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EAE0207: Matemática Aplicada à Economia Aula 6: Determinantes e Regra de Cramer Marcos Y. Nakaguma 18/08/2017 1 Revisão Teorema: Para qualquer matriz quadrada A, são equivalentes as seguintes a rmações: a. A é invertível. b. A é não-singular. c . A tem posto máximo. d . O sistema Ax = b tem uma única solução para qualquer b. De nimos o conceito de determinante como sendo um número com a seguinte propriedade: uma matriz quadrada é não-singular se, e somente se, seu determinante é não-nulo. 2 De nindo o Determinante Caso 2 - Matriz 2x2. I Seja A = � a11 a12 a21 a22 � A matriz A é não-singular se, e somente se, o seguinte sistema:� a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 possuir uma única solução para qualquer b1 e b2. I Como vimos anteriormente, este será o caso se, e somente se, a11a22 � a12a21 6= 0. 3 De nindo o Determinante (Cont.) I Assim, de nimos: det � a11 a12 a21 a22 � = a11a22 � a12a21 = a11 det (a22)| {z } termo1 � a12 det (a21)| {z } termo2 , i.e., o termo 1 é a entrada (1, 1) vezes o determinante da submatriz obtida suprimindo de A a linha e a coluna que contém a entrada (1, 1); enquanto que o termo 2 é a entrada (1, 2) vezes o determinante da submatriz obtida suprimindo de A a linha e a coluna que contém a entrada (1, 2). Note que os termos devem se alternar de sinal. 4 De nindo o Determinante Caso 3 - Matriz 3x3. I Seja A = 2 4 a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 3 5 A matriz A é não-singular se, e somente se, o seguinte sistema:8< : a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 possuir uma única solução para qualquer b1, b2 e b3. I Lembre-se de que esta condição é satisfeita se, e somente se, a matriz A possui posto máximo. Para veri car se tal critério é válido, devemos reduzir a matriz A à sua forma escalonada. 5 De nindo o Determinante (Cont.) I Após diversas manipulações algébricas, obtemos:2 4 a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 3 5 (...)�! 2 4 a11 a12 a130 a11a22 � a21a12 a11a23 � a21a13 0 0 (�) 3 5 onde (�) = a11(a22a33�a23a32)�a12(a21a33�a23a31)+a13(a21a32�a22a31) a11a22�a21a12 . I Consequentemente, a matriz A possui posto máximo se, se somente se, (�) 6= 0. Assim, de nimos: det 2 4 a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 3 5 = a11 (a22a33 � a23a32)� a12 (a21a33 � a23a31) +a13 (a21a32 � a22a31) 6 De nindo o Determinante (Cont.) I Note que podemos re-escrever a expressão acima como: det 2 4 a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 3 5 = a11 det � a22 a23 a32 a33 � � a12 det � a21 a23 a31 a33 � + a13 det � a21 a22 a31 a32 � i.e., estamos multiplicando cada elemento da linha 1, a1j , pelo determinante da submatriz obtida suprimindo de A a linha 1 e a coluna j . Note que os termos se alternam de sinal conforme a soma dos índices (1+ j) seja par ou ímpar. 7 De nindo o Determinante Os matemáticos começaram a notar o aparecimento recorrente dessas expressões e um padrão passou a emergir. Por exemplo, no caso de uma matriz 4 x 4 pode-se mostrar que: det 2 664 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 3 775 = a11 det 2 4 a22 a23 a24a32 a33 a34 a42 a43 a44 3 5 � a12 det 2 4 a21 a23 a24a31 a33 a34 a41 a43 a44 3 5+ a13 det 2 4 a21 a22 a24a31 a32 a34 a41 a42 a44 3 5 � a14 det 2 4 a21 a22 a23a31 a32 a33 a41 a42 a43 3 5 8 De nição: Determinante Os exemplos anteriores envolveram a expansão ao longo da primeira linha. Porém, não há nada de especial sobre a primeira linha. De fato, podemos utilizar qualquer