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CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 1 Raciocínio Lógico, Crítico e Analítico Aula 1 Prof.ª Claudia Lorena Juliato Araújo CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 2 Conversa inicial O que é raciocínio lógico? Ou melhor, o que é raciocínio? O que é lógico? Não estamos falando de quebra-cabeças, tampouco de assertivas matemáticas ou as famosas “pegadinhas”. O raciocínio lógico é muito mais que continhas que dão certo ou charadas matemáticas para descobrir o número que está faltando. Vamos “quebrar” a cabeça sim, mas não em contas. Nesta aula, vamos trabalhar com as principais noções do raciocínio lógico, os principais termos e as primeiras de noções de como ela acontece e qual a sua importância. Contextualizando Você já ouvir falar de premissa? E de tautologia? Mas o que são esses termos? Você pode estar se perguntando: isso se calcula? Não, isso não são cálculos, mas conceitos muito importantes. O raciocínio lógico é um mundo além das operações matemáticas. São conceitos, termos e simbologias além da nossa língua portuguesa. O raciocínio lógico nos auxilia na compreensão de estruturas numéricas e de palavras e em situações cotidianas. Nos dá habilidade de lidar com situações partindo de hipóteses para a tomada de decisão. Os conceitos formam-se com maior clareza quando utilizamos de raciocínio lógico. A lógica é amplamente utilizada em diversas áreas, como a informática, a cibernética, a inteligência artificial, entre outros. Tema 1: Conceitos lógicos Com certeza você já precisou tomar decisões em sua vida. Já fez afirmações e negações, já buscou soluções para algum tipo de problema. Pois bem, a lógica é quem faz com que concatenemos nossos pensamentos, ou seja, por meio de certas verdades, admite que tiremos conclusões. Para entendermos essa ciência que nos faz arranjar nossas ideias de forma clara e coesa, vamos, primeiramente, estudar os principais termos e conceitos usados na lógica. CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 3 Quadro 1.1 – Termos usados pela lógica PROPOSIÇÃO Conjunto de palavras e/ou símbolos que representam um pensamento completo. REGRA É a conexão entre duas proposições. CONECTIVOS Termos usados para formar novas proposições com base em outras existentes VALOR LÓGICO Juízo atribuído à proposição. Pode ser verdadeiro ou falso. PREMISSA Cada uma das proposições de um silogismo. ARGUMENTO Conjunto com estrutura lógica. Expressão verbal do raciocínio. CONCLUSÃO É o resultado das premissas. SILOGISMO Argumento formado por três proposições: a maior, a menor e a conclusão. INFERÊNCIA É o ato de extrair conclusões com base nas premissas que compõe o argumento. São termos muito distintos e poucos trabalhados no vocabulário cotidiano. No início, pode ser complicado, mas, aos poucos, nos acostumamos e acabamos usando alguns delas no dia a dia. Proposição As proposições podem ser de dois tipos: simples e composta, conforme figura a seguir. Figura 1.1 – Tipos de proposições CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 4 Conectivos Estes conectam, juntam duas ou mais proposições. Podem ser: e, ou, não, se…então, se…e somente se... Figura 1.2 – Conectivos Vamos falar de cada uma delas no quadro a seguir. PROPOSIÇÃO SIMPLES é um pensamento singular e não integra qualquer outro tipo de proposição Ex.: O sol é amarelo COMPOSTA é formada pela composição de duas ou mais proposições simples Ex.: Ana é professora e Carlos é vendedor CONECTIVOS E ^ OU V NÃO ~ SE...ENTÃO → SE...E SOMENTE SE... ↔ CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 5 Quadro 1.2 – Explicação a respeito de conectivos E CONJUNÇÃO Uma conjunção só será verdadeira se todas as proposições forem verdadeiras, basta que uma seja falsa para que todas também sejam. OU DISJUNÇÃO Uma disjunção será falsa quando as partes que a compõe forem falsas. Nos demais casos, serão verdadeiras. NÃO NEGAÇÃO Representa a negação de uma proposição. Se ela for negativa, esta proposição será verdadeira. SE…ENTÃO CONDICIONAL Uma proposição condicional só será falsa