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Transformação de Tensão em Elementos Estruturais

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1 
 - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI 
DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
Transformação de Tensão ou Análise de Tensão 
 
Objetivos: Transformar os componentes de tensão, associados a um sistema de coordenadas 
particular, em componentes associados a um sistema de coordenadas que tenha orientação diferente. 
 
1- Equações de Transformação 
2- Obtenção das tensões normal máxima 
3- Tensões de cisalhamento máxima num ponto 
4- Orientação do elemento sobre o qual essas tensões atuam 
 
 
 
Figura 1 - As pás desta turbina estão sujeitas a um padrão de tensões complexo, ilustrado pelas 
faixas sombreadas que aparecem nas pás quando são feitas de material transparente e vistas através 
de luz polarizada. Para um projeto adequado, os engenheiros devem ser capazes de determinar onde 
e em que direção ocorre às tensões máximas. (Cortesia do Measurements Group, Inc., Raleigh, 
Carolina do Norte, 27611,EUA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
Transformação no Estado Plano de Tensões 
 
Introdução: 
 
 
 
Figura 2- Estado de tensão em um ponto. 
 
O estado de tensão da Figura 2.a não é encontrado com freqüência na prática da engenharia. 
Aproximações ou Simplificações das cargas sobre o corpo, a fim de que a tensão produzida em 
um sistema estrutural ou mecânico seja analisado em um plano simples 
 
Observações gerais: 
 
1- Em torno de um ponto, um elemento de superfície podendo assumir uma infinidade de 
posições, ensejará o aparecimento de tensões diferentes no mesmo ponto, correspondentes a 
cada uma dessas posições. 
2- O estado de tensão num ponto é o conjunto de todas as tensões ocorrendo em todos os 
planos passando pelo ponto. 
Observações sobre o paralelepípedo de tensões: 
1- Demonstra-se que o estado de tensão num ponto fica definido quando forem conhecidas as 
tensões nesse ponto referentes aos três planos ortogonais entre si, que se interceptam no 
ponto considerado. 
2- Para analisarmos o estado de tensão num ponto, imaginamos um paralelepípedo tri-
retângulo situado com vértice no ponto, em cujas facetas supõe-se as tensões conhecidas. 
3- Orientamos o nosso paralelepípedo considerado como um sólido de dimensões 
infinitesimais, tomando como origem o ponto em estudo e como eixos de referência as 
arestas a ele concorrentes. 
4- Nas três faces do paralelepípedo que são “visíveis”, ocorrem tensões iguais e de sentidos 
opostos. 
5- O estado de tensões num ponto, no caso mais geral, ficará então definido conhecendo-se 
nove tensões, que são as que atuam nas faces do paralelepípedo elementar. 
 
 
 
 
 
 3 
Os diferentes estados de tensão num ponto 
 
1- Tipos 
Estado Triplo ou Tri-Axial – As tensões que atuam nas faces do paralelepípedo 
elementar admitem componentes nas direções de todas as suas arestas. 
 
Estado Plano, Duplo, ou Bi-Axial – As tensões no paralelepípedo apresentam 
componentes paralelas a apenas dois eixos. 
 
Estado Simples ou uniaxial – Nas faces do paralelepípedo atuam tensões na direção de 
uma única aresta 
 
Estado de Cisalhamento Puro - Nas faces do paralelepípedo atuam apenas tensões 
tangenciais. O simples valor yxxy ττ = é suficiente para definir o estado de tensão no 
ponto. 
 
Análise das tensões no Estado Plano 
O problema da análise das tensões consiste em determinar as componentes da tensão num plano 
qualquer, a partir das componentes da tensão que atuam em três planos ortogonais passando 
pelo ponto e supostas previamente conhecidas. 
 
Estado Geral Plano de tensões em um ponto: 
 
Dois componentes de tensão normal, xσ , yσ e um componente de tensão de cisalhamento, xyτ , 
que atuam sobre as quatro faces do elemento. 
Convenção : Estado de tensão no plano x-y, Figura 2.c 
 
 
 
Figura 3- Estado plano de tensão. 
 
