Introdução a Pilares

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Pilares
Prof. Romel Dias Vanderlei
Notas de Aulas
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
C
ap
ítu
lo
 3
Curso: Engenharia Civil Disciplina: Estruturas em Concreto II
1.º Semestre de 2008
P
ro
f. 
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om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
Bibliografia:
ALVA, G. M. S.; EL DEBS, A. L. H. C.; GIONGO, J. S. Concreto armado: 
projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003. Notas de aula – USP –
EESC – SET. Fevereiro de 2008
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS: NBR 6118:2003. 
Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro, ABNT, 2003.
CARVALHO, R.C.; FIGUEIREDO FILHO, J.R. Pilares de concreto 
armado. p.9-25. Notas de aula – Universidade Federal de São Carlos, 
2002.
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto: solicitações normais. Editora 
Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1981.
FUSCO, P. B. Introdução ao projeto estrutural. McGraw-Hill do Brasil. São 
Paulo, 1976.
MONTOYA, P. J.; MESEGUER, A.G.; CABRÉ, F.M. Hormigón armado. 
Editorial Gustavo Gili. 9a ed. Barcelona, Espana, 1978.
PINHEIRO, L.M. Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios. 
capítulo 16: Pilares. Notas de aula – EESC-USP, 2007.
PINHEIRO, L.M.; BARALDI; L.T.; POREM, M.E. Concreto armado: 
Ábacos para flexão oblíqua. São Carlos, EESC-USP, 1994.
VENTURINI, W.S. Dimensionamento de peças retangulares de concreto 
armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, EESC-USP, 1987.
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Sumário (1ª Parte)
3.1- Introdução
3.2- Características Geométricas
3.3- Classificação dos Pilares
3.4- Excentricidade de 1ª Ordem
3.5- Esbeltez Limite
3.6- Excentricidade de 2a Ordem
3.7- Detalhamento de Pilares
3.8- Dimensionamento de Pilares
3.9- Situações de Projeto e de Cálculo
3.10- Roteiro para Dimensionamento
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3.1- Introdução
Pilares são elementos estruturais lineares de eixo reto, 
usualmente dispostos na vertical;
As ações preponderantes que atuam nos pilares são 
forças normais de compressão;
Função principal é receber as ações atuantes nos 
diversos pavimentos e conduzi-las até as fundações;
Os pilares, juntamente com as vigas, formam os 
pórticos, que são os responsáveis por resistir às ações 
verticais e horizontais e garantir a estabilidade global 
da estrutura.
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3.2- Características Geométricas
Dimensões mínimas:
A seção transversal dos pilares, qualquer que seja a sua 
forma, não deve apresentar dimensão menor que 19 cm.
Em casos especiais, permite-se a consideração de 
dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que no 
dimensionamento se multipliquem as ações por um 
coeficiente adicional γn:
)( qgF cnd +⋅⋅= γγ
sendo “b” a menor dimensão da seção transversal do pilar (cm)
bn ⋅−= 05,095,1γ
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3.2- Características Geométricas
Dimensões mínimas:
As recomendações referentes aos pilares são válidas nos 
casos em que h ≤ 5b.
Quando esta condição não for satisfeita, o pilar deve ser 
tratado como pilar-parede.
Em qualquer caso, não se permite pilar com seção 
transversal de área inferior a 360 cm².
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3.2- Características Geométricas
Comprimento equivalente:
Para pilar vinculado em ambas extremidades, o 
comprimento equivalente “le” é o menor dos valores:
Onde:
l o – distância entre as faces internas 
dos elementos que vinculam o 
pilar;
h – altura da seção transversal do 
pilar, medida no plano da estrutura;
l – distância entre os eixos dos 
elementos aos quais o pilar está
vinculado.
⎩
⎨
⎧ +
≤
l
hl
le
0
P
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3.2- Características Geométricas
Comprimento equivalente:
Para pilar engastado na base e livre no topo: lle ⋅= 2
Raio de Giração:
I é o momento de inércia da seção transversal;
A é a área de seção transversal.
A
Ii=
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3.2- Características Geométricas
Para o caso em que a seção transversal é
retangular:
i
le=λ
12
 
12
12
2
3
hih
bh
bh
A
Ii =⇒===
Índice de Esbeltez:
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3.3- Classificação dos Pilares
Quanto as solicitações iniciais:
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3.3- Classificação dos Pilares
Quanto as solicitações iniciais:
Pilares internos - aqueles submetidos a compressão 
simples, ou seja, que não apresentam excentricidades 
iniciais.
Pilares de borda - as solicitações iniciais correspondem a 
flexão composta normal, ou seja, há excentricidade inicial 
em uma direção. Para seção quadrada ou retangular, a 
excentricidade inicial ocorre na direção perpendicular à
borda.
Pilares de canto - são submetidos a flexão oblíqua. As 
excentricidades iniciais ocorrem nas direções das bordas.
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3.3- Classificação dos Pilares
Quanto a esbeltez:
Pilares robustos ou pouco esbeltos → λ ≤ λ1
Pilares de esbeltez média → λ1 < λ ≤ 90
Pilares esbeltos ou muito esbeltos → 90 < λ ≤ 140
Pilares excessivamente esbeltos → 140 < λ ≤ 200
sendo:
onde αb será detalhado adiante.
