Aula de Matemática aplicada a Economia Nakagumma (15)

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EAE0207: Matemática Aplicada à Economia
Aula 16: Autovalores e Autovetores (Cont.)
Marcos Y. Nakaguma
29/09/2016
1
Revisão
Na aula passada, consideramos o seguinte problema: dada uma
transformação linear
T : Rn ! Rn,
queremos determinar quais vetores x 2 Rn são "levados" em um
múltiplo deles mesmos, i.e.:
T (x) = rx $ Ax = rx,
onde r é um escalar e x 2 Rn é um vetor não nulo.
Neste caso, diz-se que x é um autovetor de A e r é um autovalor de A.
2
Autovalores e Autovetores: Exemplo
Exemplo: Considere a transformação linear representada pela seguinte
matriz:
A =
�
2 1
1 2
�
Neste caso, vimos que os autovetores e os autovalores de A são:
x =
�
t
t
�
e r = 3
e
y =
�
t
�t
�
e r = 1
3
Autovalores e Autovetores: Exemplo
Gra…camente, temos a seguinte situação:
4
Autovalores e Autovetores: Exemplo
Gra…camente, temos a seguinte situação:
5
Revisão
De…nição: Seja A uma matriz quadrada n� n. Um escalar r é um
autovalor de A se existir um vetor não-nulo x 2 Rn tal que:
Ax = rx $ (A� rI ) x = 0
Neste caso, dizemos que x é um autovetor de A associado ao
autovalor r .
Observe que:
(A� r I ) x = 0
constitui um sistema homogêneo e possui solução não-nula x se, e
somente se, A� rI é uma matriz singular, ou seja, se:
det (A� r I ) = 0
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Procedimento Geral
Para determinar os autovalores de uma matriz A de tamanho 2� 2,
resolva a equação característica associada:
det (A� rI ) = 0 $
���� a11 � r a12a21 a22 � r
���� = 0
) r2 � (a11 + a22) r + (a11a22 � a12a21) = 0
Seja r um autovalor real de A, então um autovetor associado a r é
dado por x não-nulo tal que (A� r I ) x = 0, i.e.:�
(a11 � r) x1 + a12x2 = 0
a21x1 + (a22 � r) x2 = 0
Resolva este sistema para x1 e x2.
7
Exemplos
Exemplo 3: Encontre os autovalores reais e os autovetores da seguinte
matriz:
A =
0
@ 1 0 20 5 0
3 0 2
1
A
O polinômio característico associado a esta matriz é dado por:������
1� r 0 2
0 5� r 0
3 0 2� r
������ = 0! (1� r) (5� r) (2� r)� 6 (5� r) = 0
) (5� r) ((1� r) (2� r)� 6) = 0
Simpli…cando, obtemos:
(5� r)
�
r2 � 3r � 4
�
= 0 ) (5� r) (r � 4) (r + 1) = 0
As soluções desse polinômio (autovalores) são: r1 = 5, r2 = 4 e
r3 = �1.
8
Exemplos
Os autovetores associados a r1 = 5 são determinados pelas soluções
não-nulas do seguinte sistema:�
�4x1 + 2x3 = 0
3x1 � 3x3 = 0
) x1 = x3 = 0
Assim, qualquer vetor v1 tal que:
v1 = t
0
@ 01
0
1
A , com t 2 R
é um autovetor associado a r1 = 5.
9
Exemplos
Os autovetores associados a r2 = 4, por sua vez, são determinados
pelas soluções não-nulas do seguinte sistema:8<
:
�3x1 + 2x3 = 0
x2 = 0
3x1 � 2x3 = 0
!
�
x1 =
2
3x3
x2 = 0
Assim, qualquer vetor v2 tal que:
v2 = t
0
@ 230
1
1
A , com t 2 R
é um autovetor associado a r2 = 4.
10
Exemplos
Finalmente, os autovetores associados a r3 = �1 são determinados
pelas soluções não-nulas do seguinte sistema:8<
:
2x1 + 2x3 = 0
6x2 = 0
3x1 + 3x3 = 0
!
�
x1 = �x3
x2 = 0
Assim, qualquer vetor v3 tal que:
v3 = t
0
@ �10
1
1
A , com t 2 R
é um autovetor associado a r3 = �1.
11
Exemplos
Exemplo 4: Considere uma matriz 2� 2:
A =
�
a11 a12
a21 a22
�
Derive as condições sob as quais os autovalores de A são reais, bem
como o sinal dos autovalores reais como função dos coe…cientes a11,
a12, a21 e a22.
