Transformações Lineares

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Transformações Lineares
Definição. Sejam V e W espaços vetoriais. 
Uma aplicação T:V → W é denominada transformação (ou 
aplicação) linear de V em W se satisfaz: 
(i) T(u + v) = T(u) + T(v),
(ii) T(αv) = αT(u), para quaisquer u, v ∈ V e todo α∈ ℝ.
(iii) T(0) = 0.
De fato. T(0) = T(u + (-u)) = T(u) + T(-u) = T(u) +(– T(u)) = 0.
Caso T(0) ≠ 0 então T: V → W não é linear
Exemplo T: R2 → R2 definida por T(x,y) = (x+1,2y) não é linear. 
Basta observar que T(0,0) = (1,0) ≠ (0,0).
Exemplo. Seja T: R2 → R3 definida por T(x,y) = (4x,-8y,x + y). 
Verificaremos que T é uma aplicação linear. 
Exemplo. Seja T: R2 → R3 definida por T(x,y) = (4x,-8y,x + y). 
Verificaremos que T é uma aplicação linear. 
- Observemos que T(0,0) = (0,0,0), mas isto não é suficiente para garantirmos 
que T seja linear.
- Verificaremos se as duas condições da definição são satisfeitas.
(i) Sejam u = (x1,y1) e v = (x2,y2) vetores do R
2 , então:
Verificar se T é uma transformação (aplicação )linear.
2. Seja T: R3 R2 a aplicação linear definida por T(x,y,z) = (x,y), denominada de 
projeção do R3 sobre R2 , isto é sobre o plano xy, veja figura 06, a seguir. 
Verificar se é uma transformação (aplicação )linear.
Então, T(αu) =αT(u),∀α ∈R,∀u∈R3. 
Das condições (i) e (ii) temos que T que a projeção do R3 sobre o R2 é uma 
aplicação linear.
Verificar se é uma transformação (aplicação )linear.
Verificar se é uma transformação (aplicação )linear.
Verificar se T é uma transformação (aplicação )linear.
Núcleo de uma Transformação Linear
IMAGEM
[(1,0,1)] é a base vetorial que forma o núcleo
= { (x,0) + (y,y) + (-z,0) }
É a base vetorial que forma a imagem
É o conjunto que 
forma a imagem
Imagem
Im(T) = { x(1,0,1) + y(2,1,3) + z(-1,2,1); x, y, z ∈ ℝ }
Base de vetores que 
formam a imagem
Imagem
x=3 e y=-1
Determinar a transformação linear T
Determinar a transformação linear T
Escrevemos um vetor genérico do espaço como 
uma combinação linear dos vetores dessa base