Conjuntos e Intervalos em Matemática Básica

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UNIDADE 2 – CONJUNTOS 
 
Metas 
A meta desta unidade é estabelecer as notações básicas da linguagem de conjuntos 
e introduzir a noção de intervalos no conjunto dos números reais. 
 
Objetivos 
 Ao final do estudo desta unidade o aluno deve: 
• saber como apresentar/definir um conjunto de objetos matemáticos; 
• conhecer todos os tipos de intervalos do conjunto dos números reais; 
• conhecer em detalhes a representação geométrica de intervalos; 
• conhecer as relações entre conjuntos, igualdade e inclusão; 
• conhecer as operações entre conjuntos, interseção, união e diferença, e saber 
aplicar estes conceitos a intervalos. 
 
 
Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos 
 
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A definição de conjuntos 
 Começamos a unidade com 
uma formalização para a 
apresentação de coleções de 
objetos matemáticos. O assunto é 
importante para o melhor 
entendimento de exercícios, 
enunciados de teoremas, de 
demonstrações, de resultados, 
enfim tudo o que se faz em 
Matemática. 
 Nós não definimos o que é “conjunto” ou o que é “elemento de um conjunto”. 
Conjunto e elemento são considerados conceitos primitivos, assim como os números 
naturais ou como as noções de ponto, reta e plano. Da mesma maneira que fazemos com 
esses últimos exemplos matemáticos, apenas assumimos os termos e nos guiamos pelas 
ideias intuitivas que temos a respeito. 
 Usamos a notação, a  A, para dizer que a pertence ao conjunto A ou, de modo 
equivalente, que a é elemento do conjunto A. Quando queremos negar a relação de 
pertinência, usamos o símbolo . 
• 1 ∈ ℕ (1 pertence ao conjunto dos naturais, 1 é um elemento de ℕ). 
• 0 ∈ ℕ. 
• −1 ∉ ℕ, mas −1 ∈ ℤ (−1 não pertence ao conjunto dos naturais, mas 
−1 pertence ao conjunto dos inteiros). 
 Nós aqui não definimos o que é conjunto, o que significa o conceito, mas podemos 
falar sobre a definição de um determinado conjunto, ou seja, como um determinado 
conjunto está definido. Isso é o mesmo que falar sobre como um determinado conjunto é 
apresentado. 
 Na disciplina de Matemática Básica consideramos duas maneiras de definir um 
determinado conjunto, por lista, ou indicação de uma lista, e por propriedade. Um 
conjunto definido por lista é dado por uma lista de representações de todos os seus 
elementos, separados por vírgulas e encerrados entre chaves. Um conjunto definido por 
 
