ListadeExercicios 09 sistema lineares

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Lista de Exercícios – 09 
Sistemas Lineares 
 
Equação Linear 
É toda equação que possuem variáveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em 
que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número real b. 
Exemplos: 
x + y + z = 20 
2x –3y + 5z = 6 
 
Sistema Linear 
Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equações 
e n incógnitas. 
Exemplos: 
൜
ݔ	 + 	ݕ	 = 	3	
ݔ	– 	ݕ	 = 	1 
 
Representações: 
Por sistemas 
൝
ݔ	 + 	10ݕ	– 	12ݖ	 = 	1204ݔ	– 	2ݕ	– 	20ݖ	 = 	60	–ݔ	 + 	ݕ	 + 	5ݖ	 = 	10 
 
Por equação matricial 
൥
1 10 −124 −2 −20
−1 1 5 ൩ ∗ ቈݔݕݖ቉ = ൥1206010 ൩ 
 
Classificação de um sistema linear 
Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele. 
 
 SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução. 
 SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções. 
 SI – Sistema Impossível – não possui solução. 
 
Sistema Possível e Determinado (SPD): ao ser resolvido encontraremos uma única solução, isto é, apenas 
um único valor para as incógnitas. O sistema a seguir é considerado um sistema possível e determinado, pois 
a única solução existente para ele é o par ordenado (4,1). 
൜
ݔ + ݕ = 5
ݔ − ݕ = 3 
Sistema Possível e Indeterminado (SPI): esse tipo de sistema possui infinitas soluções, os valores de x e y 
assumem inúmeros valores. Observe o sistema a seguir, x e y podem assumir mais de um valor, (0,4), (1,3), 
(2,2), (3,1) e etc. 
൜
ݔ + ݕ = 40ݔ − 0ݕ = 0 
 
Sistema Impossível (SI): ao ser resolvido, não encontraremos soluções possíveis para as incógnitas, por isso 
esse tipo de sistema é classificado como impossível. O sistema a seguir é impossível. 
൜
ݔ + ݕ = 9
ݔ + ݕ = 5 
 
 
Propriedades 
a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente. 
 
b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K, obtemos um sistema equivalente 
ao anterior. 
c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um 
número k, obtemos um sistema equivalente ao anterior. 
 
Escalonamento 
a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero. 
b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das 
demais equações. 
c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. 
Exemplo: 
൝
2ݔ − 3ݕ − ݖ = 4
ݔ + 2ݕ + ݖ = 33ݔ − ݕ − 2ݖ = 1 
 
 
1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades 
dos sistemas equivalentes: 
 Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1: 
൝
2ݔ − 3ݕ − ݖ = 4
ݔ + 2ݕ + ݖ = 33ݔ − ݕ − 2ݖ = 1 
 Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação: 
൝
2ݔ − 3ݕ − ݖ = 4
ݔ + 2ݕ + ݖ = 33ݔ − ݕ − 2ݖ = 1 => ൝2ݔ − 3ݕ − ݖ = 4−7ݕ − 3ݖ = −23ݔ − ݕ − 2ݖ = 1 
 Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação: 
൝
2ݔ − 3ݕ − ݖ = 4
−7ݕ − 3ݖ = −23ݔ − ݕ − 2ݖ = 1 => ൝2ݔ − 3ݕ − ݖ = 4−7ݕ − 3ݖ = −2−7ݕ − 5ݖ = −8 
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação: 
 Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação: 
൝
2ݔ − 3ݕ − ݖ = 4
−7ݕ − 3ݖ = −2
−7ݕ − 5ݖ = −8 => ൝2ݔ − 3ݕ − ݖ = 4−7ݕ − 3ݖ = −2−2ݖ = −6 
 
 
Exercícios: 
1) Escalone e resolva os seguintes sistemas: 
a) ൜ ݔ + 2ݕ = 13ݔ − 2ݕ = 11 b) ൜3ݔ + 5ݕ = 1ݔ + ݕ = 0 c) ൜3ݔ − 2ݕ = 16ݔ − 4ݕ = 7 
 
 
2)A expressão matricial de um sistema S é: 

















 
7
4
.
13
52
b
a
. Determine as equações de S. 
 