Objetivo: Supondo que o estado de tensão seja definido pelos componentes xσ , yσ , xyτ 
orientados ao longo dos eixos x, y, como na Figura 2.a, mostraremos como obter os 
 4 
componentes 'xσ , 'yσ e 'y'xτ , orientados ao longo dos eixos x’, y’, Figura 3.b, de modo que 
representem o mesmo estado de tensão no ponto. 
 
Procedimento para determinar os componentes 'xσ , 'y'xτ que atuam sobre a face x’do 
elemento. 
 
1- Secionar o elemento da Figura 4.a (Figura 4.c). Área secionada ( AΔ ). 
2- Desenhar o diagrama de corpo livre do segmento, mostrando as forças que atuam sobre o 
elemento, ou seja, multiplicam-se os componentes de tensão de cada face pela área sobre a 
qual atuam. 
3- Aplicar as equações de equilíbrio de força nas direções x’e y’para obter os componentes de 
tensão desconhecidos 'xσ , 'y'xτ . 
4- Se 'yσ , que atua sobre a face +y’do elemento da Figura 4.b, tiver de ser determinado, 
considere um elemento como na Figura 4.d e depois é seguir o procedimento já descrito. 
Note que a tensão de cisalhamento não precisará ser determinada se ela já tiver sido 
calculada, visto que ela atende a propriedade complementar de cisalhamento. 
 
 
 
Figura 4- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
Ex: O estado plano de tensões em certo ponto da superfície da fuselagem de um avião é 
representado em um elemento, cuja orientação é a ilustrada na Figura 5.a. Representar o estado de 
tensão no ponto de um elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada. 
Figura 5- 
 
 
Resposta: 
 
 
Equações Gerais de Transformação de Tensão para o Estado Plano. 
 
Convenção de Sinal: 
 
 
 
Figura 6- Convenção de sinais. 
 
O componente das tensões normal ou de cisalhamento será positivo caso atue na direção 
positiva da coordenada da face positiva do elemento, ou caso atue na direção negativa da 
coordenada da face negativa do elemento como na Figura 6.a. 
 
Para lembrar a convenção de sinais: A tensão normal é positiva quando atua para fora de todas 
as faces e a tensão de cisalhamento é positiva quando atua para cima na face direita do elemento. 
 6 
Ângulo θ : Orientação do plano inclinado no qual devem ser determinados os componentes das 
tensões normal e de cisalhamento (Positivo no sentido anti-horário), Figura 6.b. 
 
Componentes das tensões normal e de cisalhamento. 
 
 
Figura 7- Elemento no estado plano de tensões. 
 
Dedução: Aula 
 
Aplicam-se as equações de equilíbrio de força para se determinar os componentes 
desconhecidos das tensões normal e de cisalhamento, 'xσ , 'y'xτ . 
Cálculo de 'yσ 
 
Figura 7.d. 
 
Equações Gerais de Transformação de tensão para o estado plano. 
 
( ) ( )θτθσσσσσ 2sen2cos
22 xy
yxyx
'x +
−++= (1) 
( ) ( )θτθσστ 2cos2sen
2 xy'
yx
'ý'x +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−= (2) 
 
Para determinar 'yσ , basta substituir θ por ( )90+θ , Figura 7.d em (1) e assim tem-se: 
 
( ) ( )θτθσσσσσ 2sen2cos
22 xy
yxyx
'y −
−−+= (3) 
 
 
 7 
 
Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano. 
 
 
Prática da Engenharia: é importante determinar a orientação dos planos que fazem a tensão 
normal chegar ao máximo e ao mínimo, bem como a orientação dos planos que fazem a tensão 
de cisalhamento chegar ao máximo. 
 
 
Observações: 
 
1- Posição Principal: Posição para a qual as tensões tangenciais nas faces do paralelepípedo 
elementar são todas nulas, restando apenas tensões normais. 
 
Estado Triplo de Tensões - Direções principais - Direções 1 -2-3 
Tensões Principais - 321 σσσ −− 
Planos Principais- Planos 1-2-3 
 
Estado Plano de Tensões - Direções principais - Direções 1 -2 
Tensões Principais - 21 σσ − 
Planos Principais- Planos 1-2 
 
 
Tensões Principais no Plano 
 
Determinação da tensão normal máxima e mínima. 
 
