Aula de Matemática aplicada a Economia Nakagumma (14)

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EAE0207: Matemática Aplicada à Economia
Aula 15: Autovalores e Autovetores
Marcos Y. Nakaguma
27/09/2017
1
Autovalores e Autovetores
2
Motivação
Dada uma transformação linear:
T : Rn ! Rn,
gostaríamos de determinar quais vetores x 2 Rn são "levados" neles
mesmos por esta transformação, i.e.:
T (x) = x $ Ax = x,
onde A é uma matriz quadrada n� n. Neste caso, dizemos que x é
um vetor …xo.
Note que o vetor nulo, x = 0, sempre é um vetor …xo, de modo que
vamos desconsiderá-lo de nossa análise.
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Motivação
Exemplo 2: Re‡exão no Eixo x.
I Considere a seguinte transformação linear T : R2 ! R2 :
T (x) =
�
1 0
0 �1
� �
x1
x2
�
)
�
y1
y2
�
=
�
x1
�x2
�
I Neste caso, os vetores …xos devem ser tais que:�
x1
x2
�
=
�
x1
�x2
�
$ x2 = �x2 ) x2 = 0
I Portanto, todo vetor x 2 R2 pertencente ao eixo x, i.e.:
x =
�
x1
0
�
é mantido …xo pela transformação.
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Transformações Lineares: Vetor Fixo
Exemplo 3: Rotação de 90o .
I Considere a seguinte transformação linear T : R2 ! R2 :
T (x) =
�
0 �1
1 0
� �
x1
x2
�
)
�
y1
y2
�
=
�
�x2
x1
�
I Neste caso, os vetores …xos devem ser tais que:�
x1
x2
�
=
�
�x2
x1
�
!
�
x1 = �x2
x1 = x2
) x1 = x2 = 0
I Portanto, o único vetor …xo é o zero.
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Autovalores e Autovetores
Considere, agora, o seguinte problema: Dada uma transformação
linear
T : Rn ! Rn,
gostaríamos de determinar quais vetores x 2 Rn são "levados" em um
múltiplo deles mesmos, i.e.:
T (x) = rx $ Ax = rx,
onde r é um escalar e x 2 Rn é um vetor não nulo.
Neste caso, diz-se que x é um autovetor de A e r é um autovalor de A.
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Autovalores e Autovetores: De…nição
De…nição: Seja A uma matriz quadrada n� n. Um escalar r é um
autovalor de A se existir um vetor não-nulo x 2 Rn tal que:
Ax = rx
Neste caso, dizemos que x é um autovetor de A associado ao
autovalor r .
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Autovalores e Autovetores: Exemplo
Exemplo: Considere a transformação linear representada pela seguinte
matriz:
A =
�
2 1
1 2
�
Neste caso, podemos mostrar que os vetores:
x = t
�
1
1
�
, com t 2 R
e
y = t
�
1
�1
�
, com t 2 R
tem a sua direção preservada pela transformação linear, i.e. x e y são
autovetores de A.
8
Autovalores e Autovetores: Exemplo
Em particular, note que x = t
�
1
1
�
é multiplicado por r = 3 pela
transformação linear:�
2 1
1 2
� �
t
t
�
=
�
3t
3t
�
,
enquanto que y = t
�
1
�1
�
é multiplicado por r = 1 pela
transformação linear:�
2 1
1 2
� �
t
�t
�
=
�
t
�t
�
9
Autovalores e Autovetores: Exemplo
Gra…camente, temos a seguinte situação:
10
Autovalores e Autovetores: Exemplo
Gra…camente, temos a seguinte situação:
11
Autovalores e Autovetores: De…nição
Considere uma matriz A de tamanho n� n. Observe que podemos
escrever
Ax = rx
como: 0
BBB@
a11 a12 � � � a1n
a21 a22 � � � a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 � � � ann
1
CCCA
0
BBB@
x1
x2
...
xn
1
CCCA = r
0
BBB@
x1
x2
...
xn
1
CCCA ,
ou seja: 0
BBB@
a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn
a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn
...
an1x1 + an2x2 + ...+ annxn
1
CCCA =
0
BBB@
rx1
rx2
...
rxn
1
CCCA
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Autovalores e Autovetores: De…nição
Re-arranjando, obtemos:
0
BBB@
(a11 � r) x1 + a12x2 + ... + a1nxn
a21x1 + (a22 � r) x2 + ... + a2nxn
...
an1x1 + an2x2 + ... + (ann � r) xn
1
CCCA =
0
BBB@
0
0
...
