Mario Barone Jr. - Álgebra linear (2005)

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MÁRIO BARONE JÚNIOR 
, 
ALGEBRA LINEAR 
3ª edição - 1988 
1 Oª impressão - 2005 
São Paulo 
ÍNDICE 
Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 
Dois exemplos básicos 
Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 
Espaços vetoriais 
Capítulo 3 ..................................................... 16 
Combinação linear - Subespaço 
Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 
Geradores 
Capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 
Sistemas lineares - Escalonamento 
Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 
·Dependência linear 
Capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 
Conjuntos geradores infinitos - Conjuntos L.I. infinitos 
Capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 
BB.9e - Dimensão 
Capítulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 63 
Coordenadas 
Capítulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 
Aplicações do escalonamento 
Capítulo 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 
O subespaço das soluções de uma equação diferencia) 
linear homogênea com coeficientes constantes 
Capítulo 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 
Sistemas lineares e equações diferenciais lineares 
não homogêneos 
ii 
Capítulo 13 .................................................. 102 
Espaços com produto interno 
Capítulo 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 111 
Ortogonalidade 
Capítulo 15 .................................................. 124 
Projeção ortogonal 
Capítulo 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 133 
Aplicações da projeção ortogonal 
Capítulo 11 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 
7raosformações lineares 
Capítulo 18 . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . .. . . . . . . . . ... 158 
Ma.triz de uma transformação linear - Mudança de base 
Capítulo 19 . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .... . . . . . . . . . 176 
Vetores e valores próprios 
Capítulo 20 . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . · . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 
Diagonalização 
Capítulo 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .... 208 
Operadores simétricOB 
Capítulo 22 .. . . . . . . . . .. . . . .. . . ... . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. 222 
Reconhecimento de quádricas 
Capítulo 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. ..... . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 
Máximos e mínimos de formas quadráticas 
Capítulo 24 . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 
Sistemas de equações diferenciais ordinárias 
lineares com coeficientes constantes 
Apêndice 1 . . , ................................................ 258 
Raízes mdltiplas e complexas 
Apêndice 2 . . . . . . .... . .. . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . ... . . 287 
Di1J80n&lização de operadores simétriCOB em dimensão n 
Apêndice 3 ................................................... 292 
Determinantes 
Respoetaa doe exercícioe . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 
PREFÁCIO 
A parte mais importante deste texto é formada pelos capítuloe 19 a 24, 
seguidos pelos capítulos 13 a 16. Assim sendo, entendemos que sua utilização 
em um curso só faz sentido se esseB capítulos forem ensinados integral.mente. 
Para conseguir isso num curso de um semestre, é necessário andar rápido nos 
capítulos 1 a 12 e sobre isto querem<>B fazer alguns comentário&. 
Em geral, não insistimos muito em dasse nos aspectos maia abstratos 
desses capítulos iniciais, pois, no início da graduação, a maioria doe alunos 
ainda. não tem maturi lade matemática para. entendê-los . Alguns comentários 
nessa linha são introduzidos no texto apenas para tomá-lo mais completo e 
para atender aos alunos mais interessados, mas não gastamOB tempo em 
classe com tais comentários. Nossa experiência. é que os alunos que querem 
se aprofundar mais procuram o professor fora da aula. para. discutir esses 
aspectos do curso. 
A mesma observação vale para as demonstrações dos teoremas. Em 
geral, procuramos em classe esclarecer bem o significado dos enuncia.doe e 
moetrar como aplicar as proposições em situações concretas e, a seguir, clamoe 
as idéias básicas da demonstração, como que resolvendo um exercício, sem 
gastar um tempo enorme em demonstrações detalhadas e formalizadas; 08 
alunos podem estudá-las no texto. 
A idéia fundamental é chegar rapidamente a.os capítulos 13 a 16 e 19 a 
24, de forma que, usando a Álgebra Linear, o aluno aprenda naturalmente 
os conceitos envolvidos. 
Apesar do que foi dito até aqui, queremos enfatizar que, tanto no texto 
como nas aulas, o rigor matemático não é deixado de lado (pelo menos in­
tencionalmente) em nenhum instante. 
Paca dar uma idéia mais clara de como tem sido desenvolvido o curao, 
vamos mencionar o tempo que tem sido gaato em média com cada parte: 
Capítulos 1 a 12 - 8 aulas 
Capítulos 13 a 16 - 5 aulas 
Capítulos 17 e 18 - 4 aulas 
Capítulos 19 a 24 - 8 aulas. 
Aqui uma aula é entendida como aula dupla (cerca de cem minutos sem 
iv 
intervalo) e contamos 25 aulas efetivamente dadas, já descontadoa os feriados 
e as aulas para provas. 
Os apêndices normalmente não são dados no curso. Têm como objetivo 
tomar o estudo mais completo para os alunos mais interessados e t ambém 
auxiliar os colegas professores na resposta a perguntas que inevitavelmente 
aparecem durante as aulas (o que acontece com as raízes complexas? ... ) 
Quero deixar aqui registrado que os colegas mencionados a seguir, co­
laboraram decisivamente para que uma primeira versão destaa notaa fOBBe 
redigida quando demos o curso em conjunto pela primeira vez, em 1983. 
Essa colaboração foi dada não só na forma UBual de críticas e sugestões, mas, 
principalmente, por termos formado uma equipe que queria dar o curso 
com este enfoque. São eles os professores Antonio Carlos Asperti, Daciberg 
Lima Gonçalves, Ivan de Camargo e Oliveira, Luiz Antonio Peresi, Maria 
Elisa Galvão G. de Oliveira, Maria Ignez Je Souza V. Diniz, Marina Pizzotti 
e Sebastião Antonio Izar. 
Julho de 1985 
Mário Barone Jr. 
P.S. - As principais mudanças nesta nova edição, são a divisão em 
capítulos menores e a introdução do apêndice sobre determinantes. Com 
relação ao tempo gasto em classe com cada capítulo, poderíamos fixá-lo ba­
sicamente em um capitulo por aula, com as seguintes exceções: 
capítulos 3 e 4 - uma única aula; 
capítulos 7 e 8 - uma única aula; 
capítulos 9 e 10 - uma única aula; 
capítulos 11 e 12 - uma única aula; 
capítulos 17 e 18 - quatro aulas para 08 dois; 
capítulos 19 e 20 - três aulas para 08 dois; 
capítulos 22 e 23 - duas aulas (23 só mencionar); 
capítulo 24 - duas aulas. 
Capítulo 1 
DOIS EXEMPLOS BÁSICOS 
Sistemas lineares homogêneos e o R ª 
Consideremos o sistema
{X+ 11- Z = 0 
X - 211 + z =O; 
somando as duas equações vem 2z - 11 = O ou 11 = 2x; substituindo na 
primeira temos z = 3x. Temos então que todas as soluções devem ser da 
forma x = t, y = 2t, z = 3t, para algum valor de t. Por outro lado, vemos 
que, para qualquer valor (real) atribuido a t, x = t, y = 2t, z = 3t é 
efetivamente uma solução. Existe m portanto infinitas soluções "dependendo 
de um parâmetro". 
Como sabemos da Geometria Analítica, cada uma das equações dadas 
representa um plano passando pela origem e o sistema é uma equação da reta 
que é intersecção desses planos. Portanto, podemos interpretar cada solução 
do sistema dado como sendo formada pelas coordenadas de UID ponto dessa 
reta. 
Isto nos faz pensar em representar cada solução como uma terna orde­
nada de números reais. Assim sendo, todas as soluções seriam dadas pelas 
temas (t,2t,3t) com t E R. Olhando para essas ternas algebricamente e 
levando em conta a operação de multiplicação por escalar podemos escrever 
(t,2t,3t) = t(l , 2 , 3) 
ou seja, as soluções são os múltiplos da tema (1, 2, 3) (ou da solução (1, 2, 3) 
que é obtida para t = 1 ) . 
Obse rvamos que considerar soluções como ternas faz sentido "algebrica­
mente", sem precisar apelar para a Geometria como foi feito. 
2 
Conaideremos então o sistema (equação) 
X+ 2y-Z = 0. 
Tumos x = z -211 e 88 soluções serão as temas (z-211,Jt,z) com 11,z E R. 
Levando em conta a operação de adição de temas terem06 
(z - 211, JI, z) = (-211, 11, O)+ (z, O, z) = 11(-2, 1,0) + z(l, O, 1). - -
Note-se que agora temos somas de múltiplos de temas, ou seja, as soluções 
são todas 88 combinações lineares das ternas (-2,J,O) e (1,0,1) (ou das 
soluções (-2,1,0) e (1,0,1), que são obtidas para 11 = 1, z =O e para 
J1 = O, z = 1, respectivamente). Neste exemplo as soluções dependem de 
dois parâmetros. 
O mesmo tipo de tratamento pode ser dado a um sistema com um 
número maior de incógnitas: 
{z + 11 + z - w = O 
x -4z+ w =O; 
somando as equações temos 2x + 11 -3z =O, ou 11 = 3z - 2x e substituindo 
na primeira o btemos w = 4z - x e as soluções sã.o, agora, "quádruplas" da 
forma. (x,3z -2x,z,4z - z). Sendo natural estender para as quádruplas as 
operações de multiplicação por escàlar e de adição, temos: 
(x, 3z - 2x, z,4z - z) = z(l, -2,0, -1) + z(O, 3, 1,4) 
e as soluções são as co_mbinações lineares destas quádruplas (soluções). 
Vamos ver adiante que, para qualquer sistema linear homogêneo com p 
equações e n incógnitas, se existirem soluções diferentes da nula, todas elas 
serão combinações lineares de determinadas soluções ( n-uplas). 
Esta maneira de estudar os' sistemas lineares nos leva naturalmente a 
considerar o espaço an das n-uplas de números reais e as operações de 
multiplicação por escalar e de adição, bem como a noção de combinação 
linear de n-uplas. 
Observe-se finalmente que a noção c;le n-upla neste caso é usada. natu­
ralmente para representar os n valores das incógnitas que dão uma soluçât:> 
do sistema, não sendo necessária nenhuma preocupação com "dimensão n" 
existir ou não "concretamente". 
1.1 - EXERCÍCIOS. 1) Escreva as soluções do sistema 
{% + 2y - z + w - t = o 
z - J1 + z + 3w - 2t = O 
como combinações lineares de n-uplas {n = 5). 
2) Escreva as soluções da equação z - 3y- z + 2w = O como combina­
ções lineares de quádruplas de duas maneiras: a) tirando z em função das 
outras incógnitas; b) tirando JI em função das outras incógnitas. 
A seguir, obtenha as soluções (2, 1, 1, 1) e ( -3., 2, -5, 2) utilizando as 
expressões obtidas em 'a' e 'b'. 
Comentários sobre equações diferenciais ordinárias 
lineares homogêneas com coeficientes constantes 
Passemos a um problema de natureza düerente: dado um número real 
a, determinar funções deriváveis y: R-+ R que verifiquem 
y'(t) = a· y(t), Vt E R. 
Suponhamos que a função JI : R -+ R Beja solução deste problema. 
Vamos inicialmente colocar a hipótese adiciona] de que a função y não se 
anule em nenhum ponto. Assim sendo, como y é contínua, ela terá Bempre 
o mesmo sinal e, então, vamos também supor por um instante que J1(t) > O 
para todo t E R. Desta forma, teremos: 
y'(t) =a· y(t) � �g; =a� lnJ,1(t) = at + K, com K E R <:::=> 
� y(t) = eºHK = eK . eº'� y(t) = Ceº', com e E R, e> o. 
O leitor pode verificar por substituição direta, que, para qualquer valor 
real de C, a função y(t) = Ceº' é solução do problema proposto, a.inda que 
tenhamos e< o ou mesmo e= o (função nula). 
