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1 MÓDULO 3 – Equação de Bernoulli Daniel Bernoulli, mediante considerações de energia aplicada ao escoamento de fluidos, conseguiu estabelecer a equação fundamental da Hidrodinâmica. Tal equação é uma relação entre a pressão, a velocidade e a altura em pontos de uma linha de corrente. A energia potencial da água muda enquanto ela se move (Figura 3.1). Enquanto que a água se move, a mudança na energia potencial é a mesma que aquela de um volume V que se movimentou da posição 1 para a posição 2. A energia potencial da água no resto do tubo é a mesma que a energia potencial da água antes do movimento. Figura 3.1 – Disposição da energia do fluido em pontos distintos (F. Brunetti, 2ª ed., Mecânica dos Fuidos, LTC) mudança na energia potencial = (massa da água)(g)(mudança na altitude) = (V) (g) (h2 – h1) = Vg (h2 – h1) A energia cinética da água também muda. Novamente, só precisamos achar a mudança na energia cinética em um pequeno volume (V), como se a água na posição 1 fosse substituída pela água na posição 2 (Figura 3.1). A energia cinética 2 da água no resto do tubo é a mesma que a energia cinética antes do movimento. Dessa forma: mudança na energia cinética = ½ m v22 – ½ m v12 = ½ V v22 – ½ V v12 Se a força sobre a água na posição 1 é diferente do que a força da água na posição 2, existe um trabalho sobre a água à medida que ela se move. A quantidade de trabalho é: W = F1 L1 – F2 L2 Considerando força = pressão * área, então: W = p1 A1 L1 – p2 A2 L2 = p1 V - p2 V O trabalho deve ser igual à mudança na energia. Logo, p1 V - p2 V = V g (h2 – h1) + ½ V (v22 –v12) Separando os pontos de energia: p1 V + V g h1+ ½ V v12 = p2 V + V g h2 + ½ V v22 Dividindo todos os termos por V, temos que: 22 2 2 22 2 1 11 v ghP v ghP Considerando o peso específico () ser: =g, então: 2 2 22 1 2 11 22 h g vP h g vP Equação de Bernoulli Esta equação implica que, se “um fluido estiver escoando em um estado de fluxo contínuo, então a pressão depende da velocidade do fluido”. Quanto mais rápido o fluido estiver se movimentando, tanto menor será a pressão à mesma altura no fluido. Se o tubo for horizontal, então h1= h2 a Equação de Bernoulli pode ser simplificada para: g vP g vP 22 2 22 2 11 3 EXEMPLOS 1. O medidor Venturi é usado para determinar a vazão num conduto e consiste de um tubo convergente-divergente seguido de um conduto de diâmetro constante chamado garganta, e, posteriormente, de uma porção gradualmente divergente. Considere o exemplo no qual o diâmetro da seção 1 (d1) é 6 polegadas e o diâmetro da seção 2 (d2) é 4 polegadas. Para esse exemplo, determinar a vazão no conduto quando P1-P2=3Psi e o fluido que escoa é óleo com peso específico é 900Kgf/m3. Dado: 1 psi=6894,76Pa Resolução 2 2 22 1 2 11 22 z g vP z g vP 12212221 2 1 hhvv g PP Pela equação da continuidade: 1 A1v1 = 2 A2 v2 (como o fluído é incompressível: 1 = 2 ) A1v1 = A2 v2 2 2 2 1 2 1 v 4 dπ v 4 dπ 12 2 2 1 12 2,25v d d vv Considerando P1-P2 = 3Psi = 3*6894,76Pa = 20684,28Pa= 20684,28N/m2=2109,21Kgf/m2 2121 23 2 v)(2,23v s m 9,81*2 1 m Kgf 900 1 m 2109,2Kgf , logo: 3,4m/sv1 QQQ 21 , então: 4 π(0,1524m) s m 3,4 4 πd s m 3,4AvQ 22 1 11 61,98l/s/s0,062mQ 3 (1) (2) 4 2. Considere o escoamento de água a 100C de uma seção 1 para outra seção 2. A seção 1 (P1=345 kPa) tem 25mm de diâmetro, pressão manométrica de 345 kPa e velocidade média do fluxo de 3,0m/s. A seção 2 tem 50mm de diâmetro e encontra- se a 2 m mais alta que a seção 1. Considerando que não existem perdas de energia no sistema determine a pressão p2. Resolução Existe uma mudança de elevação e de seção do duto, portanto existira uma variação da pressão e da velocidade. Para água a 100C a massa especifica é igual a =1000kg/m3 Aplicando a equação de Bernoulli, 2 2 22 1 2 11 22 h g v g P h g v g P obtemos uma expressão para a pressão p2 21 2 2 2 11 2 22 zz g v g v g P gP )( 2 12 2 2 2 1 12 zz g vv gPP Para determinar v2 utilizamos a equação da continuidade, 2211 AvAvQ desta forma 2 11 2 A Av v como e )2( 81,92 75,03 81,91000345 2 22 232 m s m s m s m s m m Kg kPaP kPaP 6,3292 A pressão p2 é uma pressão manométrica já que foi calculada em relação a p1 que também é manométrica.
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