se a primeira for verdadeira e a segunda falsa. Nos outros casos, será verdadeira SE…E SOMENTE SE… BICONDICONAL Será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições forem diferentes. Só será verdadeira se o valor das duas proposições for igual Valores lógicos das proposições Só existem duas possibilidades para uma proposição: V – verdadeira. F – falsa. Tema 2: Tabela verdade O que é uma tabela verdade? Podemos dizer que é um termo muito utilizado. Vamos ver o que é? As tabelas verdade são dispositivos práticos que apresentam todos os possíveis resultados para todas as possibilidades existentes para cada proposição com suas respectivas operações. Sempre existirá uma tabela CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 6 verdade para cada conectivo que une duas ou mais proposições. Veja um exemplo de tabela verdade. Quadro 2.1 – Tabela verdade p q V V V F F V F F Onde: p e q são as proposições, representam afirmações. A tabela é constituída de todas as combinações possíveis para as 2 proposições. Se a tabela é composta de 2 proposições, a tabela verdade terá quatro linhas: 2²=4. Se a tabela é composta de 3 proposições, sua tabela verdade terá oito linhas, 2³=8. E assim por diante. Em 3 proposições, quais são as combinações possíveis? Veja no quadro a seguir Quadro 2.2 – Tabela verdade composta de três proposições p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 7 Possíveis resultados de uma tabela verdade Quadro 2.3 – Possíveis resultados de uma tabela verdade TAUTOLOGIA Acontece quando o resultado é sempre VERDADEIRO. CONTRADIÇÃO Acontece quando o resultado é sempre FALSO. CONTINGÊNCIA Acontece quando os resultados são mistos, ou seja, quando não tivermos nem tautologia nem contradição. Vamos ver exemplos de tabelas verdade com os conectivos já vistos. Porém, antes você precisa lembrar: Quadro 2.4 – ^ Uma conjunção só será verdadeira se todas as proposições forem verdadeiras, basta que uma seja falsa para que todas também sejam. V Uma disjunção será falsa quando todas partes que a compõe forem falsas. Nos demais casos serão verdadeiras. ~ Representa a negação de uma proposição. Se ela for negativa, esta proposição será verdadeira. → Uma proposição condicional só será falsa se a primeira for verdadeira e a segunda falsa. Nos outros casos, será verdadeira ↔ Será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições forem diferentes. Só será verdadeira se o valor das duas proposições for igual. Considere duas proposições p e q e construa a tabela verdade para todos os conectivos anteriores. CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 8 Quadro 2.5 – p q ~p ~q p^q pvq p→q p↔q V V F F V V V V V F F V F V F F F V V F F V V F F F V V F F V V Simples, não? Nem tanto. O quadro anterior precisa ser claro, pois ele é o norteador de todas as operações lógicas. Vamos ver outro exemplo de tabela verdade, agora para ~(p^~q). 1. Lançar todos os valores possíveis para p e q, assim: Quadro 2.6 p q V V VF F V F F 2. Fazer a negativa de q, acrescentando à coluna ao lado. Quadro 2.7 p q ~q V V F V F V F V F F F V 3. Fazer a operação de conjunção entre p e ~q, adicionando à coluna ao lado. CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 9 Quadro 2.8 p q ~q p^~q V V F F V F V V F V F F F F V F 4. O último passo é negar esta operação realizada. Quadro 2.9 p q ~q p^~q ~(p^~q) V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V Agora, neste outro exemplo, faremos a construção passo a passo da tabela verdade para(~p v q) → (p ^ q). 