COORDENADAS POLARES

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Coordenadas Polares 
1. Dados os pontos P1 ( 3, 5 (/3) , P2 (-3, 3300) , P3 (-1, - (/3) , P4 (
, -3150) ,
 P5(0, 530) , P6 ( 0, e() e P7 (1,3), determine: 
a) A representação gráfica de cada um desses pontos no plano polar. 
b) Três outros conjuntos de coordenadas polares para os pontos P3 e P4. 
c) Quais desses pontos coincidem com o ponto P(3,23100). 
d) O conjunto principal de coordenadas polares do ponto P2. 
e) Um conjunto de coordenadas polares (r,() do ponto P3 , tal que r > 0 e ( (( -7( , -5(). 
2. Em cada um dos itens a seguir, identifique o lugar geométrico do ponto que se move e faça um esboço desse lugar. 
a) Um ponto P(r, () se move de maneira que, para todos os valores de seu ângulo vetorial ((), seu raio vetor( r) permanece constante e igual a 4. 
b) Um ponto se move de maneira que, para todos os valores de seu raio vetor, seu ângulo vetorial permanece constante e igual a 450. 
3. Determine um conjunto abrangente para cada uma das curva dadas a seguir: 
   a) C1: r = 4         b) C2: ( = (/2 
   c) C3: r = 2 cos(         d) C4: r = 2 cos4( 
4. Verifique se o ponto P pertence à curva C, quando: 
a) P( -1, (/6)   e    C: r 2 - 2 cos 2 (= 0. 
b) P(-1, (/2)   e    C: r(1- 3 sen() = 4. 
c) P(4, ( /2)   e    C: r = 4 sen 3(. 
d) P(0, ( /11)   e   C: r - 3 cos ( + r sen (= 0. 
5. Determine o conjunto principal de coordenadas polares dos pontos de coordenadas retangulares: 
a) (3/2, (-3
)/2)          b) ( 3,-2)          c) (cos2, sen2) 
6. Transforme a equação retangular dada em sua forma polar: 
a) 2x - y = 0           b) x 2+ y 2- 2y = 0         c) x y = 2          d) x 2 - 4y = 4 
7. Transforme a equação polar dada em sua forma retangular: 
a) r cos(- 2 = 0       b) r 2 = 4 cos 2(       c) r(1 + 2 cos() = 4 
8. Determine os pontos do eixo polar distando 5 unidades do ponto P(4,4 (/3). 
9. Dado o círculo C: r2 + 4 r cos( - 3r sen( - 15 = 0 , determine uma equação polar do círculo concêntrico com o círculo C e que passa pelo ponto P(4,450). 
10. Dado o círculo C: r2 - 4 
 r cos( + 4 r sen( + 7 = 0 , determine uma equação polar do círculo concêntrico com C1 e cujo raio é o dobro do raio de C1. 
11. Determine uma equação polar da reta s que passa pelo P(3,600), sabendo que o segmento OP é normal à reta s. 
12. Determine a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC, sabendo que o vértice A é o pólo e que os vértices B e C pertencem à reta s: r cos(( + 150) = 1. 
13. Determine uma equação polar da reta m que passa pelo ponto P(-2,3300) e que: 
a) é paralela ao eixo à 900. 
b) é perpendicular ao eixo à 900 . 
c) é paralela à reta s: ( = (/6. 
d) é perpendicular à reta t: r(cos( + sen() = 
. 
e) passa pelo ponto Q(1,-300). 
f) passa pelo ponto R(4,2100). 
14. Determine todos os pares de coordenadas polares do ponto Q simétrico de P(2, (/3) em relação : 
a) ao eixo polar          b) ao eixo à 900          c) ao pólo. 
15. Considere a curva C: r 2 = 2 sen 2(. 
a) Determine uma equação polar da curva C’simétrica de C em relação: 
(i) ao eixo polar          (ii ) ao eixo à 900          (iii) ao pólo. 
b) Verifique se C é simétrica em relação: 
(i) ao eixo polar          (ii ) ao eixo à 900          (iii) ao pólo. 
