prova - cálculo 1 - toda a matéria

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08/07/2016 REC - A 1
Ca´lculo Diferencial e Integral para Qu´ımica
Prof. G.Siciliano
Prova - A
Instruc¸o˜es
• Assinale a alternativa correta de cada questa˜o no gabarito abaixo. Deve ser entregue apenas
esta pa´gina.
• Na˜o podem ser feitas consultas de livros, notas....
• Cada questa˜o tem apenas uma resposta correta. A nota da prova e´ um nu´mero entre 0 e 10:
i. cada questa˜o correta vale 1/2 de ponto, ou seja +0.5
ii. cada questa˜o deixada em branco vale 0 ponto
iii. cada questa˜o errada implica num desconto de 1/10 de ponto, ou seja �0.1
Nome (leg´ıvel):
Nu´mero USP:
Assinatura:
Respostas:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c
d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d
e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e
NOTA
08/07/2016 REC - A 2
Ca´lculo Diferencial e Integral para Qu´ımica
Prof. G.Siciliano
1. A integral
Z +1
0
x
x2 + 1
dx vale
(a) �⇡
(b) +1
(c) ⇡/2
(d) 2⇡
(e) nenhuma das outras alternativas
2. O dominio de f(x) = xlnx e´:
(a) R \ {0}
(b) (0,+1)
(c) (0, 1)
(d) [1,+1)
(e) nenhuma das outras alternativas
3. A a´rea da regia˜o delimitada pelas retas x = 1, x = 3 e o grafico das func¸o˜es f(x) = x2 e
f(x) = 1/x2 vale
(a) 12
(b) 3
(c)
p
2
(d) 5
(e) 8
4. Seja f(x) = x
2
x2�2 . Enta˜o
(a) f e´ crescente em (�1, 0)
(b) f possui pontos de ma´ximo e mı´nimo absoluto
(c) f e´ sempre crescente
(d) nenhuma das outras alternativas
(e) f possui concavidade para abaixo em (�p2,p2)
5. A derivada da func¸a˜o H(x) =
Z x2
3
ln(t2 + 1)dt vale
(a) ln(x4 + 1)� ln 10
(b) x2 ln(x2 + 1)� 3 ln(x2 + 1)
(c) nenhuma das outras alternativas
(d) 2x ln(x4 + 1)
(e) 3x ln(x4 + 1)
08/07/2016 REC - A 3
6. Considere a soluc¸a˜o da equac¸a˜o y0 = 2xy com y(0) = 1. Enta˜o
(a) a soluc¸a˜o em 1 vale �1
(b) a soluc¸a˜o em 1 vale 1
(c) a soluc¸a˜o em 1 vale 0
(d) nenhuma das outras alternativas
(e) a soluc¸a˜o em 1 vale e
7. Determinar a, b de modo que a func¸a˜o
f(x) =
(
x3 + ax+ 1 if x � 0
x2 + b if x < 0
seja deriva´vel em cada ponto.
(a) a = b = 1
(b) a = 1, b = 0
(c) a = 0, b = 1
(d) a = �1/2, b = 1
(e) a = 1, b = 1
8. O conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de A = (�1,�2) [ {1, 3} [ (4, 6) e´:
(a) (�1,�2] [ [4, 6]
(b) (�1,�2] [ [1, 3] [ [4, 6]
(c) R
(d) e´ vazio
(e) nenhuma das outras alternativas
9. O volume do solido de rotac¸a˜o obtido por uma rotac¸a˜o completa em volta do eixo x da func¸a˜o
f(x) = 2
p
x com x 2 [0, 1] vale
(a) 5⇡/4
(b) 2⇡2
(c) 2⇡
(d) ⇡/2
(e) ⇡
10. Considere a func¸a˜o f(x) = 1x2ex . Enta˜o
(a) o domı´nio da f e´ todo R
(b) f possui um ponto de ma´ximo local
(c) f possui um ponto de mı´nimo local
(d) f possui ass´ıntota horizontal
(e) f e´ sempre crescente
08/07/2016 REC - A 4
11. Marque a opc¸a˜o correta
(a) (�1, 4] [ (5, 9) e´ aberto
(b) se um subconjunto de R na˜o e´ aberto, enta˜o e´ fechado
(c) nenhuma das outras alternativas
(d) na˜o existe nenhum subconjunto de R que e´ aberto e fechado ao mesmo tempo
(e) se |f(x)| e´ uma func¸a˜o continua, enta˜o f(x) e´ uma func¸a˜o continua
12. O limite limx!+1 sinxpx2+1 vale
(a) 0
(b) na˜o existe
(c) +1
(d) 1/2
(e) 1
13. A equac¸a˜o da reta normal a f(x) = 1x2 no ponto de abscissa x0 = 1 e´
(a) y = 3x� 1
(b) x = y
(c) y = x
