Caderno cálculo 1

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MAT 146 - Ca´lculo Diferencial e Integral I para Economia - 1◦ semestre de 2013
Registro das aulas e exerc´ıcios sugeridos - Atualizado 15.6.2013
1. Segunda-feira, 4 de marc¸o de 2013
Apresentac¸a˜o do curso. Veja-se o arquivo relativo a`s informac¸o˜es do curso na minha pagina web
www.ime.usp.br/∼pluigi
***
Os principais sistemas nume´ricos usados no curso: o conjunto N dos nu´meros naturais, Z dos nu´meros
inteiros relativos, Q dos nu´meros racionais e R dos nu´meros reais.
Definic¸a˜o (intuitiva) de nu´mero real: um nu´mero real e´ um alinhamento decimal, limitado ou na˜o,
perio´dico ou na˜o, com sinal. Em R sa˜o definidas duas operac¸o˜es, soma e produto e uma relac¸a˜o de ordem.
A parte seguinte, em azul, e´ facultativa; pode ser pulada
Estas operac¸o˜es verificam as propriedades seguintes:
S1) Propriedade comutativa da soma: ∀a, b ∈ R, a+ b = b+ a;
S2) Propriedade associativa da soma: ∀a, b, c ∈ R, (a+ b) + c = a+ (b+ c);
S3) Existeˆncia do elemento neutro da soma: ∀a ∈ R, a+ 0 = a e 0 e´ dito elemento neutro da soma;
S4) Existeˆncia do oposto: ∀a ∈ R existe um elemento de R, −a, dito oposto de a, tal que a+(−a) = 0
(a+ (−a) = 0 pode ser escrito simplesmente a− a = 0).
Analogamente temos propriedade do produto:
P1) Propriedade comutativa do produto: ∀a, b ∈ R, ab = ba;
P2) Propriedade associativa do produto: ∀a, b, c ∈ R, (ab)c = a(bc);
P3) Existeˆncia do elemento neutro do produto: ∀a ∈ R, a · 1 = a e 1 e´ dito elemento neutro do
produto;
P4) Existeˆncia do inverso: ∀a ∈ R, a 6= 0, existe um elemento de R, 1/a, tal que a · 1/a = 1.
A propriedade distributiva liga soma e produto:
SP) ∀a, b, c ∈ R, (a+ b)c = ac+ bc.
As duas propriedades seguintes ligam a soma e o produto ao ordenamento:
OS) ∀a, b, c ∈ R, se a ≤ b, enta˜o a+ c ≤ b+ c;
OP) ∀a, b, c ∈ R, con c > 0, se a ≤ b, enta˜o ac ≤ bc.
Exerc´ıcio 1. (feito em sala de aula) Na˜o existe nenhum nu´mero racional cujo quadrado e´ igual a 2.
Dado un nu´mero real a, definimos mo´dulo (ou valor absoluto) de a nu´mero na˜o negativo
|a| =
{
a se a ≥ 0
−a se a < 0.
Exerc´ıcio 2. Provar as desigualdades triangulares seguintes: para todos a, b ∈ R,
|a+ b| ≤ |a|+ |b|, |a− b| ≥ |a| − |b|.
1
2
Exerc´ıcio 3. (feito em sala de aula) Determine o conjunto das soluc¸o˜es da inequac¸a˜o
|x− 4| ≥ x+ 2.
Exerc´ıcio 4. Verdadeiro ou falso? (justifique)
(1) a soma de dois nu´meros irracionais e´ irracional;
(2) a soma de dois nu´meros racionais e´ racional;
(3) a soma de dois nu´meros um racional e o outro irracional e´ irracional;
Exerc´ıcio 5. Prove que na˜o existe nenhum nu´mero racional cujo quadrado e´ igual a 3.
Exerc´ıcio 6. Sejam dados quatro nu´meros reais positivos a, b, c, d. Prove que
min
{a
b
,
c
d
}
≤ a+ b
c+ d
≤ max
{a
b
,
c
d
}
.
O s´ımbolo acima min
{a
b
,
c
d
}
denota o mı´nimo entre
a
b
e
c
d
. Analogamente o outro.
Exerc´ıcio. Resolver algumas das inequac¸o˜es seguintes.
7. x2 − 2x− 1 ≤ 0 8. 3x2 − x+ 2 > 0
9.
x− 2
x+ 1
>
1
x− 1 10.
x2 + x− 1
x2 − 2x+ 1 ≤
1
2
11. x4 − 3
4
x2 >
1
4
12. x2 ≤ 1
13.
2
x
+ 3 <
4
x
− 1 14. 3
x2
+ 1 ≤ x2 − 1
15.
√
x− 1 < x− 3 16. √x2 + 2x− 1 > 3− x
17.
√
x− 1 < √x 18. |x2 − 4x− 5| > −x
19.
√−x < 5 + x 20. | − 6x+ 3| > −x+ 2
21.
(2x− 1)(x+ 1)
x
≥ 0 22. x|x| (1− x) ≤ 1 + x
23.
√
2x+ 1
x2 − 4 ≤ 0 24.
√|x− 1| ≤ 2− x
Exerc´ıcio 25. Dado um nu´mero x ∈ R, a parte inteira de x, denotada por [x], e´ definida como o
maior nu´mero inteiro menor ou igual a x. Por exemplo: [3/2] = 1, [4] = 4, [−3] = −3, [−9/10] = −1,
[pi] = 3, [
√
26] = 5, etc.
Prove que, dados x, y ∈ R quaisquer, temos [x+ y] ≥ [x] + [y].
Outros exerc´ıcios:
Guidorizzi, pagg. 10-14, nu´m. 1-23, fac¸a alguns; pagg. 29-30, nu´m. 1-12, fac¸a alguns.
2. Quarta feira 6 marc¸o 2013
Definic¸a˜o de raiz n-esima. Dados um nu´mero inteiro n ≥ 1 e um nu´mero real na˜o negativo x, a
raiz ene´sima de x, em s´ımbolos n
√
x, e´ o nu´mero na˜o negativo y tal que yn = x.
Teorema – Existeˆncia e unicidade da raiz n-esima. (Sem demonstrac¸a˜o.) Dado um nu´mero real
na˜o negativo x existe e e´ u´nica a raiz ene´sima de x.
3
Observac¸a˜o: e´ fa´cil ver que se x < 0 e n e´ par, na˜o existe a raiz n-esima de x. Por outro lado, se
n e´ impar, pode ser definida n
√
x = − n√−x. Note que o termo n√−x e´ a raiz definida acima, sendo −x
positivo.
Exerc´ıcio 26. Provar que, dado x > 0, a raiz quadrada de x e´ u´nica (sugesta˜o: usar a propriedade
que liga o ordenamento e o produto).
Dados a e b reais, definic¸a˜o de intervalo de extremos a e b:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b},
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.
O primeiro e´ dito fechado, o quarto e´ dito aberto. Intervalos ilimitados:
[a,+∞) = {x ∈ R : a ≤ x}, (a,+∞) = {x ∈ R : a < x},
(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}, (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}.
Observac¸a˜o: +∞ e −∞ na˜o sa˜o nu´meros.
Definic¸a˜o de func¸a˜o. Dados A e B conjuntos quaisquer, uma func¸a˜o f : A → B e´ una lei que a
cada elemento de A associa um e so´ um elemento de B.
A se chama domı´nio da func¸a˜o, B e´ dito contradomı´nio. O conjunto dos valores atingidos por f se
chama imagem de f , Im (f) ou f(A), ou seja:
Im (f) = {y ∈ B : existe x ∈ A tal que f(x) = y}.
Im (f) e´ um subconjunto do contradomı´nio (pode ser igual).
A func¸a˜o e´ dita injetora se, para todos a, b ∈ A, tais que a 6= b, temos f(a) 6= f(b). E´ dita sobrejetora
se Im (f) = B. Se f e´ injetora e sobrejetora e´ chamada bijetora (ou correspondeˆncia biun´ıvoca).
Definic¸a˜o. Dado um subconjunto E de R, uma func¸a˜o real e´ uma func¸a˜o f : E → R.
Exemplos.
(1) f : R→ R, f(x) = x.
(2) f : R→ R, f(x) = √x, na˜o e´ uma func¸a˜o. De fato, para cada x < 0, √x na˜o existe.
(3) Pelo contra´rio, e´ bem definida a func¸a˜o f : [0,+∞)→ R, f(x) = √x.
(4) f : R→ R, f(x) = x2. Im (f) = [0,+∞).
(5) f : [0, 1] → R, f(x) = x2. O domı´nio e a imagem desta func¸a˜o sa˜o diferentes dos aqueles do
exemplo anterior. Se duas func¸o˜es teˆm domı´nios diferentes sa˜o duas func¸o˜es, ainda se possuem a
mesma lei.
(6) f : R→ R, f(x) =
{
1/x se x 6= 0
0 se x = 0.
(7) f : [0, 4]→ R, f(x) =
{
x+ 3 se 0 ≤ x ≤ 3
x2 − 5 se 3 < x ≤ 4.
E´ dito gra´fico de f o subconjunto de R2
G(f) = {(x, y) ∈ R2 tal que x ∈ E, y = f(x)}.
Exerc´ıcios: dadas as func¸o˜es seguintes, calcule a imagem dos conjuntos indicados ao lado
4
27. x3 + 2, (−1, 1) 28. x+ 3, [0, 5]
29. 2|x|, (−1, 3) 30. x2 + |x|, (−3, 2)
31. [x− 2]2, (−2, 2] 32. (dif´ıcil) x(x− [x]), (−1,+∞)
No exerc´ıcio acima [x− 2] e´ a parte inteira de x− 2.
Exerc´ıcio 33. Uma func¸a˜o f : R→ R e´ chamada par se f(x) = f(−x), para todo x. E´ chamada impar
se f(x) = −f(−x), para todo x. Prove que x2 + 1 e´ par e que x
3 − x
x2 + 1
e´ impar.
Sejam A, B dois conjuntos, e f : A → B uma func¸a˜o dada. Dado um subconjunto C de B, e´ dito
imagem inversa de C o conjunto {x ∈ A : f(x) ∈ C}.
Dada f : E → R e dado um suconjunto B de E, a func¸a˜o g : B → R, definida por g(x) = f(x) para
todo x ∈ B e´ dita restric¸a˜o de f em B, o s´ımbolo e´ f |B .
Se f : A → B e´ injetora, definimos a func¸a˜o inversa de f como a func¸a˜o g : Im f → A que associa a
cada y ∈ Im f o u´nico x ∈ A tal que f(x) = y. Neste caso f e´ tambe´m chamada invers´ıvel e a func¸a˜o
inversa e´ denotada, em geral, por f−1.
Observac¸a˜o: cuidado em na˜o fazer confusa˜o entre a imagem inversa (de um conjunto) que sempre e´
um conjunto e a func¸a˜o inversa, quando existe, que e´ uma func¸a˜o. A notac¸a˜o na˜o ajuda, sendo f−1 o
mesmo s´ımbolo para os dois conceitos.
Sejam duas func¸o˜es f : A → R e g : B → R, tais que Im f ⊆ B. Definimos func¸a˜o composta
g ◦ f : A→ R, a func¸a˜o
(g ◦ f)(x) = g(f(x)).
Analogamente, se Im g ⊆ A, definimos f ◦ g : A→ R como (f ◦ g)(x) = f(g(x)).Uma func¸a˜o f : E → R e´ dita mono´tona crescente (resp. estritamente crescente) se, para cada x1, x2
em E, com x1 < x2, resulta f(x1) ≤ f(x2) (resp. f(x1) < f(x2)).
Uma func¸a˜o f : E → R e´ dita mono´tona decrescente (resp. estritamente decrescente) se, para cada
x1, x2 em E, com x1 < x2, resulta f(x1) ≥ f(x2) (resp. f(x1) > f(x2)).
Exerc´ıcio 34. Estudar a monotonia das func¸o˜es seguintes:
(1) f : R→ R, f(x) = x2,
(2) f : [2, 6]→ R, f(x) = x4,
(3) f : [0,+∞)→ R, f(x) = √x,
(4) f : (−∞,−2), f(x) = √−x,
(5) f [−5,−4] ∪ [1, 2], f(x) = 1/x.
Exerc´ıcio 35. Desenhar os gra´ficos das func¸o˜es acima.
Exerc´ıcio 36. Provar que a soma e de duas func¸o˜es crescentes e´ uma func¸a˜o crescente. A composic¸a˜o
de duas func¸o˜es crescentes e´ uma func¸a˜o crescente? E o produto?
Exerc´ıcios: dadas as func¸o˜es seguintes, calcule a imagem inversa dos conjuntos indicados
ao lado
37. 2− x, (−10, 3] 38. x2 − x+ 3, (0, 5)
5
39.
x
x− 2 , R 40.
