguinte propriedade: G′(t) = g(t).
A função G é denominada primitiva ou antiderivada da g.
Em geral, a tarefa de encontrar a primitiva de uma função g não é
trivial, porque precisamos adivinhar qual é a função que, ao ser derivada em
relação à variável de integração, fornece a função que deve ser integrada. Os
matemáticos desenvolveram várias técnicas para auxiliar nesse procedimento.
Como as integrais utilizadas em Física I são simples, não apresentaremos
nesta aula as regras de integração. Utilizaremos apenas a Tabela 2.1, que
foi construída com o auxílio das derivadas calculadas nesta aula.
Derivadas Primitivas
(C)′ = 0 0 = (C)′
(C t)′ = C C = (C t)′
(tn+1)
′
= (n+ 1) tn tn =
(
tn+1
n+1
)′
(sen(C t))′ = C cos(t) cos(C t)=
(
sen(C t)
C
)′
(cos(C t))′ = −C sen(t) sen(C t)=-
(
cos(C t)
C
)′
Tabela 2.1: Alguns exemplos de derivadas e primitivas.
Colocamos na primeira coluna da Tabela 2.1 algumas derivadas que
foram calculadas. Observe que a inversão dos termos de cada equação da
primeira coluna da tabela, acompanhada de uma pequena manipulação al-
gébrica, transforma cada equação da primeira coluna em uma equação que
envolve a primitiva da função. A seguir, temos a manipulação algébrica que
transformou a terceira derivada da primeira coluna em uma primitiva:
(tn+1)
′
= (n+ 1) tn ⇒ (n+ 1) tn = (tn+1)′ ⇒ tn =
(
tn+1
n+ 1
)′
.
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A segunda coluna deve ser lida da seguinte forma:
1. a primitiva de zero é uma constante;
2. a primitiva de uma constante C é C t;
3. a primitiva de tn é
tn+1
n+ 1
;
4. a primitiva de cos(C t) é
sen(C t)
C
;
5. a primitiva de sen(C t) é −cos(C t)
C
.
Propriedades das integrais definidas
Como as integrais são limites, elas obedecem a algumas das proprieda-
des destes.
Sejam f e g duas funções integráveis em um intervalo [t0, t1], então
temos que:
1.
∫ t1
t0
(f(t) + g(t)) dt =
∫ t1
t0
f(t) dt+
∫ t1
t0
g(t) dt;
2.
∫ t1
t0
(C f(t))dt = C
∫ t1
t0
f(t) dt.
Integrais indefinidas
Seja a integral
∫ t1
t0
g(t) dt e G(t) a primitiva da função g(t). A função
G(t) + C, onde C é uma constante real qualquer, também é uma primitiva
de g(t), uma vez que
(G(t) + C)′ = G(t)′ + C ′ = G(t)′ = g.
À medida que variamos C, obtemos o conjunto de todas as antideriva-
das de g(t). Podemos representar esse conjunto por∫
g(t) dt = G(t) + C.
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A integral que aparece nessa expressão é denominada integral indefinida
de g(t).
As tabelas de integração, em geral, são construídas com as integrais
indefinidas. A Tabela 2.2 mostra os resultados da Tabela 2.1 reescritos
como integrais indefinidas.
Integrais indefinidas∫
0 dt = C∫
C dt = C t+ C1
∫
tn dt =
tn+1
n+ 1
+ C
∫
cos(C t) dt =
(
sen(C t)
C
)
+ C1
∫
sen(C t) dt = −
(
cos(C t)
C
)
+ C1
Tabela 2.2: Alguns exemplos de integrais indefinidas. Em todos os casos, C
e C1 são constantes.
É importante ressaltar que, na integral definida, a constante C1 que
define a família de antiderivadas ou primitivas desaparece. Isso se dá uma
vez que a integral definida é a diferença entre as primitivas em dois valores
da variável de integração (neste caso, t) e, consequentemente, a constante se
cancela na subtração.
A representação geométrica da integral, no gráfico da
função
A integral de uma função real, com uma variável real, aparece natural-
mente quando tentamos calcular a área sob a curva que representa o gráfico
da função limitada pelas retas t = t0 e t = t1. Soluções aproximadas desse
problema podem ser obtidas
dividindo-se o intervalo [t0, t1] em N subinter-
valos com comprimentos iguais a
t1 − t0
N
e calculando-se a soma das áreas de
retângulos inscritos ou circunscritos à figura. A área sob a curva pode ser
aproximada pela soma das áreas dos retângulos cujos lados são o valor da
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função no intervalo e o próprio intervalo.
A Figura 2.4 mostra os retângulos inscritos para a partição do inter-
valo em cinco partes (N = 5). Por isso, temos queA ∼=
5∑
i=1
f(tti−1)(tti − tti−1).
Figura 2.4: Partição com N=5.
A Figura 2.5 mostra os retângulos inscritos para a partição do inter-
valo em cinco partes (N = 50)). Por isso, temos queA ∼=
50∑
i=1
f(tti−1)(tti − tti−1).
Figura 2.5: Partição para N=50.
A soma das áreas dos retângulos é denominada Soma de Riemann .
