Lista 2

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas
Departamento de Matema´tica
MTM3101 - Ca´lculo 1 Lista - Semana 2
Teorema do Confronto, Limites Laterais e Func¸o˜es Cont´ınuas
1. Para a func¸a˜o f cujo gra´fico e´ mostrado a seguir, determine o valor de cada quantidade, se ela existir.
Se ela na˜o existir, explique por queˆ.
lim
x→−2−
f(x)(a) lim
x→−2+
f(x)(b) lim
x→−2
f(x)(c)
f(−2)(d) lim
x→0−
f(x)(e) lim
x→0+
f(x)(f)
lim
x→0
f(x)(g) f(4)(h) lim
x→4
f(x)(i)
2. Seja f(x) =
{
x2 se x ≤ 2
8− 2x se x > 2.
Encontre lim
x→2−
f(x) e lim
x→2+
f(x).(a)
Existe lim
x→2
f(x)?(b)
Esboce o gra´fico de f .(c)
3. Calcule os seguintes limites laterais, quando existirem.
lim
x→pi−
tanx(a) lim
x→0+
(
1
x
− 1|x|
)
(b)
lim
x→3+
|x− 3|
x− 3(c) limx→3+
x2 − 6x + 9
x− 3(d)
4. Seja f : R→ R e assuma que −x2 + 3x 6 f(x) < x
2 − 1
x− 1 para todo x 6= 1. Calcule limx→1 f(x).
1
5. Suponha que g : R→ R satisfaz |g(x)| 6 x4 para todo x ∈ R. Calcule lim
x→0
g(x)
x
e lim
x→0
g(x)
x3
. E´ poss´ıvel
dizer alguma coisa sobre lim
x→0
g(x)
x4
?
6. Sejam f, g : R→ R tais que [g(x)]2 + [f(x)]2 = 9 para todo x ∈ R. Calcule e justifique.
lim
x→0
x5g(x)(a) lim
x→3
f(x) sen(x− 3)(b)
7. Calcule.
lim
x→0
x sen
1
x
(a) lim
x→0
x2 cos
1
x2
(b)
8. Sejam a, b ∈ R tais que |ax + b| 6 x2 para todo x ∈ R. Prove que a = b = 0.
9. Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o f de maneira que lim
x→x0
|f(x)| exista, mas lim
x→x0
f(x) na˜o exista.
10. Considere f : R→ R dada por
f(x) =

√
x3 + 6x2
x
se x 6= 0
6 se x = 0.
Calcule, se existir, lim
x→0
f(x).(a)
E´ verdade que lim
x→0
f(x) = f(0).(b)
11. Considere a func¸a˜o
h(x) =
 x, x > 3x2
3
, x < 3.
Calcule:
lim
x→3−
h(x)− h(3)
x− 3(a) limx→3+
h(x)− h(3)
x− 3(b) limx→3
h(x)− h(3)
x− 3(c)
A func¸a˜o f(x) =
h(x)− h(3)
x− 3 e´ cont´ınua em 3? Por queˆ?
12. A afirmac¸a˜o
”se lim
x→x+0
f(x) = lim
x→x−0
f(x) enta˜o f e´ cont´ınua em x0”
e´ verdadeira ou falsa? Justifique.
13. Seja f a func¸a˜o definida por f(x) = 2x3 −√x2 + 3x.
Determine o domı´nio de f .(a)
Verifique que f e´ cont´ınua no intervalo fechado [0,∞).(b)
Mostre que a u´nica raiz de f em (0,∞) e´ x0 = 1.(c)
Verifique ainda que f(x) > 0 se x > 1 e que f(x) < 0 se 0 < x < 1.(d)
2
14. Explique por que a func¸a˜o e´ descont´ınua no nu´mero dado:
f(x) = ln |x− 2| a = 2.(a)
f(x) =
 x
2 − 4x + 3
x− 3 , se x 6= 3
5, se x = 3
a = 3.(b)
15. Explique, usando os teoremas, por que a func¸a˜o e´ cont´ınua em todo seu domı´nio. Estabelec¸a o domı´nio.
f(x) =
x
x2 + 3x + 6
(a) f(x) = ex sen(5x)(b)
f(x) = arcsen(x2 − 1)(c) f(x) = x√
4− x2(d)
16. Use a continuidade para calcular o limite.
lim
x→pi
sen(x + senx)(a) lim
x→2
arctan
(
x2 − 4
3x2 − 6x
)
(b)
lim
x→1
√
x2 − 1
x− 1(c) limx→1 e
1−√x
1−x(d)
3