Diferenciabilidade de Funções em Cálculo 2

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Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.6 - Diferenciabilidade de uma func¸a˜o 1
Cap´ıtulo 2.6 - Diferenciabilidade de uma func¸a˜o
2.6.1 - Introduc¸a˜o 2.6.4 - Diferenciabilidade e continuidade
2.6.2 - Diferenciabilidade 2.6.5 - Generalizac¸a˜o para n varia´veis
2.6.3 - Diferenciabilidade e derivadas parciais
Este cap´ıtulo trata do aprofundamento do que significa uma func¸a˜o ter derivadas parciais em um determi-
nado ponto de seu domı´nio e necessita das leituras complementares do cap´ıtulo 2.3.
2.6.1 - Introduc¸a˜o
Uma pergunta bastante frequente por parte de alunos de Ca´lculo 2 quando se inicia o estudo de derivadas
parciais e´ o que acontece quando se varia mais de uma varia´vel independente de uma func¸a˜o, ja´ que na definic¸a˜o
de derivada parcial apenas uma das varia´veis livres e´ variada, sendo as outras mantidas constantes. Um exemplo
foi o que fizemos com a func¸a˜o de produc¸a˜o de Cobb-Douglas, P (K,L) = AKαL1−α, onde calculamos as taxas
de variac¸a˜o
∆P
∆K
=
P (K +∆K,L)− P (K,L)
∆K
e
∆P
∆L
=
P (K,L +∆L)− P (K,L)
∆L
.
As derivadas parciais com relac¸a˜o a K e com relac¸a˜o a L sa˜o, respectivamente, os limites para ∆K → 0 e
∆L→ 0 dessas duas taxas de variac¸a˜o.
No entanto, o que acontece se variarmos K em ∆K e L em ∆L simultaneamente? Teremos, enta˜o, uma
variac¸a˜o ∆P = P (K + ∆K,L + ∆L) − P (K,L). Fica mais dif´ıcil, agora, definir uma taxa de variac¸a˜o para
uma mudanc¸a tanto em K quanto em L. Podemos chegar a um maior entendimento de como fazeˆ-lo se nos
lembrarmos que a derivada e´ um limite quando (∆K,∆L) → (0, 0) e que tal derivada existira´ somente se esse
limite for o mesmo, independentemente do caminho que e´ percorrido para chegar ate´ ele.
Podemos simplificar um pouco esse processo se considerarmos uma bola aberta em torno do limite (0, 0)
cujo raio seja uma constante real e positiva δ. Como aqui (∆K,∆L) e´ o elemento de R2 que tende a (0, 0), essa
bola aberta sera´ dada pelo c´ırculo (∆K)2+(∆L)2 < δ2. Como tanto o lado direito quanto o lado esquerdo sa˜o
positivos, podemos escrever
(∆K)2 + (∆L)2 < δ2 ⇔
√
(∆K)2 + (∆L)2 < δ .
Lembrando agora a definic¸a˜o de norma de um elemento de R2, podemos escrever essa bola aberta como
||(∆K,∆L)|| < δ .
Apesar dessa linha de racioc´ınio indicar como podemos definir uma taxa de variac¸a˜o envolvendo um limite
de elementos do R2, ainda na˜o fica muito claro como definir rigorosamente uma taxa de variac¸a˜o envolvendo
os limites de duas ou mais variac¸o˜es simultaˆneas. Isto sera´ feito na sec¸a˜o seguinte, baseado na definic¸a˜o para
uma func¸a˜o de uma varia´vel real.
2.6.2 - Diferenciabilidade
O que significa dizer que uma func¸a˜o f e´ diferencia´vel (ou deriva´vel) em um determinado ponto? Para uma
func¸a˜o de uma varia´vel, f = f(x), ser diferencia´vel em x = x0 significa que f
′(x0) existe, o que implica em
lim
∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
= f ′(x0) ,
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.6 - Diferenciabilidade de uma func¸a˜o 2
onde f ′(x0) e´ um nu´mero real.
Podemos escrever essa equac¸a˜o da seguinte forma:
lim
∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
= f ′(x)⇔ lim
∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
− f ′(x) = 0⇔
⇔ lim
∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)− f ′(x0)∆x
∆x
= 0⇔ lim
∆x→0
G(∆x)
∆x
= 0 ,
onde G(∆x) = f(x0 +∆x)− f(x0)− f ′(x0)∆x.
Esse limite tem que valer tanto para valores cada vez menores de ∆x > 0 quanto para valores cada vez
maiores de ∆x < 0, isto e´, devemos ter lim
∆x→0−
G(∆x)
∆x
= 0 e lim
∆x→0+
G(∆x)
∆x
= 0, ou seja, os limites pela esquerda
e pela direita existem e sa˜o nulos. Podemos escrever isto como
lim
∆x→0
G(∆x)
|∆x| = 0 ,
pois para ∆x < 0,
lim
∆x→0
G(∆x)
|∆x| = 0⇔ lim∆x→0
G(∆x)
−∆x = 0⇔ lim∆x→0
G(∆x)
∆x
= 0
e para ∆x > 0,
lim
∆x→0
G(∆x)
|∆x| = 0⇔ lim∆x→0
G(∆x)
∆x
= 0 .