linha ou coluna para calcular o determinante de uma matriz. Por exemplo, no caso de uma matriz 3� 3, podemos escrever: i . Expansão ao longo da linha 2 : detA = �a21 det � a12 a13 a32 a33 � + a22 det � a11 a13 a31 a33 � �a23 det � a11 a12 a31 a32 � ii . Expansão ao longo da coluna 2 : detA = �a12 det � a21 a23 a31 a33 � + a22 det � a11 a13 a31 a33 � �a32 � a11 a13 a21 a23 � 9 De nição: Determinante Teorema: Em geral, o determinante de uma matriz A de tamanho n� n pode ser de nido como: detA = n ∑ k=1 (�1)i+k aik detAik (expansão ao longo da linha i) = n ∑ h=1 (�1)h+j ahj detAhj (expansão ao longo da coluna j) para quaisquer i e j . Observe que o fato de que é possível calcular o determinante de A usando-se tanto a i-ésima linha quanto a i-ésima coluna implica que a transposição de uma matriz não modi ca o seu determinante. Teorema: Para qualquer matriz A de tamanho n� n, detA = detAT . 10 Exemplo O determinante da matriz A = 2 4 2 3 10 1 4 1 0 2 3 5 pode ser calculado da seguinte maneira: det 2 4 2 3 10 1 4 1 0 2 3 5 = 1 . (�1)3+1 det � 3 1 1 4 � + + 0 . (�1)3+2 det � 2 1 0 4 � + 2 . (�1)3+3 det � 2 3 0 1 � = 15 11 Exemplo Neste caso, os menores e os co-fatores são os seguintes: det 2 4 2 3 10 1 4 1 0 2 3 5 = 1 .(�1)3+1 menor (M31)z }| { det � 3 1 1 4 � | {z } co�fator (C31) + + 0 .(�1)3+2 menor (M32)z }| { det � 2 1 0 4 � | {z } co�fator (C32) + 2 .(�1)3+3 menor (M33)z }| { det � 2 3 0 1 � | {z } co�fator (C33) 12 Determinante: Principal Propriedade Teorema: Uma matriz quadrada A é não-singular se, e somente se, detA 6= 0. 13 Determinante: Propriedades Importantes O determinante de uma matriz possui as seguintes propriedades: i . Se duas linhas (colunas) de A são iguais, então detA = 0. ii . Se uma matriz A tem uma linha (coluna) interiamente constituída de zeros, então detA = 0. iii . Para quaisquer matrizes A e B n� n, detAB = detA. detB iv . Se A é invertível, então det � A�1 � = 1detA . v . Em geral, det (A+ B) 6= detA+ detB. 14 Determinante: Propriedades Importantes (Cont.) vi . Se a matriz B é obtida a partir da matriz A pela permuta de duas linhas (ou colunas), então detB = � detA. vii . Se a matriz B é obtida a partir da matriz A pela multiplicação de cada entrada na linha (coluna) i pelo escalar r , então det B = r . detA viii . Se a matriz B é obtida a partir do escalonamento da matriz A, então detB = � detA. 15 Regra de Cramer Teorema: Seja A uma matriz não-singular n� n, então a única solução x = (x1, ..., xn) do sistema Ax = b é: xi = detBi detA , para i = 1, ..., n onde Bi é a matriz A com o lado direito b substituindo a i-ésima coluna de A. 16 Regra de Cramer Para sistemas de três equações e três incógnitas:8< : a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 a regra de Cramer estabelece que: x1 = �������� b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 ���������������� a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 �������� , x2 = �������� a11 b1 a13 a21 b2 a23 a31 b3 a33 ���������������� a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 �������� , x3 = �������� a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3 ���������������� a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 �������� 17 Regra de Cramer Exemplo: Considere o seguinte sistema linear:2 4 1 1 112 2 �3 3 4 1 3 5 2 4 x1x2 x3 3 5 = 2 4 05 �4 3 5 Pela regra de Cramer, temos que a solução para x3 é dada por: x3 = ������ 1 1 0 12 2 5 3 4 �4 ������������ 1 1 1 12 2 �3 3 4 1 ������ = 35 35 = 1 18
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