Exercício Resolvido de Estrutura de Madeira

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60°
30
°30°
60
°
60°
60°
30
°
200 200 200
150
23
173
600
346
6 X
 16
6 X 16
6 X 12
6 X 16
6 
X 
12
6 X 12
6 
X 
12
Ø15
Ø15
Ø15
 
 SE-MAD – 2008/2 – EXERCÍCIO RESOLVIDO: 
Em um telhado tradicional com telhas de concreto foi utilizada uma configuração de terças em toras 
roliças de Eucaliptos Paniculata (entre os mais resistentes entre os eucaliptos), vencendo um vão de 4m. 
Nos apoios destas terças foi concebida uma treliça belga, com peças retangulares de 6x16 e 6x12, 
em Sacupira, conforme o desenho abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo disto além dos dados abaixo, verificar o estado limite último de ruptura tanto da terça quanto 
da treliça belga. 
Dados: - Carregamento: Telha de Concreto: 0,6 kN/m²; 
Estrutura de ripas e caibros: 0,3 kN/m²; 
Forro e Utilidades: 0,5 kN/m²; 
Sobrecarga: 0,5 kN/m²; 
- Dados dos Materiais: (Madeira de 2ª Categoria, Umidade de Equilíbrio em 12%) 
Madeira
fmc (Resistência Média à 
Compressão, MPa)
fmt (Resistência Média à 
Tração, MPa)
Ec (Módulo de Elasticidade à 
Compressão MPa)
Eucalipto Paniculata 72,7 147,4 19881,0
Sacupira 95,2 123,4 21724,0 
 - Dados do Ambiente: Umidade Ambiente = 65%; 
 - 200/Lfechaadm = 
 - Em caso de um índice de esbeltez acima de 80, adotar uma excentricidade de 2ª ordem de 
2 cm. 
 
RESOLUÇÃO: O processo de resolução do caso descrito acima pode se dar pelos seguintes passos: 
 - Obter as resistências de projeto das madeiras; 
 - Obter as cargas de projeto nas terças; 
 - Obter os esforços internos solicitantes nas terças e suas reações de apoio que se tornaram 
as cargas na treliça belga; 
 - Obter as tensões solicitantes na terça e a sua deformação; 
 - Verificar a Terça tanto à ruptura quanto à deformação; 
 - Obter os esforços internos solicitantes na treliça belga; 
 - Verificar as barras mais solicitadas na treliça. 
1° PASSO: Obter as resistências de projeto das madeiras: 
 Inicialmente iremos obter os valores de kmod tanto para o Eucalipto quanto para a Sacupira: 
 - kmod1=0,7 (Carregamento de longa duração); 
 - kmod2=1,0 (Umidade Ambiente de 65% com Umidade de Equilíbrio de 12%); 
- kmod3=0,8 (Madeira de 2ª Categoria tanto para Dicotiledôneas quanto para Coniferas). 
Kmod = 0,7 * 1,0 * 0,8 = 0,56 
Após isto podemos encontrar as resistências de projeto e o Módulo de Elasticidade de cada 
madeira: 
Para o Eucalipto: 
Resistência de projeto de compressão: 
²/03,235,20
4,1
7,72
*7,0*56,0*7,0*mod cmkNMPaw
f
kf mccd ==== γ 
Resistência de projeto de tração: 
²/21,31,32
8,1
4,147
*7,0*56,0*7,0*mod cmkNMPaw
f
kf mctd ==== γ 
Para o módulo de elasticidade temos: 
²/3,113.1133.11881.19*56,0*mod cmkNMPaEkE ccd ==== 
Para a Sacupira: 
Resistência de projeto de compressão: 
²/66,265,26
4,1
2,95
*7,0*56,0*7,0*mod cmkNMPaw
f
kf mccd ==== γ 
130
150
173
161 (faixa de influência na
projeção vertical)
6 X 16
150
TERÇA
CENTRAL
140
(faixa de influência na
projeção vertical)
Resistência de projeto de tração: 
²/691,287,26
8,1
4,123
*7,0*56,0*7,0*mod cmkNMPaw
f
kf mctd ==== γ 
Para o módulo de elasticidade temos: 
²/5,216.1165.12724.21*56,0*mod cmkNMPaEkE ccd ==== 
2° PASSO: Obter as cargas de projeto nas terças: 
 Para a análise da terça vamos checar a terça central, pois esta possui a maior área de 
influência: 
 É muito importante neste 
ponto distinguir quais são as 
cargas distribuídas em projeção 
vertical no telhado e quais são as 
cargas distribuídas no plano do 
telhado com efeito vertical, como 
ilustrado ao lado. 
Como exemplos de cargas 
aplicadas em projeções verticais, 
temos o forro e utilidades e a 
sobrecarga, assim: 
mkNm
m
kN
Q
mkNm
m
kN
Q
utilforro
asobrec
/7,04,1*
²
5,0
/7,04,1*
²
5,0
_
arg
==
==
 