O sistema solar, um conjunto de planetas. 
Exemplos: 
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indicação de lista é dado por uma lista de representações de alguns de seus elementos, 
separados por vírgulas e encerrados entre chaves, e são usadas reticências como indicação 
dos elementos do conjunto que não foram listados. Vejamos alguns exemplos descritos 
por lista, ou indicação de lista. 
• A = {−2, 2, 5}. 
• B = {1, 2, 3, 4, ..., 98, 99, 100} – números naturais de 1 a 100. 
• ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
• C = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} 
Uma questão importante na indicação da lista é deixar claro quais são os elementos 
que não foram explicitamente listados. No último exemplo as reticências “...” indicam os 
múltiplos de 3 positivos. Será que essa interpretação fica clara para todo leitor? Às vezes, 
se acharmos que pode existir alguma dúvida, pode ser conveniente evidenciar com uma 
condição quais são os elementos não listados, que só ficaram indicados nos pontinhos. 
Uma opção é apresentar na lista uma representação genérica que indique os elementos 
que faltam. Assim, também poderíamos definir o conjunto por C = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ..., 
3n, ...}. 
 A indicação de lista é útil quando o conjunto é muito grande para ter todos os 
elementos listados e é necessária quando o conjunto tem infinitos elementos. Contudo, 
nem todo conjunto infinito pode ter seus elementos listados, mesmo que só por indicação. 
Isso acontece por que nem todo conjunto é enumerável. Falaremos um pouco mais sobre 
isso logo adiante. 
 Ainda existe outra maneira de definir um determinado conjunto. Um conjunto 
definido por propriedade é formado pelos elementos que gozam de uma determinada 
propriedade. Os elementos considerados no teste da propriedade devem ser elementos de 
um conjunto estabelecido previamente, normalmente chamado de conjunto universo. 
 A notação para conjuntos definidos por propriedade segue o seguinte padrão: 
{x  𝒰: P(x)}, 
onde 𝒰 representa o conjunto universo considerado e P(x) representa a propriedade em 
termos da variável x. 
Exemplos: 
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• D = {x  ℕ : x é ímpar} − (Lemos: o conjunto dos x pertencentes a 
ℕ tais que x é ímpar). 
• E = {x  ℤ : x < 3}. 
• F = {x  ℝ : x < 3} – O conjunto F é muito diferente do conjunto 
E, apesar de ambos serem descritos pela mesma propriedade, ser 
menor do que 3. Por exemplo, 0,5  F, mas 0,5  E. 
 A definição de um conjunto por propriedade tem a desvantagem de não exibir 
explicitamente quais são os objetos do conjunto, mas, por outro lado, apresenta uma 
descrição precisa a respeito dos elementos. 
Um conjunto que não possui elementos é chamado de conjunto vazio. O conjunto 
vazio é denotado por { } ou ∅. Por exemplo, {x ∈ ℕ ; x < 0} = ∅. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 1: Na Unidade 1 estabelecemos algumas notações para números negativos e 
positivos. 
a) Defina o conjunto ℤ+ por indicação de lista. 
b) Defina o conjunto ℤ por propriedade. 
c) Defina o conjunto ℝ+. 
Atividade 2: Redefina o conjunto por (indicação de) lista. 
a) A = {x  ℕ : x | 30} ( O símbolo, | , significa divide. Exemplo, 3 | 9.) 
b) B = {x  ℕ : 4 | x} 
c) C = {x  ℤ : x < 3 e x < 2} 
d) D = {x  ℤ : x  5 e x < 5} 
Atividade 3: Redefina o conjunto por propriedade. 
a) A = {4, 5, 6, 7, ..., 11, 12} 
b) B = {..., 9, 8, 7} 
c) C = {1, 4, 7, 10, 13, ...} 
d) D = {0,1; 0,2; 0,3; 0,4; ...; 0,9; 1; 1,1; 1,2; ...} 
Atividade 4: Está certo escrever {x  ℝ : x2 = 1} = {}? Escreva uma explicação para 
a sua resposta. 
Atividade 5: Apresente o erro na definição de cada conjunto a seguir. 
a) {x : x > 7} b) (4, 6, 8, 9) c) {x  ℝ : 1, 2, 3} 
Exemplos: 
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Atividade 6: Defina o conjunto indicado. 
a) A : o conjunto de todos os números naturais que são maiores do que 1 e menores do 
que 20. Apresente o conjunto por meio de uma propriedade. 
b) B: o conjunto de todos os números ímpares maiores do que 8. Defina por uma lista. 
c) E : o conjunto formado pelos números naturais 33, 34, 35, 36, e assim por diante. 
Apresente o conjunto por meio de uma propriedade. 
 
