Relatório 07 - FIS123

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Universidade Federal da Bahia
Física Geral e Experimental III – FIS123
Departamento de Física do Estado Sólido
Professora: Maria das Graças
Experimento 04
Constante de tempo em circuitos RC
 Alunos:
 	 Ciro Gois Batista
 	 Leonardo de Souza Figueiredo
 	 
Salvador
Outubro de 2009
OBJETIVO E INTRODUÇÃO 
O objetivo de experimento consiste em medir o valor da constante de tempo em um circuito capacitivo e através desta constante, medir a resistência efetiva e a capacitância de um circuito.
Nos circuitos RC (resistor-capacitor) a tensão e a corrente variam com o tempo. Isso ocorre porque à medida que o tempo passa, a carga armazenada no capacitor aumenta e com isso cria-se uma ddp contrária ao sentido da corrente entre os pólos do capacitor. Assim ddp aumenta até seu valor que iguale ao da força eletromotriz anulando o seu efeito, ou seja, (-V tende a zero e com isso, a corrente também decresce. O inverso ocorre quando temos os pólos de um capacitor carregado ligados a uma resistência. O capacitor se descarregará no resistor e ddp decrescerá acarretando com isso o surgimento de uma corrente que, a partir de um valor máximo (dado por I=V/R), decairá juntamente com a ddp tendendo a zero para um tempo muito logo. Podemos ver isto com mais clareza analisando o circuito da figura 1 abaixo: 
FIGURA 1
Com a chave ligada em 1 temos que ocorre o carregamento do capacitor. Pode-se provar que a ddp entre os pólos do capacitor se comporta segundo a função:
	, onde t = tempo, R = valor da resistência equivalente e 	C = capacitância do capacitor
Com a chave ligada em 3 temos o descarregamento do capacitor sobre R e Rv. Pode-se provar que tensão do capacitor a qualquer instante é dada por:
	, onde Req= R//Rv.
Com a chave aberta em 2 temos o descarregamento do capacitor sobre Rv e, neste caso, Vc fica:
	, onde Rv é resistência do voltímetro.
A grandeza RC tem dimensão de tempo e é chamada de constante de tempo capacitiva. Nosso objetivo é medir experimentalmente esta constante e aplicá-la na solução de alguns problemas.
Como procedimento inicial, foram anotados os valores da resistência (R) e da resistência interna do voltímetro (Rv) assim como seus respectivos desvios:
	
	Valor (()
	Desvio 
	R
	3 k
	5%=150 (
	Rv
	200 k
	5%=10 k(
Após isso, foi armado o circuito abaixo e com a chave em 3, foi medido o valor da tensão na bateria (Vo) entre os pontos 1 e D e obtivemos: Vo = 10,0 ± 0,1 V, onde o desvio Sv do voltímetro é igual a 0,1 V, tendo em vista que a escala utilizada foi a escala de 10 V.
PARTE EXPERIMENTAL:
Primeiramente montamos o circuito da figura abaixo (Fig.6) constituído de uma fonte de tensão Vo, um resistor R e um capacitor C, em série.
Medidas da Constante de Tempo
Montado o circuito da figura 6, medimos, com a chave em 3, a tensão entre os pontos 1 e D, para R = 3000(. O valor da tensão foi de: Vo = 7,8v
Com a chave em 1, e o voltímetro ligado entre os pontos E e D, medimos o valor máximo da tensão nesses pontos, esperando o tempo suficiente para a tensão se estabilizar, pois o capacitor estava sendo carregado. Verificamos uma tensão Vc = 7,6v. 
Ao colocar a chave novamente em 3, fazemos com que o capacitor seja descarregado novamente. O tempo de necessário para a tensão cair até 37% do seu valor máximo foi T3 = 4,91s. Após esta medida, deixamos o capacitor descarregar-se totalmente.
Ao colocar a chave em 1, carregamos novamente o capacitor. O tempo de necessário para a tensão elevar-se até 63% do seu valor máximo foi T1 = 4,69s. Observa-se que os valores das medidas de T1 são próximos aos valores de T3.
Carregamos o capacitor totalmente, com a chave em 2 (Chave aberta), medimos a constante de tempo de descarga T2, tempo necessário para a tensão cair até 37% do seu valor máximo. Observa-se que há uma diferença significativa entre T2 e T3 com o tempo de descarregamento na chave 3 muito mais rápido que na chave 2. Isso se deve ao fato de que na posição 2, o capacitor se descarrega somente sobre a resistência Rv do voltímetro. Já na posição 3, o capacitor se descarrega sobre o resistor R conhecido e sobre a resistência do voltímetro Rv, associados em paralelo.
O Experimento foi repetido mais duas vezes. A seguir temos os dados das 3 repetições, no total:
Repetição 1( T1 = 4,69s, T2 = 356,15s e T3 = 4,91s
Repetição 2( T1 = 4,87s, T2 = 350,91s e T3 = 5,09s
Repetição 3( T1 = 4,85s, T2 = 346,31s e T3 = 5,04s
Cálculo da resistência interna Rv do voltímetro, a partir das medidas de tensão entre 1 e D e entre E e D:
Tensão 1 e D: V0 = 7,8v
Tensão E e D: Vc = 7,6v
R= 3000(
Sendo assim,podemos calcular o valor de Rv. Logo:
Vc= Rv x Vo / Vo + Rv
 