0
d
d 'x =θ
σ (4) 
 
 
( ) ( ) ( ) 02cos22sen
d
d
pxypyxp
'x =+−−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=
θτθσσθ
σ
θθ
 (5) 
Lembrando que: 
 
( ) ( )θτθσστ 2cos2sen
2 xy'
yx
'ý'x +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−= (6) 
Dessa forma, de (5) e (6) tem-se: 
 
02 p =θτ ⇒ 0p =θτ (7) 
 
 
Nos planos em que agem os valores máximo e mínimo das tensões normais, a tensão de 
cisalhamento é nula. 
 
 
 
 
 
 
 8 
Importante: 
 
1- Tensões Principais - Tensões normais máxima e mínima 
2min
1max
σσ
σσ
=
=
 
2- Planos Principais – Planos de atuação das tensões principais 
3- Direções Principais – Definem os planos principais 
 
Posição dos Planos Principais 
 
Resolvendo a eq. (5), obtemos a orientação pθθ = dos planos de tensões normais máxima e 
mínima. 
 
( ) ( ) 22tg yx xyp σσ
τθ −= (8) 
 
 
pθ - ângulo que define o plano de tensão normal extrema. 
 
Solução de (8) 
K3,2,1,0nn2arctg2
yx
xy
p =+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−= πσσ
τθ (9) 
 
K3,2,1,0n
2
n2arctg
2
1
yx
xy
p =+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=
π
σσ
τθ (10) 
 
Duas menores determinações 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=⇒= yx
xy
1p
2
arctg
2
10n σσ
τθ (11) 
 
2
1n 1p2p
πθθ +=⇒= (12) 
Os eixos principais são definidos por 1pθ e 2pθ através dos quais os planos principais ficam 
determinados. Os planos principais são ortogonais entre si, como apresenta a Figura 8.b. 
 
Figura 8 - Planos principais. 
 9 
 
 
Cálculo das Tensões Principais 
 
 
 
 
 
Figura 9 – Orientação dos planos de tensões normais máxima e mínima. 
 
 
 
Solução : Duas raízes 1pθ e 2pθ . Os valores de 1p2θ e 2p2θ estão defasados de 180º. 1pθ e 2pθ 
estarão defasados de 90º. 
 
 
Para calcularmos as tensões principais devemos substituir os valores de 1p2sen θ e 1p2cos θ , nas 
equações (1) e (3). Dessa forma, encontraram-se os valores do seno e co-seno a partir do triângulos 
apresentados na Figura 9. A montagem dos triângulos da Figura 9 se baseia na equação (8). 
 
Supondo-se que xyτ e yx σσ − são quantidades positivas ou ambas as quantidades negativas, temos: 
 
Para 1pθ 
( ) 2xy
2
yx
xy1p 2
2sen τσστθ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −= (13) 
 
( ) 2xy
2
yxyx
1p 22
2cos τσσσσθ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −= (14) 
 
Para 2pθ 
 
( ) 2xy
2
yx
xy2p 2
2sen τσστθ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−= (15) 
 10 
( ) 2xy
2
yxyx
2p 22
2cos τσσσσθ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−= (16) 
 
Substituindo-se um dos conjuntos de equações (13) e (14) ou (15) e (16) nas equações (1) e (3) 
teremos: 
 
2
xy
2
yxyx
2,1 22
τσσσσσ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −±+= (17) 
 
A equação (17) nos dá a tensão normal máxima ou mínima no plano a qual atua sobre um ponto em 
que 21 σσ ≥ . 
As trincas na viga de concreto da Figura 10 foram provocadas por tensões de tração, apesar de ela 
está submetida tanto a momento interno como a cisalhamento. As equações de transformação de 
tensão são usadas para prever a direção das trincas, bem como as tensões normais principais que as 
provocaram. 
 
 
 
Figura 10 - Trincas numa viga de concreto. 
 