√|x− 1|, [0, 1]
41. [1 + x2], (1, 4) 42. sign (x2 − 2), (1/2, 2)
Escreva as composic¸o˜es f ◦ g e g ◦ f das func¸o˜es seguintes, determinando os domı´nios das
func¸o˜es obtidas
43. f(x) = x+ x3, g(x) = 3− x 44. f(x) = x2, g(x) = √x
45. f(x) =
x+ 1
x− 1 , g(x) = 2− x
2 46. f(x) =
1
x2
, g(x) = (
√
x)2
47. f(x) =
1 + x
x
, g(x) = 2− x 48. f(x) = 2x, g(x) = 3x− 1
Escreva as func¸o˜es seguintes como composic¸a˜o de func¸o˜es. (As composic¸o˜es obtidas
podem na˜o ser as u´nicas poss´ıveis.)
49.
x2√
x2 − 1 50. x
4
Determine, para cada func¸a˜o seguinte, o maior domı´nio onde e´ invers´ıvel.
51. f(x) =
{
x+ 2 se 0 < x < 1
x+ 1 se 2 < x < 3
52. f(x) =
{
x2 se − 1 < x ≤ 0
x− 1 se 1 ≤ x < 2
Exerc´ıcio 53. Provar que uma func¸a˜o estritamente crescente ou decrescente e´ invers´ıvel. Se
f : A→ R e´ invers´ıvel, necessariamente e´ estritamente mono´tona? Procure exemplos.
Exerc´ıcio 54. A func¸a˜o f : R→ R, definida como f(x) = x2 e´ invert´ıvel?
Exerc´ıcio 55. A func¸a˜o f : R→ R, definida como f(x) = x3 e´ invert´ıvel?
Exerc´ıcio 56. A func¸a˜o f : [−3,−2] ∪ [0, 1]→ R, definida como f(x) = x2 e´ invert´ıvel?
Exerc´ıcio 57. A func¸a˜o f : R→ R, definida como f(x) = √|x| e´ invert´ıvel?
Exerc´ıcio 58. A func¸a˜o f : [0,+∞)→ R, definida como f(x) = √x3 + x4 + 2 e´ invert´ıvel?
Outros Exerc´ıcios:
Guidorizzi, pa´g. de 49 a 55, fac¸a alguns.
Stewart, pa´g. 23 e 24, fac¸a alguns dos exerc´ıcios da cada grupo, a partir do nu´m. 21 ate´ o fim. Pa´g. 47
e 48, fac¸a alguns dos exerc´ıcios entre 1 e 12; entre 35 e 53, e 59a
3. Sexta-feira 8 marc¸o 2013
Exerc´ıcio 59. (feito em sala de aula) Determine a imagem inversa f−1([1, 2]), onde f(x) =
x+ 1
x2 + 1
.
Observac¸a˜o: Fac¸am atenc¸a˜o: infelizmente o s´ımbolo “f−1” pode representar duas coisas bem difer-
entes: seja a imagem inversa de um conjunto (ou de um ponto), seja a func¸a˜o inversa de f (quando f e´
invers´ıvel ou injetora, o que e´ a mesma coisa). No exerc´ıcio acima podemos escrever
f−1([1, 2]) = {x ∈ R : f(x) ∈ [1, 2]}.
Uma outra famı´lia de func¸o˜es sa˜o as poteˆncias com expoente racional. Se n e´ inteiro, n ≥ 1, sabemos
que existe e e´ u´nica a raiz n-esima de x (veja-se o teorema da pa´gina 2). Portanto e´ definida a func¸a˜o
n
√
x. Se n e´ par, o domı´nio e´ [0,+∞), se n e´ impar, o domı´nio e´ R. A raiz n√x pode ser denotada pelo
s´ımbolo x
1
n .
6
Dado um racional positivo qualquer, m/n, onde m e n sa˜o primos ente si, e´ definida a func¸a˜o xm/n =
n
√
xm, cujo domı´nio e´ [0,+∞) se n e´ par, enquanto e´ R se n e´ impar.
Dado um racional negativo, m/n, onde m,n ∈ Z sa˜o primos ente si, e´ definida a func¸a˜o xm/n = 1
x−m/n
,
cujo domı´nio e´ (0,+∞) se n e´ par, enquanto e´ R\{0} se n e´ impar.
O leitor deve entender que a definic¸a˜o acima e´ totalmente abstrata. Se a poteˆncia com expoente inteiro
e positivo e´ simplesmente uma maneira de escrever mais rapidamente um produto de fatores iguais, a
poteˆncia com expoente inteiro e negativo, ou mais em geral, racional (positivo ou negativo) ou com
expoente nulo na˜o sa˜o produtos.
A raza˜o que jusifica a definic¸a˜o acima de ar, r ∈ Q, e´ a necessidade de definir uma func¸a˜o que verifique
as propriedades das poteˆncias e que seja uma extensa˜o do caso com expoente inteiro e positivo.
Observac¸a˜o: para na˜o correr o risco de encontrar raizes com ı´ndice par de nu´meros negativos, a
poteˆncia ar sera´ definida (exceto casos muito particulares) geralmente com a positivo.
Resumindo, a poteˆncia com expoente racional verifica as propriedades seguintes: para cada
1) a0 = 1;
2) ∀r ∈ R, 1r = 1;
3) ∀r ∈ R, ar > 0;
4) ∀r1, r2 ∈ R, ar1+r2 = ar1ar2 ;
5) ∀r ∈ R, (ab)r = arbr;
6) ∀r1, r2 ∈ R, (ar1)r2 = ar1r2 ;
7) ∀r1, r2 ∈ R, tali che r1 < r2: se a > 1 allora ar1 < ar2 , mentre se a < 1 allora ar1 > ar2 ;
8) ∀r ∈ R, r > 0, se a < b allora ar < br.
Lembramos que 0n = 0 se n e` inteiro e positivo. Por outro lado a operac¸a˜o 00 na˜o faz sentido.
Exerc´ıcio 60. O leitor pode tentar dar uma justificativa do fato que 00 na˜o pode ser definido?
Exerc´ıcio 61. E´ um interessante exerc´ıcio para o leitor provar as propriedades 7 e 8 acima.
Observac¸a˜o: A propriedade 7 quer dizer que a func¸a˜o f : Q → R, definida por f(r) = ar e´ estrita-
mente crescente se a > 1, estritamente decrescente se 0 < a < 1. A propriedade 8 quer dizer que a func¸a˜o
g : [0,+∞)→ R, definida por g(x) = xr, onde r e´ racional positivo fixado, e´ estritamente crescente.
A func¸a˜o ar onde a varia´vel e´ o expoente e a base e´ fixada se chama func¸a˜o exponencial, enquanto xr,
onde a base e´ varia´vel e o expoente e´ fixado, se chama func¸a˜o poteˆncia.
As poteˆncias com expoente racional podem ser estendidas a`s poteˆncias com expoente real, da maneira
seguinte. Seja a ∈ R, a > 0 e seja b ∈ R. Por exemplo suponhamos a > 1. O nu´mero b pode
ser representado em notac¸a˜o decimal b = b0, b1b2..., onde b0 e´ inteiro e os bi, i ≥ 1, sa˜o as cifras
decimais alinhadas (as cifras decimais podem ser finitas, ou seja, B pode ser racional, na˜o necessariamente
irracional). Sendo a > 1, a seqeˆncia de nu´meros ab0 , ab0,b1 , ab0,b1b2 , ... etc. e´ crescente.
Poderia provar-se (na˜o entramos nos detalhes, na˜o e´ ta˜o fa´cil) que a sequeˆncia acima ”tende”, quando
n crescer, para um nu´mero real. Este nu´mero real sera´ definido como ab.
A definic¸a˜o de ab no caso 0 < a < 1e´ analoga, so´ que a sequeˆncia de poteˆncias considerada decresce.
Enfim, com o memso processo, chegamos a definir que 1b = 1.
Observac¸a˜o: a func¸a˜o exponencial ax e´ estritamente crescente em R se a > 1 e estritametne decres-
cente se 0 < a < 1. Em aˆmbos os casos e´ inversivel. Mais em geral, poderia provar-se que as poteˆncias
com expoente real verificam todas as propriedades 1-8 acima (na˜o damos aqui a demonstrac¸a˜o).
7
Seja a positivo fixado e a 6= 1. A func¸a˜o inversa de ax e´ chamada logaritmo em base a de x. Sendo
(0,+∞) a imagem de ax (seja com a > 1 que com 0 < a < 1), o domı´nio do logaritmo e´ (0,+∞) enquanto
a imagem do logaritmo e´ tudo R porque o domı´nio de ax e´ R.
Exerc´ıcio 62. O leitor refleta sobre o fato acima e prove entende-lo com clareza.
O s´ımbolo da func¸a˜o logaritmo e´ loga x
Exerc´ıcio 63. Usando o fato que ax e´ estritamente crescente em R se a > 1 e estritamente decrescente
se 0 < a < 1, prove que loga x e´ estritamente crescente em (0,+∞) se a > 1 e estritamente decrescente
se 0 < a < 1.
O logaritmo satisfaz as propriedades seguintes que podem ser obtidas diretamente das propriedades
das poteˆncias.
1) ∀a, x, y ∈ R, a > 0, x > 0, y > 0, segue loga(xy) = loga x+ loga y;
2) ∀a, x, y ∈ R, a > 0, x > 0, y > 0, segue loga(x/y) = loga x− loga y;
3) ∀a, x, α ∈ R, a > 0, x > 0, segue loga(xα) = α loga x;
4) ∀a, b, x ∈ R, a > 0, b > 0 x > 0, segue loga x = loga b · logb x.
Exerc´ıcio 64. Prove as propriedades do logaritmo.
gra´ficosde f(x) = ax e f(x) = loga x, con a > 1 e a < 1.
-
6
y = ax, a > 1 y = ax, a < 1
-
6 y = loga x, a > 1
y = loga x, a < 1
Observac¸a˜o: observando o tipo de “curvatura” dos gra´ficos acima, dizemos que, ax e´ uma func¸a˜o
convexa; o logaritmo e´ convexo se 0 < a < 1, enquanto e´ coˆncavo se a > 1. As informac¸o˜es que temos
agora na˜o permitem esclarecer a raza˜o destas afirmac¸o˜es. Precisa o conceito de derivada de uma func¸a˜o,
que sera´ introduzido depois.
As func¸o˜es trigonome´tricas. Seja a circunfereˆncia C do plano cartesiano, com centro na origem e raio
1, dita circunfereˆncia trigonoome´trica. Observando a figura, A e´ o ponto de coordenadas (1, 0) enquanto
P e´ um ponto qualquer em C. Movendo-se P sobre a circunfereˆncia, o arco de extremos A e P no sentido
anti-hora´rio, tem um comprimento entre 0 e 2pi.
8
-
6
��
��
��
��
��
�
AO
P
Chamo x este comprimento, portanto x ∈ [0, 2pi]. Definimos o seno de x, senx, como a ordenada de
P , e o cosseno de x, cosx, como a abscissa di P .
O domı´nio pode ser estendido de [0, 2pi] a R.
Outros Exerc´ıcios:
Guidorizzi, pa´g. 66/7, fac¸a alguns.
Stewart, pa´g. 23 e 24, fac¸a alguns dos exerc´ıcios da cada grupo, a partir do nu´m. 21 ate´ o fim. Pa´g. 47
e 48, fac¸a alguns dos exerc´ıcios entre 1 e 12; entre 35 e 53, e 59a
4. Segunda-feira, 11 de marc¸o de 2013
Em relac¸a˜o a` construc¸a˜o das poteˆncias com expoente real podemos dizer que a expressa˜o 00 na˜o tem
significado. Isso porque queremos que a poteˆncia ab mude ”com continuidade” se mudam a ou b.
Se olhamos 01/n, na˜o temos problemas em dizer que 01/n = 0 (simplesmente pela definic¸a˜o de raiz).
Quando n tende para +∞, 1/n tende para zero. Portanto um valor coerente de 00 seria zero. Por outro
lado a0 = 1 para qualquer a > 0. Neste caso, como a0 fica constante igual a 1 mesmo quando a tende
para zero, um valor coerente de 00 seria 1. Como estamos vendo, na˜o temos possibilidade de definir 00
que esteja de acordo com as outras propriedades.
Seja agora E um subconjunto de R. Um nu´mero real M e´ dito majorante de E se x ≤ M para todo
x ∈ E. Um nu´mero real m e´ dito menorante de E se x ≥ m para todo x ∈ E.
Um conjunto E e´ dito limitado superiormente se admite pelo menos um majorante, enquanto e´ dito
limitado inferiormente se admite pelo menos um menorante. E´ dito limitado se e´ limitado superiormente
e inferiormente.
Se E e´ limitado superiormente definimos supremo de E, supE, o mı´nimo dos majorantes; se E e´
limitado inferiormente definimos ı´nfimo de E, inf E, o ma´ximo dos minorantes. Se E e´ ilimitado superi-
ormente escrevemos supE = +∞, se E e´ ilimitado inferiormente escrevemos inf E = −∞.
O ma´ximo de um conjunto E e´ o elemento maior, se existe, enquanto o mı´nimo e´ o elemento menor,
se existe.
Um conjunto e´ dito finito se possui um nu´mero finito de elementos.
Propriedade de continuidade de R (sem prova): um conjunto de nu´meros reais, limitado supe-
riormente (inferiormente) admite supremo (´ınfimo) em R.
9
Q na˜o verifica a propriedade de continuidade. Verifique este fato como exerc´ıcio. E´ uma consequ¨eˆncia
do fato que, por exemplo, na˜o existe nenhum racional cujo quadrado seja 2.
