09-integrais

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 1 
INTEGRAIS 
 
 
INTEGRAL INDEFINIDA 
 
 A integração indefinida ou anti-derivação é a operação inversa da derivação, da 
mesma forma que a subtração é a operação inversa da adição ou a divisão é a operação 
inversa da multiplicação. 
 
 
EXEMPLOS 
1. Se 
4
)(
4x
xf = , então sua derivada é: 
4
4)(
3x
xf =′ ou 3)( xxf =′ . Nesse caso, uma 
das anti-derivadas de 3x é 
4
4x
. 
 
2. Se 3)( xxf = , então sua derivada é: 23)( xxf =′ . Nesse caso, uma das anti-
derivadas ou integrais indefinidas de 23x é 3x . 
 
3. Se 7)( 3 += xxf , então sua derivada 23)( xxf =′ . Nesse caso, uma das anti-
derivadas ou integrais indefinidas de 23x é 73 +x . 
 
Note que nos exemplos, falamos “uma das anti-derivadas ou integrais indefinidas”. 
Podemos entender melhor, quando observamos os exemplos 2 e 3, já que tanto 3x quan-
to 73 +x são integrais indefinidas para a mesma função 23x . 
Assim, vemos que a diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções 
primitivas) é sempre uma constante, veja: 
1. no exemplo 2, a constante era o 0 ( )033 += xx 
2. no exemplo 3, a constante era o 7 )7( 3 +x 
 
Representando essa constante por C, temos que a integral indefinida de 23x é 
Cx +3 , onde C é uma constante real. 
Indicamos a integral indefinida ou anti-derivada de )(xf ′ por 
∫ +=′ Cxfdxxf )()( . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 2 
PROPRIEDADES 
 
 Utilizaremos as seguintes propriedades para realizar a integração das funções 
polinomiais elementares: 
 
1. ∫ += Cxdx 
 
2. ∫ ∫⋅=⋅ dxxfkdxxfk )()( 
 
3. [ ]∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 
 
4. ∫ −≠++
=
+
)1(
1
1
nC
n
xdxx
n
n
 
 
5. [ ] )()( xfdxxf
dx
d
=∫ , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria fun-
ção. 
 
6. ∫ += Cxfdxdx
xfd )()( , ou seja, a integral da derivada de uma função, é a própria 
função mais uma constante arbitrária. 
 
 
Através de uma simples derivação das funções que estão nos segundos membros 
destas igualdades, poderemos conduzir à expressão que está sob o sinal de integração, 
isto é, poderemos conduzir à função integranda, o que verifica cada uma das proprieda-
des. 
 
 
CASOS PARTICULARES 
 
 Estes casos particulares das propriedades estudadas são úteis no desenvolvimen-
to dos processos de integração. 
 
1. ∫ ∫= dxxfkdxk
xf )(1)( 
 
2. ∫ ∫−=− dxxfdxxf )()( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 3 
INTEGRAIS IMEDIATAS 
 Integrais imediatas são as integrais que decorrem de forma direta das fórmulas 
de derivação. Através deste processo, temos as seguintes fórmulas de integração: 
 
TABELA DE DERIVADAS E INTEGRAIS 
 
 
 
Derivadas 
 
 
Integrais 
01) 1)( =x
dx
d
 
∫ ∫ ∫ +=== Cxdxdxdx 11 
02) 
aax
dx
d
=)( ∫ ∫ +== Caxdxaadx 
03) 
1,
1
1
−≠=





+
+
nx
n
x
dx
d nn
 ∫ −≠++
=
+
1,
1
1
nC
n
xdxx
n
n
 
04) 
x
x
dx
d 1)(ln = ∫ += Cxdxx ln
1
 
05) 
x
x
a
a
a
dx
d
=





ln
 
C
a
adxa
x
x +=∫ ln
 
06) xx ee
dx
d
=)( Cedxe
xx +=∫ 
07) 
xxsen
dx
d
cos)( = ∫ += Cxsendxxcos 
08) 
xsenx
dx
d
−=)(cos ∫ +−= Cxdxxsen cos 
09) 
xxtg
dx
d 2sec)( = ∫ += Cxtgdxx
2sec 
10) 
xxg
dx
d 2seccos)(cot −= ∫ +−= Cxgdxx cotseccos
2
 
