Números Reais (2)
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Números Reais (2)


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Exemplo 19
Seja X = (\u22123, 7). Encontre d = inf X .
d = \u22123 é cota inferior de X , pois x \u2208 X \u21d2 x > \u22123 \u21d2 x \u2265 d, \u2200x \u2208 X . Agora

vamos mostrar que \u22123 é a maior das cotas inferiores de X . Seja c uma cota inferior de X ,
ou seja, c \u2264 x,\u2200x \u2208 X . Temos duas possibilidades para tal c: ou c \u2264 \u22123 ou c > \u22123. Caso
ocorresse c > \u22123 (c \u2264 7), teríamos:

\u22123 < c + (\u22123)
2

< c\u21d2 x = c + (\u22123)
2

\u2208 X e x < c,

isto é, c não seria cota inferior de X . Logo, c \u2264 \u22123 e, portanto, d = \u22123 = inf X .

Atividade 14
Mostre que se X é limitado superiormente, então \u2212X = {y \u2208 |\u2212 y \u2208 X} é limitado

inferiormente.

Atividade 15
Mostre que se b = supX , então \u2212b = inf(\u2212X).

Os próximos teoremas 3 e 4 a seguir serão utilizados no teorema 5, o qual garante que
não é enumerável.

Teorema 3

São verdadeiras as seguintes a\ufb01rmações:

1. \u2282 não é limitado superiormente;

2. Se X =
{

1
n
|n \u2208

}
, então inf X = 0;

3. Dados a, b \u2208 +, existe n \u2208 tal que na > b.

Demonstração

Item 1.

Hipótese: \u2282 .
Tese: não existe cota superior para .

Demostraremos este item por contradição.

\u223cTese: existe cota superior para , isto é, \u2203c \u2208 tal que n \u2264 c,\u2200n \u2208 .

VERSÃO DO PROFESSOR

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Aula 03 Análise Real18

Sabemos que \ufffd= \u2205 e \u2282 . Logo, pela completude de , existe d \u2208 tal que
d = sup . Assim, d \u2212 1 não é supremo de , ou seja, \u2203x \u2208 tal que x > d \u2212 1. Pela
monotonicidade de \u201c > \u201d, temos x + 1 > d\u2212 1 + 1 = d, o que é absurdo, pois x + 1 \u2208
pelos axiomas de Peano (x + 1 é o sucessor de x).

Portanto, é ilimitado superiormente.

Item 2.

Hipótese: X =
{

1
n
, n \u2208

}
=
{

1,
1
2
,
1
3
, ...

}
.

Tese: inf X = 0.

Inicialmente, devemos mostrar que 0 é cota inferior de X . Sabemos que n > 0,\u2200n \u2208
\u21d2 1

n
> 0,\u2200n \u2208 \u21d2 x > 0,\u2200x \u2208 X . Logo, 0 é cota inferior de X .

Agora, mostremos que para todo c > 0, c não é cota inferior de X . Dado c > 0, temos
1
c

> 0, isto é
1
c

não é cota superior de , pois é ilimitado superiormente. Assim,

\u2203n \u2208 tal que n > 1
c
\u21d2 nn\u22121c > 1

c
n\u22121c \u21d2 c > 1

n
,

ou seja, existe x \u2208 X , x = 1
n

, tal que x < c. Logo, c não é cota inferior de X .

Como c > 0 tomado foi qualquer, temos que, para todo c > 0, c não é cota inferior de
X . Portanto, inf X = 0.

Item 3.

Hipótese: a, b \u2208 +.
Tese: existe n \u2208 tal que na > b.

Dados a, b \u2208 +, temos a\u22121, b\u22121 \u2208 +. Também a\u22121b \u2208 + e a\u22121b não é cota
superior de , pois é ilimitado superiormente. Assim, \u2203n \u2208 tal que n > a\u22121b, isto é,
na > a\u22121ba, que implica na > b.

Atividade 16
Demostre a equivalência entre os itens do teorema anterior, ou seja, mostre que 1 im-

plica 2, 2 implica 3 e 3 implica 1.

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Aula 03 Análise Real 19

Teorema 4

Intervalos encaixados

Dada uma seqüência decrescente I1 \u2283 I2 \u2283 · · · de intervalos fechados [an, bn] = In,
então existe pelo menos um número real e tal que e \u2208 In,\u2200n \u2208 , isto é, e \u2208

\u22c2
n

In.