Exerc´ıcio Determine o supremo e o ı´nfimo dos conjuntos seguintes e, se existem, o ma´ximo e o mı´nimo.
65. (2, 3) 66. [0,+∞)
67. [−5, 1) ∪ (1, 4] 68. (0, 3] ∪ [3, 5]
69.
{
1− 1
n
, n ≥ 1
}
70.
{
1 +
1
n
, n ≥ 1
}
71. {x ∈ Q : x2 < 2} 72.
{
2n
n2 + 1
, n ∈ N
}
Uma func¸a˜o e´ dita limitada (superiormente, inferiormente) se a imagem dela e´ limitada (superior-
mente, inferiormente). Neste caso o supremo (´ınfimo) de f , sup f (inf f) e´, por definic¸a˜o, o supremo
(´ınfimo) de Im f .
***********
As func¸o˜es senx e cosx sa˜o definidas em R com imagem igual ao intervalo [−1, 1]; sa˜o periodicas com
per´ıodo 2pi.
Consequ¨eˆncia imediata do teorema de Pitagora: sen 2x+ cos2 x = 1 para todo x ∈ R.
As fo´rmulas alge´bricas das func¸o˜es trigonome´tricas podem ser provadas usando a ferramenta cla´ssica
da geometria euclidiana. Vamos lembrar algumas delas, sem prova.
Dados x, y ∈ R,
adic¸a˜o:
sen (x+ y) = senx cos y + sen y cosx, cos(x+ y) = cosx cos y − senx sen y;
prostafe´rese
senx− sen y = 2 cos x+ y
2
sen
x− y
2
, cosx− cos y = −2 sen x+ y
2
sen
x− y
2
.
Exerc´ıcio 73. Determine sen 2x e cos 2x em func¸a˜o de senx e cosx (fo´rmulas de duplicac¸a˜o).
Determine sen
x
2
e cos
x
2
em func¸a˜o de senx e cosx (fo´rmulas de divisa˜o).
Uma outra func¸a˜o trigonome´trica e´ a tangente:
tgx =
senx
cosx
,
definida quando o coseno na˜o e´ nulo; portanto o domı´nio e´ o conjunto{
x ∈ R : x 6= pi
2
+ kpi, k ∈ Z
}
.
Exerc´ıcio 74. Provar que a tangente e´ perio´dica com per´ıodo pi. Dica: use as fo´rmulas de duplicac¸a˜o.
A func¸o˜es trigonome´tricas na˜o sa˜o invert´ıveis (porque sa˜o prio´dicas). Pore´m, observamos que senx
e´ estritamente crescente em [−pi/2, pi/2]. Enta˜o, a restric¸a˜o de senx a [−pi/2, pi/2] e´ invert´ıvel. A sua
func¸a˜o inversa se chama arcoseno, arcsen : [−1, 1]→ R com imagem igual a [−pi/2, pi/2].
Analogamente, cosx e` invert´ıvel em [0, pi]. A sua func¸a˜o inversa se chama arcocosseno, arccos :
[−1, 1]→ R, com imagem [0, pi].
10
A tangente e` invert´ıvel em (−pi/2, pi/2). A sua func¸a˜o inversa se chama arcotangente, arctg : R→ R,
e tem imagem (−pi/2, pi/2).
gra´ficos de f(x) = senx e f(x) = cosx.
-
6
y = senx
-
6
y = cosx
gra´fico de f(x) = tgx.
-
6
y = tgx
gra´ficos de f(x) = arcsenx, f(x) = arccosx e f(x) = arctgx.
-
6
-
6
-
6
Exerc´ıcio 75. Desenhe o gra´fico de f(x) = [2x+ 1] (parte inteira).
Exerc´ıcio (dif´ıcil) 76. Desenhe o gra´fico de f(x) = 1 + 2
[
x
1 + x2
]
(parte inteira).
Exerc´ıcios. Diga se as func¸o˜es seguintes sa˜o perio´dicas. Se sim, encontre o per´ıodo.
77. x cosx, 78. 6 sen 2x,
79. 1 + tgx, 80. sen (x2),
81. 4, 82. [x],
83. cos 4x, 84. sen (3x).
Exerc´ıcios. Diga se as func¸o˜es seguintes sa˜o pares ou impares.
11
85. x2 + 1, 86.
senx
x
,
87.
x3 − x
x2 + 1
, 88. [x],
89. senx2, 90. cos 3x.
Exerc´ıcio 91. Determine alguns exemplos de func¸o˜es injetoras e na˜o mono´tonas.
Exerc´ıcio 92. Em relac¸a˜o aos gra´ficos acima, dados os gra´ficos das func¸o˜es exponenciais e trigono-
me´tricas, justifique os desenhos dos gra´ficos das func¸o˜es inversas.
Exerc´ıcios. Escreva as func¸o˜es seguintes como soma de uma func¸a˜o par e de uma impar.
93. x2 − x+ 3 94. x− 1
x2 + 1
95. sen 2x+ cos
x
2
− x 96. f(x)
No u´ltimo exerc´ıcio (que e´ dif´ıcil) f(x) e´ uma func¸a˜o qualquer. Pede-se que f seja escrita como g + h
onde g e´ par e h e´ impar e as duas func¸o˜es sa˜o obtidas atrave´s de operac¸o˜es alge´bricas oportunas sobre
f .
Exerc´ıcios
97. Desenhe os gra´ficos das func¸o˜es f(x) = max{x, x2} e g(x) = max{|x|, x2}
98. Desenhe o gra´fico de |2x+ 3| − 2x
99. Dada f(x) = x2 + 2x, determine a imegaem inversa de (0, 3)
100. Determine o per´ıodo de cos 3x
Exerc´ıcios Desenhe os gra´fico das func¸o˜es seguintes.
101. sen (2x), 102. cos(x/2), 103. | senx|, 104. 2 cosx, 105. 1
x
senx,
106. sen
1
x
, 107. x2 sen
1
x
, 108. x+ senx, 109. x senx.
Exerc´ıcios Determine a inversa (se existir) das func¸o˜es seguintes.
110. 3x, 111. 1 − 2x, 112. x2 − 1, 113. x− 1
x+ 2
, 114. arctgx, 115. 1/x,
116. x− |x|, 117. 2x− |x|, 118. 1 + log10(1 + x), 119.
2x
1 + 2x
.
Exerc´ıcio 120. Desenhe o gra´fico de f(x) = arcsen ( senx) (precisa pensar com calma sobre o fato
que seno e arcoseno sa˜o uma a inversa da outra – claramente quando seno e´ restrito ao domı´nio onde e´
invers´ıvel)
121.
√
x− 2,
Exerc´ıcios Determine o domı´nio das func¸o˜es seguintes:
122.
√
x−2, 123. √x3|x| − 1, 124. 5√x− 2
x− 1 , 125. arcsen (1+x), 126. x
sen
√
1−x,
127. log(1 + 3x), 128. log arctg (1− x2), 129. arccos x
x+ 1
.
12
Outros Exerc´ıcios:
Stewart, pa´g. 78, do nu´m. 11 ao nu´m. 20, e 23, 24, 25, 26; pa´g. 76, fac¸a alguns (sa˜o todos importantes).
5. Quarta-feira 13 de marc¸o de 2013
Como foi dito para mim, o exerc´ıcio 6 esta´ errado. A versa˜o correta e´ a seguinte:
Sejam dados quatro nu´meros reais positivos a, b, c, d. Prove que
min
{a
b
,
c
d
}
≤ a+ c
b+ d
≤ max
{a
b
,
c
d
}
.
O s´ımbolo acima min
{a
b
,
c
d
}
denota o mı´nimo entre
a
b
e
c
d
. Analogamente o outro.
Observac¸a˜o: a expressa˜o log x (ou seja, sem denotar a base) significara´ logaritmo em base e. Nos
livro e´ muitas vezes denotado por lnx. Eu do contra´rio usarei a notac¸a˜o log x.
Introduc¸a˜o ao conceito de limite de uma func¸a˜o.
Primeiro tipo de limite.
Definic¸a˜o 1. Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I (as duas condic¸o˜es na˜o sa˜o
necessariamente alternativas). Seja f : I → R uma func¸a˜o dada. O nu´mero real l e´ dito limite de f(x)
para x que tende para x, em s´ımbolos escreve-se
lim
x→x
f(x) = l,
se, para cada ε > 0, esiste δ > 0 tal que |f(x)− l| < ε para cada x ∈ I, tal que 0 < |x− x| < δ.
Exerc´ıcios: prove, usando a definic¸a˜o de limite, que os limites seguintes sa˜o corretos.
130. lim
x→3
x = 3 131. lim
x→0
x2 = 0
132. lim
x→0
|x| = 0 133. lim
x→0
x2/|x| = 0
Observac¸a˜o: os exerc´ıcios acima sa˜o dif´ıceis; na˜o se preocupe se na˜o conseguir
Exerc´ıcios: tente justificar o fato que os limites seguinte na˜o existem.
134. lim
x→0
1
x
na˜o existe 135. lim
x→2
[x] na˜o existe
Segundo tipo de limite.
Definic¸a˜o 2. Seja f : (a,+∞)→ R uma func¸a˜o dada. O nu´mero real l e´ dito limite de f(x) para x que
tende para +∞, em s´ımbolos escreve-se
lim
x→+∞ f(x) = l,
se, para cada ε > 0, esiste r ∈ R tal que |f(x)− l| < ε para cada x ∈ (a,+∞), tal que x > r.
13
Exerc´ıcio 136. Escreva a definic¸a˜o acima no caso ana´logo onde x tende para −∞
Exerc´ıcio 137. Prove, usando a definic¸a˜o de limite, que limx→+∞
1
x
= 0.
Terceiro tipo de limite.
Definic¸a˜o 3. Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Seja f : I → R uma func¸a˜o dada.
Dizemos que +∞ e´ o limite de f(x) para x que tende para x, em s´ımbolos escreve-se
lim
x→x
f(x) = +∞,
se, para cada m ∈ R, esiste δ > 0 tal que f(x) > m para cada x ∈ I, tal que 0 < |x− x| < δ.
Exerc´ıcio 138. Escreva a definic¸a˜o acima no caso ana´logo onde o limite e´ −∞.
Exerc´ıcios: prove, usando a definic¸a˜o de limite, que os limites seguintes sa˜o corretos.
139. lim
x→0
1
x2
= +∞ 140. lim
x→+∞
1
x2
= 0
Quarto tipo de limite.
Definic¸a˜o 4. Seja f : (a,+∞) → R uma func¸a˜o dada. Dizemos que +∞ e´ o limite de f(x) para x que
tende para +∞, em s´ımbolos escreve-se
lim
x→+∞ f(x) = +∞,
se, para cada m ∈ R, esiste r ∈ R tal que f(x) > m para cada x ∈ (a,+∞), tal que x > r.
Exerc´ıcio 141. Escreva a definic¸a˜o acima nos casos ana´logos onde x tende para −∞ e o limite e´
−∞ (quantos sa˜o os casos?)
Exerc´ıcios: prove, usando a definic¸a˜o de limite, que os limites seguintes sa˜o corretos.
142. lim
x→0
1
x4
= +∞ 143. lim
x→+∞ x = +∞
144. lim
x→−∞ x
2 = +∞ 145. lim
x→+∞
x
x+ 1
= 1
Observac¸a˜o: e´ importante destacar que a definic¸a˜o de limite na˜o cuida do valor da func¸a˜o no ponto
x. A func¸a˜o pode na˜o ser definida (como no caso 1/x e no estudo para x→ 0) ou pode ser definida e ter
valor diferente do limite, que, de fato, estuda o comportamento da func¸a˜o quando x tende para x. Por
exemplo, dada
f(x) =
{
x+ 2 se x 6= 4
1 se x = 4
(que, repito, e´ uma func¸a˜o, na˜o sa˜o duas func¸o˜es), podemos provar que lim
x→4
f(x) = 6 (e na˜o 1).
Vamos agora apresentar uma lista de limites. Sa˜o resultados que podem ser provados so´ atrave´s da
definic¸a˜o. Na˜o vamos entrar em detalhes. O leitor usara´ os limites desta lista como ferramenta (junta
com outras ferramentas que iremos ver) para abordar limites mais complexos.
14
lim
x→x
x = x;
lim
x→x
ax = ax, para cada a > 0, a 6= 1;
lim
x→x
loga x = loga x, para cada a > 0, a 6= 1 x > 0;
lim
x→x
senx = senx;
lim
x→x
cosx = cosx;
lim
x→+∞a
x = +∞, se a > 1; lim
x→+∞a
x = 0, se 0 < a < 1;
lim
x→−∞a
x = 0, se a > 1; lim
x→−∞a
x = +∞, se 0 < a < 1;
lim
x→+∞ loga x = +∞, se a > 1; limx→+∞ loga x = −∞, se 0 < a < 1;
lim
x→0
loga x = −∞, se a > 1; lim
x→0
loga x = +∞, se 0 < a < 1;
lim
x→±∞ senx na˜o existe; limx→±∞ cosx = na˜o existe.