16. Determine uma equação polar do círculo de centro no ponto C´, simétrico de 
C(-2,-600) em relação ao pólo e que é tangente à reta s: 1/r = - 
/6 cos( - 1/6 sen(. 
17. Determine as interseções das curvas C1 e C2, analiticamente. 
a) C1: r = 2 + 2 cos(          e           C2: ( = (/4. 
b) C1: r = 3          e           C2: r = 6 sen 2(. 
c) C1: r = 2 - 2cos(          e          C2: r = 16 cos 2(. 
d) C1: r = 4 - 2sen(          e           C2: r = - 2 + 2 sen(
18. Esboce as curvas dadas a seguir: 
a) r = 2 sec(          b) r2 = -2 sen 2(          c) r = 3 - 4 cos(
d) r = 2 sen(          e) r2 = 8 cos 2(          f) r = 2 sen3(          
g) r = 2(          h) r = 4 + 2 sen(          i) r = 4 cos 2( 
Respostas: 
1. b) P3 (1,1200),       P3 (1,4800)        e       P3 (- 1,3000). 
P4 (
,450) ,       P4 (-
,-1350) ,       P4 (-
,2250). 
c) P2      d) P2 (3,1500)       e) P2(1, -16 (/3) 
2. a) Círculo : r = 4          b) reta: ( = 450 
3.     a) E(C) = { r = 4 , r = -4}         b) E(C) = {( = (2n+1) ( /2 ; n ((} 
c) E(C) = {r = 2 cos( }.        d) E(C) = { r = 2 cos 4(, r = - 2 cos 4(} 
4. a) Sim          b) Sim         c) Não         d) Sim. 
5. a) ( 3, 5 (/3)         b) (
, 2( + arc tg(-2/3) )          c) ( 1,2) 
6. a) ( = arc tg 2          b) r = 2 sen( 
c) r 2 sen 2(= 4         d) r2 cos2 (- 4 r sen(= 4 
7. a) x = 2          b) x + y = 2 (
) ; x2 y2.        c) 3x 2 - y 2- 16x + 16 =0 
8.     A( - 2 + 
, 0)         e         B(- 2 - 
, 0). 
9.     r2 + 4 r cos (- 3 r sen (- 16 - 2 
 = 0 
10.     r 2 - 4 
 r cos(+ 4 r sen( - 20 = 0 
11.     s : 3 = r cos((- 60) 
12.      h = 1 
13. a) m: 
 = r cos(( - ()         b) m: r cos(( - (/2) = 1 
c) m: 
 = r cos((- 1200)         d) m : (
 + 
) /2 = r cos(( - 1350) 
e) m: ( = 1500;        f) m: 1/r = - 
/4 cos( + 1/4 sen(. 
14. a) ( (-1)n 2 , - (/3 + n() , n (Z 
b) ( (-1) 2 , -(/3 + n() , n ( Z         c) ( (-1)n 2 , (/3 + n() , n (Z.
15. a) ( i ) r2 = -2 sen 2(        ( ii ) r 2 = -2 sen 2(        r2 = 2 sen 2(
b) ( i ) Não         ( ii ) Não         (iii ) Sim 
16.     r2 - 2 r cos(+ 2 
 r sen( - 5 = 0. 
17. a) S = { (0, 0), ( 2 + 
, (/4), (2 - 
, 5(/4)} 
b) S = { (3 , (/12), ( 3, 5 (/12), (3 ,13 (/12), (3 , 17 (/12), (-3 , 7 (/12), (- 3 ,19 (/12), 
(-3 , 11 (/12), (-3 , 23 (/12)} 
c) S = { (4,(), ( 0,0), ( 4/7, arc cos 5/7 ( 10 quadrante)) ,( 4/7, - arc cos 5/7(40 quadrante))} 
d) S = { (-3, -11(/6), (-3, 7(/6)} 
18. 
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