(d) nenhuma das outras alternativas
(e) 2y = x+ 1
14. O polinomio de Taylor da func¸a˜o f(x) = 11�x2 de ordem 2 com centro em x0 = 0 vale
(a) 1 + x+ x2
(b) nenhuma das outras alternativas
(c) 1 + x+ x
2
2
(d) 1 + x2
(e) x� x2
15. Considere a func¸a˜o f(x) = x4 + 200x+ sinx. Enta˜o
(a) f e´ uma func¸a˜o periodica
(b) f na˜o possui limite quando x! +1
(c) f e´ uma func¸a˜o ingetora
(d) nenhuma das outras alternativas
(e) a equac¸a˜o f(x) = a tem sempre pelo menos uma soluc¸a˜o, qual que seja a 2 R
08/07/2016 REC - A 5
16. O limite limx!+1
⇣
x+1
x�1
⌘x
vale
(a) na˜o existe
(b) e2
(c) 1
(d) e
(e) nenhuma das outras alternativas
17. A equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) = x + 1x no ponto de abscissa x0 = 1
vale
(a) x = 1
(b) nenhuma das outras alternativas
(c) y = x+ 1
(d) y = 2
(e) 2y + x+ 2 = 0
18. O comprimento da curva �(t) = (�4t� 75, 3t+ 18) por 0  t  1 e´
(a)
p
2
(b) nenhuma das outras alternativas
(c) 3
(d) 4
(e) 5
19. Por x! +1, a func¸a˜o f(x) = p1 + x2
(a) possui como ass´ıntota obl´ıqua a reta y = x
(b) possui como ass´ıntota orizontal a reta y = �x
(c) possui como ass´ıntota obl´ıqua a reta y = �x+ 1
(d) possui como ass´ıntota obl´ıqua a reta y = x+ 1
(e) nenhuma das outras alternativas
20. A integral
Z e
1
x lnx dx vale
(a) e2 � 12
(b) e4 +
1
4
(c) nenhuma das outras alternativas
(d) e
(e) e2 +
1
4
08/07/2016 REC - A 1
Ca´lculo Diferencial e Integral para Qu´ımica
Prof. G.Siciliano
Prova - A
Instruc¸o˜es
• Assinale a alternativa correta de cada questa˜o no gabarito abaixo. Deve ser entregue apenas
esta pa´gina.
• Na˜o podem ser feitas consultas de livros, notas....
• Cada questa˜o tem apenas uma resposta correta. A nota da prova e´ um nu´mero entre 0 e 10:
i. cada questa˜o correta vale 1/2 de ponto, ou seja +0.5
ii. cada questa˜o deixada em branco vale 0 ponto
iii. cada questa˜o errada implica num desconto de 1/10 de ponto, ou seja �0.1
Nome (leg´ıvel):
Nu´mero USP:
Assinatura:
Respostas:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c
d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d
e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e
NOTA
08/07/2016 REC - A 2
Answer Key for Exam A
1. A integral
Z +1
0
x
x2 + 1
dx vale
(a) �⇡
(b) +1
(c) ⇡/2
(d) 2⇡
(e) nenhuma das outras alternativas
2. O dominio de f(x) = xlnx e´:
(a) R \ {0}
(b) (0,+1)
(c) (0, 1)
(d) [1,+1)
(e) nenhuma das outras alternativas
3. A a´rea da regia˜o delimitada pelas retas x = 1, x = 3 e o grafico das func¸o˜es f(x) = x2 e
f(x) = 1/x2 vale
(a) 12
(b) 3
(c)
p
2
(d) 5
(e) 8
4. Seja f(x) = x
2
x2�2 . Enta˜o
(a) f e´ crescente em (�1, 0)
(b) f possui pontos de ma´ximo e mı´nimo absoluto
(c) f e´ sempre crescente
(d) nenhuma das outras alternativas
(e) f possui concavidade para abaixo em (�p2,p2)
5. A derivada da func¸a˜o H(x) =
Z x2
3
ln(t2 + 1)dt vale
(a) ln(x4 + 1)� ln 10
(b) x2 ln(x2 + 1)� 3 ln(x2 + 1)
(c) nenhuma das outras alternativas
(d) 2x ln(x4 + 1)
(e) 3x ln(x4 + 1)
08/07/2016 REC - A 3
6. Considere a soluc¸a˜o da equac¸a˜o y0 = 2xy com y(0) = 1. Enta˜o
(a) a soluc¸a˜o em 1 vale �1
(b) a soluc¸a˜o em 1 vale 1
(c) a soluc¸a˜o em 1 vale 0
(d) nenhuma das outras alternativas
(e) a soluc¸a˜o em 1 vale e
7. Determinar a, b de modo que a func¸a˜o
f(x) =
(
x3 + ax+ 1 if x � 0
x2 + b if x < 0
seja deriva´vel em cada ponto.