0
1
CCCA
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Autovalores e Autovetores: De…nição
Note que podemos re-escrever a expressão acima como:0
BBB@
0
BBB@
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 ... ann
1
CCCA�
0
BBB@
r 0 ... 0
0 r ... 0
...
...
. . .
...
0 0 ... r
1
CCCA
1
CCCA
0
BBB@
x1
x2
...
xn
1
CCCA = 0
ou de forma mais compacta:
(A� r I ) x = 0,
onde I é a matriz identidade de tamanho n� n.
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Autovalores e Autovetores: De…nição
Observe que:
(A� rI ) x = 0
constitui um sistema homogêneo e possui solução não-nula x se, e
somente se, A� rI é uma matriz singular, ou seja, se:
det (A� r I ) = 0
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Autovalores e Autovetores: De…nição
De…nição: Seja A uma matriz quadrada. Um autovalor de A é um
número r tal que, se for subtraído de cada entrada da diagonal de A,
converte A em uma matriz singular. Portanto, r é um autovalor de A
se, e somente se, A� rI é uma matriz singular.
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Procedimento Geral
Um procedimento geral para encontrar-se os autovalores de uma
matriz A consiste em explorar o fato de que A� rI é singular se, e
somente se, det (A� rI ) = 0.
Assim, para uma matriz A de tamanho n� n, temos:
det (A� rI ) = 0 $
���������
a11 � r a12 � � � a1n
a21 a22 � r � � � a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 � � � ann � r
���������
= 0
Observe que esta equação constitui um polinômio de grau n na
variável r , denominado polinômio característico de A.
Os autovalores de A são determinados pelas raízes r desse polinômio.
Note que um polinômio de grau n possui n soluções.
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Procedimento Geral
Seja r um autovalor de A. Então, um autovetor associado a r é dado
por x não-nulo tal que (A� r I ) x = 0, i.e.:8>>><
>>>:
(a11 � r) x1 + a12x2 + � � �+ a1nxn = 0
a21x1 + (a22 � r) x2 + � � �+ a2nxn = 0
...
...
...
...
an1x1 an2x2 + � � �+ (ann � r) xn = 0
Assim, devemos resolver este sistema de equação para x1, x2, ..., xn.
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Exemplos
Exemplo 1: Encontre os autovalores reais e os autovetores da seguinte
matriz:
A =
�
1 2
3 0
�
O polinômio característico associado a esta matriz é dado por:
det (A� rI ) =
���� 1� r 23 �r
���� = 0 ! r2 � r � 6 = 0
As soluções desse polinômio (autovalores) são: r1 = �2 e r2 = 3.
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Exemplos
Os autovetores associados a r1=�2 são determinados pelas soluções
não-nulas do seguinte sistema:�
3x1 + 2x2 = 0
3x1 + 2x2 = 0
! x1 = �
2
3
x2
Assim, qualquer vetor x tal que:
x = t
�
�
2
3
1
�
, com t 2 R
é um autovetor associado a r1 = �2.
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Exemplos
Os autovetores associados a r2=3, por sua vez, são determinados
pelas soluções não-nulas do seguinte sistema:�
�2x1 + 2x2 = 0
3x1 � 3x2 = 0
! x1 = x2
Assim, qualquer vetor x tal que:
x = t
�
1
1
�
, com t 2 R
é um autovetor associado a r1 = 3.
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Exemplos
Exemplo 2: Encontre os autovalores reais e os autovetores da seguinte
matriz:
A =
�
0 �1
1 0
�
O polinômio característico associado a esta matriz é dado por:
det (A� rI ) =
���� �r �11 �r
���� = 0 ! r2 + 1 = 0
Note que este polinômio não possui soluções reais, de forma que a
matriz A não apresenta nenhum autovalor real.
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