Obtivemos assim uma infinidade de soluções para o problema dado; mas 
estas soluções foram obtidas a partir de algumas hipóteses adicionais e, por­
tanto, poderíamos ter outras soluções que não verificam essas hipóteses (por 
exemplo, soluções que se anulam apenas em alguns pontos). 
4 
Q�eremos então encontrar todas as eoluções do problema; na realidade, 
vamos mostrar que não existem outras eoluções além das já encontradas. 
Para i880, suponhamos que y seja eolução; teremos: 
J/(t) = ay(t) � r/(t) - ay(t) =O� e-•1 (y'(t) - �y(t)) =O� 
�(y(t)e-•1J'= O� y(t)e-•1 = C, com CE R � J1(t) = ce•1• 
Assim sendo, temos que 
y'(t) = ay(t), Vt E R {:::::} y(t) = Ce•', c.om C E R. 
Note que estas últimas considerações isoladamente reso]vem completa­
mente o problema proposto. Este método não foi usado inicialmente, apenas 
porque introduz artificialmente a função exponencial. 
Consideremos o conjunto cujos elementos são as funções da reta na reta 
que são deriváveis. Dado a E R, a função f definida por f(t) = e•' é um 
elemento desse conjunto. O que foi mostrado é que as soluções de y'(t) = 
ay(t) são exatamente os elementos desse conjunto que são múltiplos da fun­
ção / (que também é solução). 
Temos então que, de uma certa forma, as soluções deste prob]ema têm 
um comportamento semelhante ao das soluções de certos sistemas lineares 
(e.orno, por exemplo, o sistema dado no primeiro exemplo na secção anterior). 
1.2 - EXERCÍCIOS. 1) EÀ!creva todas as soluções da equação y'(t) = 
3y(t). 
2) Determine uma solução da equação y'(t) + 4J1(t) = O que verifique 
y'(O) = -2. Quantas soluções existem verificando esta condição? 
3) Encontre dois problemas "concretos" que possam ser estudados 
usando estas equações. 
Consideremos agora o seguinte problema: dados p, q E R, enc.ontra.r 
funções y: R-+ R que possuam derivada segunda e que verifiquem 
r/'(t) + pr/(t) + qy(t) =O, Vt E R. 
Nesta introdução, vamos estudar apenas o caso em que esta relação pode 
ser escrita na forma 
f)'(t) - (a+ b)y'(t) + aby(t) =O com a, b E R 
(ou seja, a equação do segundo grau z2 + px + q =O tem raízes reais a e b; 
a l!IO!ução para raízes complexas será comentada no capítulo 11 ). 
Esta última relação pode a.inda ser reescrita como 
(y'(t) - av(t)J' - b[u'(t) - ay(t)]= O; 
se a função 11 : R - R verifica esta relação, chamando u(t) = y'(t) - Blf{t), 
obtemos u'(t)-bu(t) =O, donde, pelo exemplo anterior, u(t) = K1e.,, com 
K1 E R e então 
donde 
Se a -:f: b, tom ando primitivas teremos 
ou seja 
11(t) = C1e•1 + C2e111, com C1, C2 E R. 
(Aqui, C1 = K2 e e� = (Kif(b - a)) . ) Vemos então que todas as soluções 
são "corr"\bina.ções lineares" das funções eª1 e e.,, que também são soluções 
( eª1 é a >iülução obtida para C1 = 1 e C2 = O; analogamente para e.,). 
Se G = b, teremos eC•-•)f = e01 = 1 e, tomando primitivas, virá 
ou seja 
e novamente todas as soluções são "combinações lineares" das duas soluções 
teª1 e eª1. 
Em qualq11er dos dois casos vemos que todas as soluções são escritas 
como "combinações lineares" de duas funções (soluções), analogamente ao 
que acontece em e "rtos sistemas lineares (como, por exemplo, o sistema dado 
no segundo exemp.o da secção anterior). 
Note que o desenvolvimento feito fornece todas as soluções de y''(t) -
(a+ b)y'(t) + abJ,l(t) =O. 
1.1 -EXERCÍCIOS. 1) &creva todas
as soluções da equação J/'(t)-
5s/(t) + 611(t) =o. 
2) Determine uma solução da equação J/' -11' - 211 = O que verifique 
11{0) = 2 e J/(O) = l. Quantas soluções existem verificando estas duas 
condições? 
1) Encontre dois problemas "concretos" que poesam ser estudados 
usando estas equações. 
4) Verifique que as funções e1, e21, e31 são soluções da equação 11'" -
6J/' + llJ/ - 611 = O e que qualquer combinação linear dessas três funções 
também é solução. (Note que l, 2 e 3 são raízes da equação de 3<> grau 
z1 -6z2 + llz - 6 =O.) 
1) Elabore um exercício análogo ao anterior envolvendo cinco funções 
e derivada de ordem cinco. 
8) Verifique que, qualquer solução da equação 11'' - 2Jt' - 15y =, O , 
pode ser obtida como combinação linear das soluções 111 (t) = 4e5' e y2(t) = 
le'I + �-u . 
. 
&.paço• vetoriais 
Nos dois parágrafos anteriores estudamos dois problemas que, apesar de 
aparentemente serem de natureza completamente diferente, apresentam uma 
certa analogia no comportamento de suas soluções. 
O que faz com que haja esta analogia é que ambos são problemas lineares, 
num sentido que começará a ser estudado neste parágrafo. 
Vamos considerar os seguintes conjuntos: 
V3 - conjunto dos vetores da "Geometria no Espaço" (classes de equi­
valência de segmentos orientados equipolentes ). 
R" - conjunto das n-uplas de números reais (um conjunto para cada 
n � 1). 
T(I) - conjunto das funções definidas no intervalo I e R e com valores 
em R (um conjunto para cada intervalo I, incluindo .1"(R) quando 1 = R). 
Apesar de seus element08 serem de natureza completa.mente diferente, 
sabemos que em todos estes conjuntos estão definidas operações de mui-
7 
tiplicação por escalar (número real) e de adição que permitem considerar 
combinações lineares dos seus elementos. 
Além disso, vamos ver agora que estas operações "funcionam" da mesma 
forma em todos esses conjuntos, de acordo com o seguinte 
1.4 - EXERCÍCIO. Indiquemos por E um qualquer dos conjuntos 
V3, R" ou J=(I); se u, v E E e A E R, u + v e Au indicarão as operações 
adequadas. Verifique que valem as seguintes propriedades: 
A-1) 
A-2) 
A-3) 
A-4) 
M-1) 
M-2) 
M-3) 
M--4) 
'v'u,v,w E E, 
'v'u, v E E, 
30 E E tal que, V u E E, 
'v'u E E, 3(-u) E E tal que 
'v'a E R, 'v'u,v E E, 
'v'a,/3 E R, Vu E E, 
Va,/3 E R, Vu E E, 
'v'u E E, 
( u + v) + w = u + (v + w); 
u+v=v+u; 
u+O=O+u; 
u + (-u) = (-u) + u =·o; 
a(u + v) =ou+ av; 
(a + f3)u = au + /3u ; 
a({Ju) = ( a{J)u ; 
lu = u. 
Exemplo: Verificação de A-2 quando E = T(l); neste caso, dadas 
f,g E T(/), f + g é, por definição, a função dada por 
(! + g)(z) = f(z) + g(z), Vz E/. 
Pela definição de igualdade entre funções, o que devemos provar é que 
'v'f,gET(I), (f+g)(z)=(g+J)(z), Vze/. 
De fato, (! + g)(z) = f(z) + g(z) � g(z) + f(z) = (g + f)(z). Note que, na 
igualdade assinalada, foi usada a propriedade correspondente para nómeros 
reais. 
As demonstrações das demais 23 propriedades são feitas de maneira 
semelhante, apelando em cada caso para a definição da operação no coajunto 
considerado. Vamos apenas destacar que as propriedades A-3 e A-4 são de 
natureza um pouco diferente das demais, pois dizem respeito a elementos 
e8peciais de E , enquanto as demais valem para elementos quaisquer. 
Capítulo 2 
ESPAÇOS VETORIAIS 
Neste capítulo, vamos explora.r as analogias vistas entre oe diferentes 
exemplos no capítulo anterior, chegando ao conceito de espaço vetorial e 
8U88 primeiras propriedades. Começa.moe com o 
2.1 - EXERCÍCIO. (Resolvido.) Com as mesmas notações do · 
exercício 1.4, mostre que, 
Vu, v, w E E, u + v = u + w � v = w 
(lei do cancelamento). 
Sol. De fato, 
p0r hipótese, u+v = u+w; 
somando (-u): (-u)+(u+v) = (-u)+(u+w); 
aplicando A-1: ((-u)+u)+v = ((-u) + u) + w; 
por A-4: o+v = o+w 
e por A-3: V = w. 
Note-se que existem pelo menos dua.B diferenças fundamentais em rela­
ção ao exercício 1.4 : a primeira é que a mesma resolução vale pa.ra E igual 
a V3, R" e T(l), independendo da natureza dos elementos; a segunda é 
que não foi mais necessário apela.r para a definição das operações, bastando 
olhar para como elas "funcionam", o que foi feito através da utilização das 
propriedades dadas no exercício 1.4 . 
Este exercício 2.1 serve como ilustração para um dos objetivos da Ál­
gebra Linear, que é o de estudar de uma forma unificada conceitos e pro­
priedades comuns a diversos conjuntos onde estão definidas operações que 
Mfuncionam" de maneira análoga, justamente porque valem as propriedades 
A-1 a A-4 e M-1 a M-4 enunciadas no exercício 1.4. 
Começamos esse estudo com a 
9 
2.2 - DEFINIÇÃO. Um espaço vetorial é um conjunto munido 
de uma operação de adição e de uma operação de multiplicação por escalar 
que verificam as oito propriedades A-1 a A--4 e M-1 a M-4 enunciadas no 
exerdcio 1.4. 
Num espaço vetorial V, a operação de adição é uma função que a cada 
par ordenado {u, ti) de elementos de V, associa um único elemento�. 
denotado por u + ti. A maneira de calcular u + v a partir de u e v, deve 
ser tal que resultem verdadeiras as propriedades fundamenta.is enunciadas no 
e.Xercício 1.4. 
Para a operação de multiplicação por escalar, além do conjunto V, pre­
cisamos de um conjunto de escalares ("números") que, para n6s, será quase 
sempre o conjunto dos números reais. Assim sendo, a operação de multiplica­
ção por escalar é uma função que, a cada par ordenado (À, v), onde À E R 
e v E V, associa um único elemento �. denotado por Ãv. A maneira 
de calcular Àv a partir de À e v, deve ser tal que resultem verdadeiras as 
propriedades fundamenta.is enunciadas no exercício 1.4. 
2.3 - eaSEllVAÇÃg. Outros conjuntos podem ser usad06 como 
conjunto de escalares na definição de espaço vetorial. Como se vê nas pro­
priedades M-2 e M-3, o que precisamos é saber somar e multiplicar escalares 
e é necessário que estas operações "funcionem" como a adição e a multiplica­
ção de números reais. (por exemplo, cada escalar a '/: O deve possuir um 
inverso a-1 = 1/a, tal que a · a-1 = 1). É p06sivel então, considerar 
espaços vetoriais em que os escalares sejam, por exemplo, números comple­
xos: o conjunto C" das n-upla.s de números complexos é, com as operações 
natura.is, um espaço vetorial com escalares complexos. Neste curso, porém, 
salvo menção explícita em contrário, os escalares serão sempre reais. 
