Aula de Matemática aplicada a Economia Nakagumma (23)

Prévia do material em texto

EAE0207: Matemática Aplicada à Economia
Aula 24: Equações a Diferenças de 1.a Ordem
Marcos Y. Nakaguma
01/11/2017
1
Equações a Diferenças de Primeira Ordem
Considere a seguinte equação a diferenças (autônoma) de
primeira-ordem:
yt+1 = ayt + b
I Note que, neste caso, podemos escrever:
y1 = ay0 + b
y2 = ay1 + b = a (ay0 + b) + b = a
2y0 + b+ ab
y3 = ay2 + b = a(a
2y0 + b+ ab) + b = a
3y0 + b+ ab+ a
2b
...
yt = ayt�1 + b = a
ty0 + b+ ab+ ...+ a
t�1b
2
Equações a Diferenças de Primeira Ordem
(Cont.)
I Logo, a solução geral é dada por:
yt = a
ty0 + b+ ba+ ...ba
t�1| {z }
P.G.
I Se a 6= 1, a expressão acima pode ser escrita como:
yt = a
ty0 + b
1� at
1� a
)
) yt =
�
y0 �
b
1�a
�
at + b1�a
I Se, por outro lado, a = 1, então temos que:
yt = y0 + bt
3
Equações a Diferenças de Primeira Ordem
Exemplo 1: Resolva a seguinte equação:
yt+1 + 2yt = 10
com y0 = 7.
I Primeiro, re-escreva a equação acima como:
yt+1 = �2yt + 10
Vimos pelo método iterativo que a solução dessa equação tem forma
geral dada por:
yt =
�
y0 �
10
3
�
(�2)t +
10
3
I Substituindo y0 = 7, obtemos:
yt =
11
3
(�2)t +
10
3
4
Equações a Diferenças de Primeira Ordem
(Cont.)
I A solução acima determina a seguinte trajetória:
Neste caso, dizemos que a trajetória é divergente e oscilatória.
5
Trajetórias Temporais
Considere uma equação a diferenças de primeira ordem:
yt+1 = ayt + b,
com b 6= 0. Vimos que a solução deste problema é dada por:
yt =
�
y0 �
b
1�a
�
at + b1�a , se a 6= 1
e
yt = y0 + bt, se a = 1
6
Trajetórias Temporais
Suponha que y0 6=
b
1�a . Neste caso, dizemos que:
i . Se jaj < 1, a trajetória de yt é convergente;
ii . Se jaj > 1 ou a = 1 com b 6= 0, a trajetória de yt é divergente.
iii . Se a = �1, a trajetória de yt é neutramente estável.
Além disso, dizemos que:
i . Se a < 0, a trajetória de yt é oscilatória;
ii . Se a > 0, a trajetória de yt é não-oscilatória.
7
Trajetórias Temporais: Exemplos
Grá…co 1: Trajetória convergente e não-oscilatória:
yt+1 = 0, 8yt + 0.5, y0 = 1
8
Trajetórias Temporais: Exemplos
Grá…co 2: Trajetória divergente e não-oscilatória:
yt+1 = 1, 2yt + 0.5, y0 = 1
9
Trajetórias Temporais: Exemplos
Grá…co 3: Trajetória convergente e oscilatória:
yt+1 = �0, 8yt + 0.5, y0 = 1
10
Trajetórias Temporais: Exemplos
Grá…co 4: Trajetória neutramente estável (i.e. a trajetória oscila sem
se aproximar nem se afastar de um equilíbrio):
yt+1 = �yt + 0.5, y0 = 1
11
Equações a Diferenças de Primeira Ordem
Exemplo 2: Resolva a seguinte equação:
yt+1 +
1
2
yt = 5
com y0 = 7.
I Primeiro, re-escreva a equação acima como:
yt+1 = �
1
2
yt + 5
Vimos pelo método iterativo que a solução dessa equação tem forma
geral dada por:
yt =
�
y0 �
10
3
��
�
1
2
�t
+
10
3
I Substituindo y0 = 7, obtemos:
yt =
11
3
�
�
1
2
�t
+
10
3
12
Equações a Diferenças de Primeira Ordem
(Cont.)
