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Aula de Matemática aplicada a Economia Nakagumma (6)

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EAE0207: Matemática Aplicada à Economia
Aula 6: Determinantes e Regra de Cramer
Marcos Y. Nakaguma
18/08/2017
1
Revisão
Teorema: Para qualquer matriz quadrada A, são equivalentes as
seguintes a…rmações:
a. A é invertível.
b. A é não-singular.
c . A tem posto máximo.
d . O sistema Ax = b tem uma única solução para qualquer b.
De…nimos o conceito de determinante como sendo um número com a
seguinte propriedade: uma matriz quadrada é não-singular se, e
somente se, seu determinante é não-nulo.
2
De…nindo o Determinante
Caso 2 - Matriz 2x2.
I Seja
A =
�
a11 a12
a21 a22
�
A matriz A é não-singular se, e somente se, o seguinte sistema:�
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
possuir uma única solução para qualquer b1 e b2.
I Como vimos anteriormente, este será o caso se, e somente se,
a11a22 � a12a21 6= 0.
3
De…nindo o Determinante
(Cont.)
I Assim, de…nimos:
det
�
a11 a12
a21 a22
�
= a11a22 � a12a21
= a11 det (a22)| {z }
termo1
� a12 det (a21)| {z }
termo2
,
i.e., o termo 1 é a entrada (1, 1) vezes o determinante da submatriz
obtida suprimindo de A a linha e a coluna que contém a entrada (1, 1);
enquanto que o termo 2 é a entrada (1, 2) vezes o determinante da
submatriz obtida suprimindo de A a linha e a coluna que contém a
entrada (1, 2). Note que os termos devem se alternar de sinal.
4
De…nindo o Determinante
Caso 3 - Matriz 3x3.
I Seja
A =
2
4 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
3
5
A matriz A é não-singular se, e somente se, o seguinte sistema:8<
:
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
possuir uma única solução para qualquer b1, b2 e b3.
I Lembre-se de que esta condição é satisfeita se, e somente se, a matriz
A possui posto máximo. Para veri…car se tal critério é válido, devemos
reduzir a matriz A à sua forma escalonada.
5
De…nindo o Determinante
(Cont.)
I Após diversas manipulações algébricas, obtemos:2
4 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
3
5 (...)�!
2
4 a11 a12 a130 a11a22 � a21a12 a11a23 � a21a13
0 0 (�)
3
5
onde (�) =
a11(a22a33�a23a32)�a12(a21a33�a23a31)+a13(a21a32�a22a31)
a11a22�a21a12
.
I Consequentemente, a matriz A possui posto máximo se, se somente se,
(�) 6= 0. Assim, de…nimos:
det
2
4 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
3
5 = a11 (a22a33 � a23a32)� a12 (a21a33 � a23a31)
+a13 (a21a32 � a22a31)
6
De…nindo o Determinante
(Cont.)
I Note que podemos re-escrever a expressão acima como:
det
2
4 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
3
5 = a11 det
�
a22 a23
a32 a33
�
� a12 det
�
a21 a23
a31 a33
�
+ a13 det
�
a21 a22
a31 a32
�
i.e., estamos multiplicando cada elemento da linha 1, a1j , pelo
determinante da submatriz obtida suprimindo de A a linha 1 e a coluna
j . Note que os termos se alternam de sinal conforme a soma dos
índices (1+ j) seja par ou ímpar.
7
De…nindo o Determinante
Os matemáticos começaram a notar o aparecimento recorrente dessas
expressões e um padrão passou a emergir. Por exemplo, no caso de
uma matriz 4 x 4 pode-se mostrar que:
det
2
664
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
3
775 = a11 det
2
4 a22 a23 a24a32 a33 a34
a42 a43 a44
3
5
� a12 det
2
4 a21 a23 a24a31 a33 a34
a41 a43 a44
3
5+ a13 det
2
4 a21 a22 a24a31 a32 a34
a41 a42 a44
3
5
� a14 det
2
4 a21 a22 a23a31 a32 a33
a41 a42 a43
3
5
8
De…nição: Determinante
Os exemplos anteriores envolveram a expansão ao longo da primeira
linha. Porém, não há nada de especial sobre a primeira linha. De
fato, podemos utilizar qualquer linha ou coluna para calcular o
determinante de uma matriz.