3) Um grupo de 12 amigos reuniu-se durante um almoço de confraternização de fim de ano. Todos foram 
unânimes em pedir o prato sugerido pelo garçom e 10 deles pediram sobremesa, perfazendo uma despesa 
total de R$230,00 com esses dois itens. Sabendo-se que a quota de quem pediu sobremesa foi de R$20,00, 
calcule o preço unitário de cada um desses itens. 
 
 
4) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas por 4 pessoas, outras por apenas 2 pessoas num 
total de 38 fregueses. O número de mesas ocupadas por apenas 2 pessoas é ? 
 
 
5) Escalone e resolva os seguintes sistemas: 
 
a) ൝
ݔ + ݕ + ݖ = 22ݔ − ݖ = −13ݔ + ݕ = 1 b) ൝ 4ݔ − ݕ + 7ݖ = 95ݔ + 3ݕ − ݖ = 0−7ݔ − 11ݕ + 17ݖ = 19 c) ቐ – ݔ + ݕ − 2ݖ = 72ݔ − ݕ + 3ݖ = −10ݔ + ݕ + ݖ = −1 
 
6) Na França, três destes turistas trocaram por euros (€), no mesmo dia, as quantias que lhes restavam em 
dólares, libras e reais, da seguinte forma: 
⇒ 1º turista: 50 dólares, 20 libras e 100 reais por 108,5 €. 
⇒ 2º turista: 40 dólares, 30 libras e 200 reais por 152,2 €. 
⇒ 3º turista: 30 dólares, 20 libras e 300 reais por 165,9 €. 
Calcule o valor de uma libra, em euros, no dia em que os turistas efetuaram a transação. 
 
 
Regra de Cramer 
 
1º Exemplo: Resolver o sistema 





25
72
yx
yx
. 
Resolução: 11
51
12





 
 AdetA 
33
52
17
11 







 AdetA 
11
21
72
22 






 AdetA 
3
11
331 
Adet
Adetx 1
11
112 
Adet
Adety 
Resposta:   13  ,S 
 
 
 
2º Exemplo: Resolver o sistema 





2
5
yx
yx
. 
Resolução: 0
11
11







 AdetA 
 7
12
15







 xx AdetA 
7
21
51







 yy AdetA 
0
7

Adet
Adet
x x impossível 
0
7

Adet
Adet
y y impossível 
Resposta: S 
 
3º Exemplo: Resolver o sistema








1
10543
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
. 
Resolução: 
1º) Cálculo do determinante da matriz incompleta. 
 126543104
111
543
121













 AdetA 
 
 2º) Cálculo do determinante das incógnitas. 
 24200410100
111
5410
120
11 












 AdetA 
 1205103010
111
5103
101
22 









 
 AdetA 
061000204
111
1043
021
33 










 AdetA 
 
3º) Cálculo das incógnitas. 
2
12
241
1 


Adet
Adetx 
1
12
122
2 

Adet
Adetx 
0
12
03
3 

Adet
Adetx 
 
Resposta:   012 ,,S  Sistema Possível e Determinado. 
 
Exercícios Propostos: 
7) Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer. 
a) 





432
52
yx
yx
 b) 





93
143
yx
yx
 c) 








03
05
010
zy
zx
yx
 d)































 8
2
2
115
632
741
z
y
x
. 
 
 
8) Uma pessoa vendeu três tipos de doces, num total de 80, e arrecadou R$ 115, 00. Sabe-se que um brigadeiro 
custa R$ 1, 00, um bombom R$ 2,00 e um olho-de-sogra R$ 1,50 e que a quantidade de brigadeiros vendidos é 
igual à soma doutros dois doces vendidos.O número de bombons que a pessoa vendeu é igual a: 
a) 10 c) 20 e) 40 
b) 15 d) 30 
 
 
 
Profº Leandro Colombi Resendo