A NBR 6118:2003 não admite, em nenhum caso, 
pilares com índice de esbeltez λ superior a 200.
b
h
e
α
λ
1
1
5,1225 ⋅+
=
7
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3.4- Excentricidade de 1ª Ordem
Excentricidade inicial:
É oriunda das ligações dos pilares com as vigas neles 
interrompidas;
Ocorre em pilares de borda e de canto;
A partir das ações atuantes em cada tramo do pilar, as 
excentricidades iniciais no topo, na base e intermediária 
são obtidas pelas expressões: 
d
topo
topoi N
M
e =,
d
base
basei N
Me =,
d
meio
meioi N
Me =,
P
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3.4- Excentricidade de 1ª Ordem
Excentricidade inicial:
d
topo
topoi N
M
e =,
d
base
basei N
Me =,
d
meio
meioi N
Me =,
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3.4- Excentricidade de 1ª Ordem
Excentricidade inicial:
Cálculo do momento atuante no topo e na base do pilar:
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3.4- Excentricidade de 1ª Ordem
Excentricidade inicial:
Pode ser considerado, nos apoios extremos, momento 
fletor igual ao momento de engastamento perfeito 
multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas 
seguintes relações:
inf
supinf
inf
sup
supinf
sup
supinf
supinf
334
3 ___pilar doinferior ramo
334
3
 ___pilar dosuperior ramo
334
33
 __________________ 
MM
rrr
rT
MM
rrr
r
T
MM
rrr
rr
Viga
eng
viga
eng
viga
vigaeng
viga
=⋅
++
=⋅
++
=⋅
++
+
onde:
12
M e 
2
eng
lp
l
Ir
i
i
i
⋅
==
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3.4- Excentricidade de 1ª Ordem
Excentricidade acidental:
Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos:
Imperfeições globais
Imperfeições locais
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3.4- Excentricidade de 1ª Ordem
a) Imperfeições Globais
Deve ser considerado um desaprumo dos elementos 
verticais conforme mostra a figura:
2
11
100
1 
1a
1
n
l
+
=
=
θθ
θ
10
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3.4- Excentricidade de 1ª Ordem
onde:
l é a altura total da estrutura (em metros);
n é o número total de elementos verticais contínuos;
200
1
 
locais esimperfeiçõ e móveis nós de estruturas para 
300
1
fixos nós de estruturas para 
400
1
,1
min1,
=
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
máxθ
θ
Esse desaprumo não precisa ser superposto ao carregamento de 
vento.
Entre vento e desaprumo, pode ser considerado apenas o que 
provoca o maior momento total na base de construção.
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3.4- Excentricidade de 1ª Ordem
b) Imperfeições Locais
Deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta 
de retilinidade do eixo do pilar.
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3.4- Excentricidade de 1ª Ordem
b) Imperfeições Locais
Nos casos usuais, a consideração da falta de retilinidade é
suficiente:
2
 1a
le ⋅= θ
Para pilar em balanço, obrigatoriamente deve serconsiderado o desaprumo:
le 1a ⋅= θ
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3.4- Excentricidade de 1ª Ordem
Momento Mínimo:
O efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser 
substituído pela consideração do momento mínimo de 1ª
ordem dado por:
( ) min,min,1 03,0015,0 iddd eNhNM ⋅=+⋅=
Nd - força normal de cálculo;
h - altura total da seção transversal na direção considerada (em 
metros);
ei,min - excentricidade mínima igual a 0,015+0,03·h (em metros).
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3.4- Excentricidade de 1ª Ordem
Momento Mínimo:
Admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja 
atendido se for respeitado esse valor de momento total 
mínimo.
A este momento devem ser acrescidos os momentos de 
2ª ordem.
No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua 
composta, esse mínimo deve ser respeitado em cada 
uma das direções principais, separadamente.
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3.4- Excentricidade de 1ª Ordem
Excentricidade de forma:
Quando os eixos das vigas não passam pelo centro de 
gravidade da seção transversal do pilar, as reações das vigas 
apresentam excentricidades que são denominadas 
excentricidades de forma.
As excentricidades de forma, em geral, não são consideradas 
no dimensionamento dos pilares.
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3.4- Excentricidade de 1ª Ordem
Excentricidade suplementar:
Leva em conta o efeito da fluência.
A consideração da fluência é complexa, pois o tempo de 
duração de cada ação tem que ser levado em conta.
É obrigatório em pilares com índice de esbeltez λ > 90.
Valor aproximado dessa excentricidade:
Euler) de flambagem de (força 10
1718,2
2
e
cci
e
NN
N
a
QP
QP
c
l
IEN
e
N
M
e QPe
QP
⋅⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+= −
ϕ
MQP, NQP - esforços solicitantes devidos à combinação quase permanente;
ea - excentricidade acidental devida a imperfeições locais;
ϕ - coeficiente de fluência; (Tabela 8.1 da norma, pg. 21)
Eci = 5600 fck ½ (MPa);
Ic - momento de inércia no estádio I; le - comprimento equivalente do pilar.
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3.5- Esbeltez Limite
Corresponde ao valor da esbeltez a partir do qual os 
efeitos de 2a ordem começam a provocar uma redução 
da capacidade resistente do pilar.