 Leitor, você percebeu que os exemplos de listagem só envolvem números inteiros? 
Pois saiba que listar os números racionais não é tarefa fácil. Por exemplo, experimente 
listar os números racionais entre 0 e 1. Você acha que consegue? Fica o desafio. 
 Agora, tarefa mais complicada é listar os números reais. Por exemplo, você acha 
que consegue listar todos os números reais entre 0 e 1? Experimente! De verdade, antes 
de continuar com a leitura do texto, faça uma pausa e procure obter uma lista de elementos 
conforme pedido neste parágrafo e no anterior. 
 Continuando, vamos adiantar aqui duas ideias que normalmente são abordadas na 
disciplina universitária chamada Análise, mas que vale a pena conhecê-las logo. A 
primeira é que o conjunto dos números racionais é enumerável, ou seja, existe uma 
correspondência entre os números naturais e os números racionais, ou ainda, sempre 
podemos ordenar os números racionais. E isso significa que é possível listar os números 
racionais. Aluno, cabe enfatizar que o conhecimento de que é possível listarnúmeros 
racionais não ajuda de modo algum a saber como listá-los. Na verdade, esta tarefa não é 
nada simples. A segunda ideia que queremos que você guarde é que o conjunto dos 
números reais não é enumerável. Ou seja, é impossível listar os números reais. O que 
queremos que você guarde com esses dois fatos é que não se trabalha com listagem de 
elementos quando falamos em conjuntos de números racionais ou de números reais, de 
modo geral. Vejamos um exemplo para compreender melhor esta importante questão. 
 Consideremos a tarefa de redefinir um conjunto por listagem. Sejam A = {x  ℚ 
: x > 1} e B = {x  ℝ : x > 1}. Não deixe de notar que os dois conjuntos são descritos pela 
mesma propriedade, entretanto o conjunto universo é diferente. Pelo que vimos no 
parágrafo anterior, sabemos que teoricamente é possível obter A por listagem, mas na 
prática isso é difícil. E também pelo que vimos no parágrafo anterior é impossível obter 
o conjunto B por listagem. Em resumo, não tentamos listar, de modo geral, números 
racionais e números reais. Aluno, vale a pena se lembrar desses comentários. 
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Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 7: Como um exercício de percepção, faça um desenho na reta numérica que 
represente uma variação de valores entre 0 e 1, faça três desenhos, um para cada conjunto 
numérico, variação entre os números naturais, entre os números racionais e entre os 
números reais. 
Atividade 8: Diga se é verdadeiro ou falso. 
a) {x  ℕ : x > 3} = {1, 2, 3, 4, ...} 
b) {x  ℚ : x  1} = {1; 1,1; 1,2; ...; 2; 2.1; ...; 3; ...} 
c) ℝ = {...; 3; 1,203115...; 0; 1; √2; 7,010010001...; ...} 
 
 Quando tratamos de números reais, principalmente quando associamos o conjunto 
a ideias intuitivas como comprimento, temperatura e outras grandezas de natureza 
contínua, passamos a ter uma terceira maneira de definir certos conjuntos, os chamados 
intervalos da reta numérica. Esse é um assunto importante e será abordado em destaque 
a seguir. 
 
Intervalo 
 Quando pensamos em grandezas 
escalares contínuas, pensamos 
inevitavelmente em variação, variação de 
um valor para outro valor. Por exemplo, se 
acompanharmos um termômetro ao longo 
do dia, perceberemos claramente a variação 
da coluna de mercúrio, o que indicará a 
variação de temperatura do ambiente. Esse 
processo de variação sempre envolve um 
início, um fim e todos os estados que 
ocorrem entre o início e o fim. 
 A palavra intervalo é usada no cotidiano para se referir a um espaço que separa 
dois pontos, ou dois lugares, ou para se referir ao espaço de tempo entre dois momentos. 
Podemos, então, dizer que um intervalo expressa um conjunto de estados/valores dentro 
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de um processo de variação. E essas ideias intuitivas se correspondem a ideias 
matemáticas ligadas aos números reais. É o que vemos a seguir, depois da próxima 
atividade. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 9: O gráfico a seguir ilustra temperaturas coletadas ao longo de parte do dia 
em uma determinada cidade. O intervalo de variação de temperatura, no período de 6h 
até 20h, se dá entre que valores? 
 