Portanto, f(x) e´ diferencia´vel em x = x0 se e somente se
lim
∆x→0
G(∆x)
|∆x| = 0⇔ lim∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)− f ′(x0)∆x
|∆x| = 0 ,
isto e´, f(x) e´ diferencia´vel em x = x0 se e somente se existir um nu´mero f
′(x0) tal que o limite acima seja
verdadeiro.
Vamos agora encontrar uma definic¸a˜o para a diferenciabilidade de uma func¸a˜o de duas varia´veis reais,
f = f(x, y), em um ponto (x0, y0) de seu domı´nio. Tal definic¸a˜o tem que ser a` prova de contra-exemplos e e´
dada a seguir.
Definic¸a˜o 1 - Dada uma func¸a˜o f : D(f) ⊂ R2 → R e um ponto (x0, y0) ∈ D(f), dizemos que f e´
diferencia´vel em (x0, y0) se existirem nu´meros reais a e b tais que
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0, y0)− a∆x− b∆y
||(∆x,∆y)|| = 0 .
Esta definic¸a˜o e´ obtida em analogia com a expressa˜o para a diferenciabilidade de uma func¸a˜o de uma
varia´vel real, lembrando que ||(∆x,∆y)|| =
√
(∆x)2 + (∆y)2. Veremos mais adiante que os nu´meros a e b sa˜o,
respectivamente, as derivadas parciais
∂f
∂x
(x0, y0) e
∂f
∂y
(x0, y0).
Exemplo 1: escreva a condic¸a˜o de diferenciabilidade para a func¸a˜o f(x, y) = xy2 + 2x em (x, y) = (0, 0).
Soluc¸a˜o: a func¸a˜o f(x, y) = xy2 + 2x e´ diferencia´vel em (x, y) = (0, 0) se existirem nu´meros reais a a b tais que
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0, y0)− a∆x− b∆y
||(∆x,∆y)|| = 0⇔
⇔ lim
(∆x,∆y)→(0,0)
f(0 + ∆x, 0 + ∆y)− f(0, 0)− a∆x− b∆y
||(∆x,∆y)|| = 0⇔
⇔ lim
(∆x,∆y)→(0,0)
∆x(∆y)2 + 2∆x− 0− a∆x− b∆y√
(∆x)(∆y)2
= 0 .
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.6 - Diferenciabilidade de uma func¸a˜o 3
Para provarmos que a func¸a˜o do exemplo 1 e´ diferencia´vel no ponto pedido, e´ necessa´rio encontrar as
constantes a e b tais que o limite seja verdadeiro. A busca dessas duas constantes e´ feita na sec¸a˜o seguinte.
2.6.2 - Diferenciabilidade e derivadas parciais
Provaremos agora que a definic¸a˜o de func¸a˜o diferencia´vel em um ponto garante a existeˆncia de suas derivadas
parciais nesse mesmo ponto. Esse teorema e´ enunciado e provado a seguir.
Teorema 1 - Se uma func¸a˜o f : D(f) ⊂ R2 → R e´ diferencia´vel em um (x0, y0) ∈ D(f), enta˜o existem
as derivadas parciais
∂f
∂x
(x0, y0) e
∂f
∂y
(x0, y0).
Demonstrac¸a˜o: se f(x, y) e´ diferencia´vel em um ponto (x0, y0) ∈ D(f), enta˜o existem nu´meros reais a e b tais
que
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0, y0)− a∆x− b∆y
||(∆x,∆y)|| = 0 .
Quando um limite existe, enta˜o isto significa que, na˜o importa por qual caminho se chegue a ele, o resultado tem
que ser o mesmo. Consideremos dois caminhos distintos, dados pelas equac¸o˜es parame´tricas (∆x(t),∆y(t)) = (t, 0)
(um caminho ao longo do eixo x) e pelas equac¸o˜es parame´tricas (∆x(t),∆y(t)) = (0, t) (um caminho ao longo do
eixo y). No primeiro caso, temos
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0, y0)− a∆x− b∆y
||(∆x,∆y)|| = 0⇔
⇔ lim
(t,0)→(0,0)
f(x0 + t, y0)− f(x0, y0)− at
||(t, 0)|| = 0⇔ limt→0
f(x0 + t, y0)− f(x0, y0)− at√
t2
= 0⇔
⇔ lim
t→0
f(x0 + t, y0)− f(x0, y0)− at
|t| = 0⇔ limt→0
f(x0 + t, y0)− f(x0, y0)− at
t
= 0⇔
⇔ lim
t→0
f(x0 + t, y0)− f(x0, y0)
t
− a = 0⇔ lim
t→0
f(x0 + t, y0)− f(x0, y0)
t
= a .