(a) a = b = 1
(b) a = 1, b = 0
(c) a = 0, b = 1
(d) a = �1/2, b = 1
(e) a = 1, b = 1
8. O conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de A = (�1,�2) [ {1, 3} [ (4, 6) e´:
(a) (�1,�2] [ [4, 6]
(b) (�1,�2] [ [1, 3] [ [4, 6]
(c) R
(d) e´ vazio
(e) nenhuma das outras alternativas
9. O volume do solido de rotac¸a˜o obtido por uma rotac¸a˜o completa em volta do eixo x da func¸a˜o
f(x) = 2
p
x com x 2 [0, 1] vale
(a) 5⇡/4
(b) 2⇡2
(c) 2⇡
(d) ⇡/2
(e) ⇡
10. Considere a func¸a˜o f(x) = 1x2ex . Enta˜o
(a) o domı´nio da f e´ todo R
(b) f possui um ponto de ma´ximo local
(c) f possui um ponto de mı´nimo local
(d) f possui ass´ıntota horizontal
(e) f e´ sempre crescente08/07/2016 REC - A 4
11. Marque a opc¸a˜o correta
(a) (�1, 4] [ (5, 9) e´ aberto
(b) se um subconjunto de R na˜o e´ aberto, enta˜o e´ fechado
(c) nenhuma das outras alternativas
(d) na˜o existe nenhum subconjunto de R que e´ aberto e fechado ao mesmo tempo
(e) se |f(x)| e´ uma func¸a˜o continua, enta˜o f(x) e´ uma func¸a˜o continua
12. O limite limx!+1 sinxpx2+1 vale
(a) 0
(b) na˜o existe
(c) +1
(d) 1/2
(e) 1
13. A equac¸a˜o da reta normal a f(x) = 1x2 no ponto de abscissa x0 = 1 e´
(a) y = 3x� 1
(b) x = y
(c) y = x
(d) nenhuma das outras alternativas
(e) 2y = x+ 1
14. O polinomio de Taylor da func¸a˜o f(x) = 11�x2 de ordem 2 com centro em x0 = 0 vale
(a) 1 + x+ x2
(b) nenhuma das outras alternativas
(c) 1 + x+ x
2
2
(d) 1 + x2
(e) x� x2
15. Considere a func¸a˜o f(x) = x4 + 200x+ sinx. Enta˜o
(a) f e´ uma func¸a˜o periodica
(b) f na˜o possui limite quando x! +1
(c) f e´ uma func¸a˜o ingetora
(d) nenhuma das outras alternativas
(e) a equac¸a˜o f(x) = a tem sempre pelo menos uma soluc¸a˜o, qual que seja a 2 R
16. O limite limx!+1
⇣
x+1
x�1
⌘x
vale
(a) na˜o existe
(b) e2
(c) 1
(d) e
(e) nenhuma das outras alternativas
08/07/2016 REC - A 5
17. A equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) = x + 1x no ponto de abscissa x0 = 1
vale
(a) x = 1
(b) nenhuma das outras alternativas
(c) y = x+ 1
(d) y = 2
(e) 2y + x+ 2 = 0
18. O comprimento da curva �(t) = (�4t� 75, 3t+ 18) por 0  t  1 e´
(a)
p
2
(b) nenhuma das outras alternativas
(c) 3
(d) 4
(e) 5
19. Por x! +1, a func¸a˜o f(x) = p1 + x2
(a) possui como ass´ıntota obl´ıqua a reta y = x
(b) possui como ass´ıntota orizontal a reta y = �x
(c) possui como ass´ıntota obl´ıqua a reta y = �x+ 1
(d) possui como ass´ıntota obl´ıqua a reta y = x+ 1
(e) nenhuma das outras alternativas
20. A integral
Z e
1
x lnx dx vale
(a) e2 � 12
(b) e4 +
1
4
(c) nenhuma das outras alternativas
(d) e
(e) e2 +
1
4