 
 Vamos formalizar, no contexto da Matemática, a noção de intervalo. Observe que 
estamos falando de uma noção definida para o conjunto dos números reais e que decorre 
da relação de ordem. Dados a, b  ℝ, com a < b, o subconjunto de ℝ formado pelos 
números que estão entre a e b é chamado intervalo limitado. Para distinguir o intervalo 
que contém, ou não, os pontos extremos, a e b, usa-se os termos fechado ou aberto, à 
direita ou à esquerda. Os quatro tipos de intervalos limitados são: 
• [a, b] = {x  ℝ : a  x  b}  intervalo fechado; 
• (a, b) = {x  ℝ : a < x <b}  intervalo aberto; 
• [a, b) = {x  ℝ : a  x < b}  intervalo fechado à esquerda e aberto à direita; 
• (a, b] = {x  ℝ : a < x  b}  intervalo aberto à esquerda e fechado à direita; 
 O nome intervalo também pode ser associado a outros tipos de subconjuntos 
conhecidos como intervalos ilimitados. Os cinco casos de intervalos ilimitados são: 
• (, b] = {x  ℝ : x  b}  intervalo fechado à direita; 
• (, b) = {x  ℝ : x < b}  intervalo aberto à direita; 
• [a, +) = {x  ℝ : a  x}  intervalo fechado à esquerda; 
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• (a, +) = {x  ℝ : a < x}  intervalo aberto à esquerda; 
O próprio conjunto ℝ também pode ser visto como um intervalo: 
• (, +) = ℝ 
Notação: a < b < c significa que a < b e que b < c. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 10: Se quiséssemos apresentar o conjunto de todos as temperaturas ocorridas 
durante o período indicado no gráfico da Atividade 8, como poderíamos fazer isso? 
Resposta 1: {18, 19, 20, ..., 28, 29, 30} 
Resposta 2: [18, 30] 
Analise qual resposta é a mais adequada. 
 
 Leitor, veja que os intervalos de ℝ foram definidos por propriedade, até por que 
já sabemos que é impossível listar os elementos desse tipo de conjunto, uma vez que os 
números reais não são enumeráveis. Entretanto, podemos compensar a incapacidade de 
listar os números reais com sua representação na reta numérica. Vejamos alguns 
exemplos. 
 O intervalo fechado [a, b] = {x  ℝ : a  x  b} pode ser definido na reta 
numérica pela seguinte representação gráfica. Não deixe de conferir na legenda o 
significado de cada símbolo usado na figura. 
 
 Representação da reta numérica. 
 Indicação de um extremo do intervalo sobre a reta e de que 
esse extremo pertence ao intervalo. 
a, b Dão nome aos dois extremos do intervalo. 
 Indica que todos os números entre a e b pertencem ao 
conjunto. 
 
Legenda: 
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 Devemos observar o termo, “definido”, usado no parágrafo anterior: “pode ser 
definido na reta numérica”. O que fizemos foi representar o conjunto [a, b] de forma 
gráfica. Contudo, é uma forma de representação bastante expressiva e que permite, de 
modo muito eficiente, tratar diversas operações importantes, as quais estudaremos ao 
longo deste texto. Assim, por ser uma forma de expressão gráfica de grande importância 
matemática, damos o peso de uma definição de conjunto e não de um simples desenho 
ilustrativo. 
É interessante analisar essa legenda e os símbolos gráficos da figura, e até pensar 
neles da mesma maneira que acontece em mapas geográficos. O ideal é que os símbolos 
passem logo a ideia do que se quer informar com a figura, no caso, o intervalo de variação 
entre dois valores, a e b, ou mais precisamente, todos os pontos entre a e b, inclusive os 
extremos. 
Sobre a questão de os símbolos passarem uma ideia precisa, devemos ter muito 
cuidado com isso. Por exemplo, a ideia de usar o símbolo é a de destacar a parte 
da reta que representa os elementos entre os extremos do intervalo. O ondulado é para se 
obter um destaque sobre o traço da reta já existente, mas também serve para dar a ideia 
de contínuo, de que tudo que está entre os extremos pertencem ao intervalo. Contudo, 
nem todos os textos usam a mesma simbologia, e nem todos os símbolos são parecem 
adequados. Podemos ver um exemplo na atividade a seguir. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 11: Muitos livros didáticos utilizam a seguinte representação gráfica para 
intervalo fechado limitado, [a, b]. Faça uma análise crítica sobre essa forma de 
representação. Você acha que ela é recomendável ou é questionável? 
 