Os principais fatores que influenciam o valor da esbeltez
limite são:
excentricidade relativa de 1a ordem e1/h;
vinculação dos extremos do pilar isolado;
forma do diagrama de momentos de 1a ordem.
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3.5- Esbeltez Limite
Os esforços locais de 2a ordem em elementos isolados 
podem ser desprezados quando o índice de esbeltez λ
for menor que o valor limite λ1, que pode ser calculado 
pelas expressões:
9035 e 
5,1225
1
b
1
1 ≤≤
⋅+
= λ
αα
λ
b
h
e
sendo:
e1/h a excentricidade relativa de 1a ordem, não incluindo a 
excentricidade acidental;
αb um coeficiente que depende da distribuição de momentos 
no pilar.
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3.5- Esbeltez Limite
O valor de αb pode ser obtido de acordo com as 
seguintes situações:
a) Para pilares biapoiados sem cargas transversais:
4,00,1 : 40,040,060,0 ≥≥≥⋅+= b
A
B
b sendoM
M αα
MA e MB são os momentos solicitantes de 1a ordem nas 
extremidades do pilar.
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3.5- Esbeltez Limite
Adota-se para MA o maior valor absoluto entre os dois 
momentos de extremidade.
Adota-se o sinal positivo para MB, se este tracionar a mesma 
face que MA (curvatura simples), e negativo em caso 
contrário (curvatura dupla).
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3.5- Esbeltez Limite
b) Para pilares biapoiados com cargas transversais 
significativas ao longo da altura:
0,1=bα
0,10,85 : 85,020,080,0 ≤≤≥⋅+= b
A
C
b sendoM
M αα
c) Para pilares em balanço:
MA é o momento fletor de 1a ordem no engaste;
MC é o momento fletor de 1a ordem no meio do pilar em 
balanço.
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3.5- Esbeltez Limite
d) Para pilares biapoiados ou em balanço com 
momentos menores que o momento mínimo:
0,1=bα
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3.6- Excentricidade de 2a Ordem
A força normal atuante no pilar, sob as excentricidades
de 1a ordem (excentricidade inicial), provoca 
deformações que dão origem a uma nova excentricidade, 
denominada excentricidade de 2a ordem.
A determinação dos efeitos locais de 2a ordem em barras 
submetidas à flexo-compressão normal, pode ser feita 
pelo método geral ou por métodos aproximados.
A consideração da fluência é obrigatória para índice de 
esbeltez λ > 90, acrescentando-se ao momento de 1a
ordem M1d a parcela relativa à excentricidade 
suplementar ec.
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3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
Método Geral
O método consiste na análise não-linear de 2a ordem 
efetuada com:
Discretização adequada da barra;
Consideração da relação momento–curvatura real em 
cada seção;
Consideração da não-linearidade geométrica de maneira 
não aproximada.
O método geral é obrigatório para λ > 140.
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3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
Métodos Aproximados
A NBR 6118:2003 permite a utilização de alguns métodos 
simplificados, como o do pilar padrão e o do pilar padrão 
melhorado, cujas aproximações são relativas às não-
linearidades física e geométrica.
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3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
PILAR PADRÃO:
Por definição, pilar padrão é um pilar em balanço com 
uma distribuição de curvaturas que provoque na sua 
extremidade livre uma flecha “a” dada por:
base
e
base
r
l
r
la ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅=
1
10
4,0
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3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
PILAR PADRÃO:
Elástica do pilar padrão:
2
2
2
2
2
2
)(1
:se- temmédia, seção a Para
1 
:Como
 e cos
:setemAssim,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅=′′=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅=′′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅⋅−=′
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅−=
=
= l
ay
r
dx
yd
r
x
l
sen
l
ayx
ll
ay
x
l
senay
l
l
x
x
π
ππππ
π
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3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
PILAR PADRÃO:
Assim, a flecha máxima pode ser:
2
1
2
2
lxr
la
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅=
π
Para o caso de pilar em balanço, tem-se:
10 que em 1
10
2
2
≅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅= π
base
e
r
l
a
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3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
PILAR PADRÃO:
Obtendo-se a flecha máxima, pode-se obter também o 
momento de 2a ordem pode ser obtido facilmente pela 
equação:
base
e
base
base
r
l
NM
aNM
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅⋅=
⋅=
1
10
2
,2
,2
20
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3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
Método do pilar-padrão com curvatura aproximada :
Este método aplica-se somente ao caso de flexão 
composta normal;
É permitido para pilares de seção constante e de 
armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo;
Pode ser empregado apenas para pilares com λ ≤ 90;
A não-linearidade geométrica é considerada de forma 
aproximada, supondo-se que a configuração deformada
da barra seja senoidal;
A não-linearidade física é levada em conta através de 
uma expressão aproximada da curvatura na seção 
crítica.