2.4 - EXEMPLes. a) De acordo com o exercício 1.4, os conjuntos 
Y:', R" e :F(J), com as operações usuais, são espaços vetoriais. 
b) O conjunto Mpxn(R) das matrizes reais com p linhas e n colunas, 
com as operações usuais de adição de matrizes e de multiplicação de matriz 
por nú.mero real, é um espaço vetorial (verifique). Em particular temos o 
espaço das matrizes reais quadradas de ordem n: M .. (R) = M .. x.(R). 
Para facilitar e unificar a linguagem, freqüentemente os elementos de um 
espaço vetorial são chamados de vetores , não importando a natureza dos 
10 
elementos do conjunto. É claro que isto é pura e simplesmente uma questão 
de linguagem: a função eu, por exemplo, não muda nem um pouco apenas 
porque resolvemos pensar nela como um vetor de :F(R). 
Temos ainda aa eeguintes 
2.5 - DEFINIÇÕES. Num espaço vetorial, o vetor O da propriedade 
A-3 é chamado vetor nulo (ou zero) e o vetor -u da proposição A-4 é 
chamado opoBto do vetor tJ; o símbolo v - tJ é usado para representar o 
vetor v + (-u) (isto pode ser tomado como definição de subtração.) 
2 .6 - EXEMPLOS. 1) No espaço :F(J), o vetor nulo é a função 
constante que vale zero em tod08 08 pontos de I e a oposta da função f E 
:F(I) é a função -f definida por (-J)(x) := -(f (x)), Vx E I. 
2) Em M,x"(R), o vetor nulo é a matriz que tem todos os elementos 
iguais a zero (matriz nula) e a oposta de u'a matriz A é a matriz que se 
obtém
trocando o sinal de todos 08 element06 de A. 
2.7 - EXERCÍCIOS. (Resolvidos.) 1) No espaço M:ixl(R), 
determinar a matriz X tal que 3A + 4X = 2B, sendo 
Sol. 
Portanto 
e, finalmente 
[1 3 5] A= 2 4 6 e 
Thmos 3A+4X =2B, 
donde 4.X = 2B - 3A 
1 e X := 4(2B - 3A). 
[_! _! _ll] 
X- • • t - _1 -1 o . 2 2 
2) (Para mostrar o que o exercício anterior tem a ver com a noção de 
espaço vetorial.) Num espaço vetorial V, supondo conhecidos os vetores a 
11 
e b, determine o vetor z tal que 5a + 6z = 31>. Justifique detalhadamente a 
resolução. 
Sol. Dados a e b, os vetores 5a e 31> ficam detenninados pela operação 
de multiplicação por escalar. Tem08 
5a+ 6z = 31>; 
somando o oposto de 5a a ambos os membI'08, 
(-(5a)) + (5a + 6z) = (-(5a}) + 3b; 
u.sando A-1 no primeiro membro e A-2 no segundo, 
[(-(5a)) + 5a] + 6z = 3b + (-(5a)); 
usando A-4 no primeiro membro e a definição de subtração no segundo, 
por A-3, 
multiplicando por k· 
usando M-3, 
ou seja, 
e, finalmente, por M-4, 
0+6z=3b-Sa; 
6z=3b-5a; 
1 1 
6(6z) = 6(3b - 5a); 
1 1 
(66)z = 6(3b - 5a), 
lz = !(3b -5a) 
6 
1 
z = 6(3b - 5a). 
É claro que, "na prática", sem todas estas explicações, a resolução se 
resume a 
donde 
e 
como no exercício anterior. 
5a + 6z = 3b, 
6z = 3b- 5a 
1 
z = 6(3b- 5a), 
3) No R• determinar quádruplas z e J/ ta.is que 
{ z + 211 = u 
3z + 4y =V 1 
12 
eendo u = (-1,0,2,3) e v = (2, 1,0,-5). 
Sol. Multiplicando a primeira equação por -2 e 10mando com a eegunda 
teremos z = v - 2u. Substituindo na primeira, JI = (!)(3u - 2t1). Então 
z = (2,1,0,-5)- (-2,0,4,6) = (4,1,-4,-11) 
1 7 19 e 11 = 2[(-3,0,6,9)- (4,2,0,-10)) = (-21-1,312)· 
NOTA: É importante observar a.inda uma vez, que todas as passagens desta 
resolução podem ser justificadas a. partir das propriedades A-1 a A-4 e M-1 
aM-4. 
4) Mostre que, com as regras usuais para somar funções e multiplicar 
funções por números reais, o conjunto S das funções da reta na reta que se 
anulam no ponto 2 é um espaço vetorial. 
Sol. O primeiro ponto importante na resolução deste exercício é verifi­
car que a.s regras usuais efetivamente induzem operações com resultado em 
S, como é exigido na definição de espaço vetorial; devemos então mostrar 
inicialmente que 
f,g E S =::::} f + g E S 
e À E R, f E S =::::} Àf E S. 
Ora, se f,g E S então /(2) = g(2) =O e, por definição, (/ + g)(2) = 
/(2) + g(2) = O+ O = O, donde f + g E S e também (,\/)(2) = ,\ · /(2) = 
AO = O, donde >../E S. 
A verificação das propriedades A-1 e A-2 e M-1 a M-4 é idêntica àquela 
que se faz no espaço .F(I) (exercício 1.4). Quanto à propriedade A- 3, o 
vetor nulo de S é a função identicamente nula, que pertence a S pois, em 
particular, se anula no ponto 2. Para verificar A-4, se .F E S, a oposta de f 
é a usual, - f , que pertence a S pois ( - /)(2) = -(/(2)) = -O = O. 
5) Mostreque,noR2,aoperação (a,b)•(c,d)=(a+d,b+c),não 
verifica a propriedade A-1 e nem a A-2. 
Sol. Temos, por exemplo, (1, 2) • (3, 5) = (6, 5) e (3, 5) * (1, 2) = (5, 6), 
donde não vale a A-2; por outro lado, (1, -1) • [(3, 2) * (-4, 7)] = (1, -1) • 
(10,-2)= (-1,9) e [(1,-1)•(3,2)]•(-4,7)= (3,2)•(-4,7)=(10,-2) e 
portanto não vale A-1. 
18 
2.8 - EXERCÍCIOS. 1) No espaço vetorial M3x2(R), determinar 
duas matrizes X e Y tais que 
sendo 
{3X+2Y =A 
4X-5Y = B, 
[-1 2] 
A= 
� ! 
e 
[ 3 -
4
] 
B= 5 9 . 
-1 o 
2) O que acontece no exercício 2.7-4 se a condição /(2) =O é substi· 
tuida por /(2) = l ? 
3) Considere a regra usual para somar vetores no R 2 e o conjunto 
V= {(x,y) E R:i l 11 = x2 } . Vale a propriedade a,b E V ==> a + b E V? 
Justifique. V é um espaço vetorial com as regras usuais para somar vetores 
e multiplicar vetor por escalar no R :i ? 
4) Mostre que o conjunto da matrizes quadradas reais de ordem 2 que 
verificam a condição a11 = a2:1 é um espaço vetorial com as operações usuais. 
5) Se .À E R e (x,y) E R2 , defina À• (x,y) = (Ãx,Jt). Mostre que 
valem M-1, M-3 e M-4, mas não vale M-2 (considere a adição como sendo 
a usual). 
6) Verifique que o conjunto das funções da reta na reta que têm derivada 
segunda e verificam a equação 11'' + 
4
11' + 811 = O é um espaço vetorial com 
as operações usuais. O que acontece se o segundo membro for 5 e não O? 
7) Utilizando as propriedades enunciadas na definição de espaço ve­
torial, mostre que em tais espaços valem as seguintes "propriedades ope­
ratórias": 
a) u + v = tr � v = w - u; 
b) .ÀER, .Àu=v e .X#O ==> u=(I/.X)v. 
Este último exercício e a lei do cancelamento mostram como "fazer con­
tas" num espaço vetorial qualquer. Nesse contexto, os exercícios seguintes 
contêm propriedades que serão utilizadas mais tarde . 
2.9 - EXERCÍCIOS. (Resolvidos.) 1) Seja V um espaço vetorial. 
Então: 
a) Vu E V, Ou = O e V.X E R, ÃO= O; 
b) V.X E R, Vu E V, (-Ã)u = -(Ãu) = Ã(-u). 
14 
(F.m particular, para À = 1 vemoe que ( -1 )u � o oposto de u.) 
Sol. a) Por A-3 temoe Ou= Ou+ O; por outro lado, Ou= (O+ O)u = 
Ou+ Ou (por M-2); então Ou+ Ou = Ou+ O e, pela lei do cancelamento, 
Ou = O. (Analogamente ÃO = O.) 
b) Temos Àu+((-À)u) = (>.+(->.))u =Ou= O (na primeiraigualdade 
usa.moe M-2 e, na última, a parte 'a' ) . Por outro lado, por A- 4, Àu + 
(-{>.u)) =O. Então 
Àu + ((->.)u) = >.u + (-(>.u)) 
e, pela lei do cancelamento, (->.)u = -{>.u). (Analogamente >.(-u) = 
-(>.u).) 
2) Num espaço vetorial, se Àu =O e >.:;=O então u =O. 
Sol. (>.u = O e >. :#= O) ==> u = {1 />.)O = O (usando o exercício 2.8-7 e a 
parte 'a' do exercício anterior). Note que, como conseqüência imediata tem.OI 
que, se Àu = O e u :#= O, então >. = O; vale portanto a lei do anulamento do 
produto: ee >.u = O então pelo menos um doe dois é nulo. 
2.10 - OBSERVAÇÕES. 1) Já utilizamos algumas vezes aem m� 
res comentá.rios as propriedades: 
U = V ==> W + U = W + Vj 
u = v ==> >.u = >.v; 
e a = fJ ==> au = fJu, 
ou seja, "uma igualdade não se altera se somarmos o mesmo vetor a ambos 
oe1hembros" ou "se multiplicarmos ambos 06 membr06 pe]o mesmo escalar", 
etc. 
A justificativa para isto está na noção de igualdade entre pares ordena.doe 
e na conceituação das operações como funções (veja logo apóe a definit-âo 
de espaço vetorial): como os pares ordenados (w, u) e (w, v) são iguais, a 
adição, que é uma função, a88ume o mesmo valor neles: w + u = to + v. 
Analogamente para (>.,u) = (>.,v) e para (a,u) = (fJ,u). 
2) A operação de adição, pela 11ua definição, permite calcular a 90ma 
de apenas dois vetores. Assim eendo, em princípio a expressão u + v + to 
não teria sentido. C.Omo s6 sabemos eomar dois vetores por vez, respeiialldo 
a ordem em que u, v e w aparecem, poderíamoe pensar em aomar u com v 
16 
e o resultado com w, obtendo ( u + v) + w ou então somar v com w e depois 
somar u com o resultado, obtendo u + (v + w). A propriedade A-1 nos diz 
que tanto faz e então podemos definir 
def 
( 
) 
u+v+w = u+v +w, 
sabendo que o resulta.do não depende da escolha feita. Usando A-1 e A-2, 
pode-se mostrar ainda que 
u+v+w=u+w+v=w+u+v=···, 
O'lJ seja , a ordem das parcelas também não influi no resultado. Para um 
número finito q > 3 de parcelas, podemos definir por recorrência 
V1 +V�+···+ Vq-1 + v9 = (v1 +V� + · · · + Vq-i) + Vq 
e também pode-se provar que o resultado não depende da ordem em que os 
vetores se apresentam e nem da maneira como são agrupados. (A demonstra­
ção disto não será feita neste texto.) 