	Rv = 296,4 K (
Cálculo da resistência interna Rv do voltímetro, a partir das medidas das constantes de tempo T2 e T3
A partir das constantes de tempo podemos calcular o valor de Rv:
t2 = Rv C C = t2 / Rv (I)
t3 = R x Rv C Subst. (I), temos: 
 R + Rv
t3 = R x Rv .C t3 = R x t2 R + Rv = R t2 
 R + Rv R + Rv t3
Rv = R (t2 - t3) Rv = (3 x 103 ).(351,12 – 5,01)
 t3 5,01
	Rv = 207,25 K (
- Observa-se que os valores encontrados para Rv estão bem distintos, porém, esse valor de Rv encontrado através do tempo se aproxima mais do valor verdadeiro. Considerando que para um circuito com as mesmas condições, ou seja em um circuito com a mesma resistência R, conclui-se que t1 = t3, pois:
 t1= R Rv C = Rth .C e t3 = R Rv C = Rth .C 
 R + Rv R + Rv
 Realmente, ao realizarmos as medidas, os valores de T1 foram bastante parecidos com T3.
Fazendo a discrepância relativa entre as médias obtidas de T1 e T3, temos:
Δ = [(5,01 – 4,80)x100 / 5,01] = 4,19%, que é uma discrepância aceitável.
	Medidas
	t1
	t2
	t3
	1
	4,69
	356,15
	4,91
	2
	4,87
	350,91
	5,09
	3
	4,85
	346,31
	5,04
	Média
	4,80
	351,12
	5,01
Tabela V x T A chave então foi colocada em 2 para que o capacitor se descarregasse apenas sobre Rv e fizemos 20 medidas conforme a tabela na próxima página:
Descarga do Capacitor Sobre a Resistência Interna do Voltímetro
	T(s)
	ddp (V)
	11,95
	7,4
	20,77
	7,2
	30,39
	7
	39,7
	6,8
	50,8
	6,6
	61,27
	6,4
	74,42
	6,2
	86,17
	6
	98'17
	5,8
	111,05
	5,6
	124,49
	5,4
	139,05
	5,2
	153,99
	5
	168,55
	4,8
	182,17
	4,6
	197,7
	4,4
	215,55
	4,2
	233,83
	4
	253,3
	3,8
	275,58
	3,6
	296,8
	3,4
	319,11
	3,2
	343,83
	3
	362,14
	2,8
Tempo de descarga X Tempo de carga
Com a chavena posição 1 medimos a constante de tempo t1,que é o tempo necessário para que a o capacitor se carregue até alcançar 63% do seu valor máximo. O valor médio encontrado para t1 foi de 3,11s. Já com a chave na posição 3 medimos a constante de tempo t3, que é o tempo necessário para que a tensão no capacitor carregado caia até 37% do seu valor máximo. O valor médio encontrado para t3 foi de 3,06s. Como a diferença entre t1 e t3 é da ordem de centésimos de segundos e levando-se em consideração as possíveis falhas humanas na observação e leitura no voltímetro enquanto o capacitor se carregava ou descarregava, podemos concluir que o tempo de descarga de um capacitor é igual ao tempo de carga, logo: t1 = t3. Percebe-se ainda que essa relação só é válida pois com a chave em 1 ou em 3, o valor da resistência equivalente é o mesmo, o que garante que as constantes de tempo também serão as mesmas.
A constante de tempo RC é o tempo necessário para a tensão se elevar até 63% de Vmáx ou, a partir de Vmáx, cair até 37% de Vmáx. Isso pode ser observado com o seguinte desenvolvimento para o carregamento do capacitor:
Ou para este desenvolvimento para a descarga do capacitor sobre a resistência total do circuito.
Medida da Capacitância (C) através do gráfico do log de V x Tempo
A partir do gráfico de log de V versos T, em papel mono-log (em anexo), calculamos o valor da capacitância C:
				 
	
Pela equação da reta temos que: Y = B +At, logo, por analogia:
	B = log(V0)
Pelo o gráfico, a tangente da reta encontrada é -0,001183703869
. Logo:
 
 
Análise do gráfico do papel milimetrado
Pelo gráfico de V x Tempo (em anexo), percebe-se que quando , a tensão no capacitor tende a zero, o que é compatível com a teoria, tendo em vista que o capacitor se descarrega totalmente com o passar do tempo, supondo que a chave esteja na posição 2. 
Pela fórmula, também percebemos que Vc tende a zero:
Dimensão da constante de tempo capacitiva
		R = V / I				C = Q / V
no SI:
		(R( = (V( / (A(		 (C( = (c( / (V(
		(R( = (V( .(s( /(c(			
			
				 T = RC
			 (T( = (V(.(s(.(c(
			 (c(.(V( 	
				 (T( = (s(	
Assim vemos que a constante de tempo capacitiva tem dimensão de tempo (segundos).
Para a resistência Rv do voltímetro encontrou-se um valor experimental diferente do valor fornecido pelo fabricante, porém um valor próximo. Isto se deve ao fato da discrepância dos valores estarem dentro da margem de erro recomendada de 5%.
Nas medidas feitas encontram-se alguns erros provenientes da leitura do voltímetro, erro na década de resistores (5%), além da medida dos tempos nos cronômetros.
Todavia pode-se concluir que o experimento de uma forma geral foi satisfatório.
Anexos:
Gráfico 1 – Tensão no capacitor x Tempo 
Gráfico 2 – Log da Tensão no capacitor x Tempo
que é uma equação diferencial que tem como solução:
que é uma equação diferencial cuja solução é:
_1318952875.unknown
_1318960373.bin
_1318952874.unknown