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3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
Método do pilar-padrão com curvatura aproximada :
A excentricidade de 2a ordem e2 é dada por:
r
le e 1
10
2
2 ⋅=
1/r é a curvatura na seção crítica, que pode ser avaliada 
pela expressão:
( ) hhr
005,0
5,0
005,01
≤
+
=
ν
h é a altura da seção na direção considerada;
ν é a força normal adimensional.
cdc
sd
fA
N
⋅
=ν
21
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3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
Métododo pilar-padrão com curvatura aproximada :
O momento total máximo no pilar (soma do momento de 
1° ordem com o momento de 2° ordem) é dado por:
Ad
e
dAdbtotd Mr
l
NMM ,1
2
,1,
1
10
≥⋅⋅+⋅= α
Sendo:
M1d,A ≥ M1d,min
M1d,A é o valor de cálculo de 1ª ordem do momento MA
MA é o maior valor absoluto entre os dois momentos de 
extremidade
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3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
Exercício:
Determinar o valor de Md,tot para o pilar abaixo, com dimensão 
igual a 40 cm na direção x e dimensão 25 cm na direção y. Na 
direção y existe uma viga intermediaria (meia altura) entre os 
pontos A e B. Usar o Método do Pilar Padrão com Curvatura 
Aproximada, considerando concreto C20 (γc = 1,4).
22
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3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada :
Este método pode ser aplicado em pilares submetidos à
flexão composta normal e flexão composta oblíqua, 
analisando-se cada uma das duas direções principais, 
simultaneamente.
É permitido para λ ≤ 90;
Em pilares de seção retangular constante, armadura 
simétrica e constante ao longo do comprimento;
A não-linearidade geométrica é considerada de forma 
aproximada, supondo-se que a deformada da barra seja 
senoidal;
A não-linearidade física é considerada através de uma 
expressão aproximada da rigidez.
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada:
O momento total máximo no pilar (soma do momento de 
1° ordem com o momento de 2° ordem) é dado por:
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥
⋅
−
⋅
=
min,1
,1
2
,1
,
120
1 d
AdAdb
totd M
MM
M
ν
κ
λ
α
Sendo κ a rigidez adimensional, calculada 
aproximadamente por:
νκ ⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
+⋅=
d
totd
Nh
M ,5132
23
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada:
Observa-se que o valor da rigidez adimensional κ é
necessário para o cálculo de Md,tot, e para o cálculo de κ
utiliza-se o valor de Md,tot.
Assim, a solução somente pode ser obtida por 
tentativas.
Usualmente, duas ou três iterações são suficientes.
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada:
Para o cálculo interativo, pode-se adotar o seguinte 
procedimento:
Adotar um κinicial dado por:
Adotar, sequencialmente, valores de κ próximos da média 
obtida entre κ arbitrado e o κ resultante da tentativa;
Nunca usar o κ resultante de uma tentativa para a 
próxima, a convergência pode ser perdida.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
+⋅
>
100
5132
2
,1
νλ
ν
κ d
Ad
inicial
Nh
M
24
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada:
É possível considerar uma solução única para cálculo do 
Md,tot, portanto sem a necessidade de iterações;
Substituindo a expressão κ em Md,tot, temos:
[ ]
19200 
0384019200384019200 ,1,,1
22
,
÷
=⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅ AddbtotdAdbddtotd MNhMMNhNhM ααλ
02,0
19200
2,0 ,1,,1
2
2
, =⋅⋅⋅⋅−⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅−
⋅⋅
−⋅⋅+ AddbtotdAdb
d
dtotd MNhMM
NhNhM ααλ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada:
Fazendo: 
a
cabbM totd ⋅
⋅⋅−+−
=
2
42
,
Resulta em:
2
2
2 12 sendo
h
le ⋅=λ
Addb
Adb
d
d
MNhc
MNhNhb
a
,1
,1
2
2,0
19200
2,0
1
⋅⋅⋅⋅−=
⋅−
⋅⋅
−⋅⋅=
=
α
αλ
25
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
Exercício:
Determinar o valor de Md,tot para o pilar abaixo, com dimensão 
igual a 40 cm na direção x e dimensão 25 cm na direção y. Na 
direção y existe uma viga intermediaria (meia altura) entre os 
pontos A e B. Usar o Método do Pilar Padrão com Rigidez κ
Aproximada , considerando concreto C20 (γc = 1,4).
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
Método do pilar-padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r :
Para pilares com λ ≤ 140;
A não-linearidade geométrica é considerada de forma 
aproximada, supondo-se que a deformada da barra seja 
senoidal;
A não-linearidade física é levada em conta utilizando-se, 
para a curvatura da seção crítica, valores obtidos de 
diagramas M, N, 1/r específicos para o caso.
26
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
Método do pilar padrão para pilares da seção retangular 
submetidos à flexão oblíqua composta :
Para λ < 90 nas duas direções principais, precisa ser aplicado o 
processo aproximado do pilar padrão com rigidez κ
aproximada em cada uma das duas direções.
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.6.1- Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem
Exercício:
Determinar os valores de Mxd,tot e Myd,tot para o pilar abaixo, com 
dimensão igual a 20 cm na direção x e dimensão 40 cm na 
direção y. Usar o Método do Pilar Padrão para Pilares de Seção 
Retangular Submetidos à Flexão Composta Obliqua (Método da 
Rigidez κ Aproximada).
27
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7- Detalhamento de Pilares
3.7.1- Dimensões mínimas:
A seção transversal dos pilares, qualquer que seja a sua 
forma, não deve apresentar dimensão menor que 19 cm.