Capítulo 3 
COMBINAÇÃO LINEAR - SUBESPAÇO 
Começamos este capítulo com um dos conceitos mais importantes no 
estudo dos espaços vetoriais: 
3.1 - DEFINIÇÃO. Seja { u1, u2, ... , u9} um subconjunto finito for­
ma.do por q vetores de um espaço vetorial V, com q ? 1 . 
Uma combinação linear dos vetores u1, • • • , u9 é qualquer
vetor de V 
que possa ser colocado na forma 
01U1 + 02U2 +. • . + 09U9· 
Os escalares (números reais) a1, • • • , a9 são chamados coeficientes da com­
binação linear. 
3.2 - EXEMPLOS. 1) No R2, o vetor (-7, 7) é combinação linear 
de u1=(1,2) eu,= (-3, 1) pois (-7, 7) = 2(1,2) + 3(-3, 1). 
2) No R3, (2,4,6) é combinação linear de (l,0,0), (1,2,3) e (0,0,1), 
pois (2,4,6) = 0(1,0,0) + 2(1,2,3) + 0(0,0, 1). 
3) No espaço F(R), a função 8(z4 - 6)- 3(z2 - 7z + 4) é combinação 
linear das funções z4 - 6 e z2 - 7z + 4, com coeficientes 8 e -3. 
4) Em qualquer espaço vetorial V, quaisquer que sejam os vetores 
u1, u2, • • • , u9, o vetor nulo é combinação linear deles, pois O= Ou1 + ... +Ou9. 
5) Um polinômio (função polinomial) poderia ser redefinido como sendo 
qualquer função de F(R) que possa ser escrita como combinação linear de 
1,z,z2, • • • ,z• para algum n EN. 
6) A identidade trigonométrica 
VzE R, 2 1 - cos 2z senz= 
2 
, 
pode ser interpretada dizendo que, em F(R), a função / definida por /(z) = 
aen2 z é combinação linear das funções g e h definidas por g(z) = 1 e 
h( z) = cos 2z , com coeficientes t e - } . 
17 
7) No espaço vetorial cs com escalares complexos, o vetor (3i, 1, 2+ 2i) 
é combinação linear dos vetores ( 1, i, -2i) e ( i, 1, i) com coeficientes i e 2 , 
pois (3i, l, 2 + 2i) = i(l, i, -2i) + 2(i, 1, i). 
8) Considerando q = 1 na definição de combinação linear, vemos que 
se v é múltiplo de u, então v é combinação linear de u. 
3.3 - EXERCÍCIOS. (Resolvidos.) 1) No R', verifique se o vetor 
(7,-2,-5) é combinação linear de (1,2,3) e (-2,4, 7). 
Sol. Devemos ter 
(7,-2,-5) = a(l,2,3) + .fl(-2,4, 7) =(a - 2.fl, 2a + 4.fl, 3a + 7,0), 
o= 7 + 2/3, 
ou seja, 
{ Q - 2/3 = 7 
2o + 4.fl = -2 , 
3o+7P=-5 
donde 14 + 8/3 = -2 ou /3 = -2 
e o= 7+2(-2) = 3. 
Como estes valores verificam também a terceira equação, temos que 
(7, -2, -5) é combinação linear de (1, 2, 3) e (-2, 4, 7) com coeficientes 3 e 
-2. 
2) Em F(R), verifique se o polinômio (função polinomial) t2 + 2t + 3 
é combinação linear de t2 + 1 e t + 3. 
Sol. Devemos ter 
t2 + 2t + 3 = o(t2 + 1) + .B(t + 3) = at2 + /3t + 3/3- o; 
pelo princípio de identidade de polinômios, vem que o = 1, fJ = 2 e também 
3:1-o = 3, o que é impossível; logo o polinômio t2 + 2t + 3 nã.o é combinação 
linear dos dois polinômios dados. 
3) Em F ( ( - f, f)) , verifique se a função f constante e igual a 3 é 
combinação linear de g eh definidas por g(x) = 5tan2x e h(x) = co?'z. 
Sol. Seja I = (-j,f); temos tan2x + 1 = sec2x, "lx E/, donde 
3 = 3 sec2 x - 3 ta.n2 x = 
3 2 3( 
2 ) 3 2 = -- - 3 tan z = - -- - -(5 tan z), 
cos2 x 2 cos2 x 5 
Vx E J, 
donde f = �h- �g em :F(I) e fé combinação linear de g eh. 
18 
1.4 - EXERCÍCIOS. 1) No R4, verifique se o vetor (-7,0,3,2) é 
combinação linear dos vetores: 
a) (l,2,-1,0) e (-2,3,0,1); 
b) (-3,2,1�9) e (-2,8,2,32). 
2) No R3, verifique se o vetor (-3,2, -1) é combinação linear de 
a) (1,2,3) e (-1,6,3); 
b) (l,O,l)e(3,-l,2). 
3) Em F(R), mostre que a f dada por f(x) = sen3x cos 5x é combina· 
ção linear das funções g e h definidas por g( x) = -5 sen 8x e h( x) = 
4 sen 5.r cos 3x. 
4) Em F(R), verifique que o polinômio (função polinomial) 2t2 - t + 3 
é combinação linear de t2 + t - 1, t + 1 e 2. 
5) Descreva geometricamente o subconjunto do R3 formado por todas 
as combinações lineares de (1,2,3) e (-2,5,-6). 
6) Sejam u e v dois vetores de um espaço vetorial V e seja S e V o 
subconjunto formado por todas as combinações lineares de u e v. Mostre 
que S é, de maneira natural, um espaço vetorial. 
7) No R 3 , escreva o vetor ( -1, 8, 1) como combinação linear dos vetores 
(1,2, 1), (-1,3,0) e (1, 7,2) de três maneiras distintas (isto é, mudando os 
coeficientes) . 
8) Num espaço vetorial V, escreva os vetores u e v como combinações 
lineares de: / 
a) 3u - 2v e 2u + v; 
b) u + v e 5u + 5v. (Cuidado!) 
Subespaços 
Vamos estudar agora uma forma muito importante de obtermos novos 
espaç06 vetoriais "dentro" de espaços vetoriais conhecidos. 
Como ilustração, vamos inicialmente reexaminar as soluções dos sistemas 
lineares homogêneos e das equações diferenciais lineares homogêneas. 
Consideremoe o sistema linear homogêneo 
a11z1 + auz2 + · · · + a1.zn =O 
a21X1 + a22z2 + · · · + 02nZn =O 
a,1z1 + a,.2z2 + · · · + a,.zn =O, 
com p equações e n incógnitas. 
19 
Um sis tema como este, pode ser escrito matricia.lmente na forma Ax = 
O, onde A é a matriz p x n (a;; ) , com 1 5 i 5 p e 1 5 j 5 n, chamada 
matriz dos coeficientes, z é a matriz n x 1 
• 
= 
[�'.] 
e O é a matriz nula p x 1 . 
U'a matriz n x 1 como a x, é chamada matriz-coluna ou vetor-coluna. 
É claro que existe uma correspondência bijetora entre matrizes-coluna e n­
upla.s de números reais. Quando não houver perigo de confusão representa­
remos as duas pelo mesmo símbolo: 
Consideremos então o si stema Ax = O e seja S o conjunto das n­
upla.s do R" que são soluções deste sistema homogêneo. Valem as seguintes 
propriedades: 
1) O vetor nulo do R" está em S pois A · O = O. (Todo sistema 
homogêneo tem pelo menos a solução trivial ou nula.) 
2) Se as n-uplas u e v são soluções então, A(u + v) = Au + Av = 
O + O = O, donde u + v também é solução, ou seja 
tJ, V E s ==> tJ + V E s. 
:S) Sea n-upla ué solução e >. E R,então A(>.u) = >.(Au) =>.O= O, 
donde >.u também é solução, ou seja, 
u E S, >. E R ==> >.u E S. 
20 
Com relação às equações diferencia.is, seja S conjunto das funções de 
F(R) que são soluções da equação J/' + w' + '111 = O, onde p,q E R; 
portanto 11 E S se e s6 ee 11 tem derivada segunda e, para qualquer t E R, 
vale a relação ll''(t) + w'(t) + qu(t) =O. Valem as seguintes propriedades: 
1) A função identicamente nula (que é o vetor nulo de F(R) ), está 
em S pois todas as suas derivadas são identicamente nulas. 
2) Se as funções u e v são soluções, então 
u"(t) + pu'(t) + qu(t) =O 
e v11(t) + pv'(t) + qv(t) = O, 
donde ( u"(t) + v"(t)) + p(u'(t) + v'(t)) + q( u(t) + v(t)) =O; como a derivada 
da soma é a soma das derivadas, esta última relação pode ser reescrita como 
(u + v)"(t) + p((u + v)'(t)) + q((u + v)(t)) =O e portanto u + v também é 
solução, ou seja, 
u, V E s � u + V E s. 
3) Se a função u é solução e ). E R, então 
..\(u"(t) + pu'(t) + qu(t)) =O, 
ou ..\u"(t) + p..\u'(t) + q>.u(t) = O; como (>.u)' = >.u', esta última relação 
pode ser reescrita como (..\u)"(t) + p((>.u)'(t)) + q((>.u)(t)) =O e portanto 
>.u também é solução, ou seja, 
u E S, ). E R � >.u E S. 
Temos, portanto, as mesmas três propriedades verificadas pelas solu­
ções de um sistema linear homogêneo, ou seja, temos outra vez propriedades 
comuns a situações aparentemente diferentes. Destacamos os conjuntos com 
estas propriedades na 
3.6 - DEFINIÇÃO. Um subconjunto S de um espaço vetorial V é 
chamado um subespaço vetorial de V se verifica as seguintes condições: 
S-1) O vetor nulo de V pertence a S. 
S-2) Se os vetores u e v de V estão em S, então u + v também 
pertence a S. 
S-3) Se o vetor u de V está em Se ). E Ré um escalar qualquer, 
então ..\u também pertence a S. 
21 
3.6 - EXEMPLOS. 1} Em qualquer espaço vetorial V, os exemplos 
mais simples de subespaços vetoriais são o próprio V e o subespaço {O} 
(verifique). 
2) Como acabamos de ver, o �onjunto das soluções de um sistema linear 
homogêneo com n incógnitas é um subespaço vetorial do R n e o conjunto 
das soluções de uma equação diferencial lin&.r homogênea de segunda ordem 
com coeficientes constantes é um suhespaço vetorial de F(R). 
3} Dado n E N, seja 'P,.(R) o subconjunto de F(R) formado pelos 
polinômios (funções polinomiais) de grau menor ou igual a n e mais o 
polinômio identicamente nulo; portanto uma função p está em 'P,.(R) se e 
só se for
identicamente nula ou for da forma 
com os coeficientes ªi rea.is. 
Se q E 'P,.(R) for dado por q(x) ::: bo + b1x + · · · + b,.x" é fa.cil ver que a 
função p+q será dada por (p+q)(x)::: (ao+bo)+(a1 +b1 )x+· · ·+ (a,.+b,.)x" 
e, portanto, (p + q) E 'Pn(R). 
Dado À E R, a função Àp será dada por (Àp )( x) ::: A ao + (Àa i )x + · · · + 
(Aan)x" e, portanto, (.Xp) E 'Pn(R); como a função nula está em 'P,.(R) por 
definição, resulta que 'P,.(R) é um subespaço vetorial de .F(R). 
4) Considerações análogas� do exemplo anterior mostram que o sub­
conjunto 'P(R) formado por todos os polinômios (funções polinomiais) é 
um subespaço vetorial de .F(R) 
6} No curso de Cálculo aprendemos que a soma de funções contínuas é 
contínua e que o produto de uma função contínua por uma constante também 
é contínua. Como a função identicamente nula também é contínua (por 
ser constante), resulta que, para qualquer intervalo I C R , o subconjunto 
C(I), formado pelas funções de .F(I) que são contínuas no intervalo I é um 
subespaço vetorial de .1"(/). (Lembre que podemos ter I ::: R.) 