 
 
 
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 O intervalo aberto (a, b) = {x  ℝ : a < x < b} pode ser definidona reta 
numérica pela seguinte representação gráfica: 
 
 
 O intervalo ilimitado fechado à direita (,b] = {x  ℝ | x  b} pode ser definido 
na reta numérica pela representação: 
 
 
 
Atividade 12: Apresente uma legenda para a figura anterior. Apresente também uma 
definição na reta numérica, com suas respectivas legendas, para os outros casos de 
intervalos. 
 
Observações sobre a definição de intervalos pela reta numérica: Nessa forma de 
representar, é o desenho que vai descrever os detalhes do conjunto. Assim: (a) é preciso 
destacar os pontos extremos do intervalo e deixar claro no desenho se os pontos estão 
cheios ou não; (b) no caso de intervalos ilimitados, é preciso fazer o traço ondulado do 
intervalo até o limite da linha que representa a reta numérica, para não deixar dúvidas se 
não é um intervalo limitado; (c) é preciso fazer traços contínuos, para deixar claro que o 
conjunto representado inclui todos os elementos do intervalo. 
 
 Representação da reta numérica. 
 Indicação de um extremo do intervalo sobre a reta e de que 
esse extremo não pertence ao intervalo. 
a, b Dão nome aos dois extremos do intervalo. 
 Indica que todos os números entre a e b pertencem ao 
conjunto. 
 
Legenda: 
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 Vejamos alguns exemplos de representações que não podem ser aceitas como uma 
definição de intervalo pela reta numérica. 
 
 
 
 Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 13: Represente o conjunto dado na reta numérica. 
a) A = {x  ℝ :  < x} b) B = {x  ℝ : x √9
3
 e x > 4} 
c) C = {x  ℝ : 2  x} d) D = {x  ℤ : 5 < x  3} 
Atividade 14: É indiferente escrever, 
a) {1, 2} ou {2, 1}? 
b) [1, 2] ou [2, 1]? 
Explique como pensou e depois compare com a resposta do gabarito. 
 
Relações entre conjuntos 
Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais (A = B), quando possuem exatamente 
os mesmos elementos. Observe o exemplo: se 𝐴 = {𝑥  ℕ : 𝑥 > 0,5} e 𝐵 = {𝑥  ℤ : 𝑥 > 
1
2
} então A = B. 
Dados A e B conjuntos, dizemos que A está contido em B, em símbolos A  B, 
quando todo elemento que pertence ao conjunto A também é um elemento que pertence 
ao conjunto B. Neste caso, também dizemos que B contém A ou que A é um subconjunto 
de B. Por exemplo, dados A = {𝑥  ℕ : 𝑥 > 4} e B = {𝑥  ℕ : 𝑥 > 2}, então A  B. Note 
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que A ≠ B, já que, por exemplo, 3  B, porém 3  A. Se não é verdade que A  B, usamos 
a notação A  B. 
Observe que A = B quando A  B e também B  A. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 15: Complete com  ou . 
a) ℕ ___ ℝ b) ℝ ___ ℚ c) (0, 1) ___ ℚ 
d) {𝑥  ℝ : 𝑥 > 
1
2
} ___ ℚ e) [1, 2] ___ {1, 2, 3, 4, 5} f) (1, 5) ___ {1, 5} 
g) {𝑥  ℝ : 𝑥 > } ___ (√6, +) h) (2, +) ___ {3, 2, 1, 0, 1, ...} 
Dica: Procure escrever no seu caderno de estudo uma explicação para sua escolha de 
símbolo. Lembre-se que depois o aluno pode conferir ou comparar com as respostas do 
gabarito. 
Atividade 16: Para cada item, dê condições sobre as variáveis para que a sentença seja 
verdadeira. 
a) [a, 5)  (, 8]. 
b) (4,4; x]  [s, √7
3
). 
c) (, a)  (, b). 
d) [a, b]  (c, +). 
 Para treinar meios de justificar respostas, o aluno pode usar o recurso da 
representação gráfica na reta numérica para explicar como obteve as condições. É só uma 
sugestão. 
 
