lista.06.2013.02

Prévia do material em texto

Lista 6 A´lgebra Linear Professor: Mauricio
1. Considere os espac¸os vetoriais R3 e R4, munidos do produto interno
usual. Determinar o aˆngulo entre os vetores u e v.
a) u = (2, 1,−5), v = (5, 0, 2)
b) u = (1,−1, 2, 3), v = (2, 0, 1,−1)
2. Calcular o valor de b de tal forma que conjunto B = {(1,−1), (2, b)}
seja uma base ortogonal de R2 em relac¸a˜o ao produto interno:
(x1, y1) · (x2, y2) = 2x1x2 + y1y2.
Determinar, a partir de B, uma base ortonormal.
3. Construir a partir do vetor (1,−2, 1) uma base ortonormal de R3, em
relac¸a˜o ao produto interno usual.
4. Analissar se as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras ou falsas.
a) Existe um conjunto ortogonal de 4 vetores na˜o nulos em R3.
b) Em um espac¸o vetorial euclidiano de dimensa˜o 5 todo conjunto
ortogonal formado por 5 vetores na˜o nulos e´ uma base do espac¸o
vetorial.
5. Determinar o cosseno de aˆngulo entre os vetores u e v sabendo que
|u| = 3, |v| = 7 e |u + v| = 4√5.
(Dica use a relac¸a˜o |u + v|2 = (u + v) · (u + v) para calcular u · v)
6. Considere o espac¸o vetorial V = R2. Quais das seguintes func¸o˜es sa˜o
produtos vetorias em V ?
a) (x1, y1) · (x2, y2) = 2x1x2 + 3y1y2,
b) (x1, y1) · (x2, y2) = x1x2 − y1y2,
c) (x1, y1) · (x2, y2) = x21x22 + y21y22
1
7. Considere R4 munido do produto interno usual e o subespac¸o de di-
mensa˜o 2, S = G [(1, 1, 0,−1), (1,−2, 1, 0)]. Determinar o comple-
mento ortogonal S⊥ e uma base ortonormal de S⊥.
8. Considere o espac¸o vetorial R3 munido do produto interno usual. De-
terminar uma base ortogonal do seguinte subespac¸o vetorial:
S = {(x, y, z) | x + y + z = 0}
a) Calcular S⊥ e verificar que dim(S⊥) + dim(S) = 3.
2