6} Analogamente o subconjunto cn(/) formado pelas funções de .1"(1) 
que têm derivadas contínuas até ordem n é um subespaço VP.torial de .1"(/). 
(Consideramos C°(I) = C(l); podemos ter I = R.) 
7) Verifique que é um subespaço vetorial de M:i(R) o subconjunto 
S= {A E M2(R) 1 a12 = a2i} . 
Sol. Devemos verificar as três condições dadas na definição de subes­
paço: 
22 
a) Verificação de S-1 : o vetor nulo de M2(R) é a matriz nula, que 
pertence a S pois todos os eeus elementos são iguais a zero. 
b) Verificação de S-2 : se A = (a;;) e B = ( b;;) estão em S, temos 
au = a:a1 e bu = "21 ; chamando C = A + B, com C = (e;;), teremos 
cu = au + bu = a:a1 + b:i1 = C21 , donde A + B E S. 
e) Verificação de S--3 : se A = (a;;) está em S, temos a12 = a:a1; 
dado >. E R. chamando e = >.A' com e = (e;;)' teremos Cn = >.a12 = 
>.a:.u = c21 , donde >.A E S. 
3.7 - EXERCÍCIOS. 1) Verifique que são subespaços vetoriais do 
R3 os subconjuntos: 
a) S={(x1,x:,i,x3)ER3lx2=0}. , 
b) S = {(x1,x:,i,x3) E R3 l 3x1 - 2x3 =O}. 
2) Verifique que são subespaços vetoriais de M2(R) os subconjuntos: 
a) S ={A E M:.i(R) 1 a12 =O},. 
b) S ={A E M:.i(R) l 2a11 + 3�22 =O}. 
3) Verifique que são subespaços vetoriais de F(R) os subconjuntos: 
a) S = {/E F(R) 1 /(4) =O}. 
b) S ={!E F(R) 1 /(-1) = /(3)} . 
e) S ={!E F(R) l 5/(-3) = -3/(8)}. 
4) Verifique que não são subespaços vetoriais os subconjuntos: 
a) S= {(x,y,z,w) E R'' I z2 = wi}; 
b) S = {(x,y,z) E R3 1 x +li= 3}; 
e) S = {!E F(R) l /(O) = 18}. 
6) Mostre que o subconjunto 
S = {! E .1"(R) I / é contínua e /�1 /(t)dt =O} 
é um subespaço vetorial de .1"(R). 
6) Verifique que as funções periódicas de mesmo período T formam um 
subespaço vetorial de .1"(R). 
7) Verifique que, em V3 , os vetores paralelos a um plano dado formam 
um subespaço vetorial. (Analogamente para reta.) 
8) Sejam Si e S2 dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial V; 
a) moetre que S1 n S2 também é um subespaço de V; 
b) a reunião 81 U S2 também é subespaço? Justifique. 
23 
Uma coruieqüência importante das três condições que definem subespaço 
vetorial é que todo subespaço é, de maneira natural, um espaço vetorial, como 
veremos a seguir. 
Quando S é um subespaço de um espaco vetorial V, se fixarmos n088a 
atenção apenas sobre o subconjunto S, as condições S-2 e S-3 da definição 
de subespaço mostram que, a partir das operações de V, ficam naturalmente 
definidas em S operações de adição de vetores e de multiplicação de vetor 
por escalar (que são chamadas operações induzidas em S) e vale a seguinte 
3.8 - PROPOSIÇÃO. (Exercício.) Se S é um subespaço vetorial 
de um espaço vetorial V, então S, com as operações induzidas , é um espaço 
vetorial . 
Dem. (Esboço.) Não há praticamente nada a fazer para verificar A-1 
e A-2 e M-1 a M-4; A-3 é conseqüência direta de S-1 e para provar A-4, 
basta lembrar que (-l )u é o oposto de u (ver 2.9) e usar A-3. • 
3.9 - OBSERVAÇÕES. 1) De acordo com a proposição anterior, 
os conjuntos 'P,.(R), 'P(R), C(I), cn(J), C(R) e C"(R), que apareceram 
nos exemplos 3.6-3 a 6, serão considerados espaços vetoriais com as suas 
estruturas induzidas. 
2) O leitor mais atento deve ter notado que est amos procurando 
não fazer distinção entre polinômio e função polinomial; aliás, ao estudar os 
exemplos 3.6-3 e 4, o leitor deve ter verificado que não há nenhuma diferença 
essencial entre a operação de adição em 'P(R) ou 'P,.(R) que é induzida 
pela adição em T(R) e a operação usual de adição de polinômios, obtida 
"eomando os coeficientes dos termos de mesmo grau". Analogamente para a 
multiplicação por escalar. 
Para terminar este capítulo, vamos ver alguns fatos muito importantes 
relacionando as noções de combinação linear e subespaço. 
Dados q vetores u1, u2, ... , u9 num espaço vetorial V, podemos cons­
truir divereos vetores de V tomando diferentes combinações lineares dos u; 
(isto é, variando 06 coeficientes a; na expressão a1 t.11 + a2u2 + · · · + a9u9 ). 
&ta idéia é muito usada para se construir subespaços : 
3.10 - PROPOSIÇÃO. (Exercício.) Se A= {ui. u�, ... , u9} , com 
q � 1, é um subconjunto finito de um espaço vetorial V, então o subcon-
24 
junto de V formado por todas as combinações lineares de ú1 , u2, • • • , u1 é 
um subesp� vetorial de V. 
Dem. (Esboço) Note que: 
a) O = Ou1 + · · · + Ou9; 
b) (a1u1 +···+a1u9)+(.81u1 +···+.81u1) = {a1 +.81)u1 +···+(a1+,81)u1; 
c) Á(a1 u1 + · · · + a9u9) = (Áa1)u1 + · · · + (Áa1)u1. • 
3.11 - DEFINIÇÃO. O subespaço construido na proposição anterior 
é chamado subespaço gerado pelos vetores u1, u2, ... , u9 ou pelo conjunto 
A e é representado por [uJo u2, • • • , u1] ou por [A]. 
Seguem algumas propriedades relativas às noções de combinação linear 
e subespaço gerado: 
3.12 - PROPOSIÇÃO. Seja A= {u1,u2, ... ,u9} um subconjunto 
finito de um espaço vetorial V, q � 1 . Então: 
1) Cada um dos u; é combinação linear de UJo u2, • • • , u9, ou seja, 
u; E [utiu2, ... ,u9], j = 1,2, . . . ,q, ou ainda, 
2) Se v E V é combinação linear de UJo u2, • • • , u9, então toda 
combinação linear de u1, u2, ... , u1, v , pode ser obtida como combinação 
linear apenas dos u;; como conseqüência, temos a igualdade 
3) Se S é um subespaço vetorial de V e u1, u2, ... , u9 são vetores 
de S, então toda combinação linear dos u; também está em S, ou seja, 
4) Se v1, v; , ... , v,.. são vetores de V ta.is que cada um dos v1 é 
combinação linear dos u; então toda combinação linear dos v1 é também 
combinação linear dos u; , ou seja, 
26 
6) Se vi. v2, ... , v,,. são vetores de V então temos [ui. u2, ... , u1] = 
[ V1, V:i,. • • , vm] {=} cada u; é combinação linear doe v; e cada Vi é 
combinação linear dos u; . 
Dem. (Exercício.) (Com rela.çfio a '2', por exemplo , note que, se 
v = /31 u1 + ... + /J9u9, então a1u1 + ... + a9u, + 7v = {a1+1P1)u1 + ... + 
(aq+7,89)u9.) • 
3.13 - EXERCÍCIOS. 1)' Mostre que, em F(R), OB subespaços 
gerados pelos subconjuntos {seni-z,cos:i .x} e {l, cos2.x} são iguais. 
2) Num depósito existem quatro tanques com líquidoe diferentes, obti­
dos misturando os líquidos Li , L2 e L3 nas proporções da eeguinte tabela: 
Tanque l 
Tanque 2 
Tanque 3 
Tanque 4 
L1 
1/4 
2/3 
7/18 
1/4 
L:i 
1/2 
1/6 
11/36 
1/4 
L3 
1/4 
1/6 
11/36 
1/2. 
A partir dos üquidos desses tanques, deseja-se obter novas niisturas dos 
üquidos Li , L1 e Ll . 
a) É possível eliminar algum dos tanques sem a.Iterar a variedade de 
misturas que podem ser obtidas? 
b) É possível obter u 'a mistura em que os três líquidos L1, L2 e L, 
apareçam na mesma proporção? 
Capftulo 4 
GERADORES 
No final do capítulo anterior vimos qu_e, partindo de um subconjunto 
finito A = { u1, u21 • • • , u9} de um espaço vetorial,
é po88Ível construir um 
subespaço, chamado subespaço gerado por A e formado por todas as com­
binações lineares dos u; . 
Essa mesma noção pode ser refraseada da seguinte forma: 
4.1 - DEFINIÇÃO. Sejam S um subespaço vetorial do espaço veto­
rial V e A = { u1, u2, . • . , u9}, q ? 1, um subconjunto finito de V. Diremos 
que A é um conjunto gerador para o subespaço S, se o subespaço gerado 
pelos vetores u; for igJal a S. (S= [ui,u2, ... ,u,] =[A].) 
Nessas condições diremos também que o conjunto A é um sistema de 
geradores para S e ainda que o conjunto A gera S ou que os vetores u; 
geram S. 
É interessante notar que, embora o subespaço S = [ u1, u2, • • • , u9] seja 
formado por uma infinidade de vetores, todos eles podem eer obtidos usando 
apenas os q vetores de A e fazendo combinações lineares. · 
Entretanto, é importante deixar mencionado desde já que, conforme 
comentaremos logo adiante, existem subespaços que não são gerados por um 
número finito de vetores. 
4.2 - CONVENÇÃO. O conjunto vazio 0, será considerado um 
conjunto gerador para o subespaço {O}; assim sendo, [0] ={O}. 
Como a igualdade entre conjuntos S = [ui. u2, ... , u9] = [A] significa 
que devemos ter se [A] e [A] e s, dizer que A= {u1, U2, ... ,u,} é um 
conjunto gerador para S significa que devemos ter simultaneamente: 
1) Todo vetor de S é combinação linear de u 11 u2, ... , u9 
e 
2) Toda combinação linear de u1, u2, • • • , u9 pertence a S, 
27 
ou seja, devemoe ter 
V E s <=>V= 01U1+02U2 + ... +a,u,, com o; e R,; = 1,2, . .. ,q. 
Observe ainda que, como cada um dOfl u; é combinação linear doe vet<r 
res u1, u2, ... , u1 , devemos ter u; E S, ; = 1, 2, ... , q , ou eeja, um sistema 
de geradores para S deve ser formado por vetores de S. 
Na realidade, temos a seguinte proposição, que poderia ter sido usada 
como definição de conjunto gerador para um subespaço: 
4.3 - PROPOSIÇÃO. Se S é um subespaço vetorial de V e A = 
{ u1, u2, ... , u9} é um subconjunto finito de V, então A é um conjunto ge­
rador para S se e somente se: 
1) A e S, e, além disso, 
2) Todo vetor de S é combinação linear de u 1, u2, .. ., u9. 
