LISTA 1 Calculo

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COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA - BIOLOGIA - LISTA 1
1. Um super sapo somente dá pulos de 23 metros de extensão. Ele está a 11724 metros da beira
de uma lagoa que costuma freqüentar.
a) Qual é o número máximo de pulos que ele pode dar sem cair na lagoa?
b) Neste caso, quantos metros o separam da lagoa após esse número de pulos?
c) Qual o número mínimo de pulos necessários a fim de que ele caia na lagoa?
2. Utilize divisão euclidiana para obter, para cada número dado a seguir, os múltiplos de 57 que
melhor os aproximam por falta, e os que melhor os aproximam por excesso.
a) 570058 b) 4444 c) 180 d) 966080007 e) 1000010000
3. Escreva os seguintes números na base 10.
a) (65014)15 b)(10000000)2 c)(10000000)3 d)(40321043)5 e)(70765412)8
f)(87006541)9 g)(22054303)6 h)(10122101)3 i)(3α59αα0)11 j)(αβ50β2α9)12
Observações:
ˆ Os sub-índices do lado de fora dos parênteses representam, respectivamente, as bases de numeração.
Essas bases estão expressas na base 10, e não na própria base.
ˆ No item (i), o símbolo α corresponde ao número (10)10 (10 na base 10). Porque precisamos de 11
algarismos para escrevermos na base 11, pusemos o símbolo α para o 11º algarismo (0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, α).
ˆ Do mesmo modo, já que no item (j) estamos na base 12, precisamos de dois novos símbolos, um
para o 11º e outro para o 12º algarismo. Colocamos os símbolos α e β, respectivamente (0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β).
4. Escreva os números do exercício anterior no sistema de numeração de base 7.
(Sugestão: Passe 1º para a base 10, depois então desta para a base 7.)
5. Escreva os números do exercício 1 no sistema de numeração de base 4.
(Sugestão: Passe 1º para a base 10, depois então desta para a base 4.)
6. Considere o número expresso por
3× 1020 + 2× 1012 + 1× 1010 + 3× 103 + 2× 101 + 1× 100 ,
(ou seja, (302013021)4) onde todos os números foram representados na base 4, inclusive o numeral
10 está na base 4, ou seja, representa o número 4 quando expresso na base 4. Expresse esse número
nas bases 2, 3, 8 e 12, sem passar pela base 10.
(Sugestão: Para escrever o número na base 2, por exemplo, podemos efetuar as divisões sucessivas por 2,
do mesmo modo quando mudamos da base 10 para a base 2, mas fazendo a divisão na base 4. Para isso,
precisamos montar as tabuadas de adição e de multiplicação na base 4 (na verdade somente precisamos
das multiplicações por 2, na base 4).
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 10
2 2 3 10 11
3 3 10 11 12
× 0 1 2 3
2 0 2 10 12
7.(Colégio Naval 1997) Um aluno efetuando a divisão de 13 por 41, foi determinando o quociente
até a soma de todos os algarismos por ele escritos, na parte decimal, fosse imediatamente maior
do que ou igual a 530. Quantas casas decimais ele escreveu?
8.(Colégio Naval 2007) Em um número natural N de 9 algarismos, tem-se: os algarismos das
unidades simples, de milhar e de milhão são iguais a x; os algarismos das dezenas simples, de
milhar e de milhão são iguas a y. Finalmente, os algarimos das centenas simples, de milhar e de
milhão são iguais a z. Pode-se afirmar que N sempre será divisível por
a) 333664 b) 333665 c) 333666 d) 333667 e) 333668
9.(Colégio Naval 1999) Para registrar o resultado da expressão 2101 · 597, o número de dígitos
necessários é?
10. Resolva as seguintes equações em N. Quando não houver solução, justifique, argumente,
mostrando que de fato não há solução.
a) 10k = 11t b) 2n · 13000 = 1664000 c) 3m · 35n · 63k = 2083725 d) 6a5 = b5
e) x2 = 4y2 f) m3 = 4n3 g) 125y3 = z3 h) 140625a6 = b6
i) y4 = 1296x4 j) y4 = 46656x4
(Sugestão: Para justificar quando não houver solução, use o TFA (Teorema Fundamental da Aritmética),
ou seja, que �dado qualquer número natural a > 1, ou a é primo, ou a se escreve como um produto de
fatores primos, de modo único, exceto quanto à ordem dos fatores�.)
11.(Colégio Naval 2000) Simplifique ao máximo a expressão
(
a2 + a
4
3 b
2
3
) 1
2
+
(
b2 + a
2
3 b
4
3
) 1
2