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As Figuras 2.4 e 2.5 mostram que, à medida que o número de re-
tângulos aumenta, a Soma de Riemann se aproxima da área sob a curva
limitada pelas retas verticais t = t0 e t = t1. Dessa forma, podemos dizer
que a área sob a curva é dada por:
A = lim
N→∞
N∑
i=1
f(ti−1)
ti − ti−1
N
= lim
N→∞
N∑
i=1
f(ti−1)∆ti−1.
A expressão obtida para a área A é, por definição, a integral definida da
função f(t):
A =
∫ t1
t0
f(t) dt.
Logo, a representação da integral definida no gráfico da função é a área sob
a curva, limitada pelas retas t = t0 e t = t1. Sempre que t1 > t0, essa área
será positiva nas regiões onde g(t) é positiva e negativa nas regiões onde g(t)
é negativa.
Resolvendo o problema inverso do movimento
unidimensional
O problema que se propõe a obter a posição de uma partícula que está
em movimento unidimensional, a partir do conhecimento da sua aceleração
instantânea e das condições iniciais do movimento, é denominado problema
inverso.
Você aprendeu na Aula 1 que, no caso em que o movimento unidimen-
sional da partícula ocorre no eixo OX, temos:
1. velocidade média: vmx(t0, t1) =
x(t1)− x(t0)
t1 − t0 ;
2. velocidade instantânea: vx(t0) =
dx
dt
(t0);
3. aceleração média: amx(t0, t1) =
vx(t1)− vx(t0)
t1 − t0 ;
4. aceleração instantânea: ax(t0) =
dvx
dt
(t0).
Sendo assim, se a aceleração instantânea e a velocidade inicial da partí-
cula vx(t0) são conhecidas, podemos calcular sua velocidade instantânea em
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qualquer instante, uma vez que
ax =
dvx
dt
⇒ dvx = ax dt⇒
∫ t1
t0
dvx =
∫ t1
t0
ax dt
⇒ vx(t1)− vx(t0) =
∫ t1
t0
ax dt.
Na obtenção da expressão da velocidade instantânea, foram utilizados
os fatos de que a derivada é o quociente entre duas diferenciais e de que as
integrais definidas de funções reais, com uma variável real, são as variações
das funções. É importante ressaltar que a variação da velocidade é a integral
da aceleração instantânea, cuja representação geométrica é a área sob a curva
do gráfico da aceleração entre as retas verticais definidas pelos instantes t0 e
t1. A Figura 2.6 ilustra esse fato:
Figura 2.6: A variação da velocidade é a área sob a curva do gráfico da
aceleração entre as retas verticais definidas pelos instantes t0 e t1.
O conhecimento da velocidade instantânea e da posição inicial da par-
tícula x(t0) permite calcular a sua posição em qualquer instante do tempo,
uma vez que
vx =
dx
dt
⇒ dx = vx dt⇒
∫ t1
t0
dx =
∫ t1
t0
vx dt
⇒ x(t1)− x(t0) =
∫ t1
t0
vx dt.
A variação da coordenada x(t) da partícula é a integral da velocidade
instantânea, cuja representação geométrica é a área sob a curva do gráfico
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da velocidade entre as retas verticais definidas pelos instantes t0 e t1. A
Figura 2.7 ilustra esse fato:
Figura 2.7: A variação da coordenada x(t) é a área sob a curva do gráfico da
velocidade entre as retas verticais definidas pelos instantes t0 e t1.
Veremos a seguir que, quando a aceleração instantânea é nula ou cons-
tante, é possível encontrar com facilidade a solução do problema inverso,
utilizando apenas a representação geométrica da integral nos gráficos da ace-
leração e da velocidade instantâneas. Já nos casos em que a aceleração ins-
tantânea varia com o tempo, será necessário calcular integrais definidas para
resolver o problema.
Movimento retilíneo uniforme
Conforme estudado na disciplina de Introdução às Ciências Físicas I,
o movimento retilíneo uniforme (MRU) é aquele no qual a aceleração da
partícula é nula. Isso faz com que a sua velocidade da partícula seja constante
e igual a sua velocidade inicial, isto é:
ax =
dvx
dt
= 0⇒ vx(t) = vx(t0).
Por isso, a coordenada x da partícula é dada por:
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Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
x(t1)− x(t0) =
∫ t1
t0
vx(t0) dt.
A Figura 2.8 mostra o gráfico da velocidade instantânea no MRU:
Figura 2.8: A área sob a curva do gráfico da velocidade entre as retas verticais
definidas pelos instantes t0 e t1 é a integral da velocidade instantânea e nos
dá a diferença da posição da partícula entre tais instantes.
A integral da velocidade instantânea é a área do retângulo limitado
pelos instantes t0 e t1. A área do retângulo é igual a vx(t0) (t1 − t0). Dessa
maneira, a coordenada da partícula em um instante t1 qualquer é dada por
x(t1)− x(t0) = vx(t0) (t1 − t0)⇒ x(t1) = x(t0) + vx(t0) (t1 − t0).