Dem. Ba.sta notar que a condição 'l' é equivalente a [A] C S (propo­
sição 3.12, itens 1 e 3) e que a condição '2' equivale a Se [A] (definição 
de [A] ). • 
Note que a condição 'l' nesta proposição é e8sencial: considere, por 
exemplo, o subespaço S = ((1,0)] no espaço R2• É claro que tod06 os 
vetores de S podem ser escritos como combinação linear dos vetores ( 1, 1) 
e (1, - 1 ) , que não es tão em S (faça um desenho); mas o subespaço gerado 
por estes dois últimos vetores é todo o R 2 e não apenas S. 
4.4 - EXERCf CIOS. (Resolvidos.) 1) Encontre um conjunto 
gerador para o subespaço S de 'P2(R), formado pelos polinômios p que 
verificam p( l) = O. 
Sol. Todo polinômio de 'P2(R) é da forma p{;r) = ax
2 + bx +e, com 
a,b,c E R; então temos p(l) = O<=> a+ b +e= O<=> e= -a - b <=> 
p(x) = ax2 + bx - a - b = a(z2 - 1) + b(z - 1), com a,b E R. Portanto 
S = [z2 - l,x - 1) e es tes dois polinômios formam o conjunto gerador 
procurado. (Note que estes dois polinômios estão efetivamente em S e que 
o primeiro corresponde a a= 1 e b =O e o segundo a a= O e b = 1.) 
2) Encontre um sistema de geradores para o subespaço S do R4 for­
mado pelos vetores (x, JI, z, w) tais que 2x - 311+4z - w =O. 
Sol. Temos (z,y,z,w) E S <==> 2x-311+4z-w =O<=> w = 2z-311+ 
4z <==> (x,y,z,w) = (x,y,z,2x-3y+ 4z) = z(l,0,0,2)+11(0,1,0,-3)+ 
28 
z(0,0,1,4), com Z,J/,Z E R. Portanto 
S = [(1, O, O, 2), (O, l, O, -3), (O, O, 1, 4)) 
e estes três vetores formam o conjunto gerador procurado. (Novamente oe 
três vetores estão em S; o primeiro corresponde a z = 1 e J/ = z = O, o 
segundo a J/ = 1 e z = z = O e o terceiro a z = J1 =O e z = 1.) 
· 3} Seja .S = {(z11z2,z3) E R3 1 z2 = O}; verifique que os vetores 
(1, O, O) e (O, O, l) formam um conjunto gerador para S. 
Sol. De fato, os dois estão em S e (xi. O, z3) = z1 (1, O, O) + z3(0, O, 1); 
portanto, pela proposição 4.3, temos um conjunto gerador para S. 
4.5 - OBSERVAÇÃO. Pode acontecer de o subespaço gerado por A 
ser o próprio espaço V. Temos, portanto, a noção de conjunto gerador para 
um espaço vetorial. De acordo com a proposição 4.3, um subconjunto finito 
AC V é um conjunto gera.dor para o espaço V se todo vetor de V pode ser 
escrito como combinação linear dos vetores de A. 
4.6 - EXEMPLOS. 1) Os vetores 
e1 = (1,0, . .. ,O), e'l = (0,1,0,. .. ,0), . .. , en = (0, ... ,0,1) 
formam um conjunto gerador pa.ra o R n, pois (z1,. • • , Xn) = L:=l z11e1i. 
2) O conjunto {1, z, .. . , zn } é um conjunto gera.dor para Pn(R), pois 
todo polinômio de gra.u menor ou igual a n pode ser colocado na forma 
L:=oª•x" · 
É interessante notar que todo espaço vetorial não trivial é forma.do por 
uma infinidade de vetores, mas, quando V é gera.do por um conjunto finito 
com q vetores, todos os vetores de V podem ser obtidos usando apenas os 
q gera.dores e fazendo combinações lineares. 
No entanto, conforme já adiantamos, existem espaços vetoriais que não 
são gera.dos por nenhum subconjunto finito : 
4.1 - EXEMPLO. O espaço P(R) não é gerado por nenhum sub­
conjunto finito: de fato, deixando de la.do ca.sos triviais, basta notar que, 
num conjunto finito B de polinômios, existe um de maior grau e nenhum 
polinômio de grau maior que este pode ser obtido como combinação linear 
dos polinômios de B. 
29 
É possível, no entanto, generalizar as definições de subespaço gerado 
por um conjunto e de conjunto gerador para um subespaço, para podermos 
considerar conjuntos geradores formados por uma infinidade de vetores; isto 
será feito no capítulo 7. 
4.8 - EXERCÍCIOS. 1) Encontre conjuntos geradores para os se-
guintes subespaços: 
a) {p E 1'3(R) 1 p(2) = O}; 
b) {(z,y,z) E R 3 l 5z - 311+2z =O }; 
c) {pE1':s(R)lp{2)=p(-1)}; 
d) {A E M2(R) l 3022 = 5012}. 
2) Seja S um subespaço do espaço vetorial V e sejam A e B subcon­
juntos finitos de V tais que A e B C S. Mostre que, se A é um conjunto 
gerador para S, então B também é. 
3) No R4, considere os vetores u1 = (l;l,_0,0), u2 = (Q,1,1,0), u:s = 
(0,0,l,l) e v = (2,5, 7,4). Sejam A= {ultu2,u:s} e B = {ultu2,U3,�}. 
a) Mostre 9ue A e B geram um mesmo subespaço S do R4• 
b) Se (x, y, z, w) E Se (x, y, z, w) = au1 + ,Bu2 + -yu3, encontre a, fJ 
e "Y em função de x , y , z e w. 
e) Conclua que cada vetor de S se escreve de uma única maneira 
como combinação linear dos vetores de A. 
d) Verifique que nenhum dos vetores de A é combinação linear dos 
outros dois vetores de A . 
e) Escreva o vetor (1, 2, 2, 1) E S das seguintes maneiras: 
a) (1,2,2,1) = au1 +/Ju2 +-yu3 +Ov; 
b) (l,2,2,l)=Ou1+ou2+bu3+cv; 
e) (1,2,2, 1) = xu1+3u2 + yu3 + zt'. 
f) Conclua que não é única a maneira de escrever os vetores de S 
como combinação linear dos vetores de B. 
g) Verifique que o vetor v E B é combinação linear dos outros três 
vetores de B. 
4) Num espaço vetorial V vale a propriedade f,?U + {Jv + '}'W = au + 
bv + cw :::=} o= o, fJ = b, "Y = e? (Justifique.) 
' 
6) Sejam S e T subespaços de um espaço vetorial V. Mostre que: 
a) S + T = { w E V 1 w = u + v com u E S e v E T} é um subespaço 
de V. 
30 
b) Se { UJ> • • • , u9} e S e { VJ> • • • , vp} são conjuntos geradores para 
Se T respectivamente, então {u1, • • • , u9, vi, ... , vp} é um conjunto gerador 
para S+ T. 
6) Em 'P,.(R). encontre conjutos geradores para os subespaços forma­
dos pelos polinômios p ta.is que: 
a) p{z) = p{-z) para todo z E R (função par); 
b) p{z) = -p( - z) para todo x E R {fullção ímpar). 
Capítulo 6 
SISTEMAS LINEARES - ESCALONAMENTO 
No início do capítulo 1, alguns sistemas lineares foram resolvidos por 
eliminação e substituição, métodos conhecidos desde a escola secundária. 
Vamos aprender agora uma forma de sistematizar
esses cálculos, ob­
tendo rapidamente as soluções dos sistemas. Esta forma organizada de fazer 
as eliminações e substituições é conhecida como método de Gauss ou de es­
calonamento. 
Consideremos, por exemplo, o sistema 
{u+v-w+ x-y- z=O 
w - 2x + y + 3z = O 
y - 2z =O. 
Por causa do seu aspecto, com cada equação come çando mais à direita 
do que a anterior, um sistema como este é chamado escalonado. 
E justamente por ser escalonado, este sistema pode ser resolvido facil­
mente, pois, da última equação tiramos y = 2z, substituindo na segunda 
obtemos w = 2x - 5z e na primeira u = -v + x - 2z; assim sendo, temos 
infinjtas soluções "dependendo de três parâmetros" v, x e z. 
Vamos aprender que, a partir de qualquer sistema, podemos obter um 
sistema escalonado que tem exatamente as mesmas soluções que o sistema 
dado, com a vantagem de que pode ser resolvido facilmente. 
Começamos com a 
5.1 - DEFINIÇÃO. Dois sistemas lineares são equfralentes se pos­
suem exatamente a.s mesmas soluções. 
Portanto, um sistema linear estará completamente resolvido se determi­
nanD05 todas as soluções de um sistema equivalente a ele. 
5.2 - PROPOSIÇÃO. Verifique que cada uma das "operações" se­
guintes transforma um sistema linear num sistema equivalente a ele: 
32 
1) Trocar entre si duas das equações do sistema. 
2) Multiplicar uma das equações do sistema por um número real não 
nulo. 
8) Substituir uma das equações do sistema pela soma dela com wn 
múltiplo de uma outra equação do sistema. 
Dem. Exercício. • 
Vamos descrever agora um algoritmo para "escalonar" um sistema, ou 
seja, para obter um sistema escalonado equivalente a um sistema dado; esse 
algoritmo utilizará apenas as três operações descritas na proposição anterior. 
Antes disso, vamos observar que um sistema linear Ax = b fica comple­
tamente caracterizado pelas matrizes A e b (as incógnitas ajudam apenas a 
"descrever" cada equação; b é u 'a matriz coluna forma.da pelos termos inde­
pendentes das equações). É claro também que as três operações descritas em 
5.2 alteram a.penas os coeficientes e os termos independentes das equações 
do sistema (as incógnitas são sempre as mesmas!) . 
Assim sendo, para escalonar o sistema. Ax = b, o algoritmo pode ser 
aplicado diretamente às equações do sistema ou então apenas à matriz obtida 
acrescentando uma coluna igual a b à direita das colunas da matriz A (cada 
linha da matriz assim obtida representa uma das equações do sistema). 
Esta matriz é chamada matriz completa do sistema, enquanto que A 
é a matriz dos coeficientes. 
O leitor não terá dificuldades em traduzir as "operações" mencionadas 
em 5.2 para operações sobre as linhas da matriz completa e vice-versa. 
Quando o sistema for homogêneo (a coluna b é nula), podemos trabalhar 
apenas com a matriz A dos coeficientes, já que nenhuma das três operações 
citadas alterará os zeros dessa coluna b. 
Algoritmo de Escalonamento 
Consideremos u'a matriz não nula com p linhas, p � 2. 
1) Seja i = 1. 
2) Seja j(i) = J a primeira coluna que tem algum elemento não nulo 
em alguma linha i com i � L 
3) Faça com que o elemento na linha ã e coluna J seja não nulo, tr� 
cando, se necessário, a linha ã com alguma linha abaixo dela. Esse elemento 
não nulo passa a ser chamado de pivô. 
4) "Zere" todos os elementos não nulos (se houver algum) da coluna 
J, que estão abaixo do pivô, substituindo cada linha i, com ã + 1 S i S p e 
que tenha um elemento não nulo na coluna J, pela soma dessa mesma linha 
i com o produto da linha ã (que tem o pivô), pelo número 
elemento da linha i e coluna J 
elemento da linha i e coluna J (=pivô) 
5) Se i = p - 1 ou se todas as linhas abaixo da linha í + 1 forem 
nulas o processo acabou. Caso contrário, some 1 ao valor de í e volte ao 
ítem 2. 
U'a matriz como a obtida ao final deste processo é chamada matriz 
escalonada. 
Para uniformizar a linguagem, o primeiro elemento não nulo da última 
linha não nula da matriz escalonada obtida ao final do processo também será 
chamado pivô, mesmo que não tenha sido .. usado" para zerar nenhum outro 
elemento. (Como isto pode acontecer?) 