 
Operações entre conjuntos 
As principais operações entre conjuntos são a união e a interseção, e temos 
também a diferença: 
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A união de A e B é definida por A ∪ B = {x  𝒰 : x ∈ A ou x ∈ B}, portanto o 
conjunto união é formado pelos elementos que pertencem pelo menos a um dos conjuntos 
(não excluindo os que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos). Como exemplo, 
veja que se A = {−1, 0, 2} e B = {0, 3, 4}, então A ∪ B = {−1, 0, 2, 3, 4}. 
 
 
 
 
 
A interseção de A e B é definida por A ∩ B = {x  𝒰 : x  A e x  B}, portanto é 
o subconjunto de A e de B formado pelos elementos que estão simultaneamente nos dois 
conjuntos A e B. Note que pode ocorrer da interseção ser o conjunto vazio. Considerando 
A e B do exemplo anterior, temos que A ∩ B = {0}. 
A diferença A \ B ou (A − B) dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos 
elementos de A que não pertencem a B, isto é, A \ B = {x  𝒰 : x  A e x  B}. Por 
exemplo, sejam A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {−1, 2, 4}. Então A \ B = {0, 1, 3}. Também, ℤ \ 
ℕ = {−1, −2, −3, −4, −5, ...} = ℤ− (conjuntos dos inteiro negativos). 
Quando B ⊂ A, dizemos que A \ B é o complementar de B em relação a A e também 
pode ser denotado por ∁𝑨𝑩 ou simplesmente por ∁𝑩 (ou 𝑩𝒄), se A for o conjunto universo. 
Assim, ℤ \ ℕ = {−1, −2, −3, −4, −5, …} = ℤ− é o complementar de ℕ em relação a ℤ. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 17: Verdadeiro ou falso? Escreva uma explicação para sua escolha. 
a) A interseção de um intervalo, se não for , é um intervalo. 
b) A união de um intervalo é um intervalo. 
c) O complementar de um intervalo é um intervalo. 
d) O complementar de um intervalo ilimitado é um intervalo ilimitado. 
Em Matemática, quando escrevemos 𝒙 ∈ A 𝒐𝒖 𝒙 ∈ B, significa que x é elemento 
de um dos conjuntos dados, podendo pertencer aos dois conjuntos 
simultaneamente ou só a um deles. Observe que na Língua Portuguesa o uso do 
“ou” normalmente exclui a possibilidade da simultaneidade, por exemplo: 
“Quer açúcar ou adoçante?” 
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Atividade 18: Escreva o conjunto X = {x  ℝ | x  0} em termos de intervalos (você vai 
ter que usar a união). 
 
 
Quantificadores lógicos 
Os quantificadores lógicos são bastante utilizados para favorecer a notação, 
encurtando a escrita e melhorando o entendimento. São eles: 
• o quantificador universal "∀" é utilizado quando queremos nos referir a todos os 
elementos do conjunto; “para todo 𝑥 ∈ A”(ou “qualquer que seja 𝑥 ∈ A”) é escrito 
simplesmente "∀𝑥 ∈ A". 
• o quantificador existencial "∃" é utilizado quando queremos nos referir a alguns 
(ou algum) elementos do conjunto; “existe 𝑥 ∈ A” é escrito assim "∃𝑥 ∈ A". 
 