Demonstração

Hipótese: I1 \u2283 I2 \u2283 · · · .
Tese: \u2203e \u2208 tal que e \u2208 In,\u2200n \u2208 , ou equivalentemente, \u2203e \u2208 tal que e \u2208

\u22c2
n

In.

I1 \u2283 I2 \u2283 · · · \u21d2 [a1, b1] \u2283 [a2, b2] \u2283 · · · \u21d2 a1 \u2264 a2 \u2264 · · · e b1 \u2265 b2 \u2265 · · · .

Será que aj \u2264 bk,\u2200j, k \u2208 ? Note que aj > bk não ocorre para nenhum j, k \u2208 .
Caso ocorresse, teríamos j > k, pois para j \u2264 k temos a1 \u2264 a2 \u2264 · · · \u2264 aj \u2264 ak \u2264 bk.
Entretanto, se aj > bk para algum j > k, então bj \u2265 aj \u2265 bk, e isso é absurdo, pois da
hipótese temos bj \u2264 · · · \u2264 bk \u2264 · · · \u2264 b2 \u2264 b1. Logo, aj \u2264 bk,\u2200j, k \u2208 .

Considerando X = {bj |j \u2208 }, temos X \ufffd= \u2205, X \u2282 e X é limitado inferiormente.
Assim, \u2203e \u2208 tal que e = inf X .

Considerando Y = {aj |j \u2208 }, temos Y \ufffd= \u2205, Y \u2282 e X é limitado superiormente.
Assim, \u2203f \u2208 tal que f = supY .

Note que f \u2264 e, pois como já vimos aj \u2264 bk,\u2200j, k \u2208 . Fixando j, temos aj \u2264
bk,\u2200k \u2208 . Logo, aj é cota inferior de X \u21d2 aj \u2264 e = inf X . Note também que isso vale
para todo j \u2208 , ou seja, aj \u2264 e,\u2200j \u2208 . Logo, e é cota superior de Y \u21d2 supY = f \u2264 e.

Observe que [f, e] \u2282
\u22c2
n

In. De fato,

x \u2208 [f, e] \u21d2 f \u2264 x \u2264 e
\u21d2 aj \u2264 supY = f \u2264 x,\u2200j \u2208 , e

x \u2264 e = inf X \u2264 bj ,\u2200j \u2208
\u21d2 aj \u2264 x \u2264 bj ,\u2200j \u2208
\u21d2 x \u2208 [aj , bj ],\u2200j \u2208
\u21d2 x \u2208

\u22c2
n

In.

Note que [f, e] \ufffd= \u2205, pois no mínimo [f, e] = {e} é um intervalo degenerado. Portanto,
\u2203e \u2208 tal que e \u2208 In,\u2200n \u2208 .

VERSÃO DO PROFESSOR

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Aula 03 Análise Real20

Teorema 5

não é enumerável.

Demonstração

Mostraremos que não existe uma função f : \u2192 sobrejetiva e, conseqüentemente,
\ufffdf : \u2192 bijetiva.

Hipótese: f : \u2192 é uma função.
Tese: f não é sobrejetiva.

De fato, considerando f(1) \u2208 , podemos construir um intervalo [a1, b1] tal que
f(1) /\u2208 [a1, b1] = I1. Para f(2), temos duas prossibilidades: f(2) /\u2208 I1 ou f(2) \u2208 I1.

Se f(2) /\u2208 I1, temos I2 = I1.

Se f(2) \u2208 I1, temos:

[a2, b2] = I2 =

\u23a7\u23aa\u23aa\u23a8
\u23aa\u23aa\u23a9

[
a1,

a1 + f(1)
2

]
, se f(2) \ufffd= a1;[

f(1) + b1
2

, b1

]
, se f(2) = a1.

Para f(3), também temos duas possibilidades: f(3) /\u2208 I2 ou f(3) \u2208 I2.

Se f(3) /\u2208 I2, temos I3 = I2.

Se f(3) \u2208 I2, temos:

[a3, b3] = I3 =

\u23a7\u23aa\u23aa\u23a8
\u23aa\u23aa\u23a9

[
a2,

a2 + f(2)
2

]
, se f(3) \ufffd= a2;[

f(2) + b2
2

, b2

]
, se f(3) = a2.