Em casos especiais, permite-se a consideração de 
dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que no 
dimensionamento se multipliquem as ações por um 
coeficiente adicional γn:
)( qgF cnd +⋅⋅= γγ
sendo “b” a menor dimensão da seção transversal do pilar (cm)
bn ⋅−= 05,095,1γ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7- Detalhamento de Pilares
3.7.2- Cobrimento das armaduras
Cobrimento mínimo (cmin) é o menor valor que deve ser 
respeitado ao longo de todo o elemento considerado.
Para garantir o cobrimento mínimo, o projeto e a execução 
devem considerar o cobrimento nominal (cnom), que é o 
cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução 
(Δc).
As dimensões das armaduras e os espaçadores devem 
respeitar os cobrimentos nominais, estabelecidos na 
tabela, para Δc = 10 mm.
cccnom Δ+= min
28
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7- Detalhamento de Pilares
3.7.2- Cobrimento das armaduras
Os cobrimentos são sempre referidos à superfície da 
armadura externa, em geral à face externa do estribo.
O cobrimento nominal deve ser maior que o diâmetro da 
barra:
barranomc φ≥
A dimensão máxima característica do agregado graúdo 
utilizado não pode superar em 20% o cobrimento nominal, 
ou seja:
nommáx cd ⋅≤ 2,1
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.3- Armadura Longitudinal
Deve atender não só à função estrutural como também 
às condições de execução, particularmente com relação 
ao lançamento e adensamento do concreto.
Os espaços devem permitir a introdução do vibrador e 
impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de 
vazios no interior do pilar.
Colaboram para resistir à compressão, diminuindo a 
seção do pilar, e também resistem às tensões de 
tração.
Também têm a função de diminuir as deformações do 
pilar, especialmente as decorrentes da retração e da 
fluência.
29
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.3- Armadura Longitudinal
3.7.3.1- Diâmetro das barras
O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 
10 mm e nem superior a 1/8 da menor dimensão da seção 
transversal:
8
10 bmm l ≤≤ φ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.3- Armadura Longitudinal
3.7.3.2- Taxa geométrica de armadura
Define-se taxa geométrica (ρ) de armadura longitudinal do 
pilar pela seguinte relação:
c
s
A
A
=ρ
sendo:
As - soma das áreas das seções transversais das barras 
longitudinais
Ac - área da seção transversal do pilar.
30
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.3- Armadura Longitudinal3.7.3.2- Taxa geométrica de armadura
A área mínima de armadura longitudinal (As,mín) é
determinada pela seguinte expressão:
cc
yd
d
míns AAf
NA ⋅=⋅≥⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅= %4,0004,015,0,
Portanto, a taxa geométrica mínima de armadura é igual a 
ρmín = 0,4%.
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.3- Armadura Longitudinal
3.7.3.2- Taxa geométrica de armadura
A máxima área de armadura (As,máx) possível em pilares, 
considerando-se inclusive a sobreposição de armadura 
em regiões de emenda, deve ser de 8% da área da seção 
transversal:
cmáxs AA ⋅= %8,
Portanto, a taxa geométrica máxima de armadura é igual a 
ρmáx = 8%.
Para que isso ocorra, a taxa geométrica máxima na 
região fora da emenda deve ser igual a ρmáx = 4%.
31
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.3- Armadura Longitudinal
3.7.3.3- Número mínimo de barras
Em seções poligonais, dentre as quais estão incluídas as 
seções retangulares, deve existir pelo menos uma barra 
em cada canto ou vértice do polígono.
Em seções circulares, deve existir pelo menos seis 
barras, distribuídas ao longo do perímetro.
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.3- Armadura Longitudinal
3.7.3.4- Espaçamento das barras longitudinais
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras 
longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve ser 
igual ou superior ao maior dos seguintes valores:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅
≥
.,2,1
20
agremáx
l
d
mm
a φ
Esses valores se aplicam também às regiões de emenda por 
traspasse
32
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.3- Armadura Longitudinal
3.7.3.4- Espaçamento das barras longitudinais
O espaçamento máximo (amáx) entre os eixos das barras 
deve ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão 
da seção (b), sem exceder 40 cm, ou seja:
⎩
⎨
⎧ ⋅
≤
cm
b
amáx 40
2
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.4- Armadura Transversal
Deve ser constituída por estribos e, quando for o caso, 
por grampos suplementares;
Deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo 
obrigatória sua colocação na região de cruzamento com 
vigas e lajes;
Os estribos devem ser fechados, geralmente em torno 
das barras de canto, ancorados com ganchos que se 
transpassam, colocados em posições alternadas.
Funções dos estribos:
a) garantir o posicionamento e impedir a flambagem das 
barras longitudinais;
b) garantir a costura das emendas de barras longitudinais;
c) confinar o concreto e obter uma peça mais resistente ou 
dúctil.