Como tal expressão é válida para qualquer instante t1, vamos denominá-lo
pela variável t. Assim sendo, a expressão da coordenada x se reduz a
x(t) = x(t0) + vx(t0) (t− t0).
Observe que o conhecimento da expressão da área que representa a integral
no gráfico da velocidade permitiu resolver com facilidade o problema inverso
do movimento retilíneo uniforme.
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MÓDULO 1 - AULA 2
A Figura 2.9 mostra que, no movimento retilíneo uniforme, a veloci-
dade instantânea em t0, que é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico
da posição da partícula em função do tempo, é igual à velocidade média, que
é, por sua vez, o coeficiente angular da reta secante entre os instantes t0 e t1.
Figura 2.9: Gráfico da coordenada x de um partícula em um movimento
retilíneo uniforme.
Atividade 4
Atende ao Objetivo 5
Um carro está trafegando com velocidade constante em um trecho de uma
rodovia que é uma reta. Ele se desloca 50 km a partir do quilômetro dez da
rodovia, em meia hora. Qual é a velocidade média do carro nesse intervalo
de tempo? Qual é a sua velocidade instantânea em um instante de tempo
desse deslocamento?
Resposta Comentada
Vamos supor que a direção da estrada coincida com o eixo OX. A velocidade
média entre dois instantes t1 e t2 (t2 > t1) é dada por:
vmx =
x(t2)− x(t1)
t2 − t1 =
50 km
0, 5 h
= 100 km/h.
Sendo, no movimento retilíneo uniforme, a velocidade instantânea constante
65 CEDERJ
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Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
e igual à velocidade média em qualquer intervalo de tempo, concluímos que
vx(t) = vmx(t1, t2) = 100 km/h.
O movimento uniformemente acelerado
O movimento uniformemente acelerado, conforme estudado em ICF 1,
é aquele no qual a aceleração da partícula é constante, isto é, ax(t) = ax(t0).
Figura 2.10: Gráfico da aceleração ax de um partícula em um movimento
uniformemente acelerado.
Logo, a velocidade da partícula é dada por:
ax(t) = ax(t0) =
dvx
dt
⇒ vx(t) = vx(t0) +
∫ t1
t0
ax(t0) dt.
A Figura 2.10 mostra o gráfico da aceleração instantânea da partícula
para esse tipo de movimento.
A integral da aceleração instantânea é a área
do retângulo limitado pelos instantes t0 e t1. A área do retângulo é igual a
ax(t0) (t1 − t0). Logo, a velocidade da partícula em um instante t1 qualquer
é dada por:
vx(t1) = v(t0) + ax(t0) (t1 − t0).
Como essa expressão é válida para qualquer instante t1, vamos denominá-
lo pela variável t. Dessa forma, a expressão para a velocidade instantânea da
partícula vx se reduz a
vx(t) = vx(t0) + ax(t0) (t− t0).
CEDERJ 66
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Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 2
O conhecimento da velocidade instantânea vx(t) e da posição inicial da
partícula x(t0) permite encontrar a coordenada x(t) da partícula:
x(t) = x(t0) +
∫ t1
t0
vx(t)dt.
Figura 2.11: Gráfico da velocidade instantânea vx de uma partícula em um
movimento uniformemente acelerado.
A Figura 2.11 mostra o gráfico da velocidade instantânea da partícula
no movimento uniformemente acelerado. A integral da velocidade instantâ-
nea é a área do trapézio limitado pelos instantes t0 e t1. A área de um
trapézio com bases b1 e b2 e altura h é dada por
A =
(b1 + b2)h
2
.
As bases do trapézio da Figura 2.11 são b1 = vx(t0) e b2 = vx(t1) e a
altura, h = (t1 − t0). Por isso, a sua área se reduz a
A =
(vx(t0) + vx(t1)) (t1 − t0)
2
=
(vx(t0) + vx(t0) + ax(t1 − t0)) (t1 − t0)
2
⇒ A = vx(t0) (t1 − t0) + ax(t0)(t1 − t0)
2
2
.
Logo, a posição da partícula em um instante t1 qualquer é dada por:
x(t1)− x(t0) =
∫ t1
t0
vx dt⇒ x(t1) = x(t0) + vx(t0) (t1− t0) + ax(t0)(t1 − t0)
2
2
.
67 CEDERJ
Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
Isso é válido para qualquer instante t1, então vamos denominá-lo pela variá-
vel t. Dessa forma, a expressão da coordenada x(t) da partícula se reduz a
x(t) = x(t0) + vx(t0) (t− t0) + ax(t0)(t− t0)
2
2
.
Observe que o conhecimento das expressões das áreas sob os gráficos
da aceleração e da velocidade permitiu resolver com facilidade o problema
inverso do movimento uniformemente acelerado.
Figura 2.12: A representação geométrica da velocidade instantânea e da
velocidade média em um movimento uniformemente acelerado mostra que
elas são diferentes.
A Figura 2.12 mostra que, no movimento retilíneo uniformemente
acelerado, ao contrário do que ocorre no MRU, a velocidade instantânea em
t0, que é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da posição da
partícula, e a velocidade média entre os instantes t0 e t1, que é o coeficiente
angular da reta secante que passa pelos pontos t0 e t1, são diferentes.