O polinômio característico associado a esta matriz é dado por:
det (A� rI ) =
���� a11 � r a12a21 a22 � r
����
= (a11 � r) (a22 � r)� a12a21
= r2 � (a11 + a22) r + (a11a22 � a12a21) = 0
Note que esta equação característica é um polinômio de grau 2 em r .
12
Exemplos
Note que os autovalores da matriz A serão reais se, e somente se, as
soluções do seu polinômio característico forem reais, i.e.:
4 = (a11 + a22)
2
� 4 (a11a22 � a12a21) � 0
Se a condição acima for satisfeita, temos que:
r1 + r2 = a11 + a22
e
r1.r2 = a11a22 � a12a21| {z }
detA
Portanto, tem-se que:
i . r1 e r2 são positivos se, e somente se, (a11 + a22) > 0 e detA > 0;
ii . r1 e r2 são negativos se, e somente se, (a11 + a22) < 0 e detA > 0;
iii . r1 e r2 têm sinais diferentes, e somente se, detA < 0.
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Autovalores e Autovetores: Propriedades
De…nição: O traço de uma matriz quadrada k � k é a soma das suas
entradas diagonais:
tr A = a11 + a22 + ...+ akk
Teorema: Seja A uma matriz k � k com autovalores r1, ..., rk , então:
i . r1 + r2 + ...+ rk = tr A;
ii . r1 � r2...� rk = detA
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Exemplo
Exemplo: Considere a matriz:
A =
�
2 4
1 2
�
Neste caso, sabemos que os autovalores de A devem satisfazer as
seguintes relações:
tr A = r1 + r2 = 4
e
detA = r1 � r2 = 0
Note que um dos autovalores deve ser igual a zero. Portanto, temos
que:
r1 = 0
e
r2 = 4
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Parte II: Equações Diferenciais
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Equações Diferenciais Ordinárias
Uma equação diferencial ordinária é uma expressão que descreve a
relação entre uma função de uma variável, y (t), e sua derivada,
dy (t)
dt
. Por exemplo:
dy (t)
dt
= 4y (t)
Solucionar uma equação diferencial signi…ca encontrar y(t), uma
função que dependa de t mas não de suas derivadas. Por exemplo,
uma solução da equação acima é:
y (t) = ke4t ,
para qualquer k 2 R.
Portanto, as equações diferenciais são equações funcionais, pois
representam equações em que a incógnita é uma função e não um
número ou vetor.
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Equações Diferenciais Ordinárias
Frequentemente, estaremos interessados em problemas cuja solução é
a descrição da evolução de uma variável no tempo. Por isso, na
maioria dos exemplos, denotaremos a variável independente por t.
As equações diferenciais que descrevem a relação entre uma função
de várias variáveis, y (t, u) e suas derivadas parciais são denominadas
equações diferenciais parciais. Por exemplo:
∂y
∂t
(t, u) +
∂y
∂u
(t, u) = 2 (t + u)
∂y
∂t∂u
(t, u)
Neste curso estudaremos apenas as equações diferenciais ordinárias.
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Motivação: Taxa de Crescimento
Em aplicações econômicas, é comum utilizar equações diferenciais
para descrever a taxa de crescimento de uma variável.
Por exemplo, descrevemos que uma variável y (t) cresce
continuamente a uma taxa r através da seguinte equação diferencial:
dy (t)
dt
= ry $
1
y
dy (t)
dt
= r
ou
�
y (t) = ry (t) $
�
y (t)
y (t)
= r
Neste caso, dizemos que a taxa de crescimento percentual
instantânea de y (t) é uma constante r .
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Motivação: Taxa de Crescimento
A solução da equação diferencial:
dy (t)
dt
= ry (t)
é relativamente simples de ser obtida.
Note que:
1
y (t)
dy (t)
dt
= r $
d ln (y (t))
dt
= r
Assim, integrando em relação a t, obtemos:
Z
d ln (y (t))
dt
dt =
Z
rdt $ ln (y (t)) + k1 = rt + k2
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Motivação: Taxa de Crescimento
Re-arranjando, segue que:
y (t) = ek2�k1 .ert ) y (t) = k.ert
onde k = ek2�k1 é uma constante arbitrária.
A função acima é denominada solução geral e fornece todas as
possíveis trajetórias da variável y que são consistentes com a equação
dy
dt
= ry .
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