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2ª Lista Limite

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1 
 
2ª Lista - Limite, Continuidade 
 
1. Sejam (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝑅
2 𝑒 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐾, 𝐾uma constante. 
Mostre que: lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓(𝑥, 𝑦) = lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝐾 = 𝐾. 
2. Sejam (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝑅
2 , 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑒 𝑔(𝑥, 𝑦 = 𝑦 
2.1 Mostre que: |𝑥 − 𝑥0| ≤ |(𝑥, 𝑦) − (𝑥0, 𝑦0)| , ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2 
2.2 Mostre que: lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓(𝑥, 𝑦) = lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑥 = 𝑥0. 
2.3 Analogamente, 
Mostre que: |𝑦 − 𝑦0| ≤ |(𝑥, 𝑦) − (𝑥0, 𝑦0)| , ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2 
e lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑔(𝑥, 𝑦) = lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑦 = 𝑦0. 
Observação:|(𝑥, 𝑦) − (𝑥0, 𝑦0)| = |(𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0)|. 
3. Sejam (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝑅
2 𝑒 𝑧 = 𝑃(𝑥, 𝑦) uma função polinomial a duas 
variáveis. Mostre que: lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑥0, 𝑦0). 
4. Mostre que as funções abaixo são limitadas. 
4.1 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
𝑥2
𝑥2+𝑦2
 
4.2 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
𝑦2
𝑥2+𝑦2
 
4.3 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛 ( 
1
𝑥2+𝑦2
) 
2 
 
 
5. Verifique que a função dada abaixo não é limitada; 
5.1 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
𝑥
𝑥2+𝑦2
 
6. Verifique que os limites abaixo existem. Calcule os limites 
6.1 lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥3
𝑥2+𝑦2
 
6.2 lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2
√𝑥2+𝑦2
 
6.3 lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
(𝑥2 + 𝑦2)𝑠𝑒𝑛 ( 
1
𝑥2+𝑦2
) 
6.4 lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥 𝑠𝑒𝑛 ( 
1
𝑥2+𝑦2
) 
7. Verifique que os limites abaixo não existem. Justifique sua resposta. 
7.1 lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2
𝑥2+𝑦2
 
7.2 lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2
 
7.3 lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥
√𝑥2+𝑦2
 
7.4 lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
 
7.5 lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
 
8. Verifique se a função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) é contínua em (𝑥0 ,𝑦0). 
8.1 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 
𝑥4
𝑥2+𝑦2
, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
 0 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0)
 em (𝑥0 ,𝑦0) = (0,0) 
3 
 
8.2 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 
𝑥𝑦2
𝑥2+𝑦2
, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
 0 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0)
 em (𝑥0 ,𝑦0) = (0,0) 
9 Determine o valor da constante A de modo que a função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 
seja contínua em (𝑥0 ,𝑦0) = (0,0). 
9.1 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 
𝑦 cos (
1
𝑥2+𝑦2
), 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
 𝐴 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0)
 
9.2 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 
𝑠𝑒𝑛 (𝑥2+𝑦2)
𝑥2+𝑦2
, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
 𝐴 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0)
 
10 Determine o conjunto dos pontos onde a função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) é 
contínua. 
10.1 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦3 − 7𝑥𝑦 + 2 
10.2 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (
𝑥−𝑦
𝑥2−𝑦2
) 
10.3 𝑓(𝑥, 𝑦) = √6 − 2𝑥2 − 3𝑦2 
10.4 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 
𝑥−𝑦
𝑥2+𝑦2
, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
 0 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0)

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