lista.02.2013

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Lista 2. A´lgebra Linear
Professor: Mauricio
1. Dadas as matrizes:
A =
(
y − 4 2
9 x2 + 4
)
, B =
(
12 2
9 53
)
Calcular x e y demodo que A seja igual a B.
2. Dadas as matrizes:
A =
 2 3 8−5 9 −6
7 4 −1
 , B =
 −3 7 1−4 2 5
6 9 4
 , C =
 7 −8 34 −3 2
4 −5 1

i) Calcular
a) A + B
b) C −A
c) 3A− 2B + 4C
d) A ·B · C
ii) Verificar que (A ·B)t = Bt ·At
3. Verificar que a matriz P = A−At e´ anti-sim’etrica, onde
A =
 6 1 4−3 8 −5
2 −6 7

4. a) Verifique que a matriz M = A·At, onde A =
(
2 5
3 7
)
e´ simme´trica.
b) Verifique que a matriz M =
 1/2 −√3/2 0√3/2 1/2 0
0 0 1
 e´ ortogonal,
isto e´ M t ·M = Id.
1
c) Classifique a matriz M = A · B, onde A =
 1 2 10 3 −2
0 0 −4
 e B = 2 −1 20 1 −3
0 0 1
.
5. Considere as matrizes A =
(
8 5
3 2
)
e C =
(
2 −5
−3 8
)
. A matriz
C e´ a matriz inversa de A? Justifique sua resposta.
6. Reduza as matrizes encontradas ampliadas dos sistemas de equac¸o˜es
lineares:
(1)

x1 + x2 + x3 = 1
x1 − x2 + x3 = 0
−x1 + x2 + x3 = −1
,
(2)

x1 + x2 + x3 + x4 = 1
x1 − x2 + x4 = 2
x5 + x6 = 0
a` forma de escada usando as operac¸o˜es elementares sobre as linhas de
matrizes estudadas na sala de aula, classifique os sistemas.
7. Determine o posto das matrizes indicadas:
A =
 1 0 11 1 1
2 1 3
 , B =
 1 2 −1 02 4 0 1
1 1 1 1
 .
8. ∗ Existe uma matriz diagonal A ∈ L(3, 3) de posto igual a 3 e tal que
o produto dos elementos da sua diagonal principal e´ igual a zero (isto
e´) a11a22a33 = 0?
2