 
Exemplos: 
1. ∀𝑥 ∈ ℤ, 𝑥2+1 > 0. 
2. ∃𝑥 ∈ ℤ, tal que x < −1. 
3. ∄𝑥∈ℕ, tal que x < −2. 
Os conectivos lógicos de implicação (⟹) e equivalência (⇔) são 
importantíssimos na escrita matemática e devemos estar bem atentos ao significado de 
cada um. 
• "⇒": sempre que p é uma afirmação verdadeira, então q também é verdadeira, 
escrevemos "𝑝 ⇒ 𝑞" (lê-se p implica q, ou se p então q, ou p é uma condição 
suficiente para q, ou q é uma condição necessária para p). 
• "⇔": sempre que “p ⇒ q” e também “q ⇒ p”, escrevemos "𝑝 ⇔ 𝑞" (lê-se p é 
equivalente a q, ou p se e só se q, ou p se e somente se q, ou p é uma condição 
necessária e suficiente para q). 
 
Também usamos a notação "∄", lê-se “não existe”. 
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Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 19: Leia com atenção os itens a seguir e diga se conectivos lógicos de 
implicação (⟹) e equivalência (⇔) foram empregados de maneira correta, justificando 
sua resposta. 
a) Dado 𝑥 ∈ ℤ, 𝑥 > 0 ⇔ 𝑥 ≥ −4. 
b) Dado 𝑥 ∈ ℤ, 𝑥 = 1⇒ 𝑥2 = 1. 
c) Dado 𝑥 ∈ ℕ, 𝑥2 = 1 ⇔ 𝑥 = 1. 
d) Dado 𝑥 ∈ ℤ, 𝑥 – 2 > 0 ⇔ 𝑥 > 2. 
e) Dado 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥2 = 1 ⇒ 𝑥 = 1 ou 𝑥 = −1. 
 
 
Gabarito 
 
Atividade 1: 
a) ℤ+ = {1, 2, 3, 4, ...} 
b) ℤ = {x  ℤ : x < 0} 
c) Como a questão não explicita quetipo de definição devemos usar, podemos escolher 
entre lista ou propriedade. Contudo, já aprendemos que não podemos listar números 
reais. Assim, só podemos definir o conjunto por propriedade. 
ℝ+ = {x  ℝ : x > 0} 
 
Atividade 2: 
a) A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 
b) B = {0, 4, 8, 12, ... , 4n, ...}, onde n indica um número natural qualquer. 
c) C = {..., 5, 4, 3} 
Informalmente, dizemos que vale a “ida”, quando “p ⇒ q” 
e que vale a “ida e a volta”, quando “𝒑 ⇔ 𝒒”. 
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d) D = {5, 4, ..., 3, 4} 
 
Atividade 3: 
a) A = {x  ℕ : 3 < x < 13} (Também poderia ser {x  ℕ : 4  x  12} 
b) B = {x  ℤ : x < 6} 
c) C = {x  ℕ : x = 3n + 1, para algum n  ℕ} 
d) D = {
𝑥
10
  ℚ : x  ℕ e x > 0} 
 
Atividade 4: 
Não, não está certo. O conjunto {x  ℝ : x2 = 1} não possui elementos, nenhum 
elemento. Contudo o conjunto {} possui um elemento, a saber o conjunto . Logo, {x 
 ℝ : x2 = 1}  {}. 
 
Atividade 5: 
a) Faltou especificar o conjunto universo. 
b) A lista de elementos de um conjunto deve ser encerrada por chaves, não parênteses. 
c) A informação, “1, 2, 3”, não é uma propriedade. 
Observação: Esses exemplos de erros ocorrem com grande frequência em provas. 
Cuidado para não os repetir! 
 
Atividade 6: 
a) A = {x  ℕ : 1 < x <20} 
b) B = {9, 11, 13, 15, 17, ...} 
c) E = {x  ℕ : 33  x} 
 
Atividade 7: 
Não sabemos ao certo qual é a convenção, nem se existe mesmo uma convenção 
universal, mas vamos considerar aqui os valores limites, 0 e 1. 
 
Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos 
 
Cederj 
 
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Atividade 8: 
a) É falso, faltou o número 0 na lista. 
b) É falso, como já vimos, não tem como apresentar uma lista simples para todos os 
racionais, isso é um processo bem complicado. 
c) É falso, pois é impossível listar os números reais. 
 
