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1 2ª Lista - Limite, Continuidade 1. Sejam (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝑅 2 𝑒 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐾, 𝐾uma constante. Mostre que: lim (𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0) 𝑓(𝑥, 𝑦) = lim (𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0) 𝐾 = 𝐾. 2. Sejam (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝑅 2 , 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑒 𝑔(𝑥, 𝑦 = 𝑦 2.1 Mostre que: |𝑥 − 𝑥0| ≤ |(𝑥, 𝑦) − (𝑥0, 𝑦0)| , ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 2.2 Mostre que: lim (𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0) 𝑓(𝑥, 𝑦) = lim (𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0) 𝑥 = 𝑥0. 2.3 Analogamente, Mostre que: |𝑦 − 𝑦0| ≤ |(𝑥, 𝑦) − (𝑥0, 𝑦0)| , ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 e lim (𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0) 𝑔(𝑥, 𝑦) = lim (𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0) 𝑦 = 𝑦0. Observação:|(𝑥, 𝑦) − (𝑥0, 𝑦0)| = |(𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0)|. 3. Sejam (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝑅 2 𝑒 𝑧 = 𝑃(𝑥, 𝑦) uma função polinomial a duas variáveis. Mostre que: lim (𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0) 𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑥0, 𝑦0). 4. Mostre que as funções abaixo são limitadas. 4.1 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 𝑥2+𝑦2 4.2 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 𝑥2+𝑦2 4.3 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛 ( 1 𝑥2+𝑦2 ) 2 5. Verifique que a função dada abaixo não é limitada; 5.1 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑥2+𝑦2 6. Verifique que os limites abaixo existem. Calcule os limites 6.1 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥3 𝑥2+𝑦2 6.2 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 √𝑥2+𝑦2 6.3 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) (𝑥2 + 𝑦2)𝑠𝑒𝑛 ( 1 𝑥2+𝑦2 ) 6.4 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ( 1 𝑥2+𝑦2 ) 7. Verifique que os limites abaixo não existem. Justifique sua resposta. 7.1 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 𝑥2+𝑦2 7.2 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥𝑦 𝑥2+𝑦2 7.3 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 √𝑥2+𝑦2 7.4 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2−𝑦2 𝑥2+𝑦2 7.5 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 8. Verifique se a função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) é contínua em (𝑥0 ,𝑦0). 8.1 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥4 𝑥2+𝑦2 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 0 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0) em (𝑥0 ,𝑦0) = (0,0) 3 8.2 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥𝑦2 𝑥2+𝑦2 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 0 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0) em (𝑥0 ,𝑦0) = (0,0) 9 Determine o valor da constante A de modo que a função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) seja contínua em (𝑥0 ,𝑦0) = (0,0). 9.1 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑦 cos ( 1 𝑥2+𝑦2 ), 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 𝐴 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0) 9.2 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑠𝑒𝑛 (𝑥2+𝑦2) 𝑥2+𝑦2 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 𝐴 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0) 10 Determine o conjunto dos pontos onde a função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) é contínua. 10.1 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦3 − 7𝑥𝑦 + 2 10.2 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln ( 𝑥−𝑦 𝑥2−𝑦2 ) 10.3 𝑓(𝑥, 𝑦) = √6 − 2𝑥2 − 3𝑦2 10.4 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥−𝑦 𝑥2+𝑦2 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 0 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0)
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