Aula de Matemática aplicada a Economia Nakagumma (9)

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EAE0207: Matemática Aplicada à Economia
Aula 9: Subespaços Associados a uma Matriz
Marcos Y. Nakaguma
30/08/2017
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Revisão
Na aula passada, de…nimos que um conjunto de m vetores v1,...,
vm 2 R
n constitui uma base de um subconjunto V � Rn se:
i . v1,..., vm gera V ;
ii . v1,..., vm são linearmente independentes.
Além disso, vimos que as seguintes a…rmações são equivalentes:
i . v1,..., vn são linearmente independentes;
ii . v1,..., vn gera R
n ;
iii . v1,..., vn constitui uma base de R
n ;
iv . O determinante de A = ( v1 ... vn ) é não-nulo.
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Base e Dimensão em Rn
Teorema: Qualquer base de Rn contém n vetores.
Intuitivamente, dizemos que o Rn é n-dimensional, pois o fato de
cada base de Rn conter exatamente n vetores nos diz que existem n
"direções" independentes em Rn.
De forma geral, dizemos que um subconjunto V � Rn tem dimensão
k se qualquer uma de suas bases tiver k vetores.
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Exercícios
Exercício 1: Mostre que os vetores u = (1, 0, 1) e v = (2, 1, 0) não
geram o R3.
I Para demonstrar essa a…rmação, devemos encontrar um vetor qualquer
w 2R3 tal que w /2 L[u, v].
I Se w 2 L[u, v], então devem existir c1 e c2 tais que:0
@ w1w2
w3
1
A = c1
0
@ 10
1
1
A+ c2
0
@ 21
0
1
A ,
i.e. o sistema: 0
@ 1 20 1
1 0
1
A� c1
c2
�
=
0
@ w1w2
w3
1
A
deve possuir uma solução.
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Exercícios
(Cont.)
I Escalonando a matriz de coe…cientes ampliada, obtemos que:
bA =
0
@ 1 2 w10 1 w2
1 0 w3
1
A )
0
@ 1 2 w10 1 w2
0 0 2w2 + w3 � w1
1
A
I Portanto, qualquer vetor w = (w1,w2,w3) tal que:
2w2 + w3 � w1 6= 0
não pertence ao espaço gerado L[u, v].
I Por exemplo:
i . (0, 1, 0), (1, 1, 1) /2 L[u, v]
ii . (1, 1,�1) 2 L[u, v]
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Exercícios
Exercício 2: O vetor w = (1,�1, 2) pertence ao conjunto gerado
pelos vetores u = (1, 2, 3) e v = (3, 2, 1)?
I Se w 2 L[u, v], então devem existir c1 e c2 tais que:0
@ 1�1
2
1
A = c1
0
@ 12
3
1
A+ c2
0
@ 32
1
1
A ,
i.e. o sistema: 0
@ 1 32 2
3 1
1
A� c1
c2
�
=
0
@ 1�1
2
1
A
deve possuir uma solução.
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Exercícios
(Cont.)
I Escalonando a matriz de coe…cientes ampliada, obtemos que:
bA =
0
@ 1 3 12 2 �1
3 1 2
1
A)
0
@ 1 2 10 1 34
0 0 �5
1
A
Portanto, posto A < posto bA. Logo, o sistema não possui solução.
I Assim, concluímos que w /2 L[u, v].
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Exercícios
Exercício 3: Considere o subespaço V � R4 gerado pelos vetores
v1 = (1,�1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 = (�2, 2, 1, 1) e
v4 = (1, 0, 0, 0) . Exiba uma base para V e encontre a sua dimensão.
I Para veri…car se v1, v2, v3 e v4 formam uma base de V , devemos
testar se esses vetores são linearmente independentes. De…na:
A =
0
BB@
1 0 �2 1
�1 0 2 0
0 1 1 0
0 1 1 0
1
CCA
Note que posto A < 4 (no vetores) ou, alternativamente, que
detA = 0, pois a matriz A possui duas linhas idênticas.
I Portanto, os vetores v1, v2, v3 e v4 são linearmente dependentes. De
fato, observe que:
v3 = �2v1 + v2
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Exercícios
(Cont.)
I Para encontrar uma base de V basta excluir v3 (intuitivamente, este é
um vetor "inútil", pois pode ser escrito como combinação linear dos
demais vetores).
I Além disso, devemos veri…car se os vetores v1, v2 e v4 são, de fato,
linearmente independentes. De…na:
A =
0
BB@
1 0 1
�1 0 0
0 1 0
0 1 0
1
CCA)
0
BB@
1 0 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1
CCA
Note que posto A = 3 (= no vetores).
