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Lista 5. A´lgebra Linear. Professor: Mauricio
1. Determinar o valor de k para que o vetor u = (−1, k,−7) seja uma
combinac¸a˜o linear dos vetores v1 = (1,−3, 2) e v2 = (2, 4,−1).
2. Determinar o subespac¸o de R3 gerado pelo conjuntoA = {(1,−2,−1), (2, 1, 1)}.
3. Determinar o valor de k para que o conjuntoA = {(1, 0,−1), (1, 1, 0), (k, 1,−1)}
seja linearmente independiente.
4. Mostrar que B := {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1)} e´ uma base de R3.
5. Calcular a matriz de mudanc¸a de bases da base canoˆnica para a base
B.
a) Determinar as coordenadas de v = (5, 4, 2) em relac¸a˜o a` base B.
b) Determinar o vetor de R3 cujo vetor de coordenadas em relac¸a˜o a`
base B e´ vB = (2,−3, 4).
6. Considere o conjunto R = {(x, y) | x > 0, y > 0}.
a) Mostrar que R na˜o e´ um subespac¸o vetorial de R2 munido das as
operac¸o˜es usuais.
b) Mostrar que R munido das seguintes operac¸o˜es
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1x2, y1y2), ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ R2
α(x1, y1) = (x
α, yα), ∀α ∈ R, (x1, y1) ∈ R2.
e´ um espac¸o vetorial real.
c) Considerando o espac¸o vetorial R definido no item b).
i) Provar que os vetores v1 = (e, 1) e v2 = (1, e) sa˜o linearmente
independentes.
ii) Provar que todo vetor de R se exprime como combinc¸a˜o linear
dos vetores v1 e v2.
ii) Qual e´ a dimensa˜o de R?
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7. Determinar uma base e a dimensa˜o do espac¸o vetorial formado pelas
soluc¸o˜es do sistema de equac¸o˜es lineares homogeˆneo
x+ 2y − 4z + 3t = 0
x+ 2y − 2z + 2t = 0
2x+ 4y − 2z + 3t = 0
8. Prove a seguinte afirmac¸a˜o:
“A matriz de mudanc¸a de coordenadas da base A para a base B e´ a
inversa da matriz de mudanc¸a de coordenadas da base B para a base
A”
9. Complete o conjunto de vetores {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1)} ate´ formar uma
base de R4.
10. Reduza o conjunto de vetores {(1, 1), (1,−1), (0, 1)} ate´ formar uma
base de R2.
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