Por exemplo, no caso de uma matriz 3� 3, podemos escrever:
i . Expansão ao longo da linha 2 :
detA = �a21 det
�
a12 a13
a32 a33
�
+ a22 det
�
a11 a13
a31 a33
�
�a23 det
�
a11 a12
a31 a32
�
ii . Expansão ao longo da coluna 2 :
detA = �a12 det
�
a21 a23
a31 a33
�
+ a22 det
�
a11 a13
a31 a33
�
�a32
�
a11 a13
a21 a23
�
9
De…nição: Determinante
Teorema: Em geral, o determinante de uma matriz A de tamanho
n� n pode ser de…nido como:
detA =
n
∑
k=1
(�1)i+k aik detAik (expansão ao longo da linha i)
=
n
∑
h=1
(�1)h+j ahj detAhj (expansão ao longo da coluna j)
para quaisquer i e j .
Observe que o fato de que é possível calcular o determinante de A
usando-se tanto a i-ésima linha quanto a i-ésima coluna implica que a
transposição de uma matriz não modi…ca o seu determinante.
Teorema: Para qualquer matriz A de tamanho n� n, detA = detAT .
10
Exemplo
O determinante da matriz A =
2
4 2 3 10 1 4
1 0 2
3
5 pode ser calculado da
seguinte maneira:
det
2
4 2 3 10 1 4
1 0 2
3
5 = 1 . (�1)3+1 det � 3 1
1 4
�
+
+ 0 . (�1)3+2 det
�
2 1
0 4
�
+ 2 . (�1)3+3 det
�
2 3
0 1
�
= 15
11
Exemplo
Neste caso, os menores e os co-fatores são os seguintes:
det
2
4 2 3 10 1 4
1 0 2
3
5 = 1 .(�1)3+1
menor (M31)z }| {
det
�
3 1
1 4
�
| {z }
co�fator (C31)
+
+ 0 .(�1)3+2
menor (M32)z }| {
det
�
2 1
0 4
�
| {z }
co�fator (C32)
+ 2 .(�1)3+3
menor (M33)z }| {
det
�
2 3
0 1
�
| {z }
co�fator (C33)
12
Determinante: Principal Propriedade
Teorema: Uma matriz quadrada A é não-singular se, e somente se,
detA 6= 0.
13
Determinante: Propriedades Importantes
O determinante de uma matriz possui as seguintes propriedades:
i . Se duas linhas (colunas) de A são iguais, então detA = 0.
ii . Se uma matriz A tem uma linha (coluna) interiamente constituída de
zeros, então detA = 0.
iii . Para quaisquer matrizes A e B n� n, detAB = detA. detB
iv . Se A é invertível, então det
�
A�1
�
= 1detA .
v . Em geral, det (A+ B) 6= detA+ detB.
14
Determinante: Propriedades Importantes
(Cont.)
vi . Se a matriz B é obtida a partir da matriz A pela permuta de duas
linhas (ou colunas), então detB = � detA.
vii . Se a matriz B é obtida a partir da matriz A pela multiplicação de cada
entrada na linha (coluna) i pelo escalar r , então det B = r . detA
viii . Se a matriz B é obtida a partir do escalonamento da matriz A, então
detB = � detA.
15
Regra de Cramer
Teorema: Seja A uma matriz não-singular n� n, então a única
solução x = (x1, ..., xn) do sistema Ax = b é:
xi =
detBi
detA
, para i = 1, ..., n
onde Bi é a matriz A com o lado direito b substituindo a i-ésima
coluna de A.
16
Regra de Cramer
Para sistemas de três equações e três incógnitas:8<
:
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
a regra de Cramer estabelece que:
x1 =
��������
b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33
����������������
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
��������
, x2 =
��������
a11 b1 a13
a21 b2 a23
a31 b3 a33
����������������
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
��������
, x3 =
��������
a11 a12 b1
a21 a22 b2
a31 a32 b3
����������������
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
��������
17
Regra de Cramer
Exemplo: Considere o seguinte sistema linear:2
4 1 1 112 2 �3
3 4 1
3
5
2
4 x1x2
x3
3
5 =
2
4 05
�4
3
5
Pela regra de Cramer, temos que a solução para x3 é dada por:
x3 =
������
1 1 0
12 2 5
3 4 �4
������������
1 1 1
12 2 �3
3 4 1
������
=
35
35
= 1
18

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