 
Tensões Tangenciais Extremas e seus Planos 
 
 Planos de Tensões Tangenciais Extremas 
Deriva-se a expressão (6) ( ) ( )θτθσστ 2cos2sen
2 xy'
yx
'ý'x +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−= em relação a θ e iguala-se esta 
derivada a zero. 
 
cθ - Ângulo que define aqueles planos. 
 
Dessa forma tem-se 
( ) ( ) ( ) ( )
xy
yx
ccxy'cyx
c
'ý'x
2
2tg2sen22cos
d
d
τ
σσθθτθσσθ
τ
θθ
−−=⇒−−−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=
 (18) 
 
 
 
 
 11 
A Solução da eq. (18) é da seguinte forma: 
 
K2,1,0nn
2
arctg2
xy
yx
c =+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−= πτ
σσθ (19) 
 
 
Para as menores determinações 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−=⇒=
xy
yx
1c 2
arctg
2
10n τ
σσθ (20) 
 
2
1n 1c2c
πθθ +=⇒= (21) 
Planos Principais x Planos de Tensões Tangenciais Extremas 
 
yx
xy
p
2
2tg σσ
τθ −= e ( ) xy
yx
c 2
2tg τ
σσθ −−= (22) 
 
As Conclusões obtidas a partir das expressões (22) são as seguintes: 
 
1 - ( ) ( )cp 2tg
12tg θθ −= 
2- Os ângulos c2θ e p2θ diferem de 90º ( )opc 9022 =− θθ 
3- Os ângulos cθ e pθ diferem de 45º ( )opc 45=−θθ 
4- O par de eixos ortogonais relativos às tensões de cisalhamento máximas, no plano xy, é obtido 
pela rotação de 45º nos eixos principais. 
 
Tensões Tangenciais Extremas 
 
 
Para calcularmos as tensões de cisalhamento máximas devemos substituir os valores de c2sen θ e 
c2cos θ , na equação (2). Dessa forma, encontram-se os valores do seno e co-seno a partir do 
triângulos apresentados na Figura 11. A montagem dos triângulos da Figura 11 se baseia na equação 
18. O ângulo sθ 
 
Figura 11- Triângulos formados a partir da expressão 18. 
 
 12 
Supondo-se que xyτ e yx σσ − são quantidades positivas ou ambas as quantidades negativas, temos: 
 
Para 1cθ 
( ) ( ) 2xy
2
yx
yx1c 2
2/2sen τσσσσθ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−−= (23) 
 
( ) 2xy
2
yx
xy1c 2
2cos τσστθ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −= (24) 
 
 
Substituindo-se as expressões (23) e (24) na eq. (2) teremos: 
 
2
xy
2
yx
min
max 2
τσστ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −±= (25) 
 
 
maxτ é chamada de tensão máxima no plano, por que atua sobre o elemento no plano x-y. 
Substituindo-se os valores de c2sen θ e c2cos θ , na equação (1), verificamos que há uma tensão 
normal nos planos da tensão de cisalhamento máximo dada por: 
2
yx
méd
σσσ += (26) 
 
Como no caso das equações de transformação de tensão, é conveniente programar as equações 
anteriores de tal forma que sejam usadas numa calculadora de bolso. 
 
Conclusões: 
1- As tensões tangenciais extremas diferem apenas em sinal. Seus valores absolutos são iguais. Isto, 
aliás, está de acordo com a lei da reciprocidade das tensões, visto que maxτ e minτ agem em planos 
perpendiculares conforme demonstrado anteriormente. O sinal indicará o sentido da tensão 
tangencial, conforme convenções estabelecidas anteriormente. 
 
2- Tensões Principais 
2
xy
2
yxyx
2,1 22
τσσσσσ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −±+= 
3- Tensões tangenciais extremas 
2
xy
2
yx
min
max 2
τσστ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −±= 
Donde 
max21
max
yx
2min
max
yx
1max
2
2
2
τσσ
τσσσσ
τσσσσ
=−
−+==
++==
 
 
 13 
2
21
max
σστ −= (27) 
4- É constante a soma das tensões normais que agem em dois planos ortogonais quaisquer 
passando no ponto. 
 