Teorema (A´lgebra dos limites - formas finitas) (sem demonstrac¸a˜o)
Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g : I → R duas func¸o˜es dadas; ou
sejam f, g : (a,+∞)→ R ou f, g : (−∞, b)→ R. Sejam dados os limites
lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = l ∈ R, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R.
Enta˜o,
(1) limx→x
(ou x→±∞)
(f(x) + g(x)) = l +m (soma);
(2) limx→x
(ou x→±∞)
(f(x)− g(x)) = l −m (diferenc¸a);
(3) limx→x
(ou x→±∞)
(f(x) · g(x)) = l ·m (produto);
(4) limx→x
(ou x→±∞)
(f(x)/g(x)) = l/m, se m 6= 0 (raza˜o).
Os limites lim
x→x
x = x e, dada uma constante real a, lim
x→x
a = a podem ser provados so´ usando a definic¸a˜o.
A partir dos dois resultados, todos os limites de polinoˆmios e func¸o˜es racionais (razo˜es de polinoˆmios),
se sa˜o das formas finitas acima, podem ser obtidos usando a a´lgebra dos limites.
6. Sexta-feira 15 de marc¸o de 2013
Um outra lista de limites que vamos dar sem prova e´ a seguinte:
seja α ∈ R fixado e a func¸a˜o xα definida in (0,+∞). Enta˜o:
lim
x→x
xα = xα;
lim
x→+∞x
α = +∞, se α > 0; lim
x→+∞x
α = 0, se α < 0;
Observac¸a˜o: o leitor pode observar facilmente que, no caso que α ∈ Z, os limites acima podem ser
deduzidos sabendo que lim
x→x
x = x e usando a a´lgebra dos limites no caso do produto. Se o expoente na˜o
for inteiro precisa usar a definic¸a˜o para provar os limites acima.
15
Exerc´ıcio 146. Nos casos particulares em que o expoente seja de formas oportunas, o domı´nio da
func¸a˜o xα pode na˜o ser limitado ao intervalo (0,+∞). Analize os va´rios casos e determine as va´rias
extenso˜es poss´ıveis do domı´nio.
A´lgebra dos limites - formas infinitas: resolv´ıveis e indeterminadas (sem demonstrac¸a˜o)
Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g : I\{x} → R duas func¸o˜es dadas; ou
sejam f, g : (a,+∞)→ R ou f, g : (−∞, b)→ R. Temos os casos seguintes:
1) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, enta˜o lim
x→x
(ou x→±∞)
(f(x) + g(x)) = +∞;
2) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, enta˜o lim
x→x
(ou x→±∞)
(f(x) + g(x)) = −∞;
3) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = +∞, enta˜o lim
x→x
(ou x→±∞)
(f(x) + g(x)) = +∞;
4) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = −∞, enta˜o lim
x→x
(ou x→±∞)
(f(x) + g(x)) = −∞;
Produto: limx→x
(ou x→±∞)
(f(x) · g(x)) = +∞ nos casos seguintes:
5a) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m > 0;
5b) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m < 0;
5c) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = +∞;
5d) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = −∞;
limx→x
(ou x→±∞)
(f(x) · g(x)) = −∞ nos casos seguintes:
6a) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m > 0;
6b) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m > 0;
6c) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x)= −∞;
Quociente: limx→x
(ou x→±∞)
(f(x)/g(x)) = +∞ nos casos seguintes:
7a) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m > 0;
16
7b) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m < 0;
7c) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞ ou l > 0, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = 0, com sinal positivo em um intervalo (x−δ, x+δ);
7d) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞ ou l < 0, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = 0, com sinal negativo em um intervalo (x−δ, x+δ);
limx→x
(ou x→±∞)
(f(x)/g(x)) = −∞ nos casos seguintes:
7a) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m > 0;
7b) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m < 0;
7c) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞ ou l < 0, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = 0, com sinal positivo em um intervalo (x−δ, x+δ);
7d) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞ ou l > 0, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = 0, com sinal negativo em um intervalo (x−δ, x+δ);
Os casos acima representam as formas resolv´ıveis porque conseguimos estabelecer uma regra geral.
Os casos abaixo sa˜o as assim chamadas formas indeterminadas. Na˜o temos de fato a possibilidade de
escrever uma a´lgebra dos limites para as formas seguintes. A existeˆncia e o valor dos limites nos casos
seguintes depende do exerc´ıcio:
+∞−∞, 0 · (±∞), ±∞/±∞, 0/0.
Exerc´ıcios: calcule os limites seguintes (se existem)
147. lim
x→0
x
x+ 1
148. lim
x→1
x2 + 1
x− 1
149. lim
x→0
x3 + x+ 3
4x2 − 2x+ 1 150. limx→+∞
2x+ x2
2x2 + x− 1
151. lim
x→+∞
x3 + 3x− 2
x2 − 2x+ 1 152. limx→0
x2 + x− 4
2x2
153. lim
x→2
x2 + x− 5
x2 − 4x+ 4 154. limx→a
ex√
x2 + 2
155. lim
x→+∞
√
x2 + 1− x 156. lim
x→+∞
√
x2 + 1− 2x
157. lim
x→−∞
√
x2 + 1− x 158. lim
x→+∞
x3 − 1
x2 − 1
Exerc´ıcio 159. Prove a fo´rmula seguinte: (xn − 1) = (xn−1 + xn−2 + ... + x + 1)(x − 1), onde n e´
inteiro positivo fixado. Procure uma fo´rmula ana´loga para a fatorac¸a˜o de xn + 1
Outros exerc´ıcios:
Guidorizzi, pa´g. 93, nu´m. 1,4,5;
17
7. Segunda-feira 18 de marc¸o de 2013
Aula de Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo
Excerc´ıcios abordados e resolvidos em sala de aula.
1. Estude a inequac¸a˜o
√
x− 1 < x− 3.
2. Prove que a soma de dois nu´meros racionais e´ racional. Prove que a soma de um nu´mero racional
e um nu´mero irracional e´ irracional.
3. Prove que [x] + [y] ≤ [x+ y] para todo x, y ∈ R ([x] denota a parte inteira de x).
4. Determine a imagem do intervalo (−1, 1) atrave´s da func¸a˜o x3 + 2. Para abordar o exerc´ıcio uma
te´cnica poss´ıvel e´ a seguinte: use a propriedade do ordenamento dos nu´meros reais segundo a qual ac ≤ bc
se a ≤ b e c > 0. Use para provar que x3 (e consequentemente x3 + 2) e´ uma func¸a˜o crescente.
5. Determine a imagem do intervalo (−2, 1] atrave´s da func¸a˜o [x − 2]2 (de novo [·] denota a parte
inteira).
6. Determine a imagem inversa de (0, 5) atrave´s da func¸a˜o x2 − x+ 3.
7. Escreva f(x) =
x− 1
x2 + 1
como soma de uma func¸a˜o par e de uma impar.
8. Desenhe o gra´fico da func¸a˜o f(x) = max{x, x2} e da func¸a˜o g(x) = max{|x|, x2}.
9. Calcule o domı´nio de arccos
x
x+ 1
.
8. Quarta-feira 20 de marc¸o de 2013
Teorema do confronto. (com prova do primeiro resultado feita na sala de aula e que pode
ser cobrada nos exerc´ıcios das provas)
Primeiro resultado.
Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g, h : I → R func¸o˜es dadas. Suponhamos
que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para cada x. Sejam dados os limites
lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = l, e lim
x→x
(ou x→±∞)
h(x) = l, onde l ∈ R.
Enta˜o,
lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = l.
Exerc´ıcio 160. Em sala de aula foi provado o caso x→ x. Prove o caso x→ +∞ ou x→ −∞
Segundo resultado.
Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g : I → R func¸o˜es dadas. Suponhamos
que f(x) ≤ g(x) para cada x. Seja dado o limite
lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = l ∈ R,
18
e suponhamos que exista o limite
lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x).
Enta˜o, este limite e´ ≥ l.
Terceiro resultado.
Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g : I → R func¸o˜es dadas. Suponhamos
que f(x) ≤ g(x) para cada x. Seja dado o limite
lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞.
Enta˜o,
lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = +∞.
Exerc´ıcio 161. Prove este terceiro resultado. Em seguida, deˆ o enunciado no outro caso poss´ıvel
(qual pode ser?).
Exerc´ıcio 162. Prove, usando a definic¸a˜o, que limx→0 |x| = 0.
Exerc´ıcio 163. Prove, usando a definic¸a˜o, que limx→+∞ n
√
x = +∞, para cada n ≥ 1, n ∈ N.
Exerc´ıcio 164. (d´ıficil) Prove, usando a definic¸a˜o, que limx→+∞ senx na˜o existe (dica: senx tem
infinitas vezes os valores 1 e −1. Ou seja, imagens con distaˆncia 2. Se o limite existisse, chamamos l ∈ R
e se pega´ssemos ε < 1, senx deveria ficar, definitivamente, dentro de uma faixa de largura < 2... acerte
os detalhes).
Exerc´ıcio 165. Usando o comportamento de senx, tente entender (e desenhar o gra´fico) o compor-
tamente de sen (1/x) quando, em particular, x e´ pro´ximo de zero.
Aplicac¸a˜o do teorema do confronto. (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada
nos exerc´ıcios das provas): se f(x) e´ limitada e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = 0, enta˜o, limx→x
(ou x→±∞)
(f(x)g(x)) = 0.
Exerc´ıcios: calcule os limites seguintes (se existem)
166. lim
x→0
(x− 1)√x2 + 1 167. lim
x→+∞ ( senx+ x)
168. lim
x→1
x2 + 1
x− 1 169. limx→−∞ ([x] + x)
170. lim
x→0
x2 + 1
x− 1 171. limx→2 x(x+ 2)(x− 3)
172. lim
x→1
x3 − 1
x2 − 1 173. limx→0
3
√
1 + x− 3√1− x
x
174. lim
x→0
√
2 + x−√2
x
175. lim
x→0
1
x
(
3x− 2
2x+ 3
− 3x+ 2
2x− 3
)
176. lim
x→0
1− cosx
x senx
177. lim
x→pi
1 + cosx
pi − x
178. lim
x→0
1
1− cosx 179. limx→0 2/|x|
19
180. lim
x→+∞
x2 + 3
4x2 + x
181. lim
x→+∞
3− x3 − x
1− 2x2
182. lim
x→+∞
(
x2
x+ 1
− x
)
183. lim
x→+∞
x2 + senx
2x+ x2 + 3
184. lim
x→+∞
√
1 + x2 +
√
x√
x− x 185. limx→−∞ x(
√
1 + x4 − x2)
Teorema (limite de func¸o˜es compostas – sem prova). Seja f(x) dada e suponhamos que exista o limite
lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = l onde l ∈ R ou l = ±∞.
Seja g(x) uma outra func¸a˜o dada e suponhamos que exista o limite
lim
x→l
g(x) = m onde m ∈ R ou m = ±∞.
Suponhamos que a composic¸a˜o g(f(x)) seja bem definida e que, se l ∈ R, f(x) 6= l para x 6= x e x pro´ximo
de x. Enta˜o,
lim
x→x
(ou x→±∞)
g(f(x)) = m.
Observac¸a˜o: parece estranha a hipo´tese f(x) 6= l para x 6= x e x pro´ximo de x. Todavia, se na˜o for
verificada a condic¸a˜o, o limite da composic¸a˜o pode na˜o ser m, como no caso seguinte:
f(x) = 0,∀x ∈ R, g(x) =
{
0 se x 6= 0
1 se x = 0.
E´ fa´cil ver que limx→0 g(f(x)) = 1, enquanto limx→0 g(x) = 0.
Uma condic¸a˜o que pode substituir a condic¸a˜o acima e´ g(l) = m, se m e l for reais. Esta condic¸a˜o sera´
encontrada no caso das func¸o˜es cont´ınuas.
Exemplos de limites que podem ser provados usando o teorema acima:
limx→+∞
√
x2 + 1, limx→0
senx2
x2
, limx→0
sen 2x
3x
, limx→0
1− cos√x
x
.
Exerc´ıcio 186. Calcule os limites acima, mostrando, nos detalhes, como e´ usado o teorema.
Definic¸a˜o (limites direito e esquerdo)
Sejam I = (a, b) um intervalo aberto, x ∈ I e f : I → R uma func¸a˜o dada. Denotamos por
g : (x, b)→ R, g(x) = f(x)
a restric¸a˜o de f a (x, b). Dizemos que l ∈ R ou l = ±∞ e´ o limite direito de f(x) para x que tende para
x, em s´ımbolos e´
lim
x→x+
f(x) = l,
se
lim
x→x
g(x) = l.
Analogamente, denotamos por
h : (a, x)→ R, h(x) = f(x)
20
a restric¸a˜o de f a (a, x). Dizemos que l ∈ R ou l = ±∞ e´ o limite esquerdo de f(x) para x que tende
para x, ems´ımbolos e´
lim
x→x−
f(x) = l,
se
lim
x→x
h(x) = l.
Teorema (sem prova) Sejam I = (a, b) um intervalo aberto, x ∈ I e f : I → R uma func¸a˜o dada.
Enta˜o,
lim
x→x
f(x) = l se e somente se lim
x→x+
f(x) = l = lim
x→x−
f(x).
