p3 calculo pluigi

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3a prova de MAT 146 - Ca´lculo diferencial e integral I para Economia
1◦ semestre de 2013 - 24.6.2013 - Prova B - Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri
Nome:
N◦ USP:
Exerc´ıcio 1 (nota ma´xima 2). Deˆ a definic¸a˜o de primitiva de uma func¸a˜o. Em seguida, determine a
famı´lia de todas as primitivas de f(x) = x log x (log denota o logaritmo em base e), denotada pelo cla´ssico
simbolo ∫
x log x dx.
Diga em qual domı´nio sa˜o definidas as primitivas e prove, enfim, porque o resultado obtido reune todas
as primitivas de f . (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
Exerc´ıcio 2 (nota ma´xima 2). Calcule∫ 3
2
2x− 1
x2 + x− 2 dx.
Explique qual e´ o resultado importante da teoria que permite resolver o exerc´ıcio, escreva o enunciado de
tal resultado (na˜o precisa a sua demonstrac¸a˜o). (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
Exerc´ıcio 3 (nota ma´xima 3). 1.) Seja a func¸a˜o
G(x) =
∫ x
1
sen 2t + 2
t− 2 dt.
Calcule: o domı´nio e o sinal de G. (Sugesta˜o: na˜o tente determinar a primitiva da func¸a˜o integranda).
2.) Seja agora a func¸a˜o
F (x) =
∫ x
2
et(t2 − t) dt.
Aborde os problemas seguintes. 2a.) Calcule o domı´nio de F , a primeira e a segunda derivada. 2b.)
Determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo relativo de F . De um, entre os pontos de ma´ximo e mı´nimo
relativo de F , e´ fa´cil determinar o sinal; do outro na˜o. Tente explicar. 2c.) Tente determinar lim
x→+∞F (x)
e lim
x→−∞F (x). (Sugesta˜o: este segundo limite e´ mais complicado: tente dar pelo menos uma ideia). 2d.)
Desenhe o gra´fico de F , usando as informac¸o˜es dispon´ıveis. (Sugesta˜o: na˜o tente determinar a primitiva da
func¸a˜o integranda). (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
Exerc´ıcio 4 (nota ma´xima 3). 1.) Escreva as fo´rmulas de Taylor de ordem 2 e centro zero das func¸o˜es
log(1 + x) e senx. (use aqui a definic¸a˜o de fo´rmula de Taylor, baseada no ca´lculo das derivadas)
2.) Em seguida, calcule a fo´rmula de Taylor de ordem 3 e centro zero de f(x) = log(1 + x) senx. Prove
que a fo´rmula obtida e´, de fato, a fo´rmula de Taylor de ordem 4 e centro zero de f(x). (aqui na˜o calcule as
derivadas de f(x), mas trabalhe com as fo´rmulas de log(1 + x) e senx de segunda ordem obtidas no item
1).
3.) Determine f (3)(0) (terceira derivada em zero).
4.) Enfim, calcule limx→0
log(1 + x) senx
2x2
, usando a fo´rmula de Taylor do numerador.
(Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
2
3a prova de MAT 146 - Ca´lculo diferencial e integral I para Economia
1◦ semestre de 2013 - 24.6.2013 - Prova A - Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri
Nome:
N◦ USP:
Exerc´ıcio 1 (nota ma´xima 2). Deˆ a definic¸a˜o de primitiva de uma func¸a˜o. Em seguida, determine a
famı´lia de todas as primitivas de f(x) = x2 log x (log denota o logaritmo em base e), denotada pelo cla´ssico
simbolo ∫
x2 log x dx.
Diga em qual domı´nio sa˜o definidas as primitivas e prove, enfim, porque o resultado obtido reune todas
as primitivas de f . (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
Exerc´ıcio 2 (nota ma´xima 2). Calcule∫ 5
4
2x− 1
x2 − x− 6 dx.
Explique qual e´ o resultado importante da teoria que permite resolver o exerc´ıcio, escreva o enunciado de
tal resultado (na˜o precisa a sua demonstrac¸a˜o). (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
Exerc´ıcio 3 (nota ma´xima 3). 1.) Seja a func¸a˜o
G(x) =
∫ x
1
sen 2t + 2
t− 2 dt.
Calcule: o domı´nio e o sinal de G. (Sugesta˜o: na˜o tente determinar a primitiva da func¸a˜o integranda).
2.) Seja agora a func¸a˜o
F (x) =
∫ x
2
et(t2 − t) dt.
Aborde os problemas seguintes. 2a.) Calcule o domı´nio de F , a primeira e a segunda derivada. 2b.)
Determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo relativo de F . De um, entre os pontos de ma´ximo e mı´nimo
relativo de F , e´ fa´cil determinar o sinal; do outro na˜o. Tente explicar. 2c.) Tente determinar lim
x→+∞F (x)
e lim
x→−∞F (x). (Sugesta˜o: este segundo limite e´ mais complicado: tente dar pelo menos uma ideia). 2d.)
Desenhe o gra´fico de F , usando as informac¸o˜es dispon´ıveis. (Sugesta˜o: na˜o tente determinar a primitiva da
func¸a˜o integranda). (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
Exerc´ıcio 4 (nota ma´xima 3). 1.) Escreva as fo´rmulas de Taylor de ordem 2 e centro zero das func¸o˜es
ex e senx. (use aqui a definic¸a˜o de fo´rmula de Taylor, baseada no ca´lculo das derivadas)
2.) Em seguida, calcule a fo´rmula de Taylor de ordem 3 e centro zero de f(x) = (ex − 1) senx. Prove
que a fo´rmula obtida e´, de fato, a fo´rmula de Taylor de ordem 4 e centro zero de f(x). (aqui na˜o calcule as
derivadas de f(x), mas trabalhe com as fo´rmulas de ex e senx de segunda ordem obtidas no item 1).
3.) Determine f (3)(0) (terceira derivada em zero).
4.) Enfim, calcule limx→0
(ex − 1) senx
2x2
, usando a fo´rmula de Taylor do numerador. (Cada passo do
exercı´cio deve ser justificado.)