As equações que descrevem o movimento uniformemente acelerado que
ocorre no eixo OX estão listadas a seguir:
1. ax = ax(t0);
2. vx(t) = vx(t0) + ax (t− t0);
3. x(t) = x(t0) + vx(t0) (t− t0) + ax(t0) (t− t0)
2
2
.
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Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 2
As equações que descrevem a velocidade e a posição da partícula são
denominadas equações horárias do movimento uniformemente ace-
lerado. Quando o instante t0 = 0, as equações horárias se reduzem a
vx(t) = vx(0) + ax t e x(t) = x(0) + vx(0) t+
ax(0) t
2
2
.
Observe que o gráfico da coordenada da partícula em função do tempo é uma
parábola.
Figura 2.13: Gráfico da posição x(t) de uma partícula em um movimento
uniformemente acelerado.
A aceleração da partícula é a derivada segunda da posição, já que
ax =
dvx
dt
=
d
dt
(
dx
dt
)
=
d2x
dt2
.
Por isso, se a aceleração for positiva, a parábola é côncava para cima (
⋃
) e,
se a aceleração for negativa, a parábola é côncava para baixo(
⋂
).
A partir das equações obtidas para o movimento uniformemente ace-
lerado, podemos relacionar a velocidade com a posição e a aceleração da
partícula. Primeiro, a equação da velocidade permite relacionar o tempo
com a variação da velocidade, uma vez que
vx(t) = vx(0) + ax t⇒ t = vx(t1)− vx(0)
ax
.
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Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
Dessa forma, temos que:
x(t)− x(0) = vx(0) t+ ax t
2
2
⇒ x(t)− x(0) = vx(0)
(
vx(t1)− vx(0)
ax
)
+
ax
2
(
vx(t1)− vx(0)2
ax
)
⇒ x(t)− x(0) = vx(t1) vx(0)
ax
− v
2
x(0)
ax
+
v2x(t1)
2 ax
+
v2x(0)
2 ax
− vx(t1) vx(0)
ax
x(t)− x(0) = v
2
x(t1)
2 ax
− v
2
x(0)
2 ax
v2x(t1)− v2x(0) = 2 ax (x(t1)− x(0)).
A equação que relaciona a diferença dos quadrados das velocidades com
o deslocamento da partícula em um movimento uniformemente acelerado é
denominada Equação de Torricelli. É imprescindível entender que essa equa-
ção só é válida para o caso particular do movimento uniformemente
acelerado e não é uma expressão geral, que possa ser usada em qualquer
tipo de movimento.
Exemplo 2.4
Um motorista está trafegando em um trecho retilíneo de uma rodovia. Ele
pode acelerar o seu carro de 0 km/h a 50 km/h em 4s. Encontre a aceleração
média do carro nesse intervalo de tempo. Se a aceleração do carro fosse cons-
tante e igual à aceleração média calculada, que distância o carro percorreria
até a sua velocidade atingir 50 km/h? Forneça as suas respostas com dois
algarismos significativos.
Resolução
Vamos supor que a direção do movimento seja a do eixo OX. A aceleração
média do carro é
amx =
vx(t1)− vx(t0)
t1 − t0 .
A velocidade inicial do carro é nula. Sua velocidade final, expressa em metros
por segundo, é
vx(4s) =
50 km
h
=
50. 103 m
3600s
=
125
9
m/s.
Logo, a aceleração média do carro é amx(0,4 s) ∼= 3,5 m/s2.
A distância percorrida pode ser obtida com a equação de Torricell, já que
em um movimento retilíneo uniformemente acelerado ela relaciona velo-
cidades com o espaço.
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Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 2
v2x(t1)− v2x(0) = 2 ax (x(t1)− x(t0))⇒ ∆x =
v2x(4 s)
2 amx(0,4 s)
∼= 24 m.
Exemplo 2.5
Um carro de passeio está trafegando em um trecho retilíneo de uma rodovia.
Ele percorre 4 km a 40 km/h e, depois, 6 km a 60 km/h. Qual a velocidade
média do carro durante seu percurso? Despreze o tempo de aceleração e a
distância percorrida pelo carro durante o tempo de mudança de velocidade
instantânea.
Resolução
Vamos considerar que o movimento ocorre no eixo OX. A velocidade média
do carro é o espaço percorrido por unidade de tempo, isto é:
vmx =
x(t2)− x(t0)
t2 − t0 .
Nos trechos onde o carro desloca por 2 km e 4 km, os movimentos são retilí-
neos uniformes. Logo, o intervalo de tempo gasto nesses dois deslocamentos
é igual a:
∆t =
4 km
40 km/h
+
6 km
60 km/h
= 0,2 h.
Como o exemplo mandou desprezar o tempo de aceleração do carro e o espaço
percorrido nesse tempo, a velocidade média do carro é
vmx =
6 km
0,2h
= 30 km/h.
Atividade 5
Atende ao Objetivo 5
Um avião de grande porte precisa alcançar a velocidade de 500 km/h para
decolar. Esse avião tem uma aceleração de 4 m/s2. Quanto tempo ele leva
para decolar e que distância na pista ele percorre antes disso?