1. Todas as possibilidades para p, q e ~p. Quadro 2.10 p q ~p V V F V F F F V V F F V 2. Realizar a operação (~p v q). Quadro 2.11 p q ~p (~p v q) V V F V CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 10 V F F F F V V V F F V V 3. Realizar a operação (p ^ q). Quadro 2.12 p q ~p (~p v q) (p ^ q) V V F V V V F F F F F V V V F F F V V F 4. Por último, a finalização dos 2 resultados encontrados por meio da condicional →. Então, teremos: Quadro 2.13 p q ~p (~p v q) (p ^ q) (~p v q) → (p ^ q) V V F V V V V F F F F V F V V V F F F F V V F F Tema 3: Transformando proposições em linguagem formal Você sabia que na informática utiliza-se o zero (0) e o um (1) para formar as combinações e toda as conexões dos programas? Eles são feitos com esses dois conectivos e tudo isso se estabelece com base nas tabelas verdade. Precisamos, então, entender todas as formas de proposições. Forma normal das proposições As proposições encontram-se na forma normal quando contém os conectivos de negação (~), ou (v) e (^). CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 11 Toda proposição que não esteja na sua forma normal pode ser transformada em normal eliminado os conectivos → e ↔. Veja nos exemplos: p —> q = ~p v q p <—> q = (~p v q) ^ (p v ~q) Para verificar esta veracidade, vamos construir suas tabelas verdade. Primeiro para a equivalência: p → q = ~p v q Quadro 3.1 p→q p q ˜p ˜pvq V V V F V F V F F F V F V V V V F F V V Observe que os resultados são iguais. Agora vejamos o outro caso, seria interessante você tentar sozinho antes de ver o resultado. A equivalência é p ↔ q = (~p v q) ^ (p v ~q). Quadro 3.2 p↔q p Q ˜p ˜q (˜pvq) (pv˜q) (~pvq)^(pv~q) V V V F F V V V F V F F V F V F F F V V F V F F V F F V V V V V Também encontramos o mesmo resultado da tabela verdade. Ordem de precedência dos conectivos Assim como na aritmética, entre as quatros operações, temos de resolver CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 12 primeiramente as multiplicações e as divisões, para depois resolver as somas e subtrações. Na lógica, os conectivos também têm ordem de resolução. Essa ordem é dada por: 1. a negação (~); 5. a conjunção ou disjunção (^ ou v), a que vier primeiro; 6. a condicional (→); 7. a bicondicional (↔). Quando se deseja outras ordens que não as formais, deve-se usar os parêntesis para dar preferência de um conectivo em detrimento de outro. Por exemplo: se quisermos na proposição que bicondicional seja resolvida antes da condicional, devemos usar os parêntesis. p → q ↔ s ^ r Colocando os parêntesis, temos: p → (q ↔ s ^ r) Com isso, consegue-se priorizar a resolução de um conectivo de ordem mais baixa que o outro. Agora que já conhecemos a ordem, vamos ver a questão da linguagem, ou seja, a transformação de linguagem lógica para linguagem corrente. Considere as proposições: p: está calor. q: faz sol. Agora, vamos fazer todas as traduções possíveis: 1. ~p = não está calor. 2. p ^ q = está calor e faz sol. CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 13 3. p v q = está calor ou faz sol. 4. q ↔ p = faz sol se e somente se está calor. 5. p → ~q = se está calor então não faz sol. 6. p v ~q = está calor ou não faz sol. 7. ~p ^ ~q = não está calor e não faz sol. 8. p ^ ~q → p = está calor e não faz sol então está calor. Não é difícil, vamos então fazer o inverso? Considere as proposições: p: Alberto é rico q: Alberto é feliz Com essas proposições, vamos transformar a linguagem corrente em linguagem lógica. 1. Alberto é pobre, mas é feliz. 2. Alberto é rico ou infeliz. 3. Alberto é pobre e infeliz. 4. Alberto é pobre ou rico, mas é infeliz. Analisemos cada uma delas: 1. Temos a negação de p e a afirmação de q, então: ~p^q 2. Nesta proposição, estamos afirmando p ou negando q, logo: pv~q 3. Negamos p e também negamos q, então: ~p^~q 4. Negamos ou afirmamos p e negamos q. Neste caso, como os conectivos e e ou tem a mesma precedência de resolução, teremos de usar parêntesis, assim teremos: (~pvp)^~q Tema 4: Equivalências lógicas Para facilitar nosso passeio pela lógica, precisamos conhecer suas regras CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 14 e suas leis. Elas são importantes para a compreensão e desenvolvimento de toda a estrutura lógica. É preciso quebrar a “cuca”, mas entendendo tudo, podemos nos sair melhor nesta maravilha de nossas cabeças que é a lógica Assim como na aritmética, os conectivos lógicos também possuem propriedades. Mas, além disso, temos leis que nos ajudam e são uteis para resolver proposições compostas. A equivalência (<=>) entre duas ou mais proposições acontece quando suas tabelas verdade são iguais. Também uma bicondicional (↔) que é uma tautologia, é uma