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1 6ª Lista – Integrais Duplas e Integrais Iteradas Considere a integral dupla ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴, sobre a região R , onde dA é o elemento de área. 1. Calcule a integral dupla ∬ 2𝑥 + 6𝑥2𝑦𝑑𝐴 , sobre o retângulo R dado por : 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝑒 − 1 ≤ 𝑦 ≤ 2. Use as integrais iteradas, nas duas ordens de integração. Resposta: 234 2. Calcule a integral dupla ∬ 2𝑥2 − 3𝑦𝑑𝐴 , sobre o retângulo R dado por : −1 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑒 1 ≤ 𝑦 ≤ 3. Use as integrais iteradas, nas duas ordens de integração. Resposta: -24 3. Calcule a integral dupla ∬ 𝑥3 + 4𝑦 𝑑𝐴 , onde R é a região desenhada abaixo dado por : Use as integrais iteradas, nas duas ordens de integração. Resposta: 32/3 4. Considere a integral iterada: ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑦 0 4 0 4.1 Faça um esboço da região sobre a qual se está fazendo a integral. 4.2 Calcule a integral iterada dada. 4.3 Inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada nessa outra ordem. 4.4 Qual a área da região R? 2 5. Considere a integral iterada: ∫ ∫ 𝑥𝑦3𝑑𝑦𝑑𝑥 2𝑥 0 2 1 5.1 Faça um esboço da região sobre a qual se está fazendo a integral. 5.2 Inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada nessa outra ordem de integração. 6. Considere a integral iterada: ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥 4𝑥−𝑥2 𝑥2 2 0 6.1 Faça um esboço da região R sobre a qual se está fazendo a integral. 6.2 Calcule a integral iterada dada. 6.3 Dê a integral iterada na outra ordem de integração. 6.4 Qual a área da região R? 7. Determine o volume V do sólido, no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados e os gráficos das equações: 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 1 (paraboloide) e 2𝑥 + 𝑦 = 2 (plano). Resposta: 𝑉 = ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2 + 1) 𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2 + 1) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 11/6 (2−𝑦)/2 0 2 0 2−2𝑥 0 1 0 . 8. Inverta a ordem de integração e calcule a integral: 8.1 ∫ ∫ 𝑒𝑦 2 𝑑𝑦𝑑𝑥 2 2𝑥 1 0 8.2 ∫ ∫ 𝑦 cos 𝑥2 𝑑𝑥𝑑𝑦 4 𝑦2 2 0 8.3 ∫ ∫ 𝑒(𝑥 𝑦)⁄ 𝑑𝑦𝑑𝑥 √𝑥 𝑥 1 0 3 9. Ache o volume do sólido S situado abaixo do gráfico da função 𝑧 = 𝑒√𝑥 2+𝑦2 e acima da região R do plano xy, onde R é a região esboçada abaixo. 10. Use coordenadas polares para calcular: ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)3 2⁄ 𝑑𝑦𝑑𝑥 √9−𝑥2 0 3 −3 Resposta: 𝜋35 5
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