Observe que, na realidade, no estágio correspondente a um certo valor 
i > 1, só trabalhamos efetivamente com os elementos da matriz que seria 
obtida se eliminássemos as linhas acima da linha i e as colunas à esquerda 
da coluna J = j(ã). 
5.8 - OBSERVAÇÃO. Com relação ao aspecto de u'a matriz esca· 
lonada, note que: 
a) todas as eventuais linhas nulas estão abaixo de todas as linhas 
não nulas; 
b) em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo aparece 
mais à direita do que o primeiro elemento não nulo de qualquer linha acima 
dela. 
e) se uma coluna contém o primeiro elemento não nulo de alguma 
linha, então todos os elementos dessa coluna que estão abaixo desse elemento 
não nulo são iguais a �ero. 
O algoritmo de escalonamento contém uma demonstração da seguinte 
34 
6.4 - PROPOSIÇÃO. (Exercício.) Todo sistema linear é equiva­
lente a um sistema escalonado. 
6.6 - OBSERVAÇÃO. Apenas para facilitar as descrições que fa.re­
ID08 a seguir, a.dota.remoe a seguinte nomenclatura: as incógnitas correspon­
dentes às colunas que, após o escalonamento, contêm o primeiro elemento 
não nulo de alguma linha, serão chamadas incógnitas pivôs, enquanto que 
as demais serão denominadas incógnitas livres. 
Vamos examinar a resolução de alguns sistemas homogêneos por esca­
lonamento. No capítulo 12 faremos mais alguns comentários sobre os não 
homogêneos. 
6.6 - EXEMPLOS. 1) Resolver o seguinte sistema por escalona-
mento: 
{ u - 2v + x - y + 3z = O 
2u - 3v + 4x + 11 + 4z = O 
u + v + 7x + 811 - 3z =O. 
Escrevendo a matriz dos coeficientes e aplicando o processo de escalo-
namento temos: 
n -2 1 - 1 _n [� -2 1 -1 -�]--3 4 1 1 2 3 1 7 8 3 6 9 -6 
-[� -2 1 - 1 -�] { u - 2v + x - 11 + 3z = O 1 2 3 ou o o o v + 2x + 3y - 2z = O . 
Note que, como apareceu uma linha nula, o sistema escalonado tem uma 
equação a menos que o sistema original , o que significa que uma das equações 
dadas inicialmente era combinação linear das outras duas. 
Observando o sistema escalonado vemos que, neste exemplo, u e v são 
incógnitas pivós, enquanto que x, y e z são livres; da última equação do 
escalonado, tiramos v = -2x - 3y + 2z e, substituindo na primeira, u = 
-5x - 511 + z; assim sendo, conseguimos expressar as incógnitas pivôs em 
função das livres, obtendo infinitas soluções dependendo de três parâmetros. 
(O sistema é indeterminado.) 
Essas infinitas soluções serão as n-uplas {u, v,x,y, z) dadas por 
{ u , v, x, 11, z) = (-5x - 5y + z, -2x - 3y + 2z, x, y, z), 
85 
com z,y,z E R. 
Note que, na n-upla do segundo membro (que pode ser encara.da como 
uma "fórmula geral" para as soluções), só aparecem as incógnitas livres; cada 
vez que atribwrmos valores a cada uma delas, obteremos uma das infinitas 
soluções "numéricas" do sistema. 
Olhando sob outro ponto de vista, podemos decompor a n-upla do se­
gundo membro numa soma de n-uplas, com uma parcela para cada incógnita 
livre: 
(-5x - 511 + z,-2x -311+2z, x, 11. z) = 
= (-5x,-2x,x,O,O) + (-511,-311,0,11,0) + (z,2z,0,0,z) = 
= x(-5, -2, 1,0,0) + 11(-5, -3,0, 1,0) + z(l, 2,0,0, 1). 
Note que, para cada incógnita livre obtivemos uma n -upla (solução): 
nr = (-5,-2,1,0,0), n., = (-5,-3,0,1,0), n, = (1,2,0,0,l); 
a solução n: é obtida fazendo x = 1, 11 == O e z = O nas expressões de 
u e v; n, corresponde a x == O, 11 = 1 e z = O e n, a x = 11 = O e 
z == 1. Além disto, os vetores nr, n, e n, geram o subespaço das soluções, 
pois, como acabamos de ver, as soluções são exatamente as n-uplas da fonna 
xn., + ynll' + zn,, com x,y,z E R. 
2) Resolver o seguinte sistema por esca.lonamento: 
{ X+ 1/ + 2w = 0 
2x + 211 + 3z + 5w = O 
4x + 4y + 3z + lOw = O. 
Escrevendo
a matriz dos coeficientes e aplicando o processo de escalo­
namento temos: [1 1 o !�] [ 1 1 o n-2 2 3 o o 3 4 4 3 o o 3 
- rn 1 o 2 ] r+• +2w;0 o 3 1 ou 3z + w =O o o 1 w=O. 
Neste exemplo x, z e w são incógnitas pivôs e y é livre. A última 
equação dá diretamente que w = O; substituindo na segunda vem z = O e 
36 
na primeira z = -11. Novamente, tem06 o valor das incógnitas pivôs em 
função da livre 71, obtendo infinitas soluções dependendo de J1 (se bem que, 
neste exemplo, w e z sejam constantes; podemos encará-las como funções 
constantes da variável 11 ) . 
&sas infinitas soluções serão dadas por 
(:e, 11, z, w) = (-11, y, O, O) = y(-1, 1, O, O) 
e outra vez temos uma solução n, = (-1, 1, O, O) associada à incógnita livre 
y; essa solução corresponde ao valor 11 = .1 da única incógnita livre e gera o 
subespaço das soluções pois todas as outras são múltiplas dela. 
3) Resolver o seguinte sistema por escalonamento: 
{ u+ v- w+ :c- 11 + z=O 
U + V + W - 3z + 11 + 5z = Ü 
3u + 3v - 2w + :e - 11 - 2z = O . 
Escrevendo a matriz dos coeficientes e aplicando o processo de escalo-
namente temos: 
n 
1 -1 1 -1 
1 1 -3 1 
3 -2 1 -1 
-rn 
1 - 1 1 -1 
o 2 -4 2 
o o o 1 
- 1 ] [I 
5 "' o 
-2 o 
� 
<-t: •• 
-!] ou 
-2 
1 -1 1 -1 -1] 
o 2 -4 2 6 "' 
o 1 -2 2 1 
r+v-w+ z-v- z=O 
w -2.r + J1 - 3z = O 
11- 2z =O. 
(Evidentemente, dividimos a segunda equação por 2. Isto, aliás, já 
poderia ter sido feito na própria matriz durante o escalonamento (embora 
não conste do algoritmo - ver proposição 5.2-2). Outra simplificação que 
podemos fazer, principalmente quando estamos fazendo os cálculos "manual­
mente", é a seguinte: quando existir um "l" na coluna do pivô e abaixo 
deste, trocamos linhas para deixar o "l" como pivô). 
Neste exemplo, as incógnitas pivôs são u, w e 11, enquanto que v, z e 
z são livres; da última equação vem y = 2z; substituindo na segunda temos 
w = 2.r - 5z e na primeira u = -v + x -2z. Nova.mente, as incógnitas pivôs 
puderam ser calculadas em função das livres e temos um sistema indetermi­
nado com infinitas soluções dependendo de três parâmetros. 
37 
Essas infinitas soluções serão dadas por 
(u,v,w,x,y,z) = (-v + x - 2z,v,2x - 5z,x,2z,z) = 
= v(-l, 1, O, O, O, O)+ x(l, O, 2, 1, O, O) + z(-2, O, -5, O, 2, 1) . Nova.mente ob­
tivemos uma n-upla (solução) associada a cada incógnita livre: 
n., = (-l,1,0,0,0,0), n.r = (l,0,2,1,0,0), n. = (-2,0,-5,0,2,1); 
a solução n11 é obtida fazendo v = 1 , x = O e z = O; nr corresponde a 
v = O, x = 1 e z = O e n. a v = O, x = O e z = 1 . Além disso, todas as 
soluções são obtidas como combinação linear de n.,, n.r e n. e portanto elas 
formam um conjunto gerador para o subespaço das soluções. 
Um sistema linear homogêneo sempre admite pelo menos a solução nula. 
Mas, como conseqüência do que vimos até agora, temos o seguinte teorema, 
que é muito importante, embora sua demonstração seja extremamente 
simples depois dos comentários que já foram feitos: 
6.7 - TEOREMA. Um sistema linear homogêneo com mais incógni­
tas do que equações sempre tem soluções não nulas. 
Dem. Observemos inicialmente que, após escalonarmos um sistema, o 
número de incógnitas pivôs é no máximo igual ao número de equações do 
sistema dado (será estritamente menor se aparecer alguma linha nula). 
Então, como no sistema dado temos mais incógnitas do que equações, 
após o escalonamento teremos obrigatoriamente uma ou mais incógnitas Li­
vres, às quais podemos atribuir valores arbitrariamente, obtendo uma infini­
dade de soluções não nulas. • 
' 6.8 - EXERCÍCIOS. Resolva os sistemas seguintes por escalona­
mento, destacando quais são as incógnitas pivôs e quais são as soluções as­
sociadas às incógnitas livres: 
{ X + 3y + Z - W = Ü 
a) x + 3y + 6z + 14w = O 
2x + 6y + 5z + 7w = O; 
{ 
5x - 7y + 6z =O 
b) lOx - lly + 19z =O 
5x - 4y + 1 7 z = O ; 
{2x + 11 - 3z + u - v = O 
e) 2x + 3y - 4z + 3u + 2v = O 
Bx + 6y - l3z + 7u =O; 
{ x- 3y+ 2z =O 
3x - 11- 6z =O 
d) 2x - 5z =O 
x- 11- z=O. 
O eubeapaço das soluções de um sistema homogêneo 
Consideremos o sistema esc&lonado 
· .{ u - 3v - 2w + x - 2y - 2z = O 
w - 2x + 3y - 2z = O 
X + 2y - 3z = Ü . 
As incógnitas pivôs são u, w e x; da última equação vem x = -2y+ 3z; 
substituindo na segunda, w = -7y + 8z e, na primeira, u = 3v - lOy + 15z. 
Portanto, conseguimos encontrar os valores das incógnitas pivôs u, w e 
x, em função dos valores das outras, v, y e z, que são as incógnitas livres e 
funcionam como parâmetros (o sistema é indeterminado). 
(Esta escolha das incógnitas livres como parâmetros é feita apenas por 
que queremos sistematizar a resolução, usando a nomenclatura dada na 
observação 5.5; é claro que, se não fosse esta intenção de sistematizar a 
resolução, também poderíamos obter as soluções deste sistema tirando, por 
exemplo, u, w e y em função de v, x e z. ) 
Pelo aspecto de um sistema escalonado (ver observação 5.3), o leitor 
deve perceber que as soluções de qualquer sistema linear homogêneo in· 
determinado (depois de devidamente escalonado), sempre se comportarão 
dessa maneira: existirão incógnitas livres e o valor das pivôs poderá ser tirado 
em função das livres, obtendo-se as infinitas soluções. 
Sabemos que uma n-upla (u, v, w, x, 11,,·z) é solução se e so,mente se 
{ u = 3v - 10y + 15z 
w = - 7y + Bz 
X = - 2y + 3z, 
Assim sendo,para obter uma n-upla (u,v,w,x,y,z) que seja solução do 
s.istema, devemos atribuir a cada uma das incógnitas livres um valor qualquer, 
independente dos valores atribuidos às outras incógnitas livres e depois usar 
as relações ( *) para calcular os v&lores das pivôs. 