Note que I1 \u2287 I2 \u2287 I3 \u2287 · · · . Logo, existe x \u2208
\u22c2
n

In. Se x \u2208 In, então

f(1), f(2), ..., f(n) /\u2208 In e, conseqüentemente, f(1), f(2), ..., f(n) \ufffd= x. Como x \u2208
\u22c2
n

In,

temos x \ufffd= f(n),\u2200n \u2208 . Portanto, f não é sobrejetiva, demonstrando o teorema.

O próximo resultado nos dá uma in\ufb01nidade de exemplos de conjuntos não enumeráveis.

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Aula 03 Análise Real 21

Corolário 1

Todo intervalo não-degenerado é não-enumerável.

Demonstração

Hipótese: I é um intervalo não-degenerado, isto é, I \ufffd= {c}.
Tese: I é não-enumerável.

Sabemos que se X é enumerável e Y \u2282 X , então Y é enumerável. Assim, se Y \u2282 X
é não-enumerável, então X é não-enumerável. Também,

I não-degenerado\u21d2 \u2203a, b \u2208 I, a < b tais que (a, b) \u2282 I .

Considere
\u3d5 : (\u22121, 1) \u2212\u2192 (a, b)

x \ufffd\u2212\u2192 1
2
[(b\u2212 a)x + a + b]

Note que \u3d5 é bijetiva.

Considere também
\u3c8 : \u2212\u2192 (\u22121, 1)

x \ufffd\u2212\u2192 x
1 + |x|

Vamos mostrar que \u3c8 é bijetiva.

Note que x > 0 > y \u21d2 \u3c8(x) > \u3c8(0) > \u3c8(y). Considere, agora, \u3c8(x) = \u3c8(y) (x e y
tem o mesmo sinal e x, y \ufffd= 0).

Se x, y > 0, temos:

\u3c8(x) = \u3c8(y) \u21d2 x
1 + |x| =

y

1 + |y| \u21d2 x(1 + |y|) = y(1 + |x|)
\u21d2 x + x|y| = y + y|x| \u21d2 x + xy = y + yx
\u21d2 x = y.

Se x, y < 0, temos:

\u3c8(x) = \u3c8(y) \u21d2 x
1 + |x| =

y

1 + |y| \u21d2 x(1 + |y|) = y(1 + |x|)
\u21d2 x + x|y| = y + y|x| \u21d2 x\u2212 xy = y \u2212 yx
\u21d2 x = y.

Logo, \u3c8 é injetiva.

VERSÃO DO PROFESSOR

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Aula 03 Análise Real22

Para mostrar a sobrejetividade de \u3c8, devemos mostrar que \u2200y \u2208 (\u22121, 1), \u2203x \u2208 tal
que \u3c8(x) = y.

Se y = 0, então existe 0 \u2208 tal que 0
1\u2212 0 = \u3c8(0) = 0 = y.

Se y > 0, procuremos x \u2208 , x > 0 tal que \u3c8(x) = y. Assim,
x

1 + |x| = y \u21d2
x

1 + x
= y \u21d2 x = (1 + x)y \u21d2 x = y + xy

\u21d2 x\u2212 xy = y \u21d2 x = y
1\u2212 y .

Se y < 0, vamos procurar x \u2208 , x < 0 tal que \u3c8(x) = y. Assim,
x

1 + |x| = y \u21d2
x

1\u2212 x = y \u21d2 x =
y

1 + y
.

Logo, \u3c8 é sobrejetiva.

Portanto, \u3c8 é bijetiva\u21d2 (\u22121, 1) é não-enumerável\u21d2 (a, b) é não-enumerável (pois \u3d5
é bijeção). Como I \u2283 (a, b), então I é não-enumerável.

Exemplo de um número irracional
Vamos encerrar esta aula mostrando que

\u221a
3 não é um número racional, ou seja, é irra-

cional e assim estaremos mostrando que Q \ufffd .

Suponha que
\u221a

3 é racional, isto é, existem m \u2208 e n \u2208 \u2212 {0} tais que \u221a3 = m
n

.

Assim,
\u221a

3n = m \u21d2 3n2 = m2 \u21d2 m|3n2 \u21d2 3|m2. Isto signi\ufb01ca que 3 é fator primo de
decomposição de m2. Logo, 3|m e, conseqüentemente, a quantidade de