Cálculo I - exercícios de limite

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAC¸A˜O, CIEˆNCIA E TECNOLOGIA DA BAHIA
CAMPUS VITO´RIA DA CONQUISTA
CURSO: . PERI´ODO: . SEMESTRE: 2013-2
DISCIPLINA: CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. TURNO: .
PROFESSOR: GISLAN SILVEIRA SANTOS.
ALUNO (a): .
Lista de Exerc´ıcios - Limites e Continuidade
1. Complete a tabela (use a calculadora e uma aproximac¸a˜o com ate´ 4 casas decimais) e utilize os re-
sultados para estimar o valor do limite da func¸a˜o quando x tende a a ou explicar por que ele na˜o existe.
(a)
x 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999
f(x) =
x− 1
x3 − 1
x 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001
x− 1
x3 − 1
, a = 1
(b)
x 1, 9 1, 99 1, 999 1, 9999
f(x) =
x− 2
x2 − 4
x 2, 1 2, 01 2, 001 2, 0001
x− 2
x2 − 4
, a = 2
(c)
x 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999
f(x) =
x+ 2
1− x
x 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001
x+ 2
1− x
, a = 1
(d)
x −3, 1 −3, 01 −3, 001
f(x) =
x2 + 5x+ 6
x2 + 8x+ 15
x −2, 9 −2, 99 −2, 999
x2 + 5x+ 6
x2 + 8x+ 15
,
a = −3
2. O ponto P (2, ln 2) pertencente a` curva y = ln x.
(a) Se Q e´ o ponto (x, ln x), use sua calculadora para determinar o coeficiente angular da reta secante
PQ, com precisa˜o de seis casas decimais, para os seguintes valores de x:
(i) 1, 5
(ii) 1, 9
(iii) 1, 99
(iv) 1, 999
(v) 2, 5
(vi) 2, 1
(vii) 2, 01
(viii) 2, 001
(b) Usando os resultados da parte (a), estime o valor da inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto
P (2, ln 2).
(c) Use a inclinac¸a˜o obtida na parte (b) para achar uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva em P (2, ln 2).
(d) Fac¸a uma figura utilizando duas dessas retas secantes e a reta tangente.
3. O ponto P (2,−1) esta´ sobre a curva y = 1/ (1− x).
(a) Se Q e´ o ponto (x, 1/ (1− x)), use sua calculadora para determinar a inclinac¸a˜o da reta secante
PQ, com precisa˜o de seis casas decimais, para os seguintes valores de x:
(i) 1, 5
(ii) 1, 9
(iii) 1, 99
(iv) 1, 999
(v) 2, 5
(vi) 2, 1
(vii) 2, 01
(viii) 2, 001
(b) Usando os resultados da parte (a), estime o valor da inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto
P (2,−1).
(c) Usando a inclinac¸a˜o da parte (b), encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva em P (2,−1).
4. Determine k tal que:
(a) lim
x→5
(
3kx2 − 5kx+ 3k − 1) = 3
2
(b) lim
x→k
(
x2 − 5x+ 6) = 0
(c) lim
x→2
(
5x4 − 3x2 + 2x− 2) = k
(d) lim
x→1
k − x2
x+ k
= −1
5. Calcule os limites a seguir, justificando cada passagem atrave´s das suas propriedades.
(a) lim
x→4
(
5x2 − 2x+ 3)
(b) lim
x→3
(
x3 + 2
) (
x2 − 5x)
(c) lim
x→−1
(
x− 2
x2 + 4x− 3
)
(d) lim
x→1
(
x4 + x2 − 6
x4 + 2x+ 3
)2
(e) lim
u→−2
√
u4 + 3u+ 6
(f) lim
t→−2
(t+ 1)9
(
t2 − 1)
(g) lim
t→1/2
t2 + 1
1 +
√
2t+ 8
(h) lim
z→−1
z2 + 4z + 3
z2 − 1
(i) lim
x→−3
3
√
x− 4
6x2 + 2
(j) lim
x→0
√
x+ 2−√2
x
(k) lim
t→0
[√
1 +
1
|t| −
√
1
|t|
]
(l) lim
x→1
(1/
√
x)− 1
1− x
6. Esboce os gra´ficos das func¸o˜es abaixo e, use-os para determinar os valores de a para os quais
limx→a f(x) exista:
(a) f(x) =

1 + x , se x < −1
x2 , se − 1 ≤ x < 1
2− x , se x ≥ 1
(b) f(x) =

1 + senx , se x < 0
cosx , se 0 ≤ x ≤ pi
senx , se x > pi
7. Prove que o lim
x→0
|x|
x
na˜o existe.
8. Seja f(x) =