33
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.4- Armadura Transversal
3.7.4.1- Diâmetro dos estribos
O diâmetro dos estribos (φt) em pilares não pode ser inferior 
a 5 mm ou 1/4 do diâmetro da barra longitudinal:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥
4
5
lt
mm
φφ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.4- Armadura Transversal
3.7.4.2- Espaçamento máximo dos estribos
Deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores, 
medido na direção do eixo do pilar :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⋅
⋅
≤
25 -CA para 24
50 -CA para 12
seção da dimensãomenor 
20
l
l
t
cm
s
φ
φ
Pode-se adotar o diâmetro dos estribos φt menor que φl/4, 
desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo 
tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação:
MPa) em f (com 190000 yk
2
,
ykl
t
máxt f
s ⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅=
φ
φ
34
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.4- Armadura Transversal
Resumo das principais recomendações da NBR 6118:2003 a 
respeito do espaçamento das armaduras em pilares:
.agreg,máx
L
d,
mm
a
21
20
φ≥
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.4- Armadura Transversal
3.7.4.3- Estribos Suplementares
Os estribos poligonais impedem a flambagem das barras 
longitudinais situadas em seus cantos e as por eles 
abrangidas, situadas no máximo à distância de 20φt do 
canto, desde que nesse trecho de comprimento 20φt não 
existam mais de duas barras, não contando a do canto.
Quando houver mais de duas barras no trecho de 
comprimento 20φt ou barras fora dele, deve haver estribos 
suplementares.
35
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.4- Armadura Transversal
3.7.4.3- Estribos Suplementares
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.4- Armadura Transversal
3.7.4.3- Estribos Suplementares
Se constituído por uma barra reta, terminada em 
ganchos, deve atravessar a seção do elemento estrutural 
e os seus ganchos devem envolver a barra longitudinal.
Se houver mais de uma barra longitudinal a ser 
protegida junto à extremidade do estribo suplementar, seu 
gancho deve envolver um estribo principal em ponto 
junto a uma das barras, o que deverá ser indicado no 
projeto de modo bem destacado.
Essa amarra garantirá contra a flambagem essa barra 
encostada e mais duas no máximo para cada lado, não 
distantes dela mais de 20φt.
Para essas amarras, é necessário prever um cobrimento
maior.
36
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.4- Armadura Transversal
3.7.4.3- Estribos Suplementares
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.4- Armadura Transversal
3.7.4.3- Estribos Suplementares
No caso de estribos curvilíneos cuja concavidade esteja 
voltada para o interior do concreto, não há necessidade de 
estribos suplementares.
Se as seções das barras longitudinais se situarem em uma 
curva de concavidade voltada para fora do concreto, cada 
barra longitudinal deve ser ancorada pelo gancho de um 
estribo reto ou pelo canto de um estribo poligonal.
37
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.5- Emenda de Barras Longitudinais
Em função do processo construtivo, as barras 
longitudinais dos pilares precisam ser emendadas.
As emendas das barras podem ser:
por traspasse;
por luvas com preenchimento metálico ou rosqueadas;
por solda.
A emenda por traspasse é empregada por seu menor 
custo, além da facilidade na montagem das barras da 
armadura na construção.
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.5- Emenda de Barras Longitudinais
A emenda por traspasse não é permitido para:
Diâmetros de barras maiores que 32mm;
Tirantes e pendurais (elementos inteiramente tracionados).
O comprimento de traspasse nas barras longitudinais 
comprimidas é determinado pela expressão:
min,, ocnecboc lll ≥=
sendo que:
lb,nec é o comprimento de ancoragem necessário;
loc,min é o maior valor entre 0,6·lb, 15φ e 200mm;
lb é o comprimento de ancoragem básico.
38
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.5- Emenda de Barras Longitudinais
Comprimento básico de ancoragem:
bd
yd
b f
f
l ⋅=
4
φ
sendo que:
onde:
ctdbd ff ⋅⋅⋅= 321 ηηη
3
221,0 e ,
32mm para 
100
132
32mm para 0,1
aderência má de situações para 7,0
aderência boa de situações para 0,1
50)-(CA nervuradas barras para 25,2
60)-(CA entalhadas barras para 4,1
25)-(CA lisas barras para 0,1
inf
inf,
3
2
1
ckctk,
c
ctk
ctd ff
f
f ⋅==
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
−
<
=
⎩
⎨
⎧
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
γ
φφ
φ
η
η
η
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.5- Emenda de Barras Longitudinais
Comprimento de ancoragem necessário:
min,
,
,
1, b
efs
calcs
bnecb lA
A
ll ≥⋅⋅=α
onde:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅
⋅
≥
⎩
⎨
⎧
=
mm
l
l
b
b
100
10
3,0
gancho; com as tracionadbarras para 7,0
gancho; sem barras para 0,1
min,
1
φ
α
39