E para as cargas aplicadas na faixa de influência do telhado temos: 
mkNm
m
kN
Q
mkNm
m
kN
Q
estrutura
telhas
/49,061,1*
²
3,0
/97,061,1*
²
6,0
==
==
 
Por fim, a carga última de projeto sobre a terça será a somatória de todas as cargas, 
multiplicadas pelo fator de segurança das cargas: 
mkNmkNmkNmkNmkNqd /486,2*4,1)/49,0/97,0/7,0/7,0(*4,1 ==+++= 
Também iremos precisar da carga de Combinação Quase Permanente. Esta combinação é 
utilizada para a verificação da flecha excessiva das terças, e se trata de uma condição de 
carregamento que abrangem em média 70% do tempo da vida útil de uma estrutura: 
mkNmkNmkNq
mkNmkNmkNmkNq
nenteQuasePermacomb
nenteQuasePermacomb
/65,2/16,2/7,0*7,0
/49,0/97,0/7,0/7,0*7,0
.
.
=+=
+++=
 
3
33
33,331
32
15
32
cm
D
===
ππ
4
44
2485
64
15
64
cm
D
Inércia ===
ππ
3° PASSO: Obter os esforços internos solicitantes nas terças e suas reações de apoio que se 
tornaram as cargas na treliça belga: 
Para o cálculo das terças será considerada como modelo de cálculo uma viga bi-apoiada com 
carga distribuída. Assim pela resistência dos materiais temos a reação de Apoio e o momento 
máximo respectivamente de: 
cmkNmkN
mmkNqL
M
kN
mmkNqL
R
máx
apoio
*450*5,4
8
)3(*/4
8
6
2
3*/4
2
22
====
===
 
4° PASSO: Obter as tensões solicitantes na terça e a sua deformação: 
 Para obter tanto as tensões solicitantes quanto a deformação das terças é necessário 
encontrar as características geométricas da secção da terça: Módulo de Resistência para as 
tensões e Momento de Inércia para a deformação. Assim: 
Módulo de Elasticidade ; 
 
 
Na seqüência obtemos as tensões solicitantes para o carregamento último: qd = 4 kN/m; 
²/36,1
33,331
*450
3
cmkN
cm
cmkN
W
Md
sd ===σ ; 
,e a flecha para a combinação permanente: 
cm
cm
cm
kN
cm
cm
kN
IE
Lq
flecha freq 01,1
392.355.062.1
000.000.100.8*1325,0
485.2*3,113.1*384
)300(
100
65,2
*5
**384
*5
4
2
4
4
. ==== 
 5° PASSO: Verificar a terça tanto à ruptura quanto à deformação: 
Verificando a terça para tensão de ruptura: 
Como temos a tensão resistente maior que a tensão solicitante, ou seja,, sdcdf σ≥ , 
sendo em nosso caso a menor tensão resistente a tensão de compressão temos: 
!!!²/36,1²/03,2 OKcmkNcmkN ∴≥ 
Já a verificação depende da flecha admissível, que em nosso casso é 1/200, ou seja, 
cmfechaadm 5,1200/300 == 
Assim como obtido no passo anterior a flecha é de 1,01 cm, ou seja, inferior a flecha 
limite de 1,5 cm. Condição verificada. 
 6° PASSO: Obter os esforços internos solicitantes na treliça belga: 
A partir do desenho da treliça juntamente com as reações das terças, obtemos o 
seguinte modelo estrutural da treliça: 
200 200 200
150
23
173
600
346
60°
30
°30°
60
°
60°
60°
30
°
P
P
P
P/2
P/2
1
2 3
4 5 6
7
A
B C
D
E
F
G
H
K
JI
2P 2P
 