Outros exerc´ıcios:
Guidorizzi, pa´g. 94, nu´m. 4, 5, 8; pa´g. 104, nu´m. 1,2,3; pa´g. 108, fac¸a alguns; pa´g. 112/3, fac¸a alguns;
pa´g. 117, fac¸a alguns; pa´g. 125/6, fac¸a alguns.
Stewart, pa´g. 112/3, nu´m. de 39 a 44, de 45 a 51.
9. Sexta-feira 22 de marc¸o de 2013
Exerc´ıcio 187. Diga se existe o limite seguinte:
lim
x→pi
1 + cosx
pi − x .
Exerc´ıcio: calcule, se existem, os limites seguintes:
188. lim
x→+∞ ( senx+ x) 189. limx→−∞
[x]− x
2
190. lim
x→+∞
senx√
x+ cosx
191. lim
x→−∞ (
√
x2 − 2x+ x)
192. Diga qual e´, entre as seguintes, a definic¸a˜o correta do limite lim
x→4
f(x) = 7.
a) Para cada λ e µ positivos, se |x−4| < µ
e x 6= 4 enta˜o, |f(x)− 7| < λ.
b) Para cada λ > 0 e para cada µ > 0,
se |x− 4| < µ enta˜o, |f(x)− 7| < λ.
c) Para cada µ > 0 existe λ > 0 e existe
x tal que |x− 4| < λ e |f(x)− 7| < µ.
d) Para cada µ > 0 existe λ > 0 tal que
se |x−4| < λ e x 6= λ enta˜o, |f(x)−7| <
µ.
e) Para cada µ > 0 existe λ > 0 tal que se
|x− 4| < λ e x 6= 4 enta˜o |f(x)− 7| < µ.
f) Nenhuma das respostas acima e´ cor-
reta.
193. Suponhamos que
lim
x→+∞ f(x) = −∞.
Diga qual, entre as afirmac¸o˜es seguintes, e´ correta .
21
a) Se x > 0 enta˜o f(x) < 0. b) Existe ε > 0 tal que f(x) < 0 para
cada x > ε.
c) Para cada ε > 0 existe η > 0 tal que
para x > η temos f(x) > ε > 0.
d) Nenhuma das respostas acima e´ cor-
reta.
194. Consideramos a proposic¸a˜o seguinte: dadas f e g definidas em um intervalo I,
seja x0 ∈ I fixado. Suponhamos que f(x) ≥ g(x) para cada x e que lim
x→x0
f(x) = 0.
Enta˜o, lim
x→x0
g(x) = 0. A proposic¸a˜o e´:
a) Verdadeira se colocamos a hipo´tese su-
plementar g(x) ≤ 0, ∀x ∈ I.
b) Verdadeira se colocamos a hipo´tese
suplementar g(x) ≥ 0, ∀x ∈ I.
c) Verdadeira sem necessidade de outras
hipo´teses suplementares.
d) Verdadeira se colocamos a hipo´tese
suplementar f(x0) = g(x0) = 0.
e) Falsa, tambe´m colocando as hipo´teses
suplementares acima.
195. Dada f : R→ R, suponhamos que lim
x→+∞f(x) = −∞. Enta˜o:
a) f e´ decrescente. b) lim
x→+∞f(x
2) = +∞.
c) ∀m ≥ 0, temos f(x) ≤ 0 se x ≥ m. d) ∀m ≥ 0 e ∀k ≥ 0 f(x) ≤ k se x ≥ m.
e) lim
x→−∞f(x) = +∞ f) Nenhuma das respostas acima e´ cor-
reta.
196. Dada f : N → N, f(x) = x + 1 diga quais (podem ser mais que uma) das
afirmac¸o˜es sa˜o corretas.
a) f e´ injetora. b) f e´ sobrejetora.
c) f e´ limitada inferiormente. d) A notac¸a˜o f(x) = x+ 1 non faz sen-
tido porque o domı´nio e´ N e a varia´vel a
ser usada deve ser denotada por n.
Exerc´ıcio 197. Procure uma f : R→ R que na˜o seja crescente, mas que verifique
lim
x→+∞ f(x) = +∞. Esta func¸a˜o deve ser definitivamente crescente? Isto e´, existe r
tal que f e´ crescente em (r,+∞)?
Definic¸a˜o de func¸a˜o cont´ınua. Sejam I intervalo de R, f : I → R uma func¸a˜o dada e x ∈ I dado.
f e´ dita cont´ınua em x se
x→x
f(x) = f(x). f e´ dita cont´ınua em I (ou, simplesmente, cont´ınua) se e´
cont´ınua em todos os pontos de I.
O conceito de continuidade de uma func¸a˜o e´ pontual. Ou seja, dizemos que uma func¸a˜o e´ cont´ınua
em um ponto. Outros conceitos, ja´ encontrados, sa˜o so´ globais: invertibilidade, limitac¸a˜o de uma func¸a˜o,
monotonia. Na˜o faz sentido, por exemplo, dizer que uma func¸a˜o e´ limitada (ou invers´ıvel, ou crescente)
em um ponto.
22
Exemplos: diretamente da definic¸a˜o e de alguns limites das func¸o˜es elementares, ja´ vistos nas
aulas anteriores (e dados sem prova) segue que sa˜o cont´ınuas: os polinoˆmios P (x), as func¸o˜es racionais
P (x)/Q(x) nos pontos x tais que Q(x) 6= 0, as raizes, as func¸o˜es trigonome´tricas, as func¸o˜es exponenciais
e logar´ıtmicas.
Definic¸a˜o: se f : I → R e´ descont´ınua em x ∈ I, dizemos que x e´ um ponto de descontinuidade.
Portanto na˜o faz sentido dizer que x e´ um ponto de descontinuidade para f se x na˜o pertence ao
domı´nio da func¸a˜o.
Exerc´ıcio 198. Determine em quais pontos sa˜o cont´ınuas as func¸o˜es seguintes (determine, inclusive,
os pontos de descontinuidade):
f(x) = 1/x, f(x) =
{
1/x se x 6= 0
0 se x = 0.
g(x) =
{
−x2 + 1 se x ≥ 2
1− 2x se x < 3. f(x) =
senx
x
g(x) =
{
cosx se x > pi
−1 se x < pi. f(x) =
{
x+ 3 se x > 1
2− x2 se x < 1. g(x) =

x2 se x > 1
1 se x = 1
x2 se x < 1.
Exerc´ıcio 199. Determine em quais pontos sa˜o cont´ınuas a func¸a˜o sinal, a func¸a˜o parte inteira e a
func¸a˜o de Dirichlet (determine, inclusive, os pontos de descontinuidade).
Teorema (A´lgebra das func¸o˜es cont´ınuas – sem prova). Sejam f, g : I → R cont´ınuas em um ponto
x ∈ I. Enta˜o, sa˜o cont´ınuas em x: f + g, f − g, f · g, f/g se x 6= 0.
Teorema (sem prova). Seja f : I → R cont´ınua em x ∈ I. Seja J um intervalo que conte´m Im f e
seja g : J → R cont´ınua em y = f(x). Enta˜o, g ◦ f e´ cont´ınua em x.
Exerc´ıcio 200. Determine em quais pontos sa˜o cont´ınuas as func¸o˜es seguintes (determine, inclusive,
os pontos de descontinuidade):
f(x) =
{
x/|x| se x 6= 0
0 se x = 0.
f(x) =

x+ 2
|x|+ 1 se x ≥ 0
2− x se x < 0.
f(x) =
{
sen (1/x) se x 6= 0
0 se x = 0.
f(x) =

x+ |x|
x2
se x 6= 0
0 se x = 0.
f(x) = [x]2 − x2
Exerc´ıcio 201. (muito d´ıficil) Seja f : (0, 1]→ R definida como
f(x) =
{
1/n se x = m/n, m e n inteiros positivos e primos entre si (m ≤ n)
0 se x e´ irracional.
Prove que f e´ cont´ınua nos pontos irracionais de (0, 1] e discont´ınua nos racionais.
Outros exerc´ıcios:
Guidorizzi, pa´g. 81, nu´m. de 5 a 12; e 27.
Stewart, pa´g. 133, nu´m. de 15 a 20.
23
10. Segunda-feira 1 de abril de 2013
Aula de Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo
Excerc´ıcios abordados e resolvidos em sala de aula.
1. Calcule (se existir) lim
x→+∞
senx√
x+ cosx
2. Calcule (se existir) lim
x→+∞
√
1 + x2 +
√
x√
x− x
3. Calcule (se existir) lim
x→+∞
x2 + senx
2x+ x2 + 3
4. Seja f : R→ R uma func¸a˜o que verifica a propriedade seguinte: lim
x→+∞)
f(x) = −∞. Diga se alguma
das afirmac¸o˜es seguintes e´ verdadeira:
a) f(x) < 0 para todo x real.
b) f(x) < 0 para todo x positivo.
c) existe ε > 0 tal que f(x) < 0 para todo x > ε.
5. Determine os pontos onde f(x) = 1/x e´ cont´ınua onde na˜o e´ cont´ınua e os pontos de descontinuidade.
(Dizer que x e´ um ponto onde f na˜o e´ cont´ınua e´ a mesma coisa que dizer que x e´ um ponto de
descontinuidade?)
6. Diga se f(x) =
x+ |x|
x2
admite um ”prolongamento cont´ınuo na origem”
7. Calcule (se existir) lim
x→+∞
3
√
1 + x− 3√1− x
x
11. Quarta-feira 3 de abril de 2013
Teorema da conservac¸a˜o do sinal para as func¸o˜es cont´ınuas. (com prova feita na sala de
aula e que pode ser cobrada nos exerc´ıcios das provas) Sejam I intervalo e f : I → R cont´ınua
em x ∈ I. Suponhamos f(x) 6= 0. Enta˜o existe δ > 0 tal que f(x) tem o mesmo sinal de f(x) para todo
x ∈ (x− δ, x+ δ) ∩ I.
Teorema do anulamento para as func¸o˜es cont´ınuas. (com prova feita na sala de aula e
que pode ser cobrada nos exerc´ıcios das provas) Seja f : [a, b]→ R cont´ınua (em todo o domı´nio).
Seja f(a)f(b) < 0. Enta˜o, existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.
Uma consequ¨eˆncia do teorema do anulamento e´ o resultado seguinte.
Teorema dos valores intermedia´rios para as func¸o˜es cont´ınuas. (sem prova) Seja I intervalo
(qualquer) e f : I → R cont´ınua. Enta˜o, f atinge todos os valores entre inf f e sup f
Lembramos que inf f e sup f sa˜o, respectivamente, o ı´nfimo e o supremo de Im f . O teorema diz que
o intervalo aberto (inf f, sup f) e´ contido em Im f . Na˜o podemos saber, em geral, se [inff, sup f ] = Im f
(ou um dos extremos pertence a` imagem), porque na˜o sabemos a priori se f possui m´aximo ou mı´nimo.
Uma consequ¨eˆncia (corola´rio) imediato do teorema e´ que, dada uma func¸a˜o cont´ınua definida em um
intervalo, a imagem e´ um intervalo.
24
Atenc¸a˜o ao fato que se o domı´nio na˜o e´ um intervalo, a imagem na˜o necessariamente e´ um intervalo.
Uma aplicac¸a˜o importante do teorema dos valores intermedia´rios e´ a existeˆncia da raiz quadrada de um
nu´mero positivo qualquer. Para prova-lo, aplique o teorema a` func¸a˜o x2 definida em (0,+∞) (lembrando
a definic¸a˜o correta de raiz quadrada).
Uma outra aplicac¸a˜o e´ a existeˆncia de, pelo menos, uma soluc¸a˜o real de qualquer equac¸a˜o polinomial
de grau impar. Devido ao fato que, se P (x) e´ um polinoˆmio de grau impar, limx→+∞ P (x) = +∞ se o
coeficiente da poteˆncia de grau ma´ximo e´ positivo (−∞, se negativo) e limx→−∞ P (x) = −∞ (+∞, se
aquele coeficiente e´ negativo).
Podemos construir algoritmos para aproximar a raiz quadrada de um nu´mero positivo, como para
aproximar as soluc¸o˜es reais de equac¸o˜es polinomiais ou de equac¸o˜es mais complicadas (ex. x tgx = p,
onde p e´ dado).
Exerc´ıcios:
202. Construa, como feito em sala de aula, algoritmos para aproximar a raiz quadrada de um nu´mero
positivo e para determinar uma soluc¸a˜o (aproximada) de uma equac¸a˜o polinomial de grau impar (escolha
o polinoˆmio e o erro na aproximac¸a˜o)
203. Prove que a equac¸a˜o x3 + x = a possui uma e so´ uma soluc¸a˜o real para cada a ∈ R dado.
204. Seja f : R→ R cont´ınua. Suponhamos que x− 5 < f(x) < x+ 1 para cada x ∈ R. Prove que a
equac¸a˜o f(x) = 0 possui pelo menos uma soluc¸a˜o.