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.5- Emenda de Barras Longitudinais
Em resumo:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ ⋅
≥=⋅⋅=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ ⋅
≥≥⋅⋅=
mm
l
lll
mm
l
l
A
A
ll
b
bbnecb
b
b
efs
calcs
bnecb
100
10
3,0
0,10,1
100
10
3,0
,
min,
,
,
1,
φ
φα
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ ⋅
≥≥=
mm
l
lll
b
ocnecboc
200
15
6,0
min,, φ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.5- Emenda de Barras Longitudinais
Onde:
3
2
3
2
3375,0
21,00,10,125,2
321
ckbd
c
ck
bd
ctdbd
ff
ff
ff
⋅=
⋅
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
γ
ηηη
bd
yd
b f
f
l ⋅=
4
φ
3
2
3
2 35,13375,04 ck
yd
ck
yd
b f
f
f
f
l
⋅
⋅=
⋅
⋅= φφ
Então:
40
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.5- Emenda de Barras LongitudinaisLogo:
e
⎩
⎨
⎧
≥=
mm
ll boc 200
15φ
3
235,1 ck
yd
b f
f
l
⋅
⋅= φ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.7.5- Emenda de Barras Longitudinais
Emenda por traspasse das barras longitudinais em 
pilares:
41
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.8- Dimensionamento de Pilares
3.8.1- Seção de concreto armado submetida a flexão oblíqua
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.8- Dimensionamento de Pilares
3.8.2- Condições de segurança
Definir as solicitações de cálculo como NSd, MSd,x e MSd,y de 
modo que:
y. eixo do tornoem momento 
 x.eixo do tornoem momento 
→×=
→×=
ySdSyd
xSdSxd
eNM
eNM
A condição de segurança (estado limite último) resulta:
( ) ( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
≤
≤
RydSyd
RxdSxd
RdSd
RdSd
M
M
NN
 ,,N ,,NS
M
MMMRMM RydRxdSydSxd
42
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.8- Dimensionamento de Pilares
3.8.2- Condições de segurança
Sendo:
∑∫∫
∑∫∫
∑∫∫
=
=
=
⋅⋅+⋅⋅=×=
⋅⋅+⋅⋅=×=
⋅+=
n
i
sisisi
A
yxcyRdRyd
n
i
sisisi
A
yxcxRdRxd
n
i
sisi
A
yxcRd
yAddyeNM
xAddxeNM
AddN
c
c
c
1
1
1
σσ
σσ
σσ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.8- Dimensionamento de Pilares
Superfície de interação:
43
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.8- Dimensionamento de Pilares
3.8.2- Condições de segurança
Diagramas de interação mais usados:
Hormigón armado – Ábacos Montoya, P. J.; Meseguer, 
A.G.; Cabré, F.M, 1978.
Dimensionamento de Peças Retangulares de Concreto 
Armado Solicitadas à Flexão Reta, de W. S. Venturini, 
1987;
Ábacos para Flexão Obliqua, de L. M. Pinheiro, L. T. 
Baraldi e M. E. Porem, 1994.
Programas computacionais (M. F. F. de Oliveira e C. A. W. 
Zandona – UFPR, 2001):
Normal 1.3 . Flexão Composta Reta;
Obliqua 1.0 . Flexão Composta Obliqua.
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3.8- Dimensionamento de Pilares
3.8.3- Equacionamento adimensional
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3.8- Dimensionamento de Pilares
3.8.3- Equacionamento adimensional
Flexão Normal Composta:
armadura de mecânica Taxa 
aladimensionfletor Momento 
aladimension normal Força 
2
→
⋅
⋅
=
→⋅=
⋅⋅
⋅
=
⋅⋅
=
→
⋅
=
⋅⋅
=
cdc
yds
cdc
d
cd
d
cdc
d
cd
d
fA
fA
h
eν
fhA
eN
fhb
M
fA
N
fhb
N
ω
μ
ν
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3.8- Dimensionamento de Pilares
Ábacos para Flexão Normal Composta:
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3.8- Dimensionamento de Pilares
Ábacos para Flexão Normal Composta:
A posição 1 representa uma seção dimensionada com 
segurança, porém com excesso de material (concreto ou 
aço);
A posição 2 corresponde à condição limite de segurança, 
sem excesso de material;
A posição 3 corresponde a uma seção fora dos limites de 
segurança, devendo ser alterada em suas dimensões ou na 
quantidade de armadura.
Ábacos Montoya FNC
Ábacos Venturini (1987)
Normal 1.3 - Flexão Composta Reta
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3.8- Dimensionamento de Pilares
Exercício:
Determinar a armadura para a seção transversal de um pilar 
submetido ao carregamento abaixo indicado.
Considerar: concreto C25 e aço CA-50.
Nd = NSd = 1289 kN
e = 20 cm
Normal 1.3 - Flexão Composta Reta
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3.8- Dimensionamento de Pilares
3.8.3- Equacionamento adimensional
Flexão Composta Oblíqua:
armadura de mecânica Taxa 
aladimensionfletor Momento 
aladimensionfletor Momento 
aladimension normal Força 
→
⋅
⋅
=
→⋅=
⋅⋅
=
→⋅=
⋅⋅
=
→
⋅
=
⋅⋅
=
cdc
yds
y
y
ycdc
yd
y
x
x
xcdc
xd
x
cdc
d
cdyx
d
fA
fA
h
e
ν
hfA
M
h
eν
hfA
M
fA
N
fhh
N
ω
μ
μ
ν
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3.8- Dimensionamento de Pilares
Ábacos para Flexão Composta Oblíqua:
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3.8- Dimensionamento de Pilares
Ábacos para Flexão Composta Oblíqua:
A posição 1 representa uma seção dimensionada com 
segurança, porém com excesso de material (concreto ou 
aço);
A posição 2 corresponde à condição limite de segurança, 
sem excesso de material;
A posição 3 corresponde a uma seção fora dos limites de 
segurança, devendo ser alterada em suas dimensões ou na 
quantidade de armadura.
