Prova de cálculo 2 Edson vargas (1)

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1a Prova de MAT0147 - Ca´lculo Diferencial e Integral II para Economia
FEA - 13 /09/2017
A
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q N
Assinatura: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
RG: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
No USP: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Turma: 2017201 - Teo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Professor: Edson Vargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Total
Escreva de forma organizada e clara, justificando suas respostas.
1a Questa˜o:(2,5 pontos) Considere as retas r1 e r2 em R3, dadas pelas
equac¸o˜es: r1 :
x+ 1
3
= y = −z − 1
1
e r2 :

x = 2 + t,
y = 1 + 3t, onde t ∈ R.
z = t,
Ache uma equac¸a˜o do plano pi que e´ paralelo a` reta r1 e contem a reta r2.
Soluc¸a˜o.
O plano pi procurado e´ paralelo a r1 e a r2. Portanto, um vetor N =
(a, b, c), ortogonal a pi, deve ser ortogonal aos vetores v1 = (3, 1,−1) e v2 =
(1, 3, 1), que sa˜o vetores diretores de r1 e r2, respectivamente. Sendo assim,
a, b e c satisfazem o sistema de equac¸o˜es lineares 3a+b−c = 0 e a+3b+c = 0
que possui uma soluc¸a˜o da forma N = (1,−1, 2). Portanto, x− y + 2z = d
e´ uma equac¸a˜o para o plano pi, onde a constante d pode ser determinada
pela condic¸a˜o de que pi contem r2. Substituindo o ponto (2, 1, 0) de r2,
conclu´ımos que d = 1 e portanto uma equac¸a˜o para pi e´ x− y + 2z = 1.
2
1
2a Questa˜o: Considere o conjunto
C =
{
(x, y, z) ∈ R3 | z = y2 − x2 e y = x2} e responda:
(a) (1 ponto) ache uma parametrizac¸a˜o lisa para o conjunto C;
(b) (1,5 pontos) ache os pontos de C nos quais a sua reta tangente e´
paralela ao plano xy.
Soluc¸a˜o.
(a) uma parametrizac¸a˜o lisa γ(t) de C e´ dada por:
γ(t) :

x = t,
y = t2, onde t ∈ R.
z = t4 − t2,
2
(b) Para que uma reta tangente a C seja paralela ao plano xy a terceira
componente do vetor velocidade γ′(t) deve ser nula. Este vetor velocidade
e´ dado por: γ′(t) :

x′ = 1,
y′ = 2t, onde t ∈ R.
z′ = 4t3 − 2t,
Os pontos procurados correspondem a valores de t ∈ R que satisfazem
a equac¸a˜o 4t3 − 2t = 0. Enta˜o temos t = 0, t =
√
2
2
e t = −
√
2
2
· Enta˜o
os pontos procurados sa˜o γ(0) = (0, 0, 0), γ(
√
2
2
) = (
√
2
2
,
1
2
,−1
4
) e
γ(−
√
2
2
) = (−
√
2
2
,
1
2
,−1
4
)
2
3a Questa˜o:(2,5 pontos) Considere a func¸a˜o f(x, y) =
x
y2 + x+ 2
e res-
ponda:
(a) (1 ponto) esboce o conjunto de n´ıvel de f que contem o ponto (3, 1);
(b) (1,5 pontos) ache uma equac¸a˜o para a reta tangente do conjunto de
n´ıvel do item (a), no ponto (3, 1).
Soluc¸a˜o.
(a) Como f(3, 1) =
3
6
=
1
2
, o pono (3, 1) pertence ao conjunto de n´ıvel 1/2
de f . A equac¸a˜o deste conjunto de n´ıvel e´
x
y2 + x+ 2
=
1
2
, ou seja,
2x = y2 + x+ 2 que resulta em x = y2 + 2. Veja o esboc¸o abaixo
Nivel 1/2
Reta tangente
-10 10 20 x
-4
-2
2
4
y
2
(b) uma parametrizac¸a˜o o conjunto de n´ıvel do item (a) e´ γ(t) = (t2 + 2, t),
onde t ∈ R. O ponto (3, 1) e´ igual a γ(1) e o vetor velocidade correspondente
e´ γ′(t) = (2t, 1) e portanto γ′(1) = (2, 1). Sendo assim a reta tangente
pedida e´ r :
x = 3 + 2t,y = 1 + t, onde t ∈ R.
Esta reta tambe´m pode ser escrita na forma x = 2y + 1.
2
4a Questa˜o: (2,5 pontos) Decida se o limite lim
(x,y)→(1,1)
3(x− 1)2 + 2(y − 1)2
x2 − y2
existe ou na˜o.
Soluc¸a˜o. Vamos analisar os conjuntos de n´ıvel da func¸a˜o
f(x, y) =
3(x− 1)2 + 2(y − 1)2
x2 − y2 . A equac¸a˜o do conjunto de n´ıvel k e´
3(x− 1)2 + 2(y − 1)2
x2 − y2 = k, que para x
2 6= y2 implica que 3x2 − 6x + 2y2 −
4y+ 5 = kx2− ky2, ou ainda (3− k)x2 − 6x+ (2 + k)y2 − 4y + 5 = 0. Para
k = 3 a esta equac¸a˜o torna-se −6x+ 5y2 − 4y + 5 = 0 e e´ satisfeita pelo
ponto (1, 1). Para k = −2 a equac¸a˜o torna-se 5x2 − 6x− 4y + 5 = 0 que
tambe´m e´ satisfeita pelo ponto (1, 1). Conclu´ımos que os conjuntos de n´ıvel
3 e −2 se aproximam de (1, 1) e portanto o limite pedido na˜o existe.
2