Resposta Comentada
Vamos considerar que o movimento ocorre no eixo OX e que o avião partiu
da origem do eixo coordenado. Como o movimento é uniformemente acele-
rado, temos que:
71 CEDERJ
Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
vx(t) = vx(0) + axt e x(t) = x(0) + vx(0) t+
axt
2
2
.
As condições iniciais do movimento são: x(0) = 0 e vx(0) = 0. Logo, temos
que vx(t) = axt ; x(t) =
ax(0) t
2
2
.
A velocidade do avião em metros por segundo é
vx(0) =
500. 103 m
3600 s
=
1250
9
m/s.
Por isso, o tempo que o avião levou para decolar foi de
t =
vx(t)
ax
=
1250 m
9 s
1
4 m/s2
∼= 35 s.
A distância que o avião percorreu antes de decolar foi
x(t) =
4 m/s2.(35 s)2
2
∼= 2, 4 km.
Exemplo 2.6
A Figura 2.14 mostra o gráfico da marcação do velocímetro de um auto-
móvel como função do tempo.
W�V�
Y[�P�V�
Figura 2.14: Gráfico do velocímetro de um automóvel como função do tempo.
Trace os gráficos da aceleração e da distância percorrida em função do tempo.
Suponha que em t = 0 a partícula está na origem do eixo que define a direção
CEDERJ 72
Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 2
do movimento. Qual é a aceleração média do automóvel entre t = 0 s e
t = 120 s? E entre t = 150 s e t = 170 s?
Resolução
A aceleração no movimento unidimensional é
dvx
dt
. Logo, ela é representada
no gráfico de vx(t) como o coeficiente angular da reta tangente à curva da
velocidade em função do tempo. O gráfico da Figura 2.14 mostra que, nos
intervalos de tempo [0 s, 30 s] e [150 s, 170 s], os coeficientes angulares da curva
são constantes e diferentes de zero e, também, que nos intervalos [30 s, 150 s]
e [170 s, 220 s], os coeficientes angulares da curva são nulos.
Portanto, para 0 s < t < 30 s ⇒ ax(t) = 20 m/s
30 s
=
2
3
m/s2, o movimento
é uniformemente acelerado com aceleração positiva. Por outro lado, para
150 s < t < 170 s ⇒ ax(t) = −20 m/s
20 s
= −1m/s2, o movimento é uniforme-
mente acelerado com aceleração negativa. Por fim, para 30 s < t < 150 s e
t > 170 s ⇒ ax(t) = 0 m/s2, o movimento é retilíneo uniforme. O gráfico da
aceleração foi representado na Figura 2.15.
Figura 2.15: Gráfico da aceleração do automóvel como função do tempo.
Enquanto o movimento é uniformemente acelerado, com aceleração 2
3
m/s2,
o gráfico da coordenada x é uma parábola, com concavidade para cima, que
inicia no ponto (0 s, 0 m) e finaliza no ponto (30 s, x(30 s)). O deslocamento
∆x(0 → 30 s) é a área sob a curva do gráfico da Figura 2.14 entre os ins-
tantes [0, 30 s], que é a área do triângulo com base 30 s e altura 20 m/s. Isto é,
∆x(0→ 30s) = (20 m/s).(30 s)
2
= 300 m.
73 CEDERJ
Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
Enquanto o movimento é retilíneo uniforme, o que ocorre no intervalo de
tempo [30 s, 150 s], o gráfico da coordenada x é uma reta que inicia em x(30 s)
e finaliza em x(150 s). O valor da coordenada x(150 s) é o valor da coordenada
x(30 s) adicionado do deslocamento durante esse movimento retilíneo, que é
a área do retângulo com base 120 s e altura 20 m/s. Isto é,
x(150 s) = 300m + (20 m/s).(120 s) = 2700 m.
Já a parábola que representa a coordenada x do movimento com ace-
leração −1 m/s2 é côncava para baixo. Ela inicia no ponto (150 s, x(150 s)) e
finaliza no ponto (170 s, x(170 s)). O valor da coordenada x(170 s) é igual ao
valor da coordenada x(150 s) adicionada da área do triângulo de base 20 s e
altura 20 m/s. Ou seja, x(170 s) = 2700 m +
(20 m/s).(20 s)
2
= 2900 m. Por
fim, para t > 170 s, o automóvel está parado. O gráfico da coordenada x do
automóvel está representado na Figura 2.16.
Figura 2.16: Gráfico da posição do automóvel como função do tempo.
A aceleração média entre t = 0 e t = 120 s é
amx =
vx(120 s)− vx(0 s)
120 s
=
20 m/s
120 s
=
1 m/s
6 s
∼= 0, 2 m/s2.
Já entre os instantes t = 150 s e t = 170 s é
amx =
vx(170 s)− vx(150 s)
20 s
= 0 m/s2.