205. Procure Im f , onde f e´ a func¸a˜o do exerc´ıcio acima.
206. Prove que a equac¸a˜o x8 + 5x5 − 6x4 + 2x3 + 3x− 1 = 0 possui pelo menos uma soluc¸a˜o real.
* * *
E´ interessante a relac¸a˜o entre continuidade e invertibilidade de uma func¸a˜o. E´ importante lembrar (ou
observar, se na˜o lembra) que e´ o´bvio que uma func¸a˜o estritamente mono´tona e´ invers´ıvel. O vice-versa e´
falso.
Exerc´ıcio 207. Consideramos as func¸o˜es seguintes:
f(x) =
{
x se x ∈ [0, 1)
x− 1 se x ∈ [2, 3] g(x) =
{
x se x ∈ [0, 1)
3− x se x ∈ [1, 2] h(x) =
{
x se x ∈ [0, 1)
5− x se x ∈ [2, 3]
Desenhe o gra´fico de f , g e h. Determine se sa˜o cont´ınuas, invers´ıveis, mono´tonas, e se o domı´nio
e´ um intervalo. Se sa˜o invers´ıveis (ou algumas delas) determine as inversas, dizendo se sa˜o cont´ınuas,
mono´tonas, e se o domı´nio e´ um intervalo.
Em particular, a func¸a˜o f do exerc´ıcio e´ cont´ınua e invers´ıvel, mas a inversa e´ descont´ınua. A h e´
cont´ınua e invers´ıvel, mas na˜o e´ mono´tona. Esta falta de propriedade acontece porque o domı´nio na˜o e´
um intervalo.
Teorema (monotonia de uma func¸a˜o invers´ıvel). (Sem prova) Seja I intervalo, f : I → R
cont´ınua e invers´ıvel. Enta˜o e´ mono´tona.
O resultado mais importante e´ o seguinte (cuja prova e´ baseada no teorema acima)
25
Teorema (continuidade da func¸a˜o inversa). (Sem prova) Seja I intervalo, f : I → R cont´ınua e
invers´ıvel. Enta˜o a func¸a˜o inversa f−1 e´ cont´ınua.
Sa˜o cont´ınuas, como consequeˆncia do teorema acima, as func¸o˜es trigonome´tricas inversas: arcsen,
arccos e arctg .
Outros exerc´ıcios:
Guidorizzi, pa´g. 140/1, fac¸a alguns.
Stewart, pa´g. 133, nu´m. 35,36,37,38,39,45,47,48,49,50,62.
12. Sexta-feira 5 de abril de 2013
Conclu´ımos a parte da continuidade com o teorema seguinte, um dos mais importantes do curso.
Lembre que, dada f : A→ R, onde A e´ um conjunto qualquer, o ma´ximo de f e´ definido como o ma´ximo
da imagem de f , se existe. Enquanto o mı´nimo de f e´ definido como o mı´nimo da imagem de f (se
existe).
Teorema de Weierstrass. (sem prova) Uma func¸a˜o f : [a, b]→ R cont´ınua possui ma´ximo e mı´nimo.
Exerc´ıcios:
208. Seja f : [0, 1]→ R, f(x) = x− [x] ([x] e´ a parte inteira de x). Prove que f na˜o possui ma´ximo.
Qual hipo´tese do Teorema de Weierstrass na˜o e´ respeitada?
209. Seja f : [0, 1) → R, f(x) = x. Prove que f na˜o possui ma´ximo. Qual hipo´tese do Teorema de
Weierstrass na˜o e´ respeitada?
210. Seja f : [0,+∞)→ R, f(x) = x. Prove que f na˜o possui ma´ximo. Qual hipo´tese do Teorema de
Weierstrass na˜o e´ respeitada?
211. Procure exmplos de func¸o˜es que na˜o respeitam algumas das hipo´teses do Teorema de Weierstrass,
mas que possuem ma´ximo e mı´nimo.
Pode ser provado (na˜o e´ um exerc´ıcio fa´cil) que a func¸a˜o f(x) =
(
1 +
1
x
)x
e´ crescente em [1,+∞) e
e´ limitada. Pelo teorema dos limites das func¸o˜es mono´tonas, o limite
lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
existe e e´ finito. Chamamos “e” este valor. Se chama nu´mero de Neper.
Exerc´ıcio 212. Prove que e ≥ 1. De fato, provaremos em seguida, agora na˜o e´ poss´ıvel, que 2 < e < 3.
Exerc´ıcio 213. Determine o domı´nio de
(
1 +
1
x
)x
.
Podemos provar (na˜o e´ fa´cil) que
lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)x
= e.
26
Usando o limite das func¸o˜es compostas, podemos provar que
lim
x→+∞ log
[(
1 +
1
x
)x]
= 1, e lim
x→−∞ log
[(
1 +
1
x
)x]
= 1.
O limite das func¸o˜es composta, ja´ visto na pa´gina 19, e´ um resultado impostante e que apresenta
problemas. Agora, com o conceito de continuidade, podemos reformula-lo em termos mais simples.
Sejam f(x) e g(y) duas func¸o˜es dadas e suponhamos que a composic¸a˜o g(f(x)) seja bem definida em um
certo intervalo (vamos fazer as coisas mais simples). Suponhamos que g seja cont´ınua.
Suponhamos que exista o limite
lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = l onde l ∈ R ou l = ±∞.
Seja g(x) uma outra func¸a˜o dada e suponhamos que exista o limite
lim
x→l
g(x) = m onde m ∈ R ou m = ±∞.
Enta˜o,
lim
x→x
(ou x→±∞)
g(f(x)) = m.
Voltando ao limite (pegando so´ o primeiro dos dois)
lim
x→+∞ log
[(
1 +
1
x
)x]
,
usando o limite das func¸o˜es compostas, log = g enquanto f(x) =
(
1 +
1
x
)x
. Sabendo que
lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e,
e usando a fo´rmula acima temos limy→e log y = 1. Aqui estamos usando o fato que log e´ uma func¸a˜o
cont´ınua.
A fo´rmula para calcular o limite de func¸o˜es compostas pode ser vista come uma fo´rmula de troca de
varia´vel. No sentido seguinte. Estudamos de novo o limite
lim
x→+∞ log
[(
1 +
1
x
)x]
.
Definimos a nova vara´vel y =
[(
1 +
1
x
)x]
. Sabemos que y → e quando x → +∞. Portanto o limite
acima se torna igual a limy→e log y. Que sabemos ser 1 porque log e´ cont´ınua.
A troca de varia´vel, em geral, pode ser usada se a func¸a˜o e´ cont´ınua.
Sabendo que [(
1 +
1
x
)x]
= x log
(
1 +
1
x
)
,
temos
lim
x→+∞x log
(
1 +
1
x
)
= 1.
Trocando a varia´vel, e pondo y = 1/x, vemos que y tende para 0 (com valores positivos) quando x
tende para +∞. Portanto, segue,
lim
y→0+
log(1 + y)
y
= 1
27
Usando o limite
lim
x→−∞ log
[(
1 +
1
x
)x]
= 1,
e desenvolvendo os passos ana´logos aos anteriores, temos (prove como exerc´ıcio)
lim
y→0−
log(1 + y)
y
= 1
Ou seja
lim
y→0
log(1 + y)
y
= 1
Exerc´ıcio 214. Prove, com uma oportuna troca de varia´vel,
lim
x→0
ex − 1
x
= 1
Exerc´ıcios:
215. Determine as soluc¸o˜es de
x2 − 2x
|x− 1| ≥ 1. Em seguida, estude a imagem da func¸a˜o f(x) =
x2 − 2x
x− 1 ,
definida em [0,+∞). Use, agora, a continuidade da func¸a˜o e os teoremas sobre as func¸o˜es cont´ınuas.
Podemos responder exaustivamente o a resposta tem que ser incompleta?
216. Determine o domı´nio de
√
2 senx+ 1. A func¸a˜o e´ crescente?
217. Calcule, se existem, os limites seguintes: lim
x→0
√
x+ 1 + x2 − 1
x
, lim
x→0
(√
x+ 1 + x2 − 1√
x
· sen 1
x
)
218. Determine n ∈ N tal que o limite seguinteseja finito e na˜o nulo: lim
x→0
sennx
(√
1 + x2 − 1)
x3 + x4
.
219. Desenhe o gra´fico de |x2 − x − 6|. Em seguida, conhecendo o gra´fico de log x, desenhe mais
ou menos aproximadamente o gra´fico de f(x) = log(1 + |x2 − x − 6|). Determine em quais intervalos
f e´ crescente e em quais e´ decrescente. Determine, enfim, a imagem de f restrita ao intervalo [−4, 4].
(Sugesta˜o: sabemos que y = x2 − x − 6 e´ a equac¸a˜o de uma para´bola. Uma propriedade geome´trica de
uma parabola gene´rica y = x2 +ax+ b diz que, se a curva corta o eixo X em dois pontos α e β, ela atinge
o mı´nimo no ponto me´dio entre α e β)
13. Segunda-feira 8 de abril de 2013
Excerc´ıcios em sala de aula e sugeridos para o trabalho em casa.
220. Desenhe o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x2 − x− 6. Para este desenho usamos o conhecimento geral
do comportamento das para´bolas e o fato de que o mı´nimo (ou o ma´ximo) sa˜o obtidos nos pontos me´dios
entre os dois pontos de anulamento de f . Sabendo onde uma para´bola e´ crescente e onde e´ decrescente,
determine os intervalos onde e´ crescente e onde e´ decrescente a func¸a˜o g(x) = |f(x)|.
Prove o fato geral de que se l(x) for uma func¸a˜o crescente, enta˜o −l(x) e´ decrescente.
Desenhe o gra´fico de g. Seja h(x) = log(1 + g(x)). Determine os intervalos onde h e´ crescente e onde
e´ decrescente, usando (e provando) o fato geral seguinte.
A composic¸a˜o de duas func¸o˜es crescentes e´ uma func¸a˜o crescente.
221. Determine as soluc¸o˜es de 1 +
√
2x2 + 3x− 2 > x.
28
222. Determine as soluc¸o˜es de
1
2x
+ |2x− 1| < 2.
223. Determine o supremo e o ı´nfimo do conjunto {1/n : n ∈ N, n ≥ 1}.
224. Seja f(x) = 1− 1
x
, definida em (0, 1). Determine se e´ crescente, decrescente ou nenhuma da duas.
Tente explicar os va´rios detalhe, comec¸ando pela prova do fato de que 1/x e´ decrescente em (0, 1). Em
seguida, calcule a imagem de f . Use o fato de que f e´ cont´ınua e o teorema dos valores intermedia´rios.
225. Determine o domı´nio das func¸o˜es seguintes:
√
x− 2, x
x2 − 4x+ 3 ,
√
x3|x| − 1, (x2 + x+ 1)3/2,
√
1− 2x√
4− 2x , log(1 + 3x), log(1− arctgx), arcsen (1 + x).
226. Escreva a inversa (e o domı´nio dela) se existir. Se a inversa na˜o existir, determine subconjuntos
do domı´nio onde e´ invers´ıvel.
3x, arctgx, 1/x,
x2 − 1, x− 1
x+ 2
,
2x
1 + 2x
.
14. Quarta-feira 10 de abril de 2013
Exerc´ıcios para preparac¸a˜o da prova.
227. Determine o supremo e ı´nfimo do conjunto A = {1/n, n ∈ N, n ≥ 1}. Determine, depois, se o
conjunto tem ma´ximo e mı´nimo.
228. Calcule
lim
x→+∞
x3 cosx+ x5 cos(1/x)
3x4 + 2x2 + 5
e lim
x→+∞
x3 cosx+ x5 sen (1/x)
3x4 + 2x2 + 5
229. Calcule
lim
x→3−
√
10− x2 − 1√
x3 − 6x2 + 9x
230. Determine para quais valores de a e´ cont´ınua a func¸a˜o seguinte:
f(x) =
{
ex se x > 0
x2 + a se x ≤ 0
15. Sexta-feira 12 de abril de 2013
Prova P1
16. Segunda-feira 15 de abril de 2013
Introduzimos agora a noc¸a˜o de func¸a˜o deriva´vel e de derivada de uma func¸a˜o.
29
Seja I um intervalo de R, f : I → R uma func¸a˜o dada e x0 ∈ I dado. Variando m ∈ R, as equac¸o˜es
y = f(x0) +m(x− x0) representam as retas secantes ao gra´fico de f no ponto (x0, f(x0)) (so´ excluindo
a reta vertical que tem equac¸a˜o x = x0).
Seja agora x ∈ I e o correspondente ponto no gra´fico de f , (x, f(x)). A raza˜o
f(x)− f(x0)
x− x0
se chama raza˜o incremental de f , relativa a x0 e x e e´ o coeficiente angular da secante por (x0, f(x0))
e (x, f(x)). Se existe o limite desta raza˜o quando x → x0, este limite da´, intuitivamente, o coeficiente
angular de uma “reta posic¸a˜o limite” das secantes (quando x→ x0).
Definic¸a˜o 5. Se existe e e´ finito o limite
lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 = l,
enta˜o dizemos que f e´ deriva´vel em x0 e o nu´mero l se chama derivada de f em x0.
a derivada de f em x0 (se existe) e´ denotada, normalmente, por um dos s´ımbolos seguintes:
f ′(x0),
df
dx
(x0), Df(x0), Df(x)|x=x0 .
O primeiro e´ aquele mais comun.