√
x− 4 , se x > 4
8− 2x , se x ≤ 4
e determine, se poss´ıvel, o lim
x→4
f(x).
9. Verifique se existe os limites indicados, se na˜o existir indique a raza˜o disto.
(a) lim
t→−4
|t+ 4|
t+ 4
(b) f(x) =

√
x2 − 9 , se x ≤ −3;√
9− x2 , se − 3 < x < 3;√
x2 + 6x+ 9 , se x ≥ 3.
lim
x→−3
f(x) e lim
x→3
f(x).
10. Na teoria da relatividade, a massa de uma part´ıcula com velocidade v e´ m =
m0√
1− v2/c2 , em que
m0 e´ a massa da part´ıcula em repouso e c, a velocidade da luz. O que acontece se v → c−?
11. Considere a func¸a˜o f definida por:
f(x) =
 0 , se x e´ racional1 , se x e´ irracional
Para todo a ∈ R, lim
x→a f(x) na˜o existe. Por queˆ?
12. Calcule, se poss´ıvel, os seguintes limites:
(a) lim
x→−2
4− x2
2 + x
(b) lim
x→−3
x2 − x− 12
x+ 3
(c) lim
x→1
x2 + 2x− 3
3x− 3
(d) lim
x→−2
x+ 2
x2 − x− 6
(e) lim
x→3
x2 + x− 12
x2 − x− 6
(f) lim
x→1
√
x− 1
x− 1
(g) lim
x→0
√
x+ 1−√1− x
3x
(h) lim
x→−1
1− x2
x+
√
2 + x
(i) lim
x→3
x2 − 4x+ 3
x2 − x− 6
(j) lim
x→4
3x2 − 17x+ 20
4x2 − 25x+ 36
(k) lim
x→1
(
2x2 − 3x+ 1
3x− 3
)2
(l) lim
x→1
x3 − 1
x2 − 1
(m) lim
x→1
x3 − 1
5x− 5
(n) lim
x→1
√
x+ 2−√3
x3 − 1
(o) lim
t→9
9− t
3−√t
(p) lim
t→0
√
2− t−√2
t
(q) lim
x→−2
x3 + 8
x2 − 4
(r) lim
t→−2
t3 + 4t2 + 4t
(t+ 2)(t+ 3)
(s) lim
x→−2
3
√
x3 − 3x+ 2
x2 + 3x+ 2
(t) lim
x→2
x4 − 16
8− x3
(u) lim
x→1
x3 − 3x+ 2
x4 − 4x+ 3
(v) lim
t→0
√
25− 3t− 5
t
(w) lim
x→7
2−√x− 3
x2 − 49
(x) lim
x→4
3−√5 + x
1−√5− x
13. Calcule, se existirem, os limites abaixo:
(a) lim
x→0
x2 − a2
x2 + 2ax+ a2
(b) lim
x→2
2− x
2−√2x
(c) lim
h→0
(t+ h)2 − t2
h
(d) lim
x→0
1√
cos 2(x) + 1− 1
(e) lim
x→a
√
x−√a√
x2 − a2 com a > 0
(f) lim
x→a
√
x−√a+√x− a√
x2 − a2 com a > 0
(g) lim
x→0
(√
1 + x2 + x
)m − (√1 + x2 − x)m
x
14. Mostre que o lim
x→0
x2 · cos (20pix) = 0.
15. Use o teorema do confronto para mostrar que
lim
x→0
√
x2 + x3 sen
(pi
x
)
= 0.
16. Mostre que
lim
x→0
x4 cos
(
2
x
)
= 0.
17. Calcule, utilizando o Teorema do Confronto, lim
x→+∞
(√
x+ 1−√x).
18. A func¸a˜o sinal, denotada por sgn, esta´ definida por
sgn(x) =

−1 , se x < 0
0 , se x = 0
1 , se x > 0
(a) Esboce o gra´fico dessa func¸a˜o.
(b) Encontre ou explique por que na˜o existe cada um dos limites que se seguem.
i. lim
x→0+
sgn(x) ii. lim
x→0−
sgn(x) iii. lim
x→0
sgn(x)
19. Considere a func¸a˜o f(x) =
x2 − 1
|x− 1| .
(a) Determine lim
x→1+
f(x) e lim
x→1−
f(x).
(b) Existe lim
x→1
f(x)?
(c) Esboce o gra´fico de f .
20. Seja g(x) =
x2 + x− 6
|x− 2| .
(a) Determine lim
x→2+
g(x) e lim
x→2−
g(x).
(b) limx→2 g(x) existe?
(c) Esboce o gra´fico de g.
21. Seja
h(x) =