Como a expressa˜o da esquerda e´ a definic¸a˜o da derivada parcial de f com relac¸a˜o a x em (x0, y0), enta˜o a =
∂f
∂x
(x0, y0).
No segundo caso, temos
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0, y0)− a∆x− b∆y
||(∆x,∆y)|| = 0⇔
⇔ lim
(0,t)→(0,0)
f(x0, y0 + t)− f(x0, y0)− bt
||(0, t)|| = 0⇔ limt→0
f(x0, y0 + t)− f(x0, y0)− bt√
t2
= 0⇔
⇔ lim
t→0
f(x0, y0 + t)− f(x0, y0)− bt
|t| = 0⇔ limt→0
f(x0, y0 + t)− f(x0, y0)− bt
t
= 0⇔
⇔ lim
t→0
f(x0, y0 + t)− f(x0, y0)
t
− b = 0⇔ lim
t→0
f(x0, y0 + t)− f(x0, y0)
t
= b .
Como a expressa˜o da esquerda e´ a definic¸a˜o da derivada parcial de f com relac¸a˜o a y em (x0, y0), enta˜o b =
∂f
∂y
(x0, y0).
Com isto, provamos que se uma func¸a˜o e´ diferencia´vel em um ponto (x0, y0) ∈ D(f), enta˜o os nu´meros a e b da
definic¸a˜o da diferenciabilidade de f nesseponto sa˜o precisamente as derivadas parciais dessa func¸a˜o nesse mesmo
ponto.
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2.6.3 - Diferenciabilidade e continuidade
O pro´ximo teorema relaciona os conceitos de diferenciabilidade e continuidade de uma func¸a˜o em um ponto
de seu domı´nio.
Teorema 2 - Se uma func¸a˜o f : D(f) ⊂ R2 → R e´ diferencia´vel em um (x0, y0) ∈ D(f), enta˜o ela e´
cont´ınua nesse mesmo ponto.
Demonstrac¸a˜o: se f(x, y) e´ diferencia´vel em um ponto (x0, y0) ∈ D(f), enta˜o
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0, y0)− a∆x− b∆y
||(∆x,∆y)|| = 0⇔ lim(∆x,∆y)→(0,0)
G(∆x,∆y)√
(∆x)2 + (∆y)2
= 0 ,
onde
G(∆x,∆y) = f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0, y0)− a∆x− b∆y ⇔
⇔ f(x0 +∆x, y0 +∆y) = G(∆x,∆y) + f(x0, y0) + a∆x+ b∆y .
Aplicando o limite (∆x,∆y)→ (0, 0) a` segunda expressa˜o acima, temos
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
f(x0 +∆x, y0 +∆y) = lim
(∆x,∆y)→(0,0)
[G(∆x,∆y) + f(x0, y0) + a∆x+ b∆y] =
= lim
(∆x,∆y)→(0,0)
G(∆x,∆y) + lim
(∆x,∆y)→(0,0)
f(x0, y0) + lim
(∆x,∆y)→(0,0)
(a∆x+ b∆y) .
A u´ltima passagem so´ foi poss´ıvel se considerarmos que todos os limites existem e sa˜o finitos. O primeiro limite
do lado esquerdo fica
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
G(∆x,∆y) = lim
(∆x,∆y)→(0,0)
√
(∆x)2 + (∆y)2
G(∆x,∆y)√
(∆x)2 + (∆y)2
=
= lim
(∆x,∆y)→(0,0)
√
(∆x)2 + (∆y)2 · lim
(∆x,∆y)→(0,0)
G(∆x,∆y)√
(∆x)2 + (∆y)2
se considerarmos que os dois limites existem e sa˜o finitos. Como lim
(∆x,∆y)→(0,0)
√
(∆x)2 + (∆y)2 =
√
02 + 02 = 0 e
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
G(∆x,∆y)√
(∆x)2 + (∆y)2
= 0 (pela definic¸a˜o de func¸a˜o diferencia´vel), enta˜o lim
(∆x,∆y)→(0,0)
G(∆x,∆y) = 0.
Para o segundo limite, temos lim
(∆x,∆y)→(0,0)
f(x0, y0) = f(x0, y0).
Para o terceiro limite, temos lim
(∆x,∆y)→(0,0)
(a∆x+ b∆y) = a · 0 + b · 0 = 0. Portanto,
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
f(x0 +∆x, y0 +∆y) = 0 + f(x0, y0) + 0 = f(x0, y0) .
Portanto, a func¸a˜o e´ cont´ınua em (x0, y0).
Pode ser conclu´ıdo dos teoremas 1 e 2 que se uma func¸a˜o e´ diferencia´vel em um ponto (x0, y0), enta˜o ela
e´ cont´ınua e tem derivadas parciais nesse ponto. Da´ı, se ela na˜o for cont´ınua em um ponto ou na˜o admitir
alguma das derivadas parciais nesse ponto, ela na˜o pode ser diferencia´vel nesse mesmo ponto.