I Assim, v1, v2 e v4 são linearmente independentes e, portanto, formam
uma base para V . A dimensão de V é igual a 3.
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Subespaços Associados a uma Matriz
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Subespaços Associados a uma Matriz
Considere uma matriz de coe…cientes qualquer de tamanho n�m:
A =
0
B@
a11 � � � a1m
...
. . .
...
an1 � � � anm
1
CA
Nesta seção, estudaremos dois subespaços associados a essa matriz:
i . Espaço-coluna: Conjunto gerado pelas colunas de A :
a1 =
0
B@
a11
...
an1
1
CA , ..., am =
0
B@
a1m
...
anm
1
CA
ii . Espaço-nulo: Conjunto das soluções do sistema homogêneo Ax = 0.
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Espaço-Coluna
De…nição: Dada uma matriz A =
�
a1, ..., am
�
de tamanho
n�m, com a1, ..., am 2 R
n, o subconjunto de Rn gerado pelas
colunas de A é denominado espaço-coluna de A:
Col (A) = L[a1, ..., am ]
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Dimensão do Espaço-Coluna de A
De…nição: Um pivô de uma matriz em forma escalonada por linhas é
o primeiro elemento não-nulo de uma de suas linhas.
Exemplo: Considere a seguinte matriz:
A =
0
@ 1 8 7 30 2 9 5
0 0 0 4
1
A
Os elementos 1, 2 e 4 da primeira, segunda e terceira linhas,
respectivamente, são os únicos pivôs da matriz.
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Dimensão do Espaço-Coluna de A
De…nição: Uma coluna de uma matriz A é uma coluna básica se a
coluna correspondente na sua forma escalonada por linhas Ar , contém
um pivô.
Exemplo: Considere a matriz:
A =
�
1 2
2 4
�
e a sua forma escalonada por linhas:
Ar =
�
1 2
0 0
�
Note que apenas a primeira coluna de Ar contém um pivô. Portanto,
dizemos que o vetor
�
1
2
�
é uma coluna básica de A.
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Dimensão do Espaço-Coluna de A
Teorema: As colunas básicas de A constituem uma base de Col (A) .
A intuição por trás deste resultado é a de que quaisquer relações
lineares existentes entre as colunas de A também devem existir entre
as colunas de sua forma escalonada Ar .
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Dimensão do Espaço-Coluna de A
Exemplo 1: Considere a matriz A e a sua forma escalonada Ar :
A =
�
4 8 1 9
�8 �16 1 �15
�
e Ar =
�
4 8 1 9
0 0 3 3
�
I As colunas básicas de A:�
4
�8
�
e
�
1
1
�
constituem uma base do espaço-coluna de A, Col (A).
I Note que para ambas as matrizes:
i . a coluna 2 é o dobro da coluna 1;
ii . a coluna 4 é a soma das colunas 2 e 3;
iii . as colunas 1 e 3 são linearmente independentes;
iv . as colunas 1 e 3 geram o espaço-coluna de suas respectivas matrizes.
I Portanto, as propriedades das colunas de ambas matrizes são similares.
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Dimensão do Espaço-Coluna de A
Exemplo 2: Considere a matriz A e a sua forma escalonada Ar :
A =
0
@ 2 3 1 42 3 7 9
2 3 13 14
1
A e Ar =
0
@ 2 3 1 40 0 6 5
0 0 0 0
1
A
I A colunas básicas de A:0
@ 22
2
1
A e
0
@ 17
13
1
A
constituem uma base do espaço-coluna de A, Col (A).
I Por sua vez, os vetores 0
@ 20
0
1
A e
0
@ 16
0
1
A
constituem uma base do espaço coluna de Ar . Note que dimCol (A) =
dimCol (Ar ) = 2, porém Col (A) 6= Col (Ar ) .
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Dimensão do Espaço-Coluna de A
(Cont.)
I Além disso, é possível mostrar que a quarta coluna de ambas as
matrizes pode ser expressa como uma combinação linear das bases do
espaço-coluna das respectivas matrizes. De fato, temos que:0
@ 45
0
1
A = 19
12
0
@ 20
0
1
A+ 5
6
0
@ 16
0
1
A
e 0
@ 49
14
1
A = 19
12
0
@ 22
2
1
A+ 5
6
0
@ 17
13
1
A
Note que os coe…cientes das combinações lineares associados à cada
uma das bases é idêntico.
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Dimensão do Espaço-Coluna de A
Teorema: Para qualquer matriz A de tamanho n�m :
dimCol (A) = posto A
I Prova:
dimCol (A) = no de bases de Col (A)
= no de pivôs em Ar
= no de linhas não-nulas em Ar
= posto de A
�
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