 A carga P acima mencionada é referente ao apoio de 2 terças ou seja, de 
2*6kN = 12 kN.. Porém, no desenvolver de todo o cálculo das cargas solicitantes nas barras 
vamos considerar o valor alfanumérico “P”. 
 Na figura acima, é mostrado a primeira etapa de solução da treliça, encontrar 
os valores da reação de apoio, no caso, como se trata de uma estrutura simétrica com 
carregamento simétrico, temos metade da somatória dos esforços verticais para cada apoio. 
 A segunda etapa de solução da treliça é obter os valores de esforços solicitantes em 
cada barra. Para isto vamos utilizar o método do equilíbrio dos nós por meio geométrico. 
Neste processo é selecionado cada nó da treliça com no máximo 2 valores de barras 
desconhecidos e a partir disto é feito o seu equilíbrio, sendo no caso geométrico por meio de 
vetores. 
Vamos iniciar nosso estudo pelo nó 4, nó este que desconhecemos os valores das 
forças normais nas barras “A” e “I”, ou seja, 2 barras com valores desconhecidos como 
ordena o método. 
Inicialmente montamos o diagrama de vetores com um valor conhecido: o da reação 
de apoio: 2P. Na extremidade da seta deste vetor iremos colocar outro vetor conhecido, o 
vetor da força P/2, conforme o primeiro diagrama abaixo: 
2P
P/
2
2P
P/
2
2P
P/
2
2,598P
3P
 
 Na seqüência do método, como é mostrado acima, é traçada uma reta paralela a 
uma das barras“A” ou “I” na extremidade final da seta da força de P/2, neste caso a barra 
escolhida foi a barra “I”. 
 Na outra extremidade, onde se iniciou o método é então traçada uma reta paralela a 
outra barra, no caso acima, a barra “A”. 
 Como sabemos que o nó deve se manter equilibrado, isto implica que as forças nas 
barras “A” e “I” juntamente com as cargas conhecidas 2P e P/2 devem montar um circuito 
fechado. Aplicando este principio no segundo diagrama da figura acima obtemos o “percurso” 
indicado na terceira figura. 
 Finalmente através do recurso de desenhar os vetores das forças de cada barra em 
escala basta “medir” a distância de cada vetor para obter o valor da carga de cada barra. No 
caso acima sabemos que o valor da barra “I’ vale 2,598P e o valor da barra “A” vale 3P. 
 Agora basta encontrar o sentido do esforço norma interno na barra. Para isto, pela 
terceira lei de Newton, ação e reação, basta inverter o sentido do vetor de cada barra assim 
temos uma força “entrando” na barra “A” e uma força saindo da barra “I”, conforme o 
esquema abaixo: 
200 200 200
150
23
173
600
346
60°
30
°30°
60
°
60°
60°
30
°
P
P
P
P/2
P/2
1
2 3
4 5 6
7
A
B C
D
E
F
G
H
K
JI
2P 2P
 
 Ester esforços por sua vez devem ser equilibrados internamente nas barras o que 
leva a barra “A” sofrer compressão no valor de 3P, e a barra “I” sofrer tração de 2,598P. 
 Lembrando que esta treliça é uma estrutura simétrica com carregamento simétrico, 
isto leve que todos os esforços solicitantes internos também são simétricos, ou seja, o 
esforço na barra “A” é igual ao esforço na barra “D”, e o esforço interno na barra “I” é igual ao 
esforço interno na barra “K”, como mostra o esquema abaixo: 
P
P
3P
3P
P 3
P
0,86P
2,5
P
200 200 200
150
23
173
600
346
60°
30
°30°
60
°
60°
60°
30
°
P
P
P
P/2
P/2
1
2 3
4 5 6
7
A
B C
D
E
F
G
H
K
JI
2P 2P
2,598P
3P
2,598P
3P
 