Ale´m disso, mesmo que ambas as derivadas parciais existam em (x0, y0), mas
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0, y0)− ∂f
∂x
(x0, y0)∆x− ∂f
∂y
(x0, y0)∆y
||(∆x,∆y)|| 6= 0 ,
enta˜o f(x, y) na˜o e´ diferencia´vel em (x0, y0).
Isto e´ equivalente a dizer que G(∆x,∆y) tende a valores distintos para diferentes caminhos que levem ate´
(∆x,∆y) = (0, 0), mesmo existindo caminhos que anulem essa func¸a˜o, de modo que o limite e´ inexistente.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.6 - Diferenciabilidade de uma func¸a˜o 5
Os exemplos a seguir ilustram casos em que provamos que uma func¸a˜o e´ diferencia´vel em um determinado
ponto ou mesmo em todos os pontos do seu domı´nio.
Exemplo 1: prove que f(x, y) = xy2 + 2x e´ diferencia´vel em (x, y) = (0, 0).
Soluc¸a˜o: primeiro, essa func¸a˜o admite derivadas parciais em (x, y) = (0, 0), pois
∂f
∂x
(x, y) = y2 + 2 ,
∂f
∂y
(x, y) = 2xy ,
de modo que
∂f
∂x
(0, 0) = 02 + 2 = 2 ,
∂f
∂y
(0, 0) = 2 · 0 · 0 = 0 .
Segundo, podemos montar a func¸a˜o
G(∆x,∆y) = f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0, y0)− ∂f
∂x
(x0, y0)∆x− ∂f
∂y
(x0, y0)∆y =
= f(0 + ∆x, 0 + ∆y)− f(0, 0)− ∂f
∂x
(0, 0)∆x− ∂f
∂y
(0, 0)∆y =
= ∆x(∆y)2 + 2∆x− 0− 2∆x− 0 ·∆y = ∆x(∆y)2 ,
de modo que
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
G(∆x,∆y)
||(∆x,∆y)|| = lim(∆x,∆y)→(0,0)
∆x(∆y)2√
(∆x)2 + (∆y)2
= lim
(∆x,∆y)→(0,0)
(∆y)2
∆x√
(∆x)2 + (∆y)2
.
Como lim
(∆x,∆y)→(0,0)
(∆y)2 = 0 e
∣∣∣∣∣
∆x√
(∆x)2 + (∆y)2
∣∣∣∣∣ < 1, enta˜o lim(∆x,∆y)→(0,0)
G(∆x,∆y)
||(∆x,∆y)|| = 0. Sendo assim, a
func¸a˜o f(x, y) e´ diferencia´vel em (x, y) = (0, 0).
Exemplo 2: prove que f(x, y) = xy − x e´ diferencia´vel.
Soluc¸a˜o: precisamos provar que a func¸a˜o e´ diferencia´vel em todos os elementos (x0, y0) ∈ D(f), sendo que esse
domı´nio e´ o pro´prio R2. Comec¸amos provando que essa func¸a˜o admite derivadas parciais em (x, y) = (x0, y0):
∂f
∂x
(x, y) = y − 1 , ∂f
∂y
(x, y) = x ,
de modo que
∂f
∂x
(x0, y0) = y0 − 1 , ∂f
∂y
(x0, y0) = x0 .
Segundo, podemos montar a func¸a˜o
G(∆x,∆y) = f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0, y0)− ∂f
∂x
(x0, y0)∆x − ∂f
∂y
(x0, y0)∆y =
= (x0 +∆x)(y0 +∆y)− (x0 +∆x)− x0y0 + x0 − (y0 − 1)∆x− x0∆y =
= x0y0 + x0∆y + y0∆x+∆x∆y − x0 −∆x− x0y0 + x0 − y0∆x+∆x− x0∆y = ∆x∆y ,
de modo que
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
G(∆x,∆y)
||(∆x,∆y)|| = lim(∆x,∆y)→(0,0)
∆x∆y√
(∆x)2 + (∆y)2
= lim
(∆x,∆y)→(0,0)
∆x
∆y√
(∆x)2 + (∆y)2
.
Como lim
(∆x,∆y)→(0,0)
∆x = 0 e
∣∣∣∣∣
∆y√
(∆x)2 + (∆y)2
∣∣∣∣∣ < 1, enta˜o lim(∆x,∆y)→(0,0)
G(∆x,∆y)
||(∆x,∆y)|| = 0. Sendo assim, a
func¸a˜o f(x, y) e´ diferencia´vel em (x, y) = (x0, y0), qualquer que seja o elemento (x0, y0) ∈ R2, ou seja, ela e´
simplesmente diferencia´vel.