CEDERJ 74
Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 2
Exemplo 2.7
Na reta final de uma maratona, os dois primeiros colocados estão correndo em
uma mesma linha reta, ambos com a velocidade de 20 km/h, separados por
uma distância de 100 m e distantes dos outros competidores. O maratonista
que está em segundo lugar resolve tentar ultrapassar o primeiro colocado
quando a distância entre ele e o ponto de chegada da corrida é de 1,6 km,
acelerando a 40 km/h2. O primeiro colocado não consegue aumentar a sua
velocidade. O maratonista que estava em segundo lugar consegue ganhar a
maratona? Justifique a sua reposta.
Resolução
Para responder a essa pergunta, vamos calcular o tempo t1 que os marato-
nistas levam para emparelhar e a distância entre eles e o ponto de chegada
quando o emparelhamento ocorre. Vamos supor que a direção da reta de che-
gada coincide com o eixo OX e que a origem do eixo coincide com o ponto
onde o maratonista que está atrás começa a acelerar. Com essas considera-
ções e a hipótese de que o tempo é nulo quando o segundo colocado está na
origem do eixo, as coordenadas dos maratonistas são:
x1(t) = 0,1 km + (20 km/h).t;
x2(t) = (20 km/h).t+
40 km/h2.t2
2
= (20 km/h).t+ (20 km/h2). t2.
As coordenadas dos maratonistas se igualam quando eles possuem a mesma
coordenada x. Isto é:
x(t1) = x2(t1)⇒ 0,1 km + 20 km/h. t1 = (20 km/h). t1 + (20 km/h2). t21 ⇒
t1 =
√
0,1 km
20 km/h2
=
√
1
200
h.
Portanto, a distância do ponto de chegada quando eles emparelham é
∆x = 1,6 km− x2(t1) = 1,6 km− 20 km/h.
√
1
200
h− 20 km/h2.
(
1
200
h2
)
∆x ∼= 0,09 km = 90 m.
Logo, isso ocorre antes do fim da maratona (∆x > 0) e o maratonista que
estava em segundo lugar ganha a corrida.
75 CEDERJ
Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
Atividade 6
Atende ao Objetivo 5
O tempo médio de reação de um motorista (tempo que decorre entre ele
perceber o perigo súbito e aplicar os freios) é da ordem de 0,7 s. Um carro
com bons freios, numa estrada seca, quando os freios são acionados, pode
desacelerar a 6 m/s2. Calcule a distância mínima que o carro percorre depois
que o motorista avista o perigo, quando ele trafega a 30 km/h, a 60 km/h e
a 90 km/h.
Resposta Comentada
Antes de calcular as distâncias, vamos escrever as velocidades em m/s:
v1x(0) = 30 km/h =
30 .103 m
3600 s
=
25 m
3 s
, v2x(0) = 60 km/h =
60 .103 m
3600 s
=
50 m
3 s
e v3x(0) = 90 km/h =
90 .103 m
3600 s
= 25 m/s.
Durante o tempo t1 = 0,7 s, de reflexo do motorista, o carro continua se
deslocando em movimento retilíneo uniforme com a sua velocidade inicial.
Logo, as distâncias percorridas pelo carro até o momento em que os freios
são acionados são:
x1(0,7 s) =
25 m
3 s
. (0,7 s) ∼= 5,8 m;x2(0,7 s) = 50 m
3 s
. (0,7 s) ∼= 11,7 m
e x3(0,7 s) = (25 m/s). (0,7 s) =
35 m
2
∼= 17, 5m.
Uma vez que, nesse caso, as acelerações são constantes , as distâncias
percorridas durante as aplicações dos freios podem ser calculadas utilizando-
se a Equação de Torricelli, impondo que as velocidades finais do carro sejam
nulas:
v2xf = v
2
xi − 2 a∆x = 0 ⇒ ∆x =
v2xi
2 a
.
Por isso, as distâncias percorridas pelo carro durante o acionamento dos
freios, em cada uma das situações, são:
∆x1 =
1
2 · 6 m/s2 ·
(
25 m
3 s
)2
∼= 5,8 m; ∆x2 = 1
2 · 6 m/s2 ·
(
50 m
3 s
)2
∼= 23,1 m
e ∆x3 =
1
2 · 6 m/s2 · (25 m/s)
2 ∼= 52,1 m.
CEDERJ 76
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Realce
Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 2
Desse modo, as distâncias totais percorridas são:
∆xit = xi + ∆xi ⇒ ∆x1t ∼= 11,6 m; ∆x2t ∼= 34,8 m e ∆x2t ∼= 69,6 m.
Atividade 7
Atende ao Objetivo 5
O sinal amarelo num cruzamento, de largura 20 m, fica aceso durante 4 s.
Quando o sinal muda para o amarelo, o para-choque traseiro de um carro
dista 100 m do cruzamento. O módulo da aceleração máxima do carro é de
a1 = 4 m/s
2 e o módulo da aceleração que freia o carro é de a2 = 5 m/s2.
Qual velocidade mínima o carro precisa ter no instante da mudança de sinal
para amarelo, a fim de que ele possa atravessar completamente o cruzamento
antes de o sinal ficar vermelho? Qual é a velocidade máxima que permite
que o carro pare antes de atingir o cruzamento? Considere o tempo médio de
reação do motorista igual a 0,7 s. O carro tem três metros de comprimento.