proposição equivalente. Veja a tabela verdade da proposição: p → q ↔ ~q → ~p Quadro 4.1 p q ~p ~q p → q ~q → ~p P → q ↔ ~q → ~p V V F F V V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V V V V Observe que as colunas 5 e 6 são iguais, isso gera uma equivalência e, como há uma bicondicional (↔) entre elas, gera uma tautologia na coluna 7, ou seja, é quando os resultados são todos verdadeiros. Logo, podemos afirmar que p → q <=> ~q → ~p. As equivalências têm propriedades importantes. São elas: Quadro 4.2 – Propriedades das equivalências REFLEXIVA p <=> p q <=> q CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 15 SIMÉTRICA Se p <=> q então q <=> p TRANSITIVA Se p <=> q e q <=> r, então, p <=> r Tipos de equivalências Listaremos as equivalências mais importantes para o nosso estudo, como já vimos todas elas podem ser comprovadas mostrando que a bicondicional entre elas é uma tautologia. Para isto, basta construir a tabela verdade. Faremos isto com algumas delas. 1. Lei da comutatividade. 2. Lei da associatividade. 3. Lei da distributividade. 4. Lei de Morgan. 5. Lei da idempotência. 6. Lei da dupla negação. 7. Lei da condicional. 8. Lei da bicondicional. 9. Lei da contraposição. 10. Lei da absorção. 11. Lei de Clavius. 12. Lei da refutação por absurdo. 13. Lei do dilema. 14. Lei da demonstração por absurdo. 15. Lei de exportação/importação. Vamos ver cada uma delas e exemplificar: Quadro 4.3 CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 16 LEI PROPOSIÇÃO COMUTIVIDADE p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨ q ⇔ q ∨ p ASSOCIATIVIDADE (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) DISTRIBUTIVIDADE p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) DE MORGAN ~ (p ∧ q) ⇔ ~ p ∨ ~q ~ (p ∨ q) ⇔ ~ p ∧ ~ q IDEMPOTENCIA p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p DUPLA NEGAÇÃO ~ (~ p) ⇔ p CONDICIONAL p → q ⇔ ~ p ∨ q BICONDICIONAL p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) p ↔ q ⇔ (p ∧q) ∨ ( ~ p ∧ ~ q) CONTRAPOSIÇÃO p → q ⇔ ¬ q → ~ p ABSORÇÃO p → p ∧ q ⇔ p → q CLAVIUS ~ p → p ⇔ p REFUTAÇÃO POR ABSURDO (p → q) ∧ (p → ~ q) ⇔ ~ p DILEMA (p → q) ∧ (~ p → q) ⇔ q DEMONSTRAÇÃO POR ABSURDO p ∧ ~ q → F ⇔ p → q EXPORTAÇÃO/IMPORTAÇÃO p → (q → r) ⇔ p ∧ q → r Que tal vermos exemplos e distinguirmos qual lei de equivalência está sendo usada? 1. “Se continuar o calor, haverá seca” equivale a “ou para o calor, ou seca”. CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 17 2. “Se Deise for bem na entrevista, será contratada” equivale a “se Deise não for bem na entrevista, não será contratada”. 3. “Se passar no concurso, mudo-me para São Paulo e, se não passar, também mudo” equivale a “vou mudar”. 4. “Fui à panificadora ou ao supermercado” equivale a “fui ao supermercado ou à panificadora”. Conseguiu ver quais leis são aplicadas nesses exercícios? Sim, é difícil, mas só no começo. Vamos transformar as frases acima em proposições, como exemplo, que tal? “Se continuar o calor, haverá seca” equivale a “ou para o calor ou haverá seca”. p: faz calor q: haverá seca “Se continuar o calor, haverá seca”, podemos colocar a seguinte operação: p → q. “Ou para o calor ou seca”, podemos colocar a seguinte operação: ~p v q. Logo, se elas são equivalentes, ou seja, p → q <=> ~p v q, então, estamos falando da lei da condicional, a lei número 7. Tema 5: Construindo tabelas verdade de vários tipos Vamos primeiramente relembrar todas as operações lógicas por meio do quadro a seguir. Quadro 5.1 – Operações lógicas Operação Conectivo Estrutura lógica Exemplos Negação ¬ Não p O computador não está quebrado. Conjunção ^ p e q Hoje é terça-feira CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 18 e a janela está aberta. Disjunção inclusiva v p ou q Hoje é terça-feira ou a janela está aberta. Disjunção exclusiva v Ou p ou q Ou hoje é terça- feira ou a janela está aberta. Condicional → Se p então q Se hoje é terça- feira, então, a janela está aberta. Bicondicional ↔ p se e somente se q Hoje é terça-feira se e somente se a janela está aberta A importância da tabela verdade é muito grande, pois ela