11) 
xtgxx
dx
d
⋅= sec)(sec ∫ +=⋅ Cxdxxtgx secsec 
12) 
xgxx
dx
d
cotseccos)sec(cos ⋅−= ∫ +−=⋅ Cxdxxgx seccoscotseccos 
13) 
21
1)(
x
xtgarc
dx
d
+
= ∫ +=+
Cxtgarcdx
x 21
1
 
14) 
21
1)(
x
xsenarc
dx
d
−
= ∫ +=
−
Cxsenarcdx
x21
1
 
15) 
21
1)cos(
x
xarc
dx
d
−
−= ∫ +=
−
− Cxarcdx
x
cos
1
1
2
 
16) 
2
2
1
11ln
x
xx
dx
d
+
=



 ++ Cxxdx
x
+++=
+
∫ 1ln1
1 2
2
 
17) 
21
1
1
1ln
2
1
xx
x
dx
d
−
=





−
+
⋅ ∫ +
−
+
⋅=
−
C
x
xdx
x 1
1ln
2
1
1
1
2 
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 4 
QUESTÕES RESOLVIDAS 
 
 
Questão 01 
Calcule: 
a) ∫ dxx 
Resolução 
∫ += C
xdxx
2
2
 
 
b) ∫ dxx23 
Resolução 
∫∫ +=+⋅=⋅= CxC
xdxxdxx 3
3
22
3
333 
 
c) ∫ + dxx )2( 
Resolução 
∫ ∫∫ =+=+ dxdxxdxx 2)2( Cx
x
++ 2
2
2
 
 
d) ∫ + dxx 2)2( 
Resolução 
∫∫ =++=+ dxxxdxx )44()2( 22 ∫ ∫ ∫ =++ dxdxdxx 442 
CxxxCxxx +++=++⋅+= 42
3
4
2
4
3
2
323
 
 
e) ∫ +++ dxxxx )143( 24 
Resolução 
∫ ∫ ∫ ∫ =+++= dxdxxdxxdxx 143
24
∫ ∫ ∫ ∫ =+⋅+⋅+ dxdxxdxxdxx 43
24
 
=++⋅+⋅+= Cxxxx
2
4
3
3
5
235
Cxxxx ++++ 23
5
2
5
 
 
f) ∫ −+ dxxxx )2( 32 
Resolução 
∫ ∫ ∫ =−+= dxxdxxdxx 2
32 CxxxCxxx +−+=+⋅−+ 2
43243
432
2
43
 
 
g) ∫ dxx5 
Resolução 
Cdx
x
x +=∫ 5ln
55 
 
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 5 
h) ∫ − dxx5 
Resolução 
∫∫
−−
= dxdx xx )5(5 1 
Fazendo a=−15 , temos: 
=+=+=∫ −
−
CC
a
adxa
xx
x
)5(ln
)5(
ln 1
1
CC
xx
+−=+
−
−−
5ln
5
5ln
5
 
 
 
i) ∫ − dxe x )3( 
Resolução 
Cedxedxe xxx +−=−=− ∫∫ 33)3( 
 
 
j) ∫ − dxe x 
Resolução 
∫∫
−−
= dxedxe xx )( 1 
Fazendo ae =−1 , temos: 
∫ =+=+= −
−
C
e
eC
a
adxa
xx
x
1
1
ln
)(
ln
CeCe x
x
+−=+
−
−
−
1
 
 
 
k) ∫ dxe x2 
Resolução 
∫∫ = dxedxe
xx )( 22 
Fazendo ae =2 , temos: 
∫ =+=+= Ce
eC
a
adxa
xx
x
2
2
ln
)(
ln
CeCe +=+ 2
2
2
1
2
 
 
l) ∫ + dxe xx )22( 
Resolução 
∫ ∫∫ =+=+ dxdxedxe
xxxx 22)22( Ce
x
x ++
2ln
22 
 
m) ∫ 





+ dx
x
x
1
 
Resolução 
∫ 





+ dx
x
x
1
∫ ∫ ++=+= Cx
xdx
x
dxx ln
2
1 2
 
 
 