Por isso, as incógnitas livres são também chamadas independentes �n­
quanto as incógnitas pivôs podem ser denominadas dependentes. Note 
que cada solução já fica completamente determinada apenas pelos valores 
atribuidos às incógnitas independentes. 
39 
Podemos obter uma "fórmula geral" para a.a n-upla.s que são soluções 
do sistema, substituindo na n-upla ( u, v, w, z, y, z) as incógnitas pivôs pelas 
suas expressões dadas pelas relações (*),obtendo assim uma n-upla que só 
depende das incógnitas livres: 
(u, v, w, z, JI, z) = ( 3v - lOy + 15z, v , -711 + 8z, -211 + 3z, y , z ) . 
Como na n-upla do segundo membro só aparecem as incógnitas livres, 
podemos decompô-la numa soma de n-uplas com uma parcela para cada 
incógnita livre, obtendo (u,v,w,z,y,z) = 
= {3v, v, O, O, 0,0) + (-10y, O, -7y, -2y, y, O)+ (1 5z, 0,8z,3z,O, z) = 
= v(3, l, O, O, O, O)+ y(-10, O, - 7, -2, 1 1 O) + z(l5, O, 8, 3, O, 1 ). 
Novamente obtivemos um vetor para cada incógnita livre: 
n., = (3,1,0,0,0,0), nw = (-1 0,0,-7,-2,l,O), n. = ( 15,0,8,3,0,1). 
Cada uma destas n-uplas é uma solução do sistema: n., pode ser obtida 
fazendo v = 1 , z = O e z = O nas expressões ( "') ; n11 corresponde a t: = O, 
z = 1 e z = O e n. a v = O, z = O e z = 1 . Além disso, todas as soluções 
são obtidas como combinação linear de n.,, n., e n. ; portanto elas formam 
um conjunto gerador para o subespaço das soluções. 
Destacamos este fato: o subespaço das soluções pode ser gerado por 
tantas n-uplas quantas forem as incógnitas livres: note que, pela própria 
maneira como podem ser obtidas, essas n-uplas geradoras possuem a se­
guinte propriedade: na n-upla correspondente a uma certa incógnita livre, 
teremos "1 " na posição correspondente a essa incógnita livre e "O" nas posi­
ções correspondentes às outras incógnitas livres. 
Se quiséssemos ter em ( • ) fórmulas para todas as incógnitas, poderíamos 
acrescentar uma expressão trivial para cada incógnita livre: v = v, z = z e 
z = z, ou ainda 
v = lv + Oy + Oz, 
J1 = Ov + lJI + Oz, 
z = Ov + Oy + 1z1 
40 
obtendo expreAIÕes para todas as incógnitas em função apenas das livres, 
de tal forma que (u, v,
w, z, JI, z) é solução se e só se 
u = 3v - lOy + 15z 
V =Jv f Oy+ Oz u 3 -10 15 V 1 o o 
w=Ov- 7y+ 8z w o -7 8 <==> =v o + JI -2 +z 3 z =Ov- 2y+ 3z z 
11 = Ov + Iy + Oz 11 o 1 o z o o 1 
z = Ov+ Oy+ lz 
ou seja, como antes, as soluções são exatamente as combinações lineares das 
n-uplas n11, n11 e n ... 
Na prática, trabalhamos diretamente com as n-uplas como estamos ha­
bituados e é claro que obtemos o mesmo resultado; estas expressões matriciais 
foram escritas apenas porque nelas fica bem claro que, nessas n-uplas gera­
doras, na posição correspondente a uma certa incógnita livre, teremos sempre 
"l" na n-upla correspondente a essa incógnita e "O" nas outras n-uplas. 
Apenas como curiosidade, note que, se um sistema linear homogêneo 
for determinado, isto é, se s6 admitir a solução nula, então o subespaço das 
soluções se reduz a {O} e admite como conjunto gerador o conjunto vazio 0 
ou então o conjunto formado apenas pela n-upla nula. 
Com base nos exemplos vistos até aqui, podemos enunciar a 
ó_9 - PROPOSIÇÃO. Se S é o subespaço das soluções de um sistema 
linear homogêneo indeterminado, então existe um conjunto gerador para S 
formado por um número de n-uplas igual ao número de incógnitas livres 
(com uma n-upla para cada uma das incógnitas livres). Além disso, nessas n­
uplas, na posição correspondente a uma certa incógnita livre, teremos sempre 
"1" na n-upla correspondente a essa incógnita e "O" nas outras n-uplas. 
Dem. Para demonstrar esta proposição, basta repetir, para um sistema 
genérico com p equações e n incógnitas, o que foi feito nos exemplos ante­
riores; isto pode ser feito de uma forma óbvia (embora longa e trabalhosa) 
e sem que apareça nenhuma dificuldade nova (a não ser a notação). Assim 
sendo, nos permitiremos não escrever a demonstração. • 
6.10 - OBSERVAÇÃO. No que segue, apenas para facilitar a lin­
guagem, os conjuntos geradores mencionados na proposição anterior serão 
referidos como sendo "obtidos por escalonamento". 
41 
Como conseqüência temos a 11eguinte propriedade: 
S.11 - PROPOSIÇÃO. Se G é um conjunto gerador obtido pores­
calonamento para o subespaço das soluções de um sistema linear homogêneo 
indeterminado, então nenhum vetor de G pode ser escrito como combinação 
linear dos outros vetores de G. 
Dem. Se G tiver ·apenas um elemento, o resultado é trivial; caso con­
trário, consideremos uma n-upla qualquer de G; ela está associada a uma 
incógnita livre e, como vimos terá "l" na posição correspondente a essa 
incógnita, enquanto que as outras n-uplas terão "O" nessa mesma posição, 
o mesmo acontecendo com qualquer combinação linear delas, que, por isso, 
não pode ser igual à n -upla considerada ( 1 ::f- O). • 
Um conjunto gerador para um subespaço pode não verificar a pro­
priedade dada nesta última proposição; por exemplo, se A é um conjunto 
gerador para um subespaço S e se acrescentarmos a A alguns vetores de 
S, obteremos ainda um conjunto gerador para S que certamente não tem 
aquela propriedade. 
Quando um subespaço vetorial admite um conjunto gerador finito que 
verifica a propri1tdade dada na proposição 5.11 , dizemos que esse conjunto 
gerador é uma base para o subespaço e o número de vetores que o formam 
é chamado dimensão do subespaço. 
Num próximo capítulo faremos um estudo geral dessas noções, mas va­
mos adiantar alguma coisa sobre o subespaço das soluções de um sistema 
linear homogêneo. 
5.12 - DEFINIÇÕES. O número de linhas não nulas obtidas depois 
de escalonarmos u'a matriz é chama.do posto ou característica da matriz 
dada inicialmente. Chamaremos de posto de um sistema linear homogêneo 
ao posto da sua matriz de coeficientes. 
É claro que esse número é igual ao número de pivôs. 
O posto de u 'a matriz ou de um sistema homogêneo está bem definido, 
isto é, não depende de escolhas feitas durante o processo de escalonamento. 
(Isto será visto nos exercícios e também será conseqüência de resultados mais 
gerais que estudaremos no capítulo 8 .) 
Pela própria maneira como um conjunto gerador obtido por escalona-
42 
mento é construido, vemos que a dimensão do espaço das eoluções de um 
sistema homogêneo indeterminado é igual ao número de incógnitas livres 
desse sistema (já que um tal conjunto gerador é uma base e possui uma 
n-upla para cada incógnita livre). 
Como temos a relação 
(n'! de incógnitas)= (n'! de incógnitas pivôs) + (n'! de incógnitas livres), 
resulta que essa dimensão é também dada por 
(dimensão) = ( n '! de incógnitas) - (posto) 
e que ela também não depende das escolhas feitas. 
Quando só há � solução nula (o sistema homogêneo é determinado) , 
dizemos que a dimensão do espaço das eoluções é zero . 
A dimensão do espaço das soluções é também chamada de número de 
graus de liberdade do sistema, pois corresponde ao número de parâmetros cu­
jos valores podem ser fixados arbitrariamente ao calcular as eoluções (também 
é chamada grau de indeterminação do sistema). 
6.13 - EXERCÍCIOS. 1) Para os sistemas lineares a seguir, deter­
mine o posto e a dimensão e uma base do subespaço das soluções: 
{X - 3y + 2z - W = Ü 
a) x - 2y + 4z + 3w =O 
x - 5y - 2z - 9w = O ; 
{ x + 5y - 3z + 2w = O 
b) x + 6y + 2z - 3w = O 
z + 3y - 13z + 12w = O . 
2) Determine K para que os subespaços das soluções dos sistemas 
lineares seguintes tenham dimensão 2 (justifique) e dê uma base para esses 
subespaços em tal caso: 
{ x - 4y + 2z - 3w = O 
a) x - 3y + 4z - 2w = O 
x - 6y + (K - 4)z - 5w =O; 
{ x + 2y - 4z + 3w = O 
b) x + 3y - 2z - 2w = O 
x + 5y + (5 - K)z - 12w = O. 
3) Mostre que um sistema linear homogêneo é determinado, isto é, só 
tem a solução nula, se e só se todas as incógnitas forem pivôs; mostre também 
que, nesse caso, se escalonarmos a matriz dos coeficientes e abandonarmos 
as eventuais linhas nulas, obteremos u'a matriz quadrada triangular superior 
sem elementos nulos na diagonal principal. 
43 
4) O processo de escalonamento de u'a matriz envolve algumas escolhas, 
como, por exemplo, a troca de linhas para definir quem vai ser o pivô numa 
certa coluna. Assim sendo, partindo de u'a mesma matriz, podemOB obter 
matrizes escalonadas diferentes, dependendo das escolhas feitas. Os vá.rios 
itens deste exercício mostram que, na realidade, essas diferenças não podem 
ocorrer em pontos essenciais: 
a) Seja A= (a;;) u'a matriz p x n com a11 1: O e suponha que, ao 
escalonarmos A, quando "zeramos" os demais elementos da primeira coluna, 
os da segunda coluna também ficam a.utoma.ticamente "zerados". Mostre 
que, então: 
a-1) Essas duas colunas sã.o proporciona.is, isto é, existe >. E R tal 
que a;1 = >.a;2, i = 1, 2, . . . ,p (basta notar que devemos ter 
ai1 . a11 --a12 = -a;2, i = 1, .. . ,p, donde>.= - ). 
ali au 
a-2) Se, antes de escalonarmos, trocarmos a primeira linha. por 
outra qualquer 1, que também tenha au 'f- O e a seguir escalonarmos, então 
novamente as duas colunas "zerarão" simultaneamente. 
a-3) É possível generalizar os itens a-1 e a.-2, supondo que as r 
primeiras colunas "zerem" simultaneamente, com 3 5 r 5 n. 
b) Mostre que, quando escalonamos u'a matriz, o número de pivôs 
e a posição em que eles aparecem na matriz escalonada final, não depen­
dem de nenhuma escolha feita (isto é, podemos obter matrizes escalonadas 
diferentes, mas com o mesmo "aspecto"). Sugestão: aplique a parte 'a'; 
se forem zeradas simultaneamente as r primeiras colunas ( r � 1 ), então 
aplique novamente a parte 'a' à matriz obtida eliminando a primeira linha e 
as r colunas já "zeradas" e assim sucessivamente. 
e) Mostre que o número de incógnitas pivôs e o número de incógnitas 
livres (e mesmo quais são pivôs e qua.is são livres) em um sistema homogêneo, 
não dependem de escolhas feitas no escalonamento. 
OBSERYAÇ'ÃO - É claro que, nestes exercícios, como aliás em todo este 
estudo sobre sistemas