Ábacos Montoya FCO
Ábacos Pinheiro (1994)
Obliqua 1.0 - Flexão Composta Obliqua
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3.8- Dimensionamento de Pilares
Exercício:
Determinar a armadura para a seção transversal de um pilar 
submetido ao carregamento abaixo indicado.
Considerar: concreto C25 e aço CA-50.
Nd = 573 kN (NSd)
ex = 5 cm
ey = 15 cm
hx = 20 cm
hy = 40 cm
d’x = 4 cm (0,20 hx)
d’y = 4 cm (0,10 hy)
Obliqua 1.0 - Flexão Composta Obliqua
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3.9- Situações de Projeto e de Cálculo
As situações de projeto dependem apenas de sua 
posição em relação à estrutura e dos esforços iniciais:
Pilares intermediários – compressão centrada;
Pilares de extremidade – flexão normal composta
Pilares de canto – flexão oblíqua composta.
Nas situações de cálculo, além das excentricidades 
iniciais da situação de projeto, devem estar consideradas 
as excentricidades que levam em conta efeitos 
adicionais:
Imperfeições geométricas (ea);
Efeitos de 2.ª ordem (e2);
Efeitos da fluência do concreto (ec para λ>90).
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3.9- Situações de projeto e de cálculo
3.9.1- Seção de extremidade e seções intermediárias de pilares
Precisam ser analisadas as 
seções das extremidades e as 
seções intermediárias do pilar.
Considerar uma estrutura de nós 
indeslocáveis. 
Em uma seção intermediária do 
pilar existem deslocamentos de 
2.ª ordem, que precisam ser 
considerados no projeto.
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3.9- Situações de projeto e de cálculo
3.9.1- Seção de extremidade e seções intermediárias de pilares
As excentricidades iniciais nas seções intermediárias são 
menores que as das seções extremas (pois os momentos 
solicitantes são menores).
As situações de cálculo nas seções de extremidade e na 
seção intermediária precisam ser consideradas 
separadamente.
Nas seções de extremidade não se incluem os efeitos 
de 2ª ordem, devendo considerá-los apenas na seção 
intermediária.
As áreas de armadura das seções transversais são as 
maiores entre as verificações das várias seções.
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3.9- Situações de projeto e de cálculo
Pilares curtos: λ ≤ λ1
Os efeitos locais de 2ª ordem podem ser desprezados na 
direção em questão.
Somando-se as excentricidades inicial e a acidental, geram-
se as situações de cálculo.
Pilares medianamente esbeltos: λ1 < λ ≤ 90
Os efeitos locais de 2ª ordem precisam ser, 
obrigatoriamente, considerados.
A determinação dos efeitos de 2ª ordem pode ser feita por 
métodos aproximados, como o método do pilar padrão.
Os efeitos da fluência do concreto podem ser desprezados
nos pilares medianamente esbeltos (λ1< λ ≤90).
Nas seções de extremidade não se incluem os efeitos de 
2ª ordem, devendo considerá-los apenas na seção 
intermediária.
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Situação de projeto e 
de cálculo em pilares 
curtos – seções 
intermediárias
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Situação de projeto e 
de cálculo em pilares 
medianamente 
esbeltos – seções 
intermediárias
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3.9- Situações de projeto e de cálculo
Pilares esbeltos: 90 < λ ≤ 140
É obrigatória a consideração dos efeitos da fluência do 
concreto, efetuada por meio de uma excentricidade ec.
A determinação dos efeitos locais de 2ª ordem pode ser 
feita pelo método do pilar padrão ou pilar padrão 
melhorado, utilizando-se para a curvatura da seção crítica 
valores obtidos dos diagramas de momento fletor, força 
normal e curvatura específica para o caso.
Pilares muito esbeltos: 140 < λ ≤ 200
Deve-serecorrer ao Método Geral, que consiste na análise 
não-linear de 2ª ordem efetuada com discretização
adequada da barra, considerando a relação momento-
curvatura real em cada seção e a não-linearidade 
geométrica de maneira não aproximada.
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3.10- Roteiro para Dimensionamento
1- Características geométricas
Comprimentos equivalentes
Índice de esbeltez
2- Excentricidades
Inicial (ei,x; ei,y) – Base e topo do pilar
Acidental (ea,x; ea,y) – Seção intermediária:
Verificar o momento mínimo de 1ª ordem (M1d,mín)
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
Esbeltez limite (λ1)
Efeitos de 2ª ordem: Métodos aproximados
3- Situações de cálculo
Seção de topo
Seção de Base
Seção Intermediária 
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3.10- Roteiro para Dimensionamento
4- Dimensionamento das armaduras
Situação mais desfavorável
Equações adimensionais
Escolha do ábaco
Taxa mecânica de armadura (ω)
Área de aço
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
Diâmetro das barras
Taxas mínimas e máximas de armadura longitudinal
Número mínimo de barras
Espaçamentos para armadura longitudinal
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3.10- Roteiro para Dimensionamento
5- Detalhamento
Armadura transversal
Diâmetro
Espaçamentos para armadura transversal
Proteção contra flambagem localizada das armaduras
Comprimento dos estribos
Comprimento dos estribos suplementares
Número de estribos
Número de estribos suplementares
Desenho da seção transversal
Comprimento das esperas
Comprimento total das barras longitudinais
6- Desenhos