Resposta Comentada
Se o motorista quer atravessar o cruzamento antes do sinal vermelho, par-
tindo de uma velocidade mínima, ele precisa acelerar o carro na mudança do
sinal. O espaço percorrido pelo carro em um tempo t1 é
∆x1 = vx1(0) · (0,7 s) + (vx1(0)) · (t1 − 0,7 s) + (4 m/s
2) · (t1 − 0,7 s)2
2
,
cujo primeiro termo representa o período antes de o motorista reagir à mu-
dança para o amarelo, em que o movimento é uniforme, e o segundo termo
representa o período de movimento acelerado. Logo, se o motorista quiser
atravessar o cruzamento antes de o sinal ficar vemelho, o carro tem que per-
correr uma distnˆacia mínima de ∆x1 = 100 + 20 = 120 m em 4 s. Por isso, a
velocidade inicial mínima do carro tem que ser igual a
vx1(0) =
120 m
0,7 s + (4 s− 0,7 s) + 2 · (4 s− 0,7 s)2
∼= 19,6 m/s ∼= 70,6 km/h.
77 CEDERJ
Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
Já se o motorista quer parar antes do cruzamento, partindo de uma veloci-
dade máxima, ele tem que frear na mudança do sinal. O espaço percorrido
pelo carro em um tempo t2 é
∆x2 = vx2(0) · (0,7 s) + (vx2(0)) · (t2 − 0,7 s)− (5 m/s
2) · (t2 − 0,7 s)2
2
.
Logo, se o motorista quiser parar antes de atravessar o cruzamento e antes
de o sinal ficar vermelho, o carro tem que percorrer uma distância máxima
de ∆x1 = 100− 3m = 97 m em 4 s. Por isso, a velocidade inicial máxima do
carro tem que ser igual a
vx2(0) =
97 m
0,7 s + (4 s− 0,7 s)− 2 · 5 · (4 s− 0,7 s)2
∼= 31,1 m/s ∼= 112 km/h.
Movimentos com acelerações que dependem do tempo
A resolução do problema inverso nos casos em que a aceleração da par-
tícula depende do tempo requer cálculos de integrais definidas porque, nesses
casos, por si só a geometria básica não é suficiente para fornecer as fórmulas
para calcular as áreas.
Exemplo 2.8
Uma partícula, inicialmente com velocidade vx(0) = 1 m/s, move-se sobre o
eixo OX, partindo da sua origem. A aceleração da partícula em um instante
de tempo t é dada por: ax(t) = bt2, com b = 1 m/s
4. A Figura 2.17 mostra
o gráfico da aceleração em função do tempo:
1. Qual é a expressão da velocidade vx(t) da partícula?
2. Qual é a expressão da posição x(t) da partícula?
Resolução
A velocidade da partícula é vx(t1) = vx(0) +
∫ t1
0
ax(t) dt = vx(0) +
∫ t1
0
b t2 dt.
Nesse caso, a geometria básica não fornece uma expressão para a área sob
a curva da aceleração limitada pelas verticais definidas por t = 0 s e t = t1.
Por isso, nós teremos que encontrar a primitiva da função aceleração.
ATabela 2.2, apresentada nesta aula, fornece a primitiva de que precisamos,
isto é,
G(t) =
∫
b t2 dt =
b t2+1
2 + 1
+ C =
b t3
3
+ C,
CEDERJ 78
Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 2
Figura 2.17: Gráfico da aceleração como função do tempo.
sendo C uma constante arbitrária. Temos, portanto, que
vx(t1) = 1 m/s +G(t1)−G(0)
vx(t1) = vx(0) +
(
b t31
3
+ C
)
− C = vx(0) + b t
3
1
3
.
Como o instante t1 pode assumir qualquer valor, podemos reescrever a velo-
cidade da partícula em termos da variável t da seguinte forma:
vx(t) =
b t3
3
+ v0x =
t3
3
+ 1.
Na última expressão, b e v0x foram substituídos pelos seus valores numéricos,
e o tempo deve ser expresso em segundos e a velocidade em m/s.
A posição da partícula é dada por:
x(t1) = x(0) +
∫ t1
0
vx(t)dt.
Como a partícula partiu da origem, a sua posição inicial x(0) é nula. Por
isso, temos que:
x(t1) = x(0) +
∫ t1
0
(
b t3
3
+ vx(0)
)
dt.
Como a integral da soma de funções é a soma das integrais das funções e a
integral de uma constante vezes uma função é a constante vezes a integral
da função, temos que:∫ t1
0
(
b t3
3
+ vx(0)
)
dt =
b
3
∫ t1
0
t3dt+ vx(0)
∫ t1
0
dt.
79 CEDERJ
Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
A Tabela 2.2 fornece as integrais necessárias para resolver o exemplo:
G1(t) =
∫
t3dt =
t3+1
3 + 1
+ C1 =
t4
4
+ C1 e G2(t) = t+ C2.
Portanto, a posição da partícula é
x(t1) =
(
bG1(t1)
3
+ vx(0)G2(t1)
)
−
(
bG1(0)
3
+ vx(0)G2(0)
)
=
b t41
12
+vx(0) t1.