Uma outra forma de escrever a raza˜o incremental e portanto o limite acima e´ obtida pondo x−x0 = h.
Temos
f(x0 + h)− f(x0)
h
e lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
,
A noc¸a˜o de derivada e´ pontual (como a de continuidade), ou seja derivada de uma func¸a˜o em um ponto.
Dada f : I → R, se f e´ deriva´vel em todos os pontos de I, dizemos que f e´ deriva´vel e fica bem definida
uma nova func¸a˜o, a derivada de f , x 7→ f ′(x), definida em I.
Se f e´ deriva´vel x0, a reta de equac¸a˜o y = f(x0) + f
′(x0)(x− x0) e´ definida como a reta tangente ao
gra´fico de f no ponto (x0, f(x0)).
Atenc¸a˜o: a precedente e´ a definic¸a˜o de reta tangente; outras poss´ıveis definic¸o˜es, como “a reta que
encosta o gra´fico so´ em um ponto”, sa˜o corretas so´ em casos muito particulares, por exemplo a circun-
fereˆncia.
Reta secante e reta tangente em (x0, f(x0)).
-
6
x1 x0
-
6
HHHHHHHHHHHH
x0
Exerc´ıcio 231. Na para´bola de equac¸a˜o y = x2 procure um ponto onde a reta tangente a` parabola
forma um aˆngulo de pi/4 com o eixo x.
30
Exerc´ıcio 232. Um corpo cai de uma altura de 15 mt, sujeto so´ a` forc¸a peso (desconsiderando o
atrito do ar). A func¸a˜o espac¸o dependendo do tempo e´ s(t) =
1
2
gt2, onde g e´ a constante gravitacional
terrestre, e vale cerca 9, 8 mt/sec2. Calcule a velocidade com que ele chega ao solo.
Derivadas de algumas func¸o˜es elementares.
FUNC¸A˜O f(x) DERIVADA f ′(x)
c (func¸a˜o constante) 0
xn (n ∈ N , n ≥ 1) nxn−1
senx cosx
cosx − senx
ex ex
Exerc´ıcio 233. Prove os resultados da tabela acima (como feito em sala de aula).
Se α > 0 e x > 0 a func¸a˜o f(x) = xα e´ deriva´vel em todo (0,+∞) e f ′(x) = αxα−1, analogamente ao
caso xn com n inteiro. So´ que neste caso a prova e´ mais dif´ıcil e omitida.
Exerc´ıcio 234. Prove que
√
x na˜o e´ derivavel em zero.
Exerc´ıcio 235. Determine em quais pontos e´ deriva´vel |x|.
Exerc´ıcio 236. Dados os gra´ficos seguintes, desenhe (intuitivamente) os gra´ficos das derivadas.
-
6
c a
-
6
a b
-
6
c da
-
6
c d
31
Exerc´ıcio 237. Calcule, usando a definic¸a˜o, a derivadas das func¸o˜es seguintes: 3x−2, x2−x, x7+1,√
x.
Exerc´ıcio 238. Prove que |x|3 e´ deriva´vel em zero. Calcule a derivada de |x|3.
Exerc´ıcio 239. Seja f(x) = x3. Calcule f ′(0), f ′(−2), f(1/2).
Exerc´ıcio 240. Seja f(x) = senx. Encontre um ponto x0 tal que f
′(x0) = 1/2.
Exerc´ıcio 241. Prove que a derivada de uma func¸a˜o par e´ uma func¸a˜o impar.
17. Quarta-feira 17 de abril de 2013
Proposic¸a˜o (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas) Seja
f : I → R uma func¸a˜o deriva´vel em um ponto x0 ∈ I. Enta˜o, f c´ont´ınua em x0.
Proposic¸a˜o (Algebra das derivadas) Sejam f, g : I → R duas func¸o˜es deriva´veis em um ponto x0 ∈ I.
Enta˜o sa˜o deriva´veis em x0 as func¸o˜es f ± g, f · g, 1/g e f/g (nestes u´ltimos dois casos se g(x0) 6= 0) e
valgono le formule:
(1) (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0),
(2) (f − g)′(x0) = f ′(x0)− g′(x0),
(3) (fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0),
(4) (1/g)′(x0) = − g
′(x0)
(g(x0))2
,
(5) (f/g)′(x0) =
f ′(x0)g(x0)− f(x0)g′(x0)
(g(x0))2
Como exemplo, se n e´ inteiro positivo e x 6= 0, D 1
xn
= −n 1
xn+1
Do item (5) segue que a tangente e´ deriva´vel: D tgx =
1
cos2 x
= 1 + tg 2x.
Exerc´ıcio 242. Prove o item (1) da proposic¸a˜o acima.
Proposic¸a˜o (ide´ia da prova feita na sala de aula; na˜o sera´ cobrada nas provas) (Derivada da func¸a˜o
composta) Sejam dadas duas func¸o˜es f : I → R e g : J → R, tais que Im (f) ⊆ J . Sejam f deriva´vel em
um ponto x0 ∈ I e g deriva´vel em y0 = f(x0). Enta˜o g ◦ f e´ deriva´vel em x0 e (g ◦ f)′(x0) = g′(y0)f ′(x0).
Exerc´ıcio 243. Calcule as derivadas de sen 2x e cosx2.
Proposic¸a˜o (ide´ia da prova feita na sala de aula; na˜o sera´cobrada nas provas) (Derivada da func¸a˜o
inversa) Seja I intervalo, f : I → R invers´ıvel e g : Im (f) → R a func¸a˜o inversa de f . Se f e´ deriva´vel
em um ponto x0 e f
′(x0) 6= 0, enta˜o, g e´ deriva´vel em y0 = f(x0) e temos g′(y0) = 1/f ′(x0).
Como aplicac¸a˜o dos u´ltimos resultados, temos esta outra tabela de derivadas
FUNC¸A˜O f(x) DERIVADA f ′(x)
n
√
x (= x1/n)
1
n
x1/n−1 (veja-se a analogia com as outras fo´rmulas)
xm/n (m,n inteiros)
m
n
xm/n−1 (veja-se a analogia com as outras fo´rmulas)
32
arcsenx
1√
1− x2
arccosx − 1√
1− x2
arctgx
1
1 + x2
log x
1
x
Exerc´ıcio 244. Prove as fo´rmulas acima.
Exerc´ıcio 245. Calcule a derivada de 2x. Sugesta˜o: qualquer nu´mero positivo a pode ser escrito
como a = elog a.
Exerc´ıcio 246. Calcule as derivadas das func¸o˜es seguintes: a)
x2 − 1
x(x+ 2)
, b) senx arccosx, c)
√
1 + x2, d) arcsenx− senx, e) x√1 + x2, f) arctg
√
1− x
1 + x
, g) arctg (2x−x2), h) cos( sen (x2+
x)).
Exerc´ıcio 247. Encontre um ponto P na hipe´rbole de equac¸a˜o y =
1
1 + x
tal que a tangente por P
encontre a origem do plano.
Exerc´ıcio 248. Calcule a a´rea do triaˆngulo formado pelos eixos do plano e pela tangente a` curva
y = senx no ponto
(
3pi
4
,
1√
2
)
Exerc´ıcio 249. Encontre a equac¸o˜es das tangentes a` para´bola y = x2 − 4x + 3 que passam pela
origem.
Exerc´ıcio 250. Escreva a equac¸a˜o da reta tangente a` elipse de equac¸a˜o x2 + y2/2 = 1 no ponto
(
√
3/2, 1/
√
2).
Exerc´ıcio 251. Escreva a equac¸a˜o da reta tangente ao gra`fico de senx no ponto (pi/3, sen (pi/3)).
Exerc´ıcio 252. Calcule a a´rea do triaˆngulo que tem como vertices os pontos comuns das para´bolas
y = x2 e y = x − x2 e o ponto de intersec¸a˜o entre o eixo das abscissas e a tangente a` para´bola 2y = x2
em (−2, 2).
Exerc´ıcios:
Guidorizzi, pa´g. 161/2, fac¸a alguns; pa´g. 165/6, fac¸a alguns; pa´g. 167, fac¸a alguns; pa´g. 168/9, fac¸a
alguns; pa´g. 172, fac¸a alguns; pa´g. 177/9, fac¸a alguns; pa´g. 199, de 1 a 4; pa´g. 205, fac¸a alguns; pa´g. de
226 a 233, fac¸a alguns;
Stewart, pa´g. 156/7, fac¸a alguns; pa´g. 163/4, fac¸a alguns; pa´g. 174/5, fac¸a alguns.
Exerc´ıcios. Determine em quais pontos sa˜o deriva´veis as func¸o˜es seguintes e calcule as derivadas.
253. signx · x2 254. 1
tgx
255.
√|x| 256. f(x) = { x2 − 1 x ≥ 1
x x < 1
257. sen |x| 258. [x]
33
Exerc´ıcios. Calcule as derivadas das func¸o˜es seguintes.
259. x sen 2x 260. cos( senx)
261.
x2 + 2
x3 − 3x 262. cos
(
x− 1
x+ 2
)
263. arctg
√
x 264.
√
arctgx
265.
senx2
tg (x+ 2)
266.
√
x+
1
3
√
x4 + 1
Exerc´ıcios. Escreva a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico em (x0, f(x0)) das func¸o˜es seguintes.
267. x3 + 2x+ 3, x0 = −1/2 tgx2, x =
√
pi
Exerc´ıcios. Diga em quais pontos as func¸o˜es seguintes sa˜o deriva´veis e calcule a derivada (nos pontos
onde existe). Depois, diga se as derivadas sa˜o cont´ınuas.
268. f(x) =
 x2 cos
1
x
x 6= 0
0 x = 0
269. f(x) =
{
e−
1
x2 x > 0
0 x ≤ 0
270. f(x) =
 x sen
1
x
x 6= 0
0 x = 0
271. f(x) =
{
(x− 1)2 − 1 x > 0
senx x ≤ 0
272. f(x) =

2x
x2 + 2
x > 0
0 x = 0
x
−x2 − 3 x < 0
273. f(x) =
{
x2 + 1 x > 0
senx x < 0
18. Sexta-feira 19 de abril de 2013
Ma´ximos e mı´nimos, absolutos e relativos
Definic¸a˜o. Seja A um subconjunto de R e f : A→ R uma func¸a˜o.
a) O ma´ximo absoluto de f e´ o ma´ximo (se existe) da imagem de f . O mı´nimo absoluto de f e´ o
mı´nimo (se existe) da imagem de f .
b) Um ponto x0 ∈ A e´ dito ponto de ma´ximo absoluto se f(x0) e´ o ma´ximo absoluto de f . Um
ponto x0 ∈ A e´ dito ponto de mı´nimo absoluto se f(x0) e´ o mı´nimo absoluto de f .
c) Um ponto x0 ∈ A e´ dito ponto de ma´ximo relativo se existe um intervalo (x0 − δ, x0 + δ), tal que
f(x) ≤ f(x0), para cada x ∈ A∩(x0−δ, x0+δ). Um ponto x0 ∈ A e´ dito ponto de mı´nimo relativo
se existe um intervalo (x0 − δ, x0 + δ), tal que f(x) ≥ f(x0), para cada x ∈ A ∩ (x0 − δ, x0 + δ).
Exerc´ıcio 274. Seja a func¸a˜o f(x) = 2x, x ∈ [1, 2] ∪ [3, 4]. Determine, justificando a resposta, o
ma´ximo e o mı´nimo de f (porque existem?) e os pontos de ma´ximo e mı´nimo relativos.
Exerc´ıcio 275. Seja a func¸a˜o f(x) = 2x, x ∈ (1, 2) ∪ [3, 4]. Determine as novidades a respeito do
exerc´ıcio acima.
34
Exerc´ıcio 276. Determine, justificando a resposta, os pontos de ma´ximo e mı´nimo absoluto de
senx.
Exerc´ıcio 277. Determine, justificando a resposta, os pontos de ma´ximo e mı´nimo absoluto e
relativo de f(x) =

x2 se − 1 ≤ x < 0
2 se x = 0
3− x se 0 < x ≤ 3.
As definic¸o˜es acima envolvem func¸o˜es quaisquer, ou seja, que podem na˜o ser cont´ınuas nem deriva´veis.
Contudo, se a func¸a˜o estudada e´ deriva´vel, a sua derivada nos da´ informac¸o˜es sobre os ma´ximos e os
mı´nimos.
Teorema de Fermat. (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas)
(Condic¸a˜o necessa´ria para a existeˆncia dos pontos de ma´ximo ou de mı´nimo relativo.) Seja I intervalo
de R e f : I → R uma func¸a˜o dada. Seja x0 um ponto interno de I (ou seja um ponto que pertence a I,
mas na˜o e´ extremo) e seja tambe´m um ponto de ma´ximo ou de mı´nimo relativo de f . Suponhamos que
f seja deriva´vel em x0. Enta˜o, f
′(x0) = 0.
Exerc´ıcio 278. Prove o teorema acima como feito em sala de aula.
Dada uma func¸a˜o f : I → R, um ponto x0 tal que f ′(0) = 0 se chama ponto cr´ıtico ou ponto
estaciona´rio.