x , se x < 0
x2 , se 0 < x ≤ 2
8− x , se x > 2
(a) Calcule, se existirem, os limites.
i. lim
x→0+
h(x) ii. lim
x→0−
h(x) iii. lim
x→0
h(x) iv. lim
x→2−
h(x) v. lim
x→2+
h(x) vi. lim
x→2
h(x)
(b) Esboce o gra´fico da func¸a˜o h.
22. Determine os limites.
(a) lim
x→5+
6
x− 5
(b) lim
x→3+
1
(x− 3)8
(c) lim
x→−2+
x− 1
x2(x+ 2)
(d) lim
x→3+
x
x− 3
(e) lim
x→4−
3− x
x2 − 2x− 8
(f) lim
x→4
x− 5
(x− 4)2
(g) lim
x→0
cos (x)
x · sen (x)
(h) lim
x→2−
3− x
(x− 2)3
23. Calcule os limites:
(a) lim
x→+∞(3x
3 + 4x2 − 1)
(b) lim
t→−∞
t+ 1
t2 + 1
(c) lim
x→−∞
3x5 − x2 + 7
2− x2
(d) lim
x→−∞
−5x3 + 2
x3 + 3
(e) lim
x→+∞
−4x4 + 2
2x− x3
(f) lim
x→+∞
√
x2 + 1
x+ 1
(g) lim
x→+∞
1 + 2 + 3 + . . .+ n
n2
(h) lim
x→+∞
12 + 22 + . . .+ n2
n3
Sugesta˜o: Para (g)
n∑
k=1
k =
n(n+ 1)
2
e para (h)
n∑
k=1
k2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
.
24. Calcule os seguintes limites no infinito:
(a) lim
x→+∞
2x3 + 5x+ 1
x4 + 5x3 + 3
(b) lim
x→+∞
3x4 − 2√
x8 + 3x+ 4
(c) lim
x→−∞
x2 − 2x+ 3
3x2 + x+ 1
(d) lim
x→+∞
x
x2 + 3x+ 1
(e) lim
x→+∞
√
x2 + 1
3x+ 2
(f) lim
x→−∞
√
x2 + 1
3x+ 2
(g) lim
x→+∞
√
x+ 3
√
x
x2 + 3
(h) lim
x→+∞
(
x−
√
x2 + 1
)
(i) lim
x→−∞
3
√
x
x2 + 3
(j) lim
x→+∞
3
√
x3 + 2x− 1√
x2 + x+ 1
(k) lim
x→+∞
(√
x+ 1−√x+ 3)
(l) lim
x→+∞
x5 + 1
x6 + 1
(m) lim
x→+∞
x3 + x+ 1
3
√
x9+ 1
(n) lim
x→+∞
√
x4 + 2
x3
(o) lim
x→+∞
√
x2
x3 + 5
(p) lim
x→+∞
√
x− 1√
x2 − 1
(q) lim
x→+∞
2x2 − x+ 3
x3 + 1
(r) lim
x→+∞
3
√
x2 + 8
x2 + x
(s) lim
x→+∞
4x
x2 − 4x+ 3
(t) lim
x→+∞
3x4 + x+ 1
x4 − 5
(u) lim
x→−∞
x5 + x4 + 1
x6 + x3 + 1
(v) lim
x→−∞
x9 + 1
x9 + x6 + x4 + 1
(w) lim
x→+∞
2x+ 11√
x2 + 1
(x) lim
x→−∞
6− 7x
(2x+ 3)4
25. Numa cidade, uma determinada not´ıcia foi propagada de tal maneira que o nu´mero de pessoas que
tomaram conhecimento e´ dado por
N(t) =
1768
1 + 33e−10t
em que t representa o nu´mero de dias apo´s ocorrer a not´ıcia. Pergunta-se:
(a) Quantas pessoas souberam a not´ıcia de imediato?
(b) Determine lim
t→∞N(t) e explique o seu resultado.
26. Um tanque conte´m 5000 litros de a´gua pura. A´gua salgada contendo 30 g de sal por litro de a´gua e´
bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 25 l/min.
(a) Mostre que a concentrac¸a˜o de sal depois de t minutos (em gramas por litro) e´
C(t) =
30t
200 + t
(b) O que acontece com a concentrac¸a˜o quando t→∞ ?
27. Encontre as ass´ıntotas horizontal e vertical e esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) =
x2
x2 − 1 (b) f(x) =
−1√
x2 + 5x+ 6
28. Encontre as ass´ıntotas horizontal e vertical e fac¸a um esboc¸o do gra´fico da equac¸a˜o
x2y + 4xy − x2 + x+ 4y − 6 = 0
29. Investigue a continuidade das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) =