Mostraremos agora alguns exemplos de func¸o˜es que na˜o sa˜o diferencia´veis em algum ponto.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.6 - Diferenciabilidade de uma func¸a˜o 6
Exemplo 3: verifique se a func¸a˜o f(x) =
1
x2 + y2
e´ diferencia´vel em (x, y) = (0, 0).
Soluc¸a˜o: essa func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua em (x, y) = (0, 0), de modo que ela na˜o pode ser diferencia´vel nesse ponto.
Exemplo 4: verifique se a func¸a˜o f(x) =
√
(x− 3)2 + (y + 1)2 e´ diferencia´vel em (x, y) = (3,−1).
Soluc¸a˜o: as derivadas parciais dessa func¸a˜o sa˜o dadas a seguir:
∂f
∂x
(x, y) =
1
2
[
(x− 3)2 + (y + 1)2]−1/2 2(x− 3) = x− 3√
(x− 3)2 + (y + 1)2 e
∂f
∂x
(x, y) =
1
2
[
(x− 3)2 + (y + 1)2]−1/2 2(y + 1) = y + 1√
(x − 3)2 + (y + 1)2 .
Essas derivadas parciais na˜o existem em (3,−1), pois levariam a` divisa˜o por zero. Portanto, a func¸a˜o na˜o pode
ser diferencia´vel nesse ponto. O gra´fico da func¸a˜o na proximidade desse ponto e´ feito abaixo em dois aˆngulos
distintos. Pode-se notar uma cu´spide (uma “bico” ou “ponta”), que e´ uma caracter´ıstica de uma regia˜o cont´ınua,
mas na˜o diferencia´vel.
x
y
z
1.0
2.0
3.0
4.0
-1.0
1.0
-1.0
-2.0
-3.0 1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
b
Cu´spide
x
y
z
1.02.03.04.0
-1.0 1.0
-1.0-2.0
-3.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
b
Exemplo 5: verifique se f(x) =


x3
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0) ,
0 se (x, y) = (0, 0)
e´ diferencia´vel em (x, y) = (0, 0).
Soluc¸a˜o: primeiro, verificamos se f(x, y) e´ cont´ınua em (x, y) = (0, 0), o que se faz calculando
lim
(x,y)→(0,0)
x3
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
x
x2
x2 + y2
.
Como lim
(x,y)→(0,0)
x = 0 e
∣∣∣∣ x
2
x2 + y2
∣∣∣∣ < 1, enta˜o lim(x,y)→(0,0)
x3
x2 + y2
= 0, de modo que a func¸a˜o e´ cont´ınua nesse
ponto.
Vamos agora verificar se essa func¸a˜o admite derivadas parciais nesse ponto. Para isto, teremos que usar a
definic¸a˜o de derivada parcial:
∂f
∂x
(0, 0) = lim
∆x→0
f(0 + ∆x, 0)− f(0, 0)
∆x
= lim
∆x→0
(0 + ∆x)3
(0 + ∆x)2 + 02
∆x
= lim
∆x→0
(∆x)3
(∆x)2
∆x
= lim
∆x→0
∆x
∆x
= lim
∆x→0
1 = 1 ,
∂f
∂y
(0, 0) = lim
∆y→0
f(0, 0 + ∆y)− f(0, 0)
∆y
= lim
∆y→0
03
02 + (0 +∆y)2
∆y
lim
∆y→0
0
∆y
= lim
∆y→0
0 = 0 .
Portanto, a func¸a˜o admite derivadas parciais no ponto (x, y) = (0, 0).
Por u´ltimo, montamos a func¸a˜o
G(∆x,∆y) = f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0, y0)− ∂f
∂x
(x0, y0)∆x − ∂f
∂y
(x0, y0)∆y =
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.6 - Diferenciabilidade de uma func¸a˜o 7
= f(0 + ∆x, 0 + ∆y)− f(0, 0)− ∂f
∂x
(0, 0)∆x− ∂f
∂y
(0, 0)∆y =
(∆x)3
(∆x)2 + (∆y)2
− 0− 1 ·∆x− 0 ·∆y =
=
(∆x)3
(∆x)2 + (∆y)2
−∆x = (∆x)
3 − (∆x)3 − (∆y)2∆x
(∆x)2 + (∆y)2
=
−(∆y)2∆x
(∆x)2 + (∆y)2
,
de modo que
lim
(∆x,∆y)→(0,0)G(∆x,∆y)
||(∆x,∆y)|| = lim(∆x,∆y)→(0,0)
−(∆y)2∆x
(∆x)2 + (∆y)2√
(∆x)2 + (∆y)2
= lim
(∆x,∆y)→(0,0)
−(∆y)2∆x
[(∆x)2 + (∆y)2]
3/2
.
Se quisermos provar que esse limite na˜o existe, basta mostrar que ele na˜o existe ao longo de algum caminho que
seja a imagem de uma func¸a˜o F (t) tal que F (t0) = (0, 0) para algum t0 e F (t) 6= (0, 0) para qualquer outro t 6= t0.