Como o instante t1 pode assumir qualquer valor, podemos reescrever a posi-
ção da partícula como função da variável t:
x(t) =
b t4
12
+ vx(0) t =
t4
12
+ t.
Na última expressão, b e v0x foram substituídos pelos seus valores numéricos.
Atividade 8
Atende ao Objetivo 4
Uma partícula, inicialmente em repouso, é acelerada e se move sobre o eixo
OX, partindo da origem. A aceleração da partícula é dada por:
ax(t) = bcos(2 t),
com o tempo em segundos e b = 2 m/s3.
Devemos nos lembrar da convenção que estamos utilizando, de que o
argumento das funções trigonométricas é sempre escrito em radianos.
1. Qual é a expressão da velocidade vx(t) da partícula?
2. Qual é a expressão da posição x(t) da partícula?
Resposta Comentada
A velocidade da partícula é
vx(t1) = vx(0) +
∫ t1
0
2cos(2 t)dt =
∫ t1
0
2cos(2 t).
CEDERJ 80
Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 2
A Tabela 2.2 fornece, mais uma vez, a função de que precisamos:
G(t) =
∫
2cos(2 t) =
2 sen(2 t)
2
+ C = sen(2 t) + C.
Logo, a posição da partícula é
x(t1) = G(t1)−G(0)⇒ x(t) = sen(2 t1) + C − C = sen(2 t1).
Como o instante t1 pode assumir qualquer valor, podemos reescrever a posi-
ção da partícula como função da variável t da seguinte forma:
x(t) = sen(2 t),
com o tempo em segundos e a posição em metros.
Resumo
Nesta aula você aprendeu a resolver o problema inverso do movimento unidi-
mensional, isto é, você já entendeu o processo que permite obter a velocidade
e a posição de uma partícula a partir da sua aceleração instantânea e das
condições iniciais:
x(t1)− x(t0) =
∫ t1
t0
vx(t0) dt e vx(t1)− vx(t0) =
∫ t1
t0
ax dt.
Você também aprendeu que a integral definida
∫ t1
t0
g(t) dt tem um significado
geométrico no gráfico da função g(t), ou seja, ela é a área sob a curva da
função g(t) entre as verticais definidas por t0 e t1. A integral definida deve
ser resolvida utilizando-se o Teorema Fundamental do Cálculo.
Seja a função g(t) uma função contínua definida no intervalo [t0, t1], então a
integral definida existe e é dada por:
G(t1)−G(t0) =
∫ t1
t0
g(tt) dt,
tendo a função G a seguinte propriedade: G′(t) = g(t). A função G(t) é
denominada antiderivada, ou primitiva da função g(t). A integral indefinida
é o conjunto de primitivas da função g(t).
81 CEDERJ
Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
A Tabela 2.3 pode ser utilizada para encontrar as primitivas de ex-
pressões que contêm as funções integradas na tabela.
∫
0 dt = C∫
C dt = C t+ C1∫
tn dt = t
n+1
n+1
+ C∫
cos(C t) dt =
(
sen(C t)
C
)
+ C1∫
sen(C t) dt = −
(
cos(C t)
C
)
+ C1
Tabela 2.3: Alguns exemplos de integrais indefinidas. Em todos os casos, C
e C1 são constantes.
As integrais definidas têm as seguintes propriedades: sejam f e g duas
funções integráveis em um intervalo [t0, t1], então temos que:
1.
∫ t1
t0
(f(t) + g(t)) dt =
∫ t1
t0
f(t) dt+
∫ t1
t0
g(t) dt;
2.
∫ t1
t0
(C f(t)) dt = C
∫ t1
t0
f(t) dt.
Agora você também entendeu as origens das equações horárias do mo-
vimento uniformemente acelerado utilizadas no Ensino Médio:
1. ax = ax(t0);
2. vx(t) = vx(t0) + ax (t− t0);
3. x(t) = x(t0) + vx(t0) (t− t0) + ax(t0) (t− t0)
2
2
.
Informações sobre a próxima Aula
Na próxima discutiremos os conceitos necessários à descrição dos movimen-
tos.
Referências Bibliográficas
ALMEIDA, Maria Antonieta Teixeira.Introdução às ciências físicas I. v. 2,
4. ed. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj, 2010.
CEDERJ 82
Aula 2 - As integrais utilizadas no movimento unidimensional
MÓDULO 1 - AULA 2
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física básica I : Mecânica. 3. ed.
São Paulo: Edgard Blücher, 1981.
OLIVERO Mário; CARDIM, Nancy. Cálculo I. 1. ed. Rio de Janeiro: Fun-
dação Cecierj, 2010.
PESCO, Dirce Uesu; ARNAUT, Roberto Geraldo Tavares. Matemática bá-
sica. v. 1, 5. ed. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj, 2010.
. Geometria básica. v. 1, 2. ed. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj,
2010.
POMBO, Dinamérico Pereira; GUSMÃO, Paulo Henrique Cabido. Cálculo
I. v. 1, 3. ed. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj, 2010.
SANTOS, Angela Rocha; BIANCHINI, Waldecir. Aprendendo Cálculo com
Maple: cálculo de uma variável. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
83 CEDERJ