x3 − 8
x2 − 4 , x 6= 2,
1, x = 2
(b) f(x) =
2
3x2 + x3 − x− 3
(c) f(x) =
 0, x ≤ 0x, x > 0
(d) f(x) =

x
|x| , x 6= 0
−1, x = 0
30. Calcule as constantes a e b de modo que:
(a) lim
x→b
x2 − a
x− b = 4 (b) limx→3
x2 − ax+ b
x− 3 = 5 (c) limx→+∞
[
ax− bx+ 3
x+ 1
]
= 5
31. Explique:
(a) Por que frequentemente achamos lim
x→a f(x) apenas pelo ca´lculo do valor de f no ponto a.
(b) Deˆ um exemplo para mostrar que lim
x→a f(x) = f(a) pode na˜o ocorrer.
32. Determine, se poss´ıvel, as constantes reais a e/ou b de modo que lim
x→k
f(x) exista, sendo:
(a) f(x) =
 3ax2 + 2, x < 1x− 2, x ≥ 1 , k = 1
(b) f(x) =

3x− 2, x > −1
3, x = −1
5− ax, x < −1
, k = −1
(c) f(x) =
 4x+ 3, x ≤ −23x+ a, x > −2 , k = −2
(d) f(x) =

3x2 − 5x− 2
x− 2 , x < 2
3− ax− x2, x ≥ 2
, k = 2
33. O potencial φ de uma distribuic¸a˜o de carga num ponto do eixo dos x e´ dado por:
φ(x) =

2piσ
(√
x2 + a2 − x) , se x ≥ 0
2piσ
(√
x2 + a2 + x
)
, se x < 0
com a > 0 e σ > 0. φ e´ cont´ınua em 0? Justifique.
34. Se uma esfera oca de raio a = 2cm e´ carregada com unidade de eletricidade esta´tica, a intensidade de
campo ele´trico E no ponto P depende da distaˆncia x do centro da esfera ate´ P pela seguinte lei:
E(x) =
 0 ; se 0 ≤ x < ax−2 ; se x ≥ a
Estude a continuidade do campo na superf´ıcie da esfera.
35. Seja f uma func¸a˜o e suponha que para todo x
|f(x)| ≤ x2
(a) Determine, caso exista, lim
x→0
f(x).
(b) f e´ cont´ınua em 0? Por queˆ?
36. Dizemos que uma func¸a˜o f e´ cont´ınua em um ponto a se, e somente se,
lim
h→0
f (a+ h) = f(a)
Use esse fato para demonstrar que as func¸o˜es sen(x) e cos(x) sa˜o cont´ınuas.
37. Calcule:
(a) lim
x→0
sen 3x
2x
(b) lim
x→0
sen 3x
x
(c) lim
x→0
sen 2x
3x
(d) lim
x→0
sen x
5x
38. Determinar lim
x→0
sen pix
x
.
39. Calcular o valor de lim
x→0
tg x+ x
x
.
40. Ache o valor de lim
x→0
x
sen x
.
41. Determine lim
x→0
tg x− sen x
x3
.
42. Determine:
(a) lim
x→0
1− cos 2x
1− cos x (b) limx→pi4
1− tg x
cos x− sen x
43. Calcule o valor de lim
x→0
tg 5x
x
.
44. Calcule:
(a) lim
x→0
sen 5x
sen 6x
(b) lim
x→pi4
1− tg x
cos 2x
45. Sabendo que lim
x→0
sen x
x
= 1, calcule lim
x→pi4
cos x− sen x
cos 2x
46. Calcule os limites:
(a) lim
x→0
sen (3x)
2x
(b) lim
x→0
sen (10x)
sen (7x)
(c) lim
x→0
tg (3x)
2x
(d) lim
x→0
1− cos (x)
x2
(e) lim
x→0
1− sec (x)
x2
(f) lim
x→0
1− cos (x)
x
(g) lim
x→0
1− cos (x)
x sen (x)
(h) lim
x→0
7− 7 cos 2(x)
3x2
(i) lim
x→0
sen (x)
x− pi
(j) lim
x→0
√
1 + sen (x)−√1− sen (x)
x
(k) lim
x→0
2x3 − x+ sen (x)
x
(l) lim
x→0
sen (x+ a)− sen (a)
x
47. Calcule os limites:
(a) lim
x→−∞
(
1 +
2
x
)x
(b) lim
x→−∞
(
1− 3
x
)x (c) limx→+∞
(
1 +
1
x
)3x
(d) lim
x→+∞
(
1− 4
x
)5x (e) limx→−∞
(
1 +
1
x
)x
(f) lim
x→+∞
(
x+ 1
x− 1
)x (g) limx→∞
(
x
1 + x
)x
(h) lim
x→+∞
(
x+ 5
x
)2x+3