Um caminho com essas caracter´ısticas e´ a imagem da func¸a˜o F (t) = (t, t), de modo que o limite fica
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
G(∆x,∆y)
||(∆x,∆y)|| = limt→0
−t2t
(t2 + t2)
3/2
= lim
t→0
−t3
(2t2)
3/2
= lim
t→0
−t3
2t2 (2t2)
1/2
= lim
t→0
−t
2
√
2t2
= lim
t→0
−t
2
√
2|t| .
Para t < 0, temos
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
G(∆x,∆y)
||(∆x,∆y)|| = limt→0
−t
2
√
2(−t) = limt→0
1
2
√
2
=
1
2
√
2
e para t > 0 ficamos com
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
G(∆x,∆y)
||(∆x,∆y)|| = limt→0
−t
2
√
2t
= lim
t→0
−1
2
√
2
=
−1
2
√
2
,
de modo que esse limite na˜o existe. Sendo assim, apesar dessa func¸a˜o ser cont´ınua e ter derivadas parciais em
(x, y) = (0, 0), ela na˜o e´ diferencia´vel nesse ponto.
A func¸a˜o e´ representada a seguir em dois aˆngulos distintos.
x y
z
1.0
2.0
-1.0
-2.0
-3.0
1.0
2.0
-1.0
-2.0
-3.0 1.0
2.0
x
y
z
1.02.0
-1.0 -2.0 -3.0
1
.0
2
.0
-1
.0
-2
.0
-3
.0
1
.0
2
.0
2.6.5 - Generalizac¸a˜o para n varia´veis
Nesta u´ltima sec¸a˜o, generalizaremos o conceito de diferenciabilidade para func¸o˜es de n varia´veis reais:
f A ⊂ Rn → R. Para isto, comec¸amos escrevendo a definic¸a˜o da seguinte forma, que sera´ depois escrita em
forma reduzida.
Dada uma func¸a˜o f : D(f) ⊂ Rn → R e um ponto (x10, · · · , xn0) ∈ D(f), dizemos que f e´ diferencia´vel em
(x10, · · · , xn0) se existirem nu´meros reais a1, · · · , a2 tais que
lim
(∆x1,··· ,∆xn)→(0,··· ,0)
f(x10 +∆x1, · · · , xn0 +∆xn)− f(x10, · · · , xn0)− a1∆x1 − · · · − an∆xn
||(∆x1, · · · ,∆xn)|| = 0 ,
onde entende-se que ||(∆x1, · · · ,∆xn)|| =
√
(∆x1)2 + · · ·+ (∆xn)2.
Os teoremas 1 e 2 sa˜o facilmente generaliza´veis para essa definic¸a˜o e isso implica que a diferenciabilidade
de f : D(f) ⊂ Rn → R em um ponto (x10, · · · , xn0) ∈ D(f) significa que ela e´ cont´ınua nesse ponto e que
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.6 - Diferenciabilidade de uma func¸a˜o 8
a1, · · · , an sa˜o as derivadas parciais ∂f
∂x1
(x10, · · · , xn0), · · · , ∂f
∂xn
(x1, · · · , xn). Portanto, o limite da definic¸a˜o
de diferenciabilidade pode ser escrito como
lim
(∆x1,··· ,∆xn)→(0,··· ,0)
[f(x10 +∆x1, · · · , xn0 +∆xn)− f(x10, · · · , xn0)−
− ∂f
∂x1
(x10, · · · , xn0)∆x1 − · · · − ∂f
∂xn
(x10, · · · , xn0)∆xn
]
1
||(∆x1, · · · ,∆xn)|| = 0 .
Podemos simplificar essa expressa˜o usando a notac¸a˜o de vetores. Comec¸amos escrevendo
X = (x1, · · · , xn) , X0 = (x10, · · · , xn0) e ∆X = (∆x1, · · · ,∆xn) .
Agora, precisamos de uma notac¸a˜o para o vetor envolvendo as derivadas parciais. Isto e´ feito na definic¸a˜o
a seguir.
Definic¸a˜o 2 - Dada uma func¸a˜o f : D(f) ⊂ Rn → R diferencia´vel em D(f), definimos o seu gradiente
como sendo o vetor
∇f =
(
∂f
∂x1
(x1, · · · , xn), · · · , ∂f
∂xn
(x1, · · · , xn)
)
.
O vetor gradiente tem grande importaˆncia no ca´lculo com func¸o˜es de diversas varia´veis e diversos aspectos
dele sera˜o estudados em cap´ıtulos vindouros.
Notemos agora que, utilizando a notac¸a˜o de produto interno, podemos escrever
∂f
∂x1
(x10, · · · , xn0)∆x1 + · · ·+ ∂f
∂xn
(x10, · · · , xn0)∆xn = 〈∇f(X),∆X〉 .
