P1 - Álgebra Linear

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Primeira Prova de A´lgebra Linear
Aluno/ Matr´ıcula:
Professora: Alana Nunes Pereira
1a Questa˜o: Para as proposic¸o˜es abaixo, marque V para as verdadeiras e F para as falsas. Caso marque V,
deˆ uma prova para o afirmado, caso marque F, deˆ um contra-exemplo para justicar:
(a) ( ) A diagonal de toda matriz anti-sime´trica e´ formada inteiramente por zeros.
(b) ( ) Para toda matriz invers´ıvel A, B de ordem n, temos (A + B)−1 = A−1 + B−1.
(c) ( ) Se AAt e´ na˜o invers´ıvel, enta˜o A tambe´m e´ na˜o invers´ıvel.
(d) ( ) Seja o sistema AX = B com A matriz de ordem n invers´ıvel, enta˜o o sistema citado
possui soluc¸a˜o u´nica.
(e) ( ) Se At = A−1, enta˜o det(A) = ±1.
2a Questa˜o: Dada a matriz M =
 1 1 12 1 4
2 3 5
 pergunta-se: M e´ invers´ıvel? Caso seja, determine M−1. O
sistema
x+ y + z = 0
2x+ y + 4z = 0
2x+ 3y + 5z = 0
pode ser classificado como SPI ou SPD? Justifique sem fazer demais
ca´lculos.
3a Questa˜o: Determine os valores de λ ∈ R para os quais a matriz A − λI3 seja invers´ıvel, onde A = 2 0 02 0 0
1 2 1
.
4a Questa˜o: Determine os valores reais de k para que o sistema

x+ y − z = 1
2x+ 3y + kz = 3
x+ ky + 3z = 2
seja: (i) Um SPD; (ii)
Um SPI; (iii) Um SI.
Boa prova!!