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 6 
n) ∫ 





+ dxx
x
3
2
1
 
Resolução 
∫ ∫∫ =+=





+ dxxdx
x
dxx
x
3
2
3
2
11
 
∫ ∫ =+
+
+
+−
=+=
+
+−
− Cxxdxxdxx
1
2
312
1
2
3
12
2
3
2 Cx
x
Cxx +⋅+−=++
−
−
5
2
5
1
5
21
2
51
 
 
 
o) ∫ 






− dx
x
xx
 
Resolução 
∫∫ =






−=







− dx
x
x
x
xdx
x
xx
∫ ∫ ∫ ∫ =−=−
−
dxdxxdxdx
x
x 2
11
2
1 1 
∫ ∫ =+−
+
=−=
+
Cxxdxdxx
1
2
1
1
2
1
2
1
CxxCxx +−⋅=+− 3
2
3
3
2
2
3 
 
 
p) ∫ dxxcos5 
Resolução 
∫∫ +== Cxsendxxdxx 5cos5cos5 
 
 
q) ∫ − dxxsen )( 
Resolução 
∫∫ =−=− dxxsendxxsen )( CxCx +=+−− cos)cos( 
 
 
r) ∫ 





−⋅+ dx
x
xsenx
1
2
1
cos 
Resolução 
=−⋅+= ∫ ∫ ∫ dxx
dxxsendxx 1
2
1
cos Cxxxsen +−⋅− lncos
2
1
 
 
 
 
 
 
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 7 
s) ∫ 






−
++
+
dx
x
x
x 2
2
2 1
3
sec
1
1
 
Resolução 
∫ ∫ ∫ =
−
++
+
= dx
x
dxxdx
x 2
2
2 1
13sec
1
1 Cxsenarcxtgxtgarc +⋅++ 3 
 
 
t) ∫
−
299 x
dx
 
Resolução 
∫ ∫∫ =
−
=
−
=
−
222 13)1(999 x
dx
x
dx
x
dx
∫ +=
−
Cxsenarc
x
dx
3
1
13
1
2
 
 
 
u) ∫ + 222 x
dx
 
Resolução 
∫ ∫∫ =+
=+
=
+ 222 12
1
)1(222 x
dx
x
dx
x
dx Cxtgarc +
2
1
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
Questão 01 
Calcule a integral de: 
a) 5)( =xf b) 3)( −=xf 
 
Questão 02 
Calcule a integral de: 
a) 7)( xxf = b) 21)( xxf = c) 0)( xxf = 
 
Questão 03 
Calcule a integral de: 
a) 2)( xxxf += b) 41)( xxf += c) 3)( 6 += xxf 
 
Questão 04 
Calcule a integral de: 
a) 23)( xxf = b) xxf 5)( = c) 50)( xxf = 
 
Questão 05 
Calcule a integral de: 
a) 64)( xxf = b) 232)( xxxf +− c) xxxf 3)( 3 −= 
 
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 8 
Questão 06 
Calcule as seguintes integrais indefinidas: 
a) ∫ dxx32 
b) ∫ − dxx )1( 2 
c) ∫ −+ dxxx )532( 2 
d) ∫ ++ dxxxx )( 32 
e) ∫ −++− dxxxxx )342( 234 
f) ∫ +−+ dxxxx )1242( 35 
g) ∫ 





+ dx
xx 32
32
 
h) ∫ dxx 
i) ∫ dxxx 3 
j) ∫ dx
x
xx 3 2
 
k) ∫ 





+ dx
x
x
1
 
l) ∫ 





+ dx
xx 2
11
 
m) ∫ 





−+ dx
x
xx
2
2 1
 
n) ( )( )∫ +−+ dxxxx 11 
o) ∫ + dxxsenx )( 
p) ∫ ⋅⋅ dxxtgxsec2 
q) dxxsenxe
x
∫ 




 ⋅−⋅+
2
3cos2
 
r) dx
xx
x∫ 






−
+
+
−
22
2
1
4
1
3
sec 
s) ∫ +⋅ dxxgxx )cotsec(cosseccos 
t) ∫ ⋅+ dxe xx )432( 
u) ∫ ⋅ dxxx 23 
 
Questão 07 
Sendo k um número real não nulo, mostre que ∫ +⋅= Cek
dxe xkxk 1 . 
 
Questão 08 
Calcule: 
a) ∫ dxxdx
d 3
 b) ∫ dxxdx
d 6