Desse modo, a definic¸a˜o de func¸a˜o diferencia´vel para n varia´veis reais fica com a forma dada a seguir.
Definic¸a˜o 3 - Dada uma func¸a˜o f : D(f) ⊂ Rn → R e um ponto X0 ∈ D(f), dizemos que f e´
diferencia´vel em X0 se
lim
∆X→0
f(X0 +∆X)− f(X0)− 〈∇f(X0),∆X〉
||∆X|| = 0 .
Esta forma e´ mais compacta e mais elegante, e pode ser relacionada facilmente a` definic¸a˜o de diferencia-
bilidade para func¸o˜es de uma varia´vel real. Terminamos este cap´ıtulo por aqui. O pro´ximo cap´ıtulo ainda
trata do assunto de diferenciabilidade e apresenta um teorema que simplifica bastante provar que uma func¸a˜o
e´ diferencia´vel em determinado ponto de seu domı´nio.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.6 - Diferenciabilidade de uma func¸a˜o 9
Resumo
• Diferenciabilidade de uma func¸a˜o f : R2 → R. Dada uma func¸a˜o f : D(f) ⊂ R2 → R e um
ponto (x0, y0) ∈ D(f), dizemos que f e´ diferencia´vel em (x0, y0) se existirem nu´meros reais a e b tais
que
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0, y0)− a∆x− b∆y
||(∆x,∆y)|| = 0 .
• Teorema 1. Se uma func¸a˜o f : D(f) ⊂ R2 → R e´ diferencia´vel em um (x0, y0) ∈ D(f), enta˜o
existem as derivadas parciais
∂f
∂x
(x0, y0) e
∂f
∂y
(x0, y0).
• Teorema 2. Se uma func¸a˜o f : D(f) ⊂ R2 → R e´ diferencia´vel em um (x0, y0) ∈ D(f), enta˜o ela e´
cont´ınua nesse mesmo ponto.
• Gradiente. Dada uma func¸a˜o f : D(f) ⊂ Rn → R e um ponto X0 ∈ D(f), dizemos que f e´
diferencia´vel em X0 se
lim
∆X→0
f(X0 +∆X)− f(X0)− 〈∇f(X0),∆X〉
||∆X|| = 0 .
• Diferenciabilidade de uma func¸a˜o f : Rn → R. Dada uma func¸a˜o f : D(f) ⊂ Rn → R e um
ponto X0 ∈ D(f), dizemos que f e´ diferencia´vel em X0 se
lim
∆X→0
f(X0 +∆X)− f(X0)− 〈∇f(X0),∆X〉
||∆X|| = 0 .
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.6 - Diferenciabilidade de uma func¸a˜o 10
Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 2.6
Nı´vel 1
Derivadas parciais
Exemplo 1: calcule todas as derivadas parciais da func¸a˜o f(x, y, z) = x cos(yz).
Soluc¸a˜o: temos
∂f
∂x
= 1 · cos(yz) = cos(yz) , ∂f
∂y
= x · [− sen (yz) · z] = −xz sen (yz) ,
∂f
∂z
= x · [− sen (yz) · y] = −xy sen (yz) .
E1) Calcule todas as derivadas parciais das seguintes func¸o˜es:
a) f(x, y) = xy3, b) f(x, y) = 2x+ cos y, c) f(x, y, z) = 4xz − 8y2, d) f(x, y, z) = 8x√y − 2 ez ,
e) f(x, y) = ln(x− y), f) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 − 8 ln z, g) f(x, y, z) = x√x2 − z2 + 2yz,
h) f(x, y, z) = 1√
x2+y2+z2
.
Nı´vel 2
E1) Considere uma indu´stria cuja produc¸a˜o seja modelada pela func¸a˜o P (K,L) = 20K0,4L0,6, onde K e´ o
capital investido e L sa˜o os gastos com a ma˜o-de-obra, ambos medidos em milhares de reais.
a) Calcule a produtividade marginal do capital e a produtividade marginal do trabalho paraK = 300 e L = 200.
b) A indu´stria deveria considerar um aumento no capital investido ou na forc¸a de trabalho? Justifique a sua
resposta.
E2) Considere que uma marca de manteiga (mercadoria 1) e uma marca de margarina (mercadoria 2) tenham
as demandas dadas pelas func¸o˜es Qd1 = 750−5P1+2P2 e Qd2 = 890+2P1−8P2. Calcule as derivadas parciais
de Qd1 e Qd2 com relac¸a˜o a P1 e a P2 e explique os sinais dessas derivadas em termos econoˆmicos.
E3) Considere que o consumo de cafe´ (mercadoria 1) e ac¸u´car (mercadoria 2) tenham as demandas dadas pelas
func¸o˜es Qd1 =
1200
P1 + 0, 4P2
e Qd2 =
540
0, 3P1 + P2
. Calcule as derivadas parciais de Qd1 e Qd2 com relac¸a˜o a P1
e a P2 e explique os sinais dessas derivadas em termos econoˆmicos.