 Agora repetindo o mesmo procedimento para o nó 2. Devemos ter o cuidado de 
lembrar que o esforço da barra “A” de 3P, por efeito de ação reação. a força “entra” no nó, ou 
seja, na montagem do diagrama de forças no nó devemos mudar o sentido da “seta” do vetor 
da barra “A” junto ao nó 2:: 
Como mencionado anteriormente é montado 
toda a seqüência de vetores conhecidos, e após 
isto é traçada uma reta em cada extremidade do 
circuito. Cada reta desta deve ser paralela a 
uma das barras da treliça. 
 Por fim é fechado o circuito. O comprimento 
de cada vetor é o valor da força atuante no nó 
devido a cada uma das barras, e o sentido do 
vetor indica o sentido desta força. 
 Como descrito anteriormente os valores são 
repassados para o diagrama da treliça, e por 
fim, o sentido das forças são invertidos, 
princípio da ação e reação. 
 Após a análise do nó 2 temos o seguinte 
diagramas de forças: 
 
 
 
 
 
 
200 200 200
150
23
173
600
346
60°
30
°30°
60
°
60°
60°
30
°
P
P
P
P/2
P/2
1
2 3
4 5 6
7
A
B C
D
E
F
G
H
K
JI
2P 2P
2,598P
3P
2,598P
3P0,86P
2,5
P
0,
86
P
2,5P
 
Finalmente chegamos ao último nó necessário a ser calculado: nó 3. Para este nó 
repetimos o diagramas de forças no nó na mesma metodologia anteriormente descrita: 
2,598P
0,86P
2,598P 2,598P
0,86P
1,73P 0,
86
P
 
 Que por sua vez aplicado no diagrama da treliça temos: 
200 200 200
150
23
173
600
346
60°
30
°30°
60
°
60°
60°
30
°
P
P
P
P/2
P/2
1
2 3
4 5 6
7
A
B C
D
E
F
G
H
K
JI
2P 2P
2,598P
3P
2,598P
3P0,86P
2,5
P
0,
86
P
2,5P
0,
86
P
1,73P
0,86P
 
 
 
7° PASSO: Verificar as barras mais solicitadas na treliça: 
 Através do passo anterior podemos perceber que a barra mais solicitada à 
compressão (esforço de menor resistência da Sucupira) é a barra 2, onde: 
Nd = 3P = 3*6kN = 18kN 
Para esta barra é verificado coeficiente esbeltez 
g
fl
r
L
=λ . 
Lembrando que o raio de giração na secção retangular é: cm
b
rg 73,1
12
6
12
=== , 
Obtemos o seguinte coeficiente de esbeltez: 100
73,1
173
===
g
fl
r
L
λ , ou seja estamos diante 
de uma barra esbelta. 
Para a verificação de um perfil acima de um λ de 40 precisamos calcular a carga crítica 
de flambagem: 2
2
fl
cd
cr
L
IE
N
π
= , mas antes disto devemos encontra o menor momento de inércia 
da secção retangular de 6x16cm, ou seja: 4
33
288
12
6*16
12
cm
hb
Inércia === , o que por sua 
vez nós levará à carga crítica: kN
L
IE
N
fl
cd
cr 52,115173
288*5,216.1
2
2
2
2
===
ππ
 
Antes de aplicar a última verificação devemos encontrar e excentricidade acidental desta 
barra dada por: cm
L
ea 58,0300
173
300
=== além da excentricidade dada de 2ª ordem de 2 cm. 
Também temos os dados geométricos: o menor módulo de resistência da secção retangular 
6x16 cm e sua área que valem respectivamente: 
3
2
96
6
cm
hb
wMÍN ==
, Área = 6*16 = 96cm² 
Finalmente chegamos na obtenção da tensão solicitante nesta barra: 
²
76,0573,01875,0
52,97
52,115
483,01875,0
1823,115
52,115
96
58,2*18
96
18*
cm
kN
NN
N
W
eN
A
N
sd
cr
cradd
sd
=+=





+=






−
+=





−
+=
σ
σ
] 
Esta tensão esta bem abaixo da tensão limite de compressão da Sucupira: 2,66 kN/cm², 
ou seja, esta peça atende muito bem as solicitações, com uma porcentagem de solicitação da 
peça de: %29285,0
66,2
76,0
≈==
cd
sd
f
σ