Suponha as tensões θσ e 
2
πθσ ± agindo em dois planos ortogonais entre si e dadas por 
( ) ( )θτθσσσσσθ 2sen2cos22 xyyxyx +
−++= (28) 
 
 
( ) ( )θτθσσσσσ πθ 2sen2cos22 xyyxyx
2
−−−+=
±
 (29) 
 
Somando as expressões (28) e (29) chega-se a: 
yx
2
σσσσ πθθ +=+ ± (30) 
 
5- Cada ponto admitirá, pois um invariante característico de seu estado de tensões, dado por: 
 
21yx
2
I σσσσσσ πθθ +=+=+= ± (31) 
Exercícios: 
 
1- Em um ponto de um membro estrutural sujeito a tensões planas há tensões sobre os planos 
horizontal e vertical através do ponto, como apresenta a Figura 12. 
(a) Determine as tensões principais e as tensões tangenciais extremas no ponto. 
(b) Localize os planos sobre os quais estas tensões atuam e mostre as tensões num esboço 
completo 
 
 
 
Figura 12- Ponto de um membro estrutural. 
 
Resposta: 
( )
( )CMPa5,88
TMPa5,108
2
1
−=
=
σ
σ
, MPa5,98
min
max ±=τ , o1 12−=θ 
 
 
 
 
 
100 MPa
40 Mpa 
80 Mpa
 14 
 
 
2- Quando a carga de torção é aplicada à barra da Figura 13, produz um estado de tensão de 
cisalhamento puro no material. Determinar: a) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a 
tensão normal média; e b) A tensão principal.Figura 13- Carga de torção aplicada a uma barra 
 
 
Resposta: 
o
2p
o
1p2,1
méd
planono
max
45,135,
0
==±=
=
±=
θθτσ
σ
ττ
 
 
3- Resolver os exercícios resolvidos do Hibbeler em casa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
Círculo de Tensões de Mohr 
 
1- Conceito 
 
Obter graficamente uma solução mais rápida para os problemas de transformação de tensões 
(Análise das tensões no ponto) 
Embora tenha sido inicialmente imaginado para soluções gráficas, o método se presta muito 
bem para soluções com calculadoras. 
 
 Base Teórica: 
 
Repetindo-se aqui as expressões (1) e (3) na seguinte forma 
( ) ( )θτθσσσσσ 2sen2cos
22 xy
yxyx
'x +
−=+− (32) 
 
 ( ) ( )θτθσστ 2cos2sen
2 xy'
yx
'ý'x +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−= (33) 
Elevando-se os dois membros das equações (32) e (33) ao quadrado tem-se 
 
( ) ( )
2
xy
yx
2
yx
'x 2sen2cos22 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +− θτθσσσσσ (34) 
( ) ( )
2
xy'
yx2
'ý'x 2cos2sen2 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−= θτθσστ (35) 
Expandindo-se as expressões (34) e (35) e eliminando-se o parâmetro θ chega-se a: 
 
2
xy
2
yx2
'ý'x
2
yx
'x 22
τσστσσσ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +− (36) 
 
Sabe-se que a equação cartesiana do círculo é dada por: 
( ) ( ) 222 Rcyax =−+− (37) 
 
Fazendo-se uma relação da equação (36) com a equação (37) tem-se que: 
xσ , yσ , xyτ são constantes conhecidas 
'xσ e 'y'xτ são as variáveis 
méd
yx
2
a σσσ =+= 
c=0 
2
xy
2
yx
2
R τσσ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −= 
Dessa forma a expressão (36) torna-se: 
 ( ) 22 'ý'x2méd'x R=+− τσσ (37) 
Se estabelecermos eixos coordenados em que σ seja positivo para a direita e τ positivo para 
baixo e representarmos a equação (37), teremos um círculo de raio R com centro em ( )0,médσ no 
eixo σ . Esse círculo é chamado de círculo de Mohr e está ilustrado na Figura 14. 
 16 
 
Figura 14- Círculo de Tensões de Mohr. 
 
Traçado do Círculo de Mohr 
 
1- Estabelecer um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a tensão normal σ , 
com sentido positivo para a direita, e a ordenada represente a tensão de cisalhamento τ , com 
sentido positivo para baixo. Figura 15.a 
 
 
Figura 15.a – Círculo de Mohr. 
 