comprova todas as leis e proposições, relações de equivalência etc. Por isso, saber construi-la com 2, 3, 4 ou mais proposições de forma clara e segura é muito importante. As tabelas verdade são importantes para o sistema computacional que trabalha com zero (0) e um (1), também é importante na formação de um circuito na cibernética e em várias outras áreas. Lembremos de como trabalhar com os conectivos. Quadro 5.2 ^ Só teremos V, se todas forem V, se alguma for F, o resultado será F V Só teremos F, se todas forem F, basta alguma ser V para a resposta ser V CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 19 ~ Será o contrário, é a sua negação → Se a primeira for V e a segunda F, a resposta será F, nos outros casos V ↔ Teremos V se o valor das proposições forem iguais, nos outros casos, será F Até o presente não trabalhamos com tabela verdade para 3 proposições, vamos ver um exemplo. Construir a tabela verdade da proposição: P (p, q, r) = p v ~r —> q ^ ~r. Vamos construí-la passo a passo, lembre-se que uma tabela verdade com 2 proposições tem 4 linhas, pois 2² = 4. Nesse caso, nossa tabela verdade terá 8 linhas, pois são 3 proposições e 2³ = 8. 1. Considerar todas as possibilidades para p, q e r; o melhor é sempre fazer por linha e não por coluna. Quadro 5.3 p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F 2. Agora, vamos fazer a negativa de r. Observe que é só negar a coluna 3. CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 20 Quadro 5.4 p q r ~r V V V F V V F V V F V F V F F V F V V F F V F V F F V F F F F V 3. Fazer a disjunção p v ~r, lembre-se que no conectivo só teremos F se todas forem falsas, basta uma verdadeira para ser V. Preste atenção, você irá trabalhar com as colunas 1 e 4. Quadro 5.5 p q r ~r p v ~r V V V F V V V F V V V F V F V V F F V V F V V F F F V F V V F F V F F F F F V V 4. Agora, vamos fazer o conectivo a conjunção q ^ ~r, recordando que só teremos V se todas forem verdadeiras, nos demais casos, todos serão F. Trabalharemos com as colunas 2 e 4. Quadro 5.6 CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 21 p q r ~r q ^ ~r V V V F F V V F V V V F V F F V F F V F F V V F F F V F V F F F V F F F F F V F 5. Para finalizar nossa tabela verdade, faremos a condicional. Na condicional, quando a primeira é V e a segunda é F, teremos F. Nos demais casos, será tudo V. Trabalharemos com as colunas. Quadro 5.7 p q r ~r p v ~r q ^ ~r p v ~r → q ^ ~r V V V F V F F V V F V V V V V F V F V F F V F F V V F F F V V F F F V F V F V V V V F F V F F F V F F F V V F F Agora, vamos fazer duas demonstrações: 1. Mostrar que a proposição p ^ r —> q v r é tautológica. 2. Mostrar que a proposição (p ^ q) ^ ~(p v q) é uma contradição. CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 22 Recordando Tautologia: quando todos os resultados da tabela verdade são verdadeiros (V). Contradição: quando todos os valores da tabela verdade são falsos (F). 1. Assim sendo, a tabela verdade de p ^ r —> q v r deve ser toda V. Vamos lá? Quadro 5.8 p q r p ^ q q v r p ^ r —> q v r V V V V V V V V F V V V V F V F V V V F F F F V F V V F V V F V F F V V F F V F F V F F F F F V Logo, provamos que p ^ r —> q v r é uma tautologia, pois sua tabela verdade é toda V. 2. A tabela verdade para a proposição (p ^ q) ^ ~(p v q), será: Quadro 5.9 p q p ^ q p v q ~(p v q) (p ^ q) ^ ~(p v q) V V V V F F V F F V F F F V F V F F F F F F V F Dessa forma, fica provado que a proposição (p ^ q) ^ ~(p v q) é uma CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 23 contradição, pois toda sua tabela verdade é F. Síntese Nesta aula, você conheceu o que é a lógica, os principais termos utilizados, quais são os conectivos e ficou sabendo o que é uma tabela verdade e aprendeu a construir uma. Mas, além de tudo, você viu que lógica é algo bem complexo, pois trabalha com sua mente e as conexões existentes. Também viu que é esta mesma lógica que alimenta os computadores. Você não estaria lendo esta aula se não fosse a combinação binária zero (0) e um (1), que vem de verdadeiro (V) e falso (F).
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