Nı´vel 3
E1) Considere a func¸a˜o de CES (Constant Elasticity of Substitution - Elasticidade de Substituic¸a˜o Constante),
P (K,L) = [αKρ + (1− α)Lρ]1/ρ, onde 0 < α < 1 e ρ ≤ 1, em func¸a˜o do capital K investido e do valor L da
ma˜o-de-obra de uma determinada empresa ou pa´ıs.
a) Calcule todas as derivadas de primeira ordem dessa func¸a˜o.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.6 - Diferenciabilidade de uma func¸a˜o 11
b) Deˆ uma interpretac¸a˜o econoˆmica para os sinais de
∂P
∂K
e de
∂P
∂L
.
c) Calcule as elasticidades (em termos das derivadas parciais) dessa func¸a˜o com relac¸a˜o a`s varia´veis K e L.
d) Utilizando as derivadas parciais como aproximac¸o˜es, escreva uma expressa˜o para
∆K
∆L
, chamada taxa
marginal de substituic¸a˜o da varia´vel K pela varia´vel L.
Respostas
Nı´vel 1
E1) a) ∂f∂x= y
3, ∂f∂y = 3xy
2; b) ∂f∂x = 2,
∂f
∂y = − sen y; c) ∂f∂x = 4z, ∂f∂y == 16y, ∂f∂z = 4x; d) ∂f∂x = 8
√
y, ∂f∂y =
4x√
y ,
∂f
∂z = −2 ez; e) ∂f∂x = 1x−y , ∂f∂y = −1x−y ; f) ∂f∂x = x√x2+y2 ,
∂f
∂y =
y√
x2+y2
, ∂f∂z = − 8z ; g) ∂f∂x =
√
x2 − z2 + x2√
x2−z2 ,
∂f
∂y = 2z,
∂f
∂z =
−xz√
x2−z2 + 2y; h)
∂f
∂x =
−x
(x2+y2+z2)3/2
, ∂f∂y =
−y
(x2+y2+z2)3/2
, ∂f∂z =
−z
(x2+y2+z2)3/2
.
Nı´vel 2
E1) a)
∂P (300, 200)
∂K
≈ 6, 27 e ∂P (300, 200)
∂L
≈ 14, 11.
b) A indu´stria deveria investir em ma˜o-de-obra, pois esta e´ a que oferece a maior produtividade marginal.
E2)
∂Qd1
∂P1
= −5, ∂Qd1
∂P2
= 2,
∂Qd2
∂P1
= 2 e
∂Qd2
∂P2
= −8. A derivada parcial de Qd1 com relac¸a˜o a P1 e´ negativa, o que indica
que a demanda cai com o aumento do prec¸o da mercadoria; o fato da derivada parcial de Qd1 com relac¸a˜o a P2 ser positiva
indica que quando o prec¸o da mercadoria concorrente sobe, as vendas da mercadoria 1 crescem. A derivada parcial de
Qd2 com relac¸a˜o a P2 ser negativa indica que a demanda cai com o aumento do prec¸o da mercadoria; o fato da derivada
parcial de Qd2 com relac¸a˜o a P1 ser positiva indica que quando o prec¸o da mercadoria concorrente sobe, as vendas da
mercadoria 2 crescem. Isto indica que as mercadorias 1 e 2 sa˜o concorrentes ou substitutas (uma pode substituir a outra).
E3)
∂Qd1
∂P1
=
−1200
(P1 + 0, 4P2)2
,
∂Qd1
∂P2
=
−480
(P1 + 0, 4P2)2
,
∂Qd2
∂P1
=
−112
(P1 + 0, 4P2)2
e
∂Qd2
∂P2
=
−540
(P1 + 0, 4P2)2
.
Todas as derivadas parciais sa˜o negativas, o que indica que as demandas dos dois produtos caem quando aumentam os
prec¸os destes. Isto indica que as duas mercadorias sa˜o complementares.
Nı´vel 3
E1) a)
∂P
∂K
= αKρ−1 [αKρ + (1− α)Lρ]1/ρ−1 e ∂P
∂L
= (1 − α)Lρ−1 [αKρ + (1− α)Lρ]1/ρ−1.
b) Os sinais de
∂P
∂K
e de
∂P
∂L
sa˜o positivos, o que indica que os ganhos com aumentos do capital ou do trabalho
aumentam conforme se aumentam os valores investidos nesses dois setores.
c)
∂P
∂K
K
P
=
αKρ
αKρ + (1 − α)Lρ e
∂P
∂L
L
P
=
(1− α)Lρ
αKρ + (1− α)Lρ .
d)
∆K
∆L
=
∆K
∆P
∆P
∆L
=
(
∆P
∆K
)−1
∆P
∆L
≈
(
∂P
∂K
)−1
∂P
∂L
=
1− α
α
(
L
K
)ρ
.