Atividade 9: 
A variação de temperatura, chamada de amplitude térmica, se dá entre a maior 
temperatura, no caso 30º C, e a menor, no caso 18º C. 
 
Atividade 10: 
Apesar da temperatura ter sido registrada em intervalos de duas horas, sabemos que esta 
variação é de natureza contínua, donde todos os valores intermediários de temperatura 
necessariamente ocorreram. Logo, a melhor forma de apresentar todas as temperaturas 
que ocorreram se dá pela notação de intervalo, [18, 30]. 
 
Atividade 11: 
É claro que tudo é uma questão de convenção, mas não nos parece que essa notação 
passe de imediato a noção de continuidade, de que todos os valores intermediários estão 
presentes no conjunto. Por outro lado, e se quiséssemos dar noção de um conjunto todo 
“furado”, como os próprios racionais, sobre a reta como faríamos se essa notação já 
estivesse sendo usada para intervalos contínuos? 
 
Atividade 12: 
Verificar com colegas em fórum. 
 
Atividade 13: 
a) 
Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos 
 
Cederj 
 
18 
b) 
c) 
d) 
 
Atividade 14: 
a) Sim, a ordem de apresentação dos elementos não altera o conjunta. O que caracteriza 
um conjunto são seu elementos, os objetos que pertencem a ele, mas não a forma como 
eles são representados. 
b) Não, aqui estamos falando de intervalo e, pela nossa convenção, todo intervalo da 
forma [a, b] tem que satisfazer a < b. Ou seja, só podemos escrever [1, 2]. Nem faz 
sentido escrever [2, 1], não para intervalos. 
 
Atividade 15: 
a)  b)  c)  d)  
e)  f)  g)  h)  
 
Atividade 16: 
a) a >  b) s > 4,4 e x < √7
3
. c) a  b d) a  c 
 
Atividade 17: 
a) Verdadeiro. Podemos perceber essa relação pela representação na reta numérica. 
Vejamos duas situações que mostram a interseção sendo um intervalo. Podemos tentar 
outros desenhos, até esgotar todos os possíveis casos de interseção. O aluno está 
convidado a tentar. 
 
 
b) Falso. Basta ver um contraexemplo. 
 
c) Falso, o complementar de um intervalo limitado sempre será a união de dois 
intervalos disjuntos. 
Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos 
 
Cederj 
 
19 
 
 
Um intervalo e seu complementar, que não é um intervalo, mas a união de dois. 
d) Verdadeiro. Uma situação possível para intervalos ilimitados é ilustrada a seguir. 
 
 
Existe mais uma situação possível, tente desenha essa situação. 
 
Atividade 18: 
X = (, 0)  (0. +). 
 
Atividade 19: 
a), o conectivo foi empregado de maneira incorreta, pois a recíproca (a “volta”) não vale, 
isto é, não temos uma equivalência, pois nem todo inteiro maior do que ou igual a −4 é 
positivo, há o −4, −3, −2, −1 e o 0 que não são positivos. 
b), o conectivo foi empregado de maneira correta. 
Observe que não temos uma equivalência, pois se 𝑥 = −1 então 𝑥2 = (−1)2 = 1 e, 
portanto, 𝑥2 = 1 não implica em x = 1, pois poderíamos ter também 𝑥 = −1. 
c), o conectivo foi empregado de maneira correta. 
Observe que se compararmos os itens b) e c), o conjunto universo do último é ℕ, por 
isso vale a “ida” e a “volta”, isto é, temos uma equivalência. 
d), o conectivo foi empregado de maneira correta. 
e), o conectivo foi empregado de maneira correta, pois é verdade que se x2 = 1 então só 
podemos ter x = −1 ou x = 1. Contudo, também estaria correto usar o símbolo ⇔, pois a 
recíproca também vale, isto é, se temos x = 1 e em 𝑥 = −1 verificamos também 𝑥2 = 1. 
De fato, se 𝑥 = 1, 𝑥2 = 12 = 1 e, se 𝑥 = −1, 𝑥2 = (−1)2 = 1.