 17 
2- Usando a convenção de sinal positiva para xσ , yσ e xyτ , como mostra a Figura 15.b, 
marcamos o centro do círculo, localizado no eixo σ a uma distância 
2
yx
méd
σσσ += da 
origem. 
 
Figura 15.b – Plano físico. 
 
3- Marcar o “ponto de referência” A de coordenadas ( )xyx ,A τσ . Esse ponto representa os 
componentes das tensões normal e de cisalhamento na face vertical direita do elemento e, 
como o eixo x’coincide com o eixo x, isso significa que o0=θ . 
4- Unir o ponto A ao centro C e determinar CA usando trigonometria. Essa distância representa 
o raio R do círculo. 
5- Traçar o círculo 
 
Tensões principais 
 
1- Pontos B e D da Figura 15.a - Definem as tensões normais extremas, 1σ e 2σ ( 21 σσ ≥ ). 
 Observe as tensões de cisalhamento que são nulas nesses pontos. 
 
2- Essas tensões atuam sobre os planos definidos pelos ângulos 1pθ e 2pθ , como na Figura 15.c. 
Eles sã representados no círculo pelos ângulos 1p2θ (mostrado) e 2p2θ e medidos da linha 
de referência radial CA para as linhas CB e CD, respectivamente. 
 
Figura 15.c – Planos principais. 
3- Apenas um desses ângulos precisa ser calculado pelo círculo, usando-se trigonometria, uma 
vez que 1pθ e 2pθ , estão 90º afastados. A direção de rotação no círculo p2θ (nesse caso no 
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sentido anti-horário) representa a mesma direção de rotação pθ a partir do eixo de referência 
(+x) para o plano principal (+x’) como apresenta a Figura 15.c. 
 
Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano 
 
1- Coordenadas do Ponto E e F (Figura 16.a). 
2- Os ângulos 1cθ e 2cθ dão a orientação dos planos que contém os componentes, Figura 15.d. 
O ângulo 1c2θ é determinado por trigonometria a partir da Figura 15.a. 
 
Figura 15.d- Tensão de cisalhamento máxima 
3- Nesse caso a rotação ocorre no sentido horário e, desse modo, 1cθ deve estar no sentido 
horário no elemento. 
 
Tensões num Plano Qualquer 
 
1- Os componentes das tensões normal e de cisalhamento 'xσ e 'y'xτ que atuam sobre um plano 
especificado definido pelo ângulo θ , como na Figura 15.e são obtidos no círculo usando-se 
trigonometria para determinar as coordenadas do ponto P na Figura 16.a. 
 
 
Figura 15.e – Tensões num plano qualquer. 
2- Para localizar P, o ângulo conhecido para o plano θ (nesse caso no sentido anti-horário), 
Figura 15.e deve ser medido no círculo na mesma direção de θ2 (sentido anti-horário), da 
linha de referência CA para a linha radial CP, Figura 15.a. 
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Exercício 
 
1- A carga de torção T produz, no eixo, o estado de tensão mostrado na Figura 16.a. Desenhar 
o circulo de Mohr para esse caso. 
 
Figura 16 – Barra submetida a torção. 
 
2- Devido à carga aplicada, o elemento no ponto A do cilindro maciço da Figura 17.a está sujeito ao 
estado de tensão mostrado. Determinar as tensões principais que atuam nesse ponto. 
 
Figura 17-Barra submetido a carregamento. 
 
Resposta: ksi49,21 =σ , ksi5,142 −=σ 
 
Figura 17.c – 
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3- Estudar os exercícios resolvidos do Hibbeler. 
 
 
Trabalho 
 
Entregar até o dia 20 de outubro os exercícios do HIBBELER capítulo 9, na 
seção problemas: 9.1, 9.7, 9.8, 9.9 e 9.14 e 9.66. Entregar os exercícios com 
seus respectivos enunciados. 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
 
1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 1995. 
2. Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning 
3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000. 
 
Observações: 
1- O presente texto é baseado nas referências citadas. 
2- Todas as figuras se encontram nas referências citadas.

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