Exemplo: f(x) = x2, x ∈ R. Todos os pontos do domı´nio sa˜o internos e f e´ deriva´vel. Sabemos que
x = 0 e´ ponto de ma´ximo absoluto (e portanto relativo) de f . O teorema de Fermat nos diz que f ′(0) = 0,
coisa que pode ser calculada facilmente.
O vice-versa do teorema na˜o vale. Dada uma func¸a˜o f , se f ′(x0) = 0, na˜o sabemos se x0 e´ ponto de
ma´ximo ou mı´nimo relativo. x = 0 e´ ponto cr´ıtico de f(x) = x3, mas na˜o e´ ponto de ma´ximo nem de
mı´nimo relativo.
O teorema de Fermat e´ usado so´ para estudar pontos internos ao domı´nio. Se, por exemplo, consider-
amos f(x) = x, x ∈ [0, 1], sabemos que 0 e´ ponto de mı´nimo e 1 e´ ponto de ma´ximo. Pore´m, f ′(x) = 1,
para todo x. Neste caso os pontos de ma´ximo e de mı´nimo sa˜o os extremos do domı´nio; o teorema de
Fermat na˜o pode ser aplicado.
Observac¸a˜o. Resumindo, os ponto de ma´ximo ou de mı´nimo relativo de uma func¸a˜o f : I → R,
devem ser procurados entre:
(1) os pontos internos do domı´nio onde f e´ deriva´vel e a derivada e´ zero;
(2) os pontos onde f na˜o e´ deriva´vel;
(3) os extremos de I.
Exemplo: f(x) = x3/3 − x2/2 − 3; a func¸a˜o e´ definida em R, que e´ aberto (todos os pontos sa˜o
interiores), e´ deriva´vel em R a derivada se anula em 0 e 1. Este dois pontos sa˜o candidatos a ser pontos
de ma´ximo ou de mı´nimo relativo, mas ainda na˜o temos condic¸o˜es suficientes para dizer se de fato sa˜o.
Exerc´ıcio 279. (exerc´ıcio importante): analise a observac¸a˜o acima. Procure exemplos de func¸o˜es
onde pontos de ma´ximo ou mı´nimo sa˜o pontos cr´ıticos internos, outros exemplos de func¸o˜es onde pontos
35
de ma´ximo ou mı´nimo sa˜o pontos extremos do domı´nio onde a func¸a˜o e´ deriva´vel mas a derivada na˜o e´
zero, e exemplos de func¸o˜es onde pontos de ma´ximo ou mı´nimo sa˜o pontos onde a derivada na˜o existe.
Exerc´ıcio. Determine os pontos cr´ıticos das func¸o˜es seguintes, nos domı´nios associados. Mais em
geral, determine os pontos candidatos a serem pontos de ma´ximo ou mı´nimo relativo. Enfim, diga quais
func¸o˜es possuem ma´ximo ou mı´nimo absolutos.
280. senx− cosx, [0, 2pi] 281. x
1 + x2
, [−2, 3]
282. x(x− 2)2, [0, 3] 283. senx+ | cosx|, [0, pi]
284. x2 +
2
x
, (0,+∞) 285. x
1 + x2
, R
286. x− arctgx, R 287. x
2
1 + x2
, R
288. x log x, (0,+∞) 289. log x− 3arctgx,(0,+∞).
19. Segunda-feira 22 de abril de 2013
Exemplo. Consideramos f(x) =
x4
4
− 5
9
x3 − x
2
3
+ 1. A func¸a˜o e´ cont´ınua, pore´m esta´ definida em
R, que na˜o e´ limitado. Portanto na˜o podemos aplicar o Teorema de Weierstrass, ou seja, na˜o sabemos,
a priori, se f possui ma´ximo e mı´nimo. Podemos ver que lim
x→±∞f(x) = +∞ (prove como exerc´ıcio).
Portanto f na˜o possui ma´ximo absoluto. Por outro lado, possui mı´nimo absoluto. Para prova-lo, vamos
utilizar o limite acima na maneira seguinte.
Primeiramente pegamos, a caso, um valor do domı´nio, por exemplo x = 0. Temos f(0) = 1. Portanto
o mı´nimo absoluto, se existir, sera´ ≤ 1. Seja M = 2. Pela definic¸a˜o de limite e pelo fato de que
lim
x→±∞f(x) = +∞, existem a e b reais, a < 0 < b, tais que f(x) ≥ 2 se x ≤ a e se x ≥ 2. Portanto, o
mı´nimo absoluto, se existir, sera´ atingido no intervalo [a, b]. Neste intervalo podemos aplicar o Teorema
de Weierstrass e dizer que possui mı´nimo m a func¸a˜o f restrita ao intervalo [a, b]. Por outro lado, sendo
m ≤ 1 e sendo f(x) ≥ 2 se x ≤ a e se x ≥ 2, o valor m se torna necessariamente mı´nimo de f em todo o
domı´nio R.
Exerc´ıcio 290. Estude a demonstrac¸a˜o acima para entender os passos e os detalhes.
Voltando a` func¸a˜o, a derivada e´ f ′(x) = x3−5x2/3−2x/3 = x(x+1/3)(x−2). Como f e´ deriva´vel em
R e o domı´nio na˜o tem pontos extremos, os uu´nicos candidatos a serem de ma´ximo ou mı´nimo relativo
(e mı´nimo absoluto, que sabemos existir) sa˜o os pontos cr´ıticos de f , 0, −1/3, 2. O prblema e´ que na˜o
temos ferramentas para prosseguir a investigac¸a˜o. As ferramentas sa˜o fornhecidas por um teorema, o
Teorema valor me´dio (ou de Lagrange), que e´ um dos mais importantes do curso. Antes de apresentalo,
precisa um resultado introduto´rio, o Teorema de Rolle.
Teorema de Rolle (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas)
Seja f : [a, b]→ R uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b] e deriva´vel em (a, b). Se f(a) = f(b), enta˜o, existe um
ponto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
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Teorema do valor me´dio ou de Lagrange (com prova feita na sala de aula e que pode ser
cobrada nas provas) Seja f : [a, b] → R uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b] e deriva´vel em (a, b). Enta˜o,
existe um ponto c ∈ (a, b) tal que
f(b)− f(a)
b− a = f
′(c).
Seja agora f : I → R uma func¸a˜o deriva´vel em x que fica no interior de I (ou seja x na˜o e´ extremo
de I) e tal que f ′(x) = 0. Para ver se x e´ ponto de ma´ximo ou de mı´nimo relativo usamos os teoremas
seguintes, estritamente ligados ao teorema de Lagrange.
Exerc´ıcio 291. Prove os teoremas de Rolle e Lagrange como feito em sala de aula.
Primeiro teorema de monotonia de uma func¸a˜o (com prova feita na sala de aula e que
pode ser cobrada nas provas) Seja I um intervalo e f : I → R uma func¸a˜o deriva´vel em todos os
pontos interns de I. Enta˜o:
a) f e´ crescente se e somente se f ′(x) ≥ 0 para todo x no interior de I;
b) f e´ decrescente se e somente se f ′(x) ≤ 0 para todo x no interior de I.
Exerc´ıcio 292. Prove o teorema acima como feito em sala de aula.
Se a func¸a˜o na˜o e´ definida em um intervalo, as implicac¸o˜es
f ′(x) ≥ 0 para todo x no interior de I =⇒ f e´ crescente,
f ′(x) ≤ 0 para todo x no interior de I =⇒ f e´ decrescente
sa˜o falsas. A func¸a˜o 1/x e´ definida em R\{0} possui derivada negativa para todo x 6= 0, mas na˜o e´
decrescente (e´ decrescente nos dois intervalos (−∞, 0) e (0,+∞), separadamente)
Se a func¸a˜o na˜o e´ definida em um intervalo, mas num domı´nio A, unia˜o de intervalos, continuam
valendo as implicac¸o˜es seguintes:
f e´ crescente =⇒ f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ A,
f e´ decrescente =⇒ f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ A.
Observac¸a˜o: a implicac¸a˜o ⇐= do primeiro teorema de monotonia pode ser provada em uma versa˜o
um pouco mais geral (e mais u´til nas aplicac¸o˜es):
a) se f : I → R e´ cont´ınua em I e deriva´vel nos pontos internos de I e f ′(x) ≥ 0 nos pontos internos de
I, enta˜o f e´ crescente em todo I.
b) se f : I → R e´ cont´ınua em I e deriva´vel nos pontos internos de I e f ′(x) ≤ 0 nos pontos internos de
I, enta˜o f e´ decrescente em todo I.
Em outras palavras, se temos f : [a, b]→ R cont´ınua em [a, b]; para dizer que f e´ crescente em [a, b] e´
suficiente provar que f ′(x) ≥ 0 em (a, b).
20. Quarta-feira 24 de abril de 2013
Segundo teorema de monotonia
a) se f : I → R e´ cont´ınua em I e deriva´vel nos pontos internos de I e f ′(x) > 0 nos pontos internos de
I, enta˜o f e´ estritamente crescente em todo I.
b) se f : I → R e´ cont´ınua em I e deriva´vel nos pontos internos de I e f ′(x) < 0 nos pontos internos de
I, enta˜o f e´ estritamente decrescente em todo I.
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O vice-versa do teorema na˜o vale, no sentido que existem func¸o˜es estritamente crescentes tais que a
derivada pode na˜o ser > 0 em todos os pontos (pore´m deve ser ≥ 0 em todos os pontos, pelo primeiro
teorema de monotonia).
Um exemplo e´ dado pela func¸a˜o x3 que e´ estritamente crescente em R, mas a derivada e´ nula em zero.
Sabemos que a derivada de uma func¸a˜o constante e´ nula em todos os pontos. Pelo teorema de Lagrange
podemos provar o vice-versa, se a func¸a˜o e´ definida em um intervalo.
Exerc´ıcio 293. Prove o teorema acima (sugesta˜o: a prova usa o Teorema do valor me´dio).
Terceiro teorema de monotonia (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada
nas provas) Seja f : I → R (onde I e´ um intervalo), deriva´vel e tal que f ′(x) = 0 para todo x ∈ I.
Enta˜o f e´ constante
Como ja´ dito, se o domı´nio na˜o e´ um intervalo, o teorema e´ falso.
f(x) =
{
1 se x ∈ (0, 1)
2 se x ∈ (1, 2)
e´ definida em um conjunto, (0, 1) ∪ (1, 2), que na˜o e´ um intervalo, e´ deriva´vel com derivada nula em
todos os pontos, mas na˜o e´ constante.
Exerc´ıcio 294. Prove o teorema acima como feito em sala de aula.
Exerc´ıcio 295. Estude os pontos de ma´ximo e mı´nimo absoluto e relativo da func¸a˜o f(x) =
x2√
x2 − 1 .
Diga (justificando) se f possui ma´ximo ou mı´nimo absoluto.
Exerc´ıcio 296. Seja f : [a, b]→ R deriva´vel. Prove (pelo menos) uma das relac¸o˜es seguintes:
(1) se f ′(a) > 0, enta˜o a e´ ponto de mı´nimo relativo;
(2) se f ′(a) < 0, enta˜o a e´ ponto de ma´ximo relativo;
(3) se f ′(b) > 0, enta˜o a e´ ponto de ma´ximo relativo;
(4) se f ′(b) < 0, enta˜o a e´ ponto de mı´nimo relativo.
Exerc´ıcios: determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo relativo, se existem, das func¸o˜es seguintes.
297. 2x3 − 9x2 + 12x− 1 298. x3 + x2 + x+ 1
299. x3 − x4 300. x(x− 1)2
301.
x√
x2 − 1 302.
x4√
1− x2
Exerc´ıcios: determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo absoluto e relativo, se existem, das func¸o˜es
seguintes, nos conjuntos indicados ao lado. Determine tambe´m o ma´ximo e o mı´nimo absoluto, se existem.
303. x3 + x2, [0,+∞) 304. | senx|,
[
−pi
2
,
pi
2
)
305. [x], [0, 2] 306. senx− x cosx, R
307. x2, (0, 1) 308. cos2 x2, [−√pi,√pi]
21. Sexta-feira 26 de abril de 2013
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Problemas de otimizac¸a˜o
309. (Feito em sala de aula) Imagine que o desenho a esquerda represente uma praia. Em B temos o
nosso guarda-sol. Queremos ir ao bar que esta´ em C. No ponto O comec¸a uma calc¸ada de madeira que
chega ate´ o bar, e onde imos mais rapidamente do que na are´ia.
Suponhamos que a velocidade na are´ia seja 1 metro ao segundo, enquanto na calc¸ada 2m/sec. Supon-
hamos que os segmentos OB e OC sejam perpendiculares. Ale´m disso, a calc¸ada tem 10 metros de
comprimento, enquanto OB e´ 15 m. Partindo de B, determine em qual ponto della calc¸ada precisa
entrar (continuando dal´ı ate´ o bar) para render mı´nimo o tempo para chegar ao bar.
310. Olhando o desenho a direita, entre todos os segmentos verticais entre as para´bolas de equac¸o˜es
2y = 4− x2, onde y ≥ 0, e 3y = x2 − x− 6, determine aquele de comprimento ma´ximo.
B. O.
C.
-
6
Exerc´ıcio 311. (Feito em