I A solução acima determina a seguinte trajetória:
Neste caso, dizemos que a trajetória é convergente e oscilatória.
13
Equações a Diferenças de Primeira Ordem
(Cont.)
I O diagrama de fases da equação yt+1 = �
1
2 yt + 5, com y0 = 7, é
dado por:
14
Nota: Equações a Diferenças de Segunda Ordem
Considere a seguinte equação a diferenças homogênea de segunda
ordem:
ayt+2 + byt+1 + cyt = 0
Neste caso, a equação característica associada é dada por:
aλ2 + bλ+ c = 0
A solução geral da equação é dada por:
i . Raízes reais distintas:
yt = k1λ
t
1 + k2λ
t
2
ii . Raízes reais iguais:
yt = k1λ
t + k2tλ
t
iii . Raízes reais complexas:
yt = R
t [k1 cos (θt) + k2sen (θt)] ,
onde λ = α� βi , com R =
q
α2 + β2 e θ = arccos
�
α
R
�
.
15
Estática Comparativa &
o Teorema da Função Implícita
16
Sistemas de Funções Implícitas
Em geral, um modelo econômico produz como resultado um conjunto
de equações (potencialmente não-lineares):
F1 (x1, ...xn; α1, ..., αm) = 0
...
Fn (x1, ...xn; α1, ..., αm) = 0
expressando a relação entre as variáveis endógenas, x1, ..., xn, e os
parâmetros do modelo, α1, ..., αm .
17
Sistemas de Funções Implícitas
Dizemos que o sistema anterior é um sistema de funções implícitas,
pois as suas equações de…nem as variáveis endógenas x1, ..., xn como
função implícita dos parâmetros do modelo.
Note que caso haja alteração nos parâmetros α1, ..., αm , precisaremos
ajustar os valores das variáveis x1, ..., xn de forma a preservar as
relações de igualdade.
Assim, dizemos que α1, ..., αm determinam implicitamente as
variáveis x1, ..., xn.
18
Estática Comparativa
Em economia, é comum estarmos interessados em saber como uma
pequena variação em um dos parâmetros do modelo afeta os valores
das variáveis endógenas, x1, ..., xn.
Este tipo de questão é conhecido como problema de estática
comparativa.
19
Estática Comparativa
Em princípio, uma maneira de analisar este problema seria resolver o
sistema acima, expressando cada uma das variáveis como função
explícita dos parâmetros do modelo:
x�1 = x1 (α1, ..., αm)
...
x�n = xn (α1, ..., αm)
Assim, teríamos que:
∂x �1
∂αk
= ∂x1(α1,...,αm )∂αk
...
∂x �n
∂αk
= ∂xn(α1,...,αm )∂αk
20
Estática Comparativa
Entretanto, existem situações em que é muito difícil ou trabalhoso
resolver o sistema para as variáveis x1, ..., xn.
A seguir, vamos mostrar como podemos aplicar o chamado "teorema
da função implícita" a estes casos.
21
Teorema da Função Implícita: Caso Simples
Considere a seguinte função implícita:
F (x ; α) = 0 (1)
Suponha que esta equação possua uma solução x�, então podemos
expressá-la como função do parâmetro α:
x� = x (α)
Substituíndo a função x (α) na equação (1), obtemos:
F � (α) = F (x (α) ; α) � 0 (2)
Note que esta relação é uma identidade, pois, ao contrário da
equação (1), ela é válida para qualquer α, por de…nição.
22
Teorema da Função Implícita: Caso Simples
Diferenciando a expressão acima em relação a α, obtemos pela regra
da cadeia:
dF � (α)
dα
=
∂F (x (α) ; α)
∂x
dx(α)
dα
+
∂F (x (α) ; α)
∂α
= 0
Re-arranjando, segue que:
dx (α)
dα
= �
∂F (x (α);α)
∂α
∂F (x (α);α)
∂x
,
onde deve-